સમરૂપતા (homomorphism) : બે બીજગાણિતિક રચનાઓ વચ્ચેનો તેમની દ્વિક્ક્રિયાઓને જાળવી રાખતો સંબંધ. આવી રચનાઓ લગભગ એકસમાન બીજગણિતીય ગુણધર્મો ધરાવે છે. આવી રચનાઓને સમરૂપ કહેવામાં આવે છે.
આધુનિક ગણિતમાં પ્રત્યેક નક્કર રચનાનો અભ્યાસ કરવાને બદલે વિવિધ ક્ષેત્રોમાં મળતી નક્કર રચનાઓના સામાન્ય ગુણધર્મો મેળવવામાં આવે છે. આ સામાન્ય ગુણધર્મોમાંથી તારવેલ મૂળભૂત ગુણધર્મોને પૂર્વધારણા રૂપે લઈ અમૂર્ત રચનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. અહીં ફક્ત તર્કનો ઉપયોગ કરી વિપુલ પ્રમાણમાં રસપ્રદ તથા ઉપયોગી પરિણામો મેળવી શકાય છે, કોઈ નક્કર રચનામાં આપેલ પ્રશ્નનું નિરાકરણ કરવા માટે આ રચનાને અમૂર્ત રચનામાં ફેરવી અનુરૂપ પ્રશ્નનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે. હવે નક્કર રચનામાં મળતો અનુરૂપ ઉકેલ જોઈતો ઉકેલ થશે. આ પદ્ધતિ ખૂબ જ ફાયદાકારક પણ છે, કારણ કે આપેલ નક્કર રચનાના બધા જ આંતરિક ગુણધર્મો ઘણી વાર અપૂરતી માહિતીને કારણે મેળવવા અસંભવ બની જાય છે. આમ આધુનિક ગણિતનો મુખ્ય પ્રશ્ન – આપેલ નક્કર રચનાને ‘સમાન’ કઈ અમૂર્ત રચના છે તે અને વ્યાપક રૂપે આપેલ બે અમૂર્ત રચનાઓ ક્યારે ‘સમાન’ ગણી શકાય તે છે. બે આપેલ અમૂર્ત રચનાઓમાં ઘટકો માટે તેમજ વ્યાખ્યાયિત ક્રિયાઓ માટે સંકેતો ભિન્ન હોવા છતાં એક અમૂર્ત રચનાનું બીજી અમૂર્ત રચનામાં ક્રિયાઓની જાળવણી સાથે રૂપાંતર થઈ શકે તો બંને રચનાઓ ‘સમાન’ થશે. અહીં બંને અમૂર્ત રચનાઓ બંધારણની દૃષ્ટિએ સમાન છે તેમ કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે અમૂર્ત રચનાઓ માટે ‘બંધારણની દૃષ્ટિએ સમાનતા’ની વ્યાખ્યા તેમાં આપેલ વ્યાખ્યાયિત ક્રિયાઓ પર રહેશે.
અરૂપ બીજગણિતમાં મુખ્યત્વે ત્રણ બૈજિક (algebraic) રચનાઓ – સમૂહ, મંડળ તથા ક્ષેત્ર-નો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સમૂહમાં અમુક ગુણધર્મોનું પાલન કરતી એક દ્વિક્ક્રિયા હેઠળ મંડળ કે ક્ષેત્રમાં બે દ્વિક્ક્રિયાઓ હેઠળ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. દ્વિક્ક્રિયા નીચે વ્યાખ્યાયિત સમૂહ Gને સંકેત < G; ્ર >થી જ્યારે દ્વિક્ક્રિયાઓ + તથા ્ર નીચે વ્યાખ્યાયિત મંડળ Rને સંકેત < R; +, ્ર >થી દર્શાવવામાં આવે છે. (દ્વિક્ક્રિયા +ને સરવાળા તથા ્ર ને ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયા કહેવામાં આવે છે.)
‘બંધારણની દૃષ્ટિએ બે સમાન સમૂહો’ની ગાણિતિક વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે છે :
વ્યાખ્યા : જો વિધેય Φ : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * > નીચેના ગુણધર્મો :
(i) f એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
(ii) પ્રત્યેક a, b ીં G માટે f (a ્ર b) = f(a) * f(b) ધરાવે તો સમૂહ < G; ્ર > સમૂહ, < G´; * >ને એકરૂપ સમૂહ અને વિધેય fને આપેલ સમૂહો વચ્ચેની એકરૂપતા કહેવામાં આવે છે.
જો સમૂહ < G; ્ર >, સમૂહ < G´; * >ને એકરૂપ હોય તો સમૂહ < G´; * >, સમૂહ < G; ્ર >ને એકરૂપ થવાથી ઉપરની વ્યાખ્યામાં ‘આપેલ સમૂહો < G; ્ર > તથા < G´; * > પરસ્પરને એકરૂપ છે’ તેમ કહેવામાં આવે છે તથા તેને સંકેત G દ્મ G´થી દર્શાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યામાં આવતી શરત (ii)ને દ્વિક્ક્રિયાની જાળવણી કહેવામાં આવે છે.
બે સમૂહો વચ્ચેની સમરૂપતા : એકરૂપતાની ઉપર્યુક્ત વ્યાખ્યામાં ફક્ત ગુણધર્મ (ii)નો વિચાર કરતાં સમરૂપતાનો ખ્યાલ મળે છે. બે સમૂહો વચ્ચેનો સમરૂપતાનો સૌપ્રથમ વાર ખ્યાલ ગણિતજ્ઞ કેમિલ જોર્દાને (Camille Jordan) આપ્યો.
જો વિધેય f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * >
પ્રત્યેક a, b ીં G માટે f (a ્ર b) = f(a) * f(b) ગુણધર્મ ધરાવે તો fને સમૂહ < G; ્ર >થી સમૂહ < G´; * > પરની સમરૂપતા કહેવામાં આવે છે.
આમ સમરૂપતા એટલે આપેલ બે સમૂહો વચ્ચે દ્વિક્ક્રિયાઓની જાળવણી કરતું વિધેય.
સમરૂપતા f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * > સાથે સંકળાયેલ સમૂહ Gના એક વિશિષ્ટ ઉપગણ ‘સમરૂપતાના ગર્ભ’(Kernel)ની વ્યાખ્યા અહીં આપી છે.
વ્યાખ્યા : આપેલ સમરૂપતા f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * > માટે સમૂહ Gના ઉપગણ
Kf = {x ીં G f(x) = e´}ને
સમરૂપતાનો ગર્ભ કહેવામાં આવે છે. અહીં e´, સમૂહ G´નો એકમ-ઘટક છે.
સમરૂપતાનાં ઉદાહરણો :
(1) આપેલ સમૂહ G માટે તદેવ વિધેય f : G ડ્ડ G જ્યાં f(x) = x, x ીં G, સમરૂપતા (બલકે એકરૂપતા) છે તથા સમરૂપતાનો ગર્ભ Kj = {e}.
(2) વિધેય f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * > જ્યાં f(x) = e´, x ીં G, ગર્ભ Kj = G સાથે સમરૂપતા છે.
(3) વાસ્તવિક અને (સંકર) સંખ્યા સંહતિને સંકેત R (C) તથા G´ = {z ીં C / z = 1} લઈએ તો વિધેય f : < R; + > ડ્ડ < G´; ત્ > જ્યાં f(x) = eix, x ીં R, ગર્ભ Kj = < 2p >, 2pથી સર્જિત ચક્રીય ઉપસમૂહ સાથે સમરૂપતા છે.
(4) વિધેય f : < Sn; o > ડ્ડ < {1, 1, x} જ્યાં
f ીં Sn સમરૂપતા છે તથા સમરૂપતાનો ગર્ભ Kj = સમૂહ Snમાં યુગ્મ ક્રમચયોનો ઉપસમૂહ છે. અહીં < Sn ; o > વિધેયોના સંયોજન તળે n ઘાતનો ક્રમચય-સમૂહ છે.
(5) જો આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે બધા n ત્ n વાસ્તવિક શ્રેણિકોના ગણને Mn(R)થી તથા A ીં Mn(R) માટે તેના નિશ્ચાયકને સંકેત det Aથી દર્શાવીએ તો શ્રેણિકોના ગુણાકાર તળે મળતા સમૂહો
GL (n; R) = {A ીં Mn(R) / det A દ 0}
SL (n; R) = {A ીં Mn(R) / det A = 1}ને
અનુક્રમે સામાન્ય સુરેખ સમૂહ (elementary linear group) તથા વિશિષ્ટ (specific) સુરેખ સમૂહ કહેવામાં આવે છે.
વિધેય f : GL (n; R) ડ્ડ < R*; x >, જ્યાં f(A) = det A, A ીં GL(n; R) સમરૂપતા છે. આ સમરૂપતા માટે ગર્ભ Kj = SL (n; R) છે. અહીં R* શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
(6) વિધેય f : < R*; x > ડ્ડ < R*; x > જ્યાં f(x) = x , x ીં R* સમરૂપતા છે. તેનો ગર્ભ Kj = {1, 1} છે.
(7) જો વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી બધી જ બહુપદીઓનું ગણન R(x)થી દર્શાવીએ તો વિધેય f : R[x] ડ્ડ R[x] જ્યાં f(f) = f´ બહુપદી fનું વિકલન-સમરૂપતા છે તથા સમરૂપતાનો ગર્ભ Kj બધી જ અચળ બહુપદીઓનો ગણ છે.
(8) વિધેય f : < Z; + > ડ્ડ < Zn: + n >, જ્યાં f(m) = [m], m ીં Z, સમરૂપતા છે. તેનો ગર્ભ Kj = {0, ણ્ n, ણ્ 2n, ……..} છે. અહીં Z પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે જ્યારે < Zn; + n >, nને સાપેક્ષ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ Zn = {[0], [1], …… [n1]}નો nને સાપેક્ષ સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયા + તળે સમૂહ છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મો : ધારો કે વિધેય f : A ડ્ડ B. C ૈં A માટે ગણ f(C) = {f(x) x ીં C}ને f તળે Cનું પ્રતિબિંબ તથા DૈંB માટે ગણ f1 (D) = {x ીં A f(x) ીં D}ને f તળે Dનું વ્યસ્ત પ્રતિબિંબ (inverse image) કહેવામાં આવે છે. ઉપરાંત આપેલ સમૂહ Gના ઉપગણ H તથા ઘટક g માટે ગણ {bg n ીં H}ને સંકેત Hgથી દર્શાવવામાં આવે છે.
(A) સમરૂપતા તળે ઘટકોના ગુણધર્મો :
પ્રમેય : સમરૂપતા f : < G ; ્ર > ડ્ડ < G´; * > માટે
(i) f (e) = e´ સમરૂપતા તળે એકમ ઘટકનું પ્રતિબિંબ એકમ- ઘટક છે.
(ii) a ીં G માટે f (a1) = [f(a)]1 સમરૂપતા તળે ઘટકના વ્યસ્તનું પ્રતિબિંબ તે ઘટકના પ્રતિબિંબનો વ્યસ્ત ઘટક છે.
(iii) a ીં G તથા પૂર્ણાંક n માટે f(an) = [f(a)]n.
(iv) જો ઘટક a ીં G ની કક્ષા સાંત હોય તો પ્રતિબિંબ ઘટક
f(a)ની કક્ષા 0 (f (0)), 0(0)નો અવયવ છે.
(v) જો આપેલ b´ ીં G´ માટે f(a) = b´ થાય તેણે સમૂહ Gનો ઘટક a મળે તો ઘટક b´ના વ્યસ્ત પ્રતિબિંબ માટે f1 (b´) = {x ીં G f (x) = b} = Kfa.
(B) સમરૂપતા નીચે ઉપસમૂહોના ગુણધર્મો :
પ્રમેય અંગે : ધારો કે f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´ ; * > સમરૂપતા છે તથા H, સમૂહ Gનો તથા H´, સમૂહ G´નો ઉપસમૂહ છે.
(i) f(H) = {f(h) / h ીં H}, G´નો ઉપસમૂહ છે સમરૂપતા તળે ઉપસમૂહનું પ્રતિબિંબ ઉપસમૂહ છે.
(ii) ચક્રીય ઉપસમૂહ H માટે f(H), G´નો ચક્રીય ઉપસમૂહ છે. સમરૂપતા તળે ચક્રીય સમૂહનું પ્રતિબિંબ ચક્રીય સમૂહ બને છે.
(iii) સમક્રમી ઉપસમૂહ H માટે f(H); G´નો સમક્રમી ઉપસમૂહ બને છે – સમરૂપતા તળે સમક્રમી સમૂહનું પ્રતિબિંબ સમક્રમી સમૂહ બને છે.
(iv) જો H, સમૂહ Gનો નિયત ઉપસમૂહ હોય તો તેનું પ્રતિબિંબ f(H), f(G)નો નિયત ઉપસમૂહ બને છે. આથી વ્યાપ્ત સમરૂપતા માટે નિયત ઉપસમૂહનું પ્રતિબિંબ પણ નિયત ઉપસમૂહ બને છે.
(v) f1 (H´) = {x ીં G f (x) ીં H´}, સમૂહ Gનો ઉપસમૂહ બને છે સમરૂપતા તળે ઉપસમૂહનું વ્યસ્ત પ્રતિબિંબ ઉપસમૂહ બને છે.
(vi) જો H´, f(G)નો નિયત ઉપસમૂહ હોય તો f1 (H´), G´નો નિયત ઉપસમૂહ બને છે.
આમ સમરૂપતા સમૂહો G તથા G´ના ઉપસમૂહો વચ્ચે સંગતતાનું વિસ્થાપન કરે છે તેમજ વ્યાપ્ત સમરૂપતા સમૂહો G તથા G´ના નિયત ઉપસમૂહો વચ્ચે પણ સંગતતા વિસ્થાપિત કરે છે.
સમરૂપતાના ગર્ભ માટે નીચેનાં અગત્યનાં પરિણામો મળે છે :
પ્રમેય 3 : સમરૂપતા f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * > માટે
(i) Kf = {e} હોય તો અને તો જ f એક-એક વિધેય બને છે.
(ii) Kj, સમૂહ Gનો નિયત ઉપસમૂહ બને છે.
નીચેના પરિણામને સમરૂપતાના મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે લેવામાં આવે છે :
પ્રમેય 4 : જો સમરૂપતા f : < G; ્ર > ડ્ડ < G´; * >, G´માં વ્યાપ્ત હોય તો ગર્ભ Kj માટે અવયવ-સમૂહ G/Kj, સમૂહ G´ને એકરૂપ હોય છે.
આપેલ સમૂહ Gના નિયત ઉપસમૂહ Hની મદદથી સમરૂપતાનો ગર્ભ H થાય તેવી સમરૂપતા f, નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય :
વિધેય n : G ડ્ડ G/H જ્યાં g(ંx) = Hx, x ીં G, ગર્ભ Kj = H સાથે વ્યાપ્ત સમરૂપતા છે.
અહીં વ્યાખ્યાયિત વિધેય gને નિયત વિધેય કહેવામાં આવે છે.
પ્રમેય 5 : આમ પ્રત્યેક નિયત ઉપસમૂહ H માટે અવયવ-સમૂહ G/H, સમૂહ Gને સમરૂપ બને છે.
ઉપર્યુક્ત બંને પ્રમાણે આપેલ સમૂહ Gને સમરૂપ સમૂહો દર્શાવ્યા મુજબ મેળવી શકાય.
સમૂહ Gના બધા જ નિયત ઉપસમૂહો મેળવી તે પરથી મળતી અનુરૂપ અવયવ-સમૂહોની સંહતિ એકરૂપતાની દૃષ્ટિએ સમૂહોનો જોઈતો ગણ થશે.
અવિભાજ્ય કક્ષાના ચક્રીય સમૂહ G પર વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા માટે નીચેનું રસપ્રદ પ્રમેય મળે છે :
પ્રમેય 6 : અવિભાજ્ય કક્ષાના ચક્રીય સમૂહ Gમાં વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા કાં તો એકરૂપતા છે અથવા Gના પ્રત્યેક ઘટક a માટે f (a) = (e).
આત્મરૂપતા (automorphism) અને આંતરિક આત્મરૂપતા :
આપેલ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત એકરૂપતાને આત્મરૂપતા કહેવામાં આવે છે. સમૂહ G પર વ્યાખ્યાયિત તદેવ (identity) વિધેય આત્મરૂપતા બને છે. સમૂહ Gના આપેલ ઘટક gની મદદથી વ્યાખ્યાયિત વિધેય ig : G ડ્ડ G, જ્યાં ig(x) = gxg1, x ીં G, પણ આત્મરૂપતા બને છે અને તેને સમૂહ Gની આંતરિક આત્મરૂપતા કહેવામાં આવે છે. આપેલ સમૂહ Gમાં વ્યાખ્યાયિત બધી જ આત્મરૂપતાઓનો ગણ A(G), વિધેયોના સંયોજનની દ્વિક્ક્રિયા તળે સમૂહ બને છે, જ્યારે તેમાં વ્યાખ્યાયિત બધી જ આંતરિક આત્મરૂપતાઓનો ગણ I(G), સમૂહ A(G)નો નિયત ઉપસમૂહ બને છે.
સ્પષ્ટ છે કે બે સમૂહો વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત એકરૂપતા હંમેશાં સમરૂપતા હોય છે. એકરૂપતા તથા સમરૂપતાના ખ્યાલોનો તફાવત નીચેના વ્યાવહારિક દૃષ્ટાંતથી આપી શકાય :
કોઈ વ્યક્તિને રૂબરૂ જોતાં તેની ઊંચાઈ, ઉંમર, વજન, જાતિ, શરીરનું બંધારણ તથા તેના વ્યક્તિત્વનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ મળી જાય. આ જ વ્યક્તિના ફોટોગ્રાફ પરથી આ વ્યક્તિ ઊંચાઈમાં લાંબી કે ટૂંકી, વજનમાં ભારે કે હલકી, યુવાન કે વૃદ્ધ, પુરુષ કે સ્ત્રી જેવી માહિતી મેળવી શકાય. આ જ રીતે આપેલ સમૂહના સમરૂપ પ્રતિબિંબ પરથી સમૂહની કેટલીક માહિતી મેળવી શકાય. ‘Group Representations’ નામની સમૂહશાસ્ત્રની વિશિષ્ટ શાખામાં આ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તથા તે ભૌતિકશાસ્ત્ર તથા રસાયણશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં ખૂબ જ ઉપયોગી બને છે. અહીં અભ્યાસ હેઠળના સમૂહને સમરૂપ, સમૂહ GL (n; C), (n પ્રાકૃતિક સંખ્યા)ના બધા ઉપસમૂહો (sub groups) મેળવવામાં આવે છે તથા સમૂહ GL(n; C)ના પરિચિત ગુણધર્મોની મદદથી આપેલા સમૂહ વિશે શક્ય હોય તેટલી માહિતી એકઠી (એકત્રિત) કરવામાં આવે છે. (ભૌતિકશાસ્ત્ર તથા રસાયણશાસ્ત્રમાં આપેલ પદાર્થના બંધારણનો અભ્યાસ કરવા તેના અણુમાં પરમાણુઓની સંમિતતાના સમૂહની જાણકારી આ રીતે મેળવવામાં આવે છે.) ઉપર આપવામાં આવેલ સરખામણીને આગળ લઈ જતાં કહી શકાય કે જેમ વ્યક્તિના જુદા જુદા ખૂણાઓ પરથી લેવામાં આવેલ ફોટોગ્રાફ પરથી તેના વિશે વધુ માહિતી મેળવી શકાય તેમ આપેલ સમૂહને સમરૂપ વિવિધ સમૂહોની મદદથી સમૂહ વિશે સારા પ્રમાણમાં જાણકારી મેળવી શકાય. તબીબી વિજ્ઞાનમાં આ સમરૂપતાના ખ્યાલનો વિપુલ પ્રમાણમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે હાડકાના ફ્રૅક્ચરનું ઑપરેશન કરતાં પહેલાં ડૉક્ટર ફ્રૅક્ચર થયેલ ભાગના જુદા જુદા ખૂણાઓથી લેવામાં આવેલ એક્સ-રે ફિલ્મનો અભ્યાસ કરી ફ્રૅક્ચર અંગે શક્ય હોય તેટલી વધુ માહિતી મેળવવા પ્રયત્ન કરે છે.
મંડળમાં સમરૂપતા :
મંડળની બૈજિક રચનામાં (algebraic structure) બે દ્વિક્ક્રિયાઓ હોવાથી બે મંડળો વચ્ચે સમરૂપતાનો ખ્યાલ બંને દ્વિક્ક્રિયાઓની જાળવણી કરતા વિધેય તરીકે અહીં દર્શાવ્યો છે.
વ્યાખ્યા : જો વિધેય f : < R; +, ્ર > ડ્ડ < R´; , ગ્ > ગુણધર્મો :
પ્રત્યેક a, b ીં R માટે
(i) f (a + b) = f(a) f(b)
(ii) f (a ્ર b) = f(a) ગ્ f(b)
ધરાવે તો તેને મંડળો R તથા R´ વચ્ચેની સમરૂપતા કહેવામાં આવે છે.
એક-એક તથા વ્યાપ્ત સમરૂપતાને એકરૂપતા કહેવામાં આવે છે તથા મંડળો R તથા R´ એકરૂપ (સંકેત R દ્મ R´) છે તેમ કહેવામાં આવે છે.
સમરૂપતાના ગર્ભની વ્યાખ્યા અહીં જણાવ્યા પ્રમાણે છે.
વ્યાખ્યા : સમરૂપતા f : < R; +, :> ડ્ડ < R´; , ગ્ > માટે મંડળ Rના ઉપગણ
Kj = {x ીં R f(x) = 0´}ને
સમરૂપતાનો ગર્ભ કહેવામાં આવે છે. અહીં 0´ મંડળ R´નો સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયા માટેનો એકમ ઘટક છે.
મંડળ < R ; + , ્ર > માટે < R ; + > સમક્રમી સમૂહ થવાથી બે મંડળો વચ્ચેની સમરૂપતા સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયાની જાળવણી કરે છે અને આથી બે સમૂહો વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા માટે ઉપર મેળવેલ પરિણામોને સામ્ય પરિણામો ઉપરાંત મળતાં વધારાનાં પરિણામો અહીં આપેલા પ્રમેયમાં આપવામાં આવ્યાં છે.
પ્રમેય 7 : ધારો કે f : <R; +, ્ર > ડ્ડ < R´; , ગ્ > સમરૂપતા છે.
(i) S, Rનું ઉપમંડળ હોય તો f(S), R´નું ઉપમંડળ છે.
(ii) S, Rનું ઇષ્ટ મંડળ હોય તો f(S), f(R)નું ઇષ્ટ મંડળ છે.
(iii) S´, R´નું ઉપમંડળ હોય તો f1(S´), Rનું ઉપમંડળ છે.
(iv) S´, f (R)નું ઇષ્ટ મંડળ હોય તો f1(S´), Rનું ઇષ્ટ મંડળ છે.
(v) સમરૂપતા fનો ગર્ભ Kj, Rનું ઇષ્ટ મંડળ છે.
(vi) સમરૂપતા f એક-એક થવાથી જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત Kj = {0} છે.
સમરૂપતાનાં ઉદાહરણો :
(1) વિધેય f : < R; +, ્ર > ડ્ડ < R´, , ગ્ > જ્યાં f(x) = 0´, x ીં R, સમરૂપતા છે તથા તેનો ગર્ભ Kj = R છે.
(2) આપેલ મંડળ R પર વ્યાખ્યાયિત તદેવ વિધેય એકરૂપતા બને છે.
(3) ગણ Z () = {a + b a, b ીં Z} સામાન્ય સરવાળા તથા ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયાઓ તળે મંડળ (સંકેત < Z (); +, >) બને છે. વિધેય f : < Z (); +, ્ર > ડ્ડ < Z (); + , ્ર > જ્યાં f (a + b) = a b સમરૂપતા છે તથા તેનો ગર્ભ Kj = {0} છે.
(4) પ્રાકૃતિક સંખ્યા nને સાપેક્ષ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ Zn, nને સાપેક્ષ સરવાળા + n તથા ગુણાકાર ્રnની દ્વિક્ક્રિયાઓ તળે મંડળ (સંકેત < Zn; + n, ્ર n >) બને છે. વિધેય f : < Z; + , ્ર > ડ્ડ < Zn; + n, ્ર n> જ્યાં f(m) = [m], m ીં Z સમરૂપતા છે તથા તેનો ગર્ભ Kj = {0, ણ્ n, ણ્ 2n, ……} છે.
(5) સામાન્ય સરવાળા તથા ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયા તળે સંકર સંખ્યાઓનો ગણ મંડળ (સંકેત < ; + , ્ર >) બને છે જ્યારે M2(R) શ્રેણિકોના સરવાળા તથા ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયાઓ તળે મંડળ (સંકેત < M2(R); +, ્ર >) બને છે.
વિધેય f : < C; +, ્ર > ડ્ડ < M2(R); +, ્ર > જ્યાં
f (a + ib) = , a + ib ીં
ગર્ભ Kj = {0} સાથે સમરૂપતા બને છે.
સમૂહની જેમ મંડળમાં પણ આત્મરૂપતાની વ્યાખ્યા આપી શકાય. ગણિતજ્ઞ ગાલોઆએ ક્ષેત્રમાં વ્યાખ્યાયિત આત્મરૂપતાઓનો અભ્યાસ કરી બહુપદીઓનાં બીજ માટેના પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવ્યો હતો.
મંડળમાં લક્ષણ તથા સમરૂપતાનો અભ્યાસ કરી મૂળ ક્ષેત્રોની વ્યાખ્યા આપી શકાય. આપેલ ક્ષેત્રમાં વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા માટે પ્રમેય 6ને અનુરૂપ નીચેનું પરિણામ મળે છે :
પ્રમેય 8 : આપેલ ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા f માટે ફક્ત બે જ શક્યતાઓ (i) f(a) = 0, a ીં F અથવા (ii) f એક-એક સંગતતા મળે છે.
ગણિતજ્ઞ આઇ. એન. હર્સ્ટરાઇનના મંતવ્ય મુજબ અરૂપ બીજગણિતની બધી જ બૈજિક રચનાઓ માટે જો કોઈ સામાન્ય કેન્દ્રીય ખ્યાલ હોય તો તે સમરૂપતાનો ખ્યાલ છે.
ઇચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ