સંદર્ભ–તંત્ર (reference frames) : જેના સાપેક્ષે કણ કે બિંદુના સ્થાન કે ગતિનાં માપ લેવાતાં હોય તેવું દૃઢ નિર્દેશ-તંત્ર.
પૃથ્વીની સપાટી ઉપરના કોઈ પણ સ્થાનને અક્ષાંશ અને રેખાંશ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં પૃથ્વી નિર્દેશ-તંત્ર છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે P એક બિંદુ છે. તેનું સ્થાન નક્કી કરવું છે. એ માટે દરેક અવલોકનકાર પોતાની અનુકૂળતા અનુસાર કોઈ સ્થિર વસ્તુના સાપેક્ષમાં P બિંદુનું સ્થાન નક્કી કરે છે.
ત્રિપારિમાણિક અવકાશમાં P બિંદુને લેવામાં આવે ત્યારે તેનું સ્થાન નક્કી કરવા ત્રિપારિમાણિક કાર્તીય (Cartesian) યામ-પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
એક અવલોકનકાર, O-XYZ યામ-પદ્ધતિના સાપેક્ષમાં Pનું સ્થાન નક્કી કરે છે. અહીં ધારો કે Pના યામને (xyz)થી દર્શાવવામાં આવે છે.
બીજો અવલોકનકાર, O´-X´Y´Z´ યામ-પદ્ધતિના સાપેક્ષમાં Pના સ્થાનને (x´y´z´)થી દર્શાવવામાં આવે છે.
હવે અવલોકનકાર Oની ભૂમિકામાં, અવલોકનકાર O´થી P બિંદુના યામો કેવી રીતે નક્કી થઈ શકે તે જોવાનું રહે છે.
પ્રથમ અવલોકનકાર O, પોતાની યામ-પદ્ધતિમાં, અવલોકનકાર O´ના યામો આકૃતિ પ્રમાણે નક્કી કરે છે. એટલે કે O-XYZ યામ-પદ્ધતિના સાપેક્ષમાં O´ના યામ (xoyozo) છે. આકૃતિ પરથી એ પણ જોઈ શકાય છે કે,
આ સમીકરણો(1)ની મદદથી એક યામ-પદ્ધતિમાં લીધેલાં અવલોકનોને બીજી યામ-પદ્ધતિમાં લીધેલાં અવલોકનોમાં રૂપાન્તરિત કરી શકાય છે. તેથી આવાં સમીકરણોને રૂપાન્તરણ-સમીકરણો (transformation equations) કહે છે.
અહીં યામપદ્ધતિઓ O-XYZ અને O´-X´Y´Z´ એકબીજાના સાપેક્ષે સ્થિર છે, તે અગત્યનો મુદ્દો છે. પરંતુ બંને પદ્ધતિઓ સ્થિર ન હોય અને ગતિમાન હોય તો કેવાં પરિણામો મળે છે તે જોઈએ.
(1) જો બંને પદ્ધતિઓ એકબીજાના સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોય તો બંને પદ્ધતિઓમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર એકસરખું જ મળે છે. એટલે આવી સંદર્ભ-ભૂમિકાઓને અનુલક્ષીને કહી શકાય છે કે અંતર અપરિવર્તનીય (invariant) છે.
એટલે એમ કહી શકાય કે કોઈ એક પદ્ધતિમાં વસ્તુની લંબાઈ l હોય અને તેને સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતી બીજી સંદર્ભ-પદ્ધતિ તેની લંબાઈ l´ હોય તો,
l = l´………………………………..(2)
આવી લંબાઈની સમાનતા, સંદર્ભ-પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ કેટલો છે તેના પર આધાર રાખતી નથી.
બંને સંદર્ભ-ભૂમિકાઓમાં એકસાથે અવલોકનો લઈ શકાય છે. જો એક સંદર્ભ-પદ્ધતિ માટે સમય t લઈએ અને બીજી સંદર્ભ-પદ્ધતિ માટે સમય t´ લઈએ તો,
t = t´………………………………..(3)
(2) હવે ગતિમાન સંદર્ભ-પદ્ધતિઓમાં કોઈ એક વસ્તુનો વેગ માપવામાં આવે છે ત્યારે માલૂમ પડે છે કે બે અવલોકનકારોએ માપેલા વેગ સમાન હોતા નથી. બંને વેગો વચ્ચેનો તફાવત તેમના સાપેક્ષ વેગ જેટલો હોય છે.
આમ અહીં વેગ અપરિવર્તનીય હોતો નથી.
n = u´ uo ………………………………..(4)
અહીં n = બંને સંદર્ભ-પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ.
uo = O અવલોકનકારે માપેલો વેગ.
u´ = O´ અવલોકનકારે માપેલો વેગ.
(3) હવે એકબીજાની સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતી સંદર્ભ-પદ્ધતિઓ માટે કોઈ વસ્તુનો નિયમિત પ્રવેગ અપરિવર્તનીય હોય છે.
a´ = a
એને આધારે કહી શકાય કે એક સંદર્ભ-પદ્ધતિમાં જો ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પડી શકે તો તે સંદર્ભ-પદ્ધતિના સાપેક્ષમાં નિયમિત વેગથી ગતિ કરતી કોઈ પણ સંદર્ભ-પદ્ધતિમાં પણ તે લાગુ પડી શકે છે.
એકબીજાના સાપેક્ષે n જેટલા નિયમિત વેગથી ગતિ કરતા અવલોકનકારો માટે ન્યૂટોનિયન-ગેલેલિયન રૂપાંતર સમીકરણો નીચે મુજબ છે :
(4) જો કોઈ એક સંદર્ભ-પદ્ધતિ, બીજી સ્થિર સંદર્ભ-પદ્ધતિના સાપેક્ષમાં પ્રવેગિત ગતિ કરતી હોય તો તે પ્રવેગિત ગતિ કરતી સંદર્ભ-પદ્ધતિમાં રહેલા અવલોકનકારને પદાર્થ પર આભાસી બળો લાગતાં હોય એમ લાગે છે. આવી સંદર્ભ-પદ્ધતિમાં ન્યૂટનના ગતિના નિયમો જળવાતા નથી.
હવે જે સંદર્ભ-પદ્ધતિઓ એકબીજાની સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોય તેવી સંદર્ભ-પદ્ધતિઓને ગૅલેલિયન અથવા ન્યૂટોનિયન અથવા જડત્વીય (inertial) સંદર્ભ-પદ્ધતિઓ કહે છે.
ગૅલેલિયન-ન્યૂટોનિયન રૂપાન્તરો સમીકરણ (5) મેળવવા માટે બંને સંદર્ભ-પદ્ધતિઓમાં એકીસાથે માપ લેવામાં આવે છે. એટલે કે જેની મદદથી વસ્તુઓને જોઈ શકાય છે તે પ્રકાશ અનંત વેગથી ગતિ કરે છે.
જો બે સંદર્ભ-પદ્ધતિઓનો સાપેક્ષ વેગ પ્રકાશના વેગની સરખામણીમાં બહુ જ નાનો હોય તો પ્રકાશના વેગને અનંત ગણી શકાય. આથી ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર, જ્યાં સુધી વસ્તુઓના વેગ પ્રકાશના વેગની સરખામણીમાં નાના હોય ત્યાં સુધી જ સાચું રહે છે; જ્યારે વસ્તુઓના વેગ પ્રકાશના વેગની સરખામણીમાં નાના ન હોય ત્યારે સાપેક્ષવાદ(relativity)ના યંત્રશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરવો પડે છે.
સુમંતરાય ભીમભાઈ નાયક