સંખ્યાગણિત (Theory of Numbers) : સરવાળા અને ગુણાકાર થકી સંખ્યાઓમાં આવતા ગુણધર્મોનું શાસ્ત્ર. સંખ્યાગણિતમાં સામાન્ય રીતે ધનપૂર્ણાંકોનો જ અભ્યાસ થાય છે, પણ કેટલાક સંદર્ભોમાં સંમેય તથા અસંમેય સંખ્યાઓની વાત પણ કરાય છે.
સંખ્યાગણિતમાં પરિણામોની સાબિતી માટે જે પ્રકારની પદ્ધતિઓ અપનાવવામાં આવે છે તેના આધારે સંખ્યાગણિતના ચાર મુખ્ય ભાગ પડે છે. જે વિભાગમાં સામાન્ય અંકગણિતની પદ્ધતિઓ વપરાય છે તેને શાસ્ત્રીય સંખ્યાગણિત (Classical Number Theory) કહે છે. જેમાં બૈજિક સંખ્યાઓ પર અંકગણિત રચવામાં આવે છે તેને બૈજિક (Algebraic) સંખ્યાગણિત કહે છે. વૈશ્લેષિક (Analytic) સંખ્યાગણિતમાં કલનશાસ્ત્ર તથા વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરી સંખ્યાના ગુણધર્મો સાબિત કરવામાં આવે છે. સંખ્યાગણિતની જે શાખામાં ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ વપરાય છે તેને ભૌમિતિક સંખ્યાગણિત (Geometry of Numbers) કહે છે.
શાસ્ત્રીય સંખ્યાગણિતમાં કેવળ અંકગણિતની પદ્ધતિઓ વપરાતી હોવાથી ગણિતની ઉચ્ચ પદ્ધતિઓથી અજ્ઞાત સામાન્ય ગણિતરસિકો પણ તેમાં રસ લઈ શકે છે અને નવાં નવાં પરિણામો શોધી શકે છે; તેથી આ શાખા સંખ્યાગણિતની (બલ્કે સમગ્ર ગણિતની) કદાચ સૌથી વધુ ખેડાણ પામેલી અને લોકપ્રિય શાખા છે.
શાસ્ત્રીય સંખ્યાગણિતમાં જે સંકલ્પનાઓનો અભ્યાસ થાય છે તેમાં મુખ્યત્વે પૂર્ણાંકોના અવયવો, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, સમશેષતા, દ્વિઘાતશેષ, ડાયોફૅન્ટાઇન સમીકરણો, સંખ્યાઓની આપેલ શ્રેણીમાંની સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે દરેક પૂર્ણાંકને રજૂ કરવાની શક્યતા વગેરે છે.
પ્રાચીન સમયમાં અંકગણિતની સાથે જ સંખ્યાગણિતનો પ્રાદુર્ભાવ થઈ ચૂક્યો હતો. યુક્લિડે ઈ. પૂ. ત્રીજી સદીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અનંત છે તેની બહુ જ સરળ છતાં સામાન્ય ગણિતજ્ઞને ભાગ્યે જ સૂઝે તેવી સાબિતી આપી હતી. ઈસુની પ્રથમ સહસ્રાબ્દીમાં ગ્રીસમાં ડાયોફૅન્ટસે તથા ભારતમાં બ્રહ્મગુપ્ત અને ભાસ્કરાચાર્યે આ વિષયમાં મહત્ત્વનાં પ્રદાન કર્યાં હતાં. બારમી સદીમાં ઇટાલીમાં ફિબોનાકીએ તેના નામથી પ્રખ્યાત થયેલી ફિબોનાકી સંખ્યાઓ આપીને સંખ્યાગણિતના એક અત્યંત ફળદ્રૂપ પ્રકરણનો આરંભ કર્યો. સત્તરમી સદીમાં ફ્રાન્સના ફરમાએ સંખ્યાઓનો ખૂબ ઘનિષ્ઠ અભ્યાસ કરી અનેક ગુણધર્મો અને અનુમાનો આપ્યાં. ખરેખર તો ફરમાના અધૂરા કામને પૂર્ણ કરવાના પ્રયત્નોમાંથી જ સંખ્યાગણિતનો ખૂબ વિકાસ થયો. ફરમા પછી ઑઇલર, ગાઉસ, રીમાન્ન, રામાનુજન, ઍરદૉશ, ચાવલા વગેરેએ સંખ્યાગણિતને જબરદસ્ત વેગ આપ્યો છે.
ફરમાનું એક ‘અનુમાન’ ફરમાના અંતિમ પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. ફરમાએ 1637માં એવું વિધાન કર્યું હતું કે n થ્ 3 માટે સમીકરણ xn + yn = zn થાય તેવા કોઈ શૂન્યેતર પૂર્ણાંકો x, y, z ન જ મળે. આ વિધાનની સાબિતી પોતાની પાસે હોવાનો દાવો પણ તેણે કર્યો હતો. આ જ ‘ફરમાનું અંતિમ પ્રમેય’ છે. પણ ફરમાની સાબિતી કોઈને જડી નહિ અને સતત પ્રયત્નો છતાં સેંકડો વર્ષો સુધી એની સાબિતી કોઈને મળી પણ નહિ. તેને સાબિત કરવાના પ્રયત્નોમાંથી જ બૈજિક સંખ્યાગણિતનો આરંભ થયો. આખરે છેક 1995માં એન્ડ્રુ વાઇલ્સે ફરમાના અંતિમ પ્રમેયની સાચી સાબિતી મેળવી હતી.
સેંકડો વર્ષ જૂનું ગોલ્ડબાખનું અનુમાન હજુ પણ અજેય છે. તે કહે છે કે 4થી મોટી દરેક યુગ્મ સંખ્યા બે અયુગ્મ અવિભાજ્યોનો સરવાળો છે. સંખ્યાગણિતમાં સમજવામાં સરળ પણ સાબિત કરવામાં અતિ કઠિન એવાં અનેક વિધાનો અને અનુમાનો છે.
ઓગણીસમી સદીના ગણિતજ્ઞોને હંફાવનારું અનુમાન હવે અવિભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. 1795માં ગાઉસ અને લીજેન્ડરે એવું અનુમાન કર્યું હતું કે જો xથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા π(x) હોય તો 
એક સદીના ઘનિષ્ઠ પ્રયત્નો પછી આ પ્રમેય 1895માં હા દા માર અને દ’ લા વેલી પૂસાંએ સાબિત કર્યું. આ પહેલાં 1859માં રીમાન્ને તેની સાબિતી સુધી પહોંચવા માટેનો નકશો દોરી આપ્યો હતો. તેની રીતમાં સંકર ચલના એક વિશેષ વિધેયનો ઉપયોગ હતો. આમ અવિભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેયની સાબિતી વૈશ્લેષિક સંખ્યાગણિતના ભાગરૂપે મળી હતી.
અરુણ મ. વૈદ્ય