સંખ્યાઓ : વસ્તુઓની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતમાંથી આવેલી ગાણિતિક સંકલ્પના. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પૂર્ણાંકો, સંમેય સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને સંકર સંખ્યાઓ એમ ક્રમશ: વિકાસ પામતી આ સંકલ્પનાની વાત સંખ્યાસંહતિ – એ મથાળા હેઠળ કરવામાં આવે છે. આ બધા સંખ્યાગણો ઉપરાંત અમુક વિશેષ પ્રકારની સંખ્યાઓ પણ છે તે બાબત અહીં પ્રસ્તુત છે.
બૈજિક સંખ્યાઓ (Algebraic Numbers) : વાસ્તવિક સંખ્યાસંહતિ Rને વિસ્તારી સંકર સંખ્યાગણ C મેળવવાનું એક મુખ્ય કારણ x2 + 1 = 0 જેવાં સમીકરણો ઉકેલવાની ક્ષમતા પ્રાપ્ત કરવાનું છે. આમ કરતાં સાનંદાશ્ચર્ય એ થાય છે કે કેવળ x2 + 1 = 0 જ નહિ પણ anxn + an1 xn1 + …… + a1x + a0 = 0, ai ીં Q, n > 1, an દ 0 જેવા પ્રત્યેક સમીકરણના ઉકેલો Cમાં મળે છે તેવું સાબિત કરી શકાય છે. Cની જે સંખ્યા ઉપરના જેવા કોઈ બહુપદી સમીકરણનું બીજ હોય તે સંખ્યાને બૈજિક સંખ્યા કહેવાય છે. બધી જ સંમેય સંખ્યાઓ બૈજિક સંખ્યાઓ છે, કારણ કે સંમેય સંખ્યા એ qx p = 0 સમીકરણનું બીજ છે. આ ઉપરાંત જેવી અસંમેય સંખ્યાઓ પણ બૈજિક છે ( તે x2 2 = 0નું બીજ છે); પરંતુ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા કે સંકર સંખ્યા બૈજિક નથી. બૈજિક ન હોય તેવી સંકર સંખ્યાને અબૈજિક (transcendental) કહેવાય.
બૈજિક સંખ્યાઓ સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટે સંવૃત (closed) છે એટલે કે જો a અને b બૈજિક હોય તો a + b, a b, ab અને (b દ 0 માટે) પણ બૈજિક હોય છે. અન્ય શબ્દોમાં બૈજિક સંખ્યાઓનો ગણ A એક ક્ષેત્ર (field) છે.
આપણે આગળ જોયા પ્રમાણે દરેક સંમેય સંખ્યા બૈજિક છે તેથી Q ૈં A (અહીં Q સંમેય સંખ્યાગણ દર્શાવે છે.). કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યાઓે બૈજિક નથી (એ હમણાં જોવાશે.) જ્યારે કેટલીક કાલ્પનિક સંખ્યાઓ (દા.ત., i) બૈજિક છે; તેથી A અને R પૈકી કોઈ એક, બીજાનો ઉપગણ નથી; પણ A તે સંકર સંખ્યાક્ષેત્ર Cનું ઉપક્ષેત્ર છે.
જો a બૈજિક સંખ્યા હોય તો તે કોક બહુપદી સમીકરણનું બીજ છે. આથી (સુક્રમતાના સિદ્ધાંત પ્રમાણે) a જેનું બીજ હોય તેવી લઘુતમ ઘાત n વાળી બહુપદી પણ મળે. તો aને n ઘાતવાળી બૈજિક સંખ્યા કહેવાય છે; દા.ત., સંખ્યા ( + ) જેનું બીજ હોય તેવી બહુપદી 4 ઘાતની છે (x410x2 + 1 = 0); પણ 4થી ઓછા ઘાતની પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળી કોઈ બહુપદીનું તે બીજ નથી માટે + તે 4 ઘાતની બૈજિક સંખ્યા છે.
એક મહત્ત્વનું પરિણામ એવું છે કે જો a કોક k માટે 2k ઘાતની બૈજિક સંખ્યા હોય તો જ a માપના રેખાખંડની રચના કેવળ સીધી પટ્ટી અને પરિકરથી થઈ શકે.
અબૈજિક સંખ્યાઓ (Transcendental Numbers) : આમ તો બૈજિક અને અબૈજિક બંને પ્રકારની સંખ્યાઓ અનંત છે, પણ અમુક અર્થમાં (જેની વિગતો આગળ જોવાશે.) બૈજિક સંખ્યાઓ કરતાં અબૈજિક સંખ્યાઓ ઘણી વધુ છે. અમુક આપેલી સંખ્યા અબૈજિક હોય તો તેમ સાબિત કરવું ખૂબ કઠિન છે. વ્યવહારમાં અને વિજ્ઞાનમાં વપરાતી મોટાભાગની સંખ્યાઓ બૈજિક છે. જેમનો ખૂબ બહોળો ઉપયોગ થતો હોય તેવી અબૈજિક સંખ્યાઓ p અને e છે.
લીયુવીલે 1840ના અરસામાં અબૈજિક સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું હતું અને અબૈજિક સંખ્યાઓ શોધી કાઢી હતી. તેમણે એવું દર્શાવ્યું હતું કે સંમેય સંખ્યાઓની કોઈ શ્રેણી અસંમેય સંખ્યાને અનુલક્ષે અને આ અભિસરણ અતિશીઘ્ર હોય તો તેનું અસંમેય લક્ષ્ય સામાન્ય રીતે અબૈજિક હોય; દા.ત., શ્રેણી
(10)1! + (10)2! + (10)3! + ………નું લક્ષ્ય એટલે કે સંખ્યા 0.1100010000000000000000010…… (જેમાં દરેક n માટે દશાંશચિહ્ન પછીના n!મા સ્થાને 1 અને અન્ય દરેક સ્થાને 0 છે.) અબૈજિક છે તેમ લીયુવીલે સાબિત કર્યું હતું.
સંખ્યા e અબૈજિક છે તેમ હરમાઇટે 1873માં અને p અબૈજિક છે તેમ લિન્ડમૅને 1882માં સાબિત કર્યું હતું. લિન્ડમૅનના આ પરિણામથી એક બહુ જૂનો રચનાનો કોયડો ઊકલી ગયો હતો. આપેલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેવડું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ચોરસ (માત્ર સીધી પટ્ટી અને પરિકર વડે) રચી શકાય કે નહિ તે કોયડો લગભગ દોઢ હજાર વર્ષથી વણઊકલ્યો હતો. ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં એમ સાબિત થયું હતું કે સંખ્યા p જો 2k ઘાતના કોઈ બહુપદી સમીકરણનું બીજ હોય તો જ એ રચના શક્ય બને કારણ કે આ રચના માટે માપના રેખાખંડની રચના જરૂરી છે. લિન્ડમૅનના પરિણામથી જણાયું કે p કોઈ પણ બહુપદી સમીકરણનું બીજ નથી. તેથી ‘વર્તુળનું સમચોરસીકરણ’ (squaring a circle) અશક્ય છે.
આગળ જણાવ્યા પ્રમાણે અમુક સંખ્યા અબૈજિક છે તે સાબિત કરવું ઘણી વાર ખૂબ કઠિન હોય છે. ઈ. સ. 1900માં હિલ્બર્ટે વીસમી સદીના ગણિતજ્ઞો માટે 23 મહત્ત્વના કોયડા રજૂ કર્યા હતા, તેમાંનો એક એવો હતો કે જો a અને b બૈજિક સંખ્યાઓ હોય, a દ 0, a દ 1 તો ab અબૈજિક છે કે નહિ તે નક્કી કરો. 1930માં ગેલ્ફૉન્ડ અને શ્નાઇડરે આ કોયડાનો સકારાત્મક ઉત્તર આપ્યો હતો. આમ દા.ત., 2 અબૈજિક છે.
કાર્ડિનલ (પ્રધાન) સંખ્યાઓ (Cardinal Numbers) : કોઈ પણ ગણની પ્રધાન કે કાર્ડિનલ સંખ્યા એ તે ગણની સભ્યસંખ્યા સૂચવે છે. સાંત ગણની સભ્યસંખ્યા એ તે ગણની કાર્ડિનલ સંખ્યા છે. અનંત ગણને પણ પ્રધાન સંખ્યા હોય છે. પ્રધાન સંખ્યાનો ખ્યાલ કૅન્ટરે ઓગણીસમી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં દાખલ કર્યો હતો. બે સાંત ગણોની સભ્યસંખ્યા સરખી હોય તો અને તો જ તેમની વચ્ચે એક-એક અને વ્યાપ્ત સંગતતા સંભવી શકે એ ખ્યાલને વ્યાપક સ્વરૂપ આપીને કૅન્ટરે અનંત ગણો માટે કાર્ડિનલ સંખ્યાનો ખ્યાલ દાખલ કર્યો. ગણની કાર્ડિનલ સંખ્યાની વ્યાખ્યા આપવાને બદલે બે ગણોની પ્રધાન સંખ્યાઓ સરખી ક્યારે કહેવાય તેની વ્યાખ્યા તેણે આપી. બે ગણો A અને B વચ્ચે જો કોઈ એક-એક અને વ્યાપ્ત સંગતતા સ્થાપી શકાય તો A અને Bની પ્રધાન સંખ્યાઓ સમાન હોય એવી વ્યાખ્યા કૅન્ટરે આપી. આ વ્યાખ્યાનાં કેટલાંક ‘વિચિત્ર’ પરિણામો આવ્યાં. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N હોય અને બધા પૂર્ણાંકોનો ગણ Z હોય તો N અને Z વચ્ચેની સંગતતા f વિચારો, જ્યાં
તો સરળતાથી જોઈ શકાય કે એક-એક અને વ્યાપ્ત છે (અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને અનૃણ પૂર્ણાંકોમાં લઈ જાય છે અને યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને ઋણ પૂર્ણાંકોમાં લઈ જાય છે). તેથી કૅન્ટરની વ્યાખ્યા પ્રમાણે N અને Zની પ્રધાન સંખ્યાઓ સમાન છે. N તે Zનો ઉચિત ઉપગણ હોવાથી આ વાત ખૂબ વિચિત્ર લાગે છે. ઘણા ગણિતજ્ઞોએ આ કારણે કૅન્ટરની વાત સ્વીકારી નહિ અને તેની હાંસી ઉડાવી હતી.
કૅન્ટરે Nની પ્રધાન સંખ્યા માટે અલેફશૂન્ય (c0) સંકેત યોજ્યો હતો. તેણે સાબિત કર્યું કે N, Z અને સંમેય સંખ્યાગણ Q એ બધાંની પ્રધાન સંખ્યા c0 જ છે. ગણ Aની પ્રધાન સંખ્યા માટે સંકેત C(A) લખીએ. જો Aથી Bની કોઈ એક-એક સંગતતા ન મળે પણ Aથી Bના કોઈ ઉચિત ઉપગણ Sની કોઈ એક-એક સંગતતા મળે તો C(A) < C(B) એવી પ્રધાન સંખ્યાઓ વચ્ચેની અસમતાની વ્યાખ્યા કૅન્ટરે આપી. તેણે સાબિત કર્યું કે વાસ્તવિક સંખ્યાગણ R અને બૈજિક સંખ્યાગણ A માટે C(Q) = C(A) < C(R). એટલે Aની પ્રધાન સંખ્યા c0 છે, જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાગણ Rની પ્રધાન સંખ્યા c0થી મોટી છે. કૅન્ટરે Rની પ્રધાન સંખ્યા માટે c1 એ સંકેત યોજ્યો.
જે ગણની પ્રધાન સંખ્યા c0 છે તેને કૅન્ટરે ગણ્ય ગણ (countable set) કહ્યો. આમ બૈજિક સંખ્યાઓનો ગણ ગણ્ય છે જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ અગણ્ય (uncountable) છે.
એ સરળતાથી દર્શાવી શકાય કે દરેક અનંત ગણને એક ગણ્ય ઉપગણ હોય. આમ દરેક અનંત ગણની પ્રધાન સંખ્યા c0 કે તેથી વધુ હોય. આમ સાંત ન હોય તેવી લઘુતમ પ્રધાન સંખ્યા c0 છે.
કૅન્ટરે એમ પણ સાબિત કર્યું કે મહત્તમ પ્રધાન સંખ્યા જેવું કશું નથી. એટલે કે દરેક ગણ A માટે. અન્ય ગણ B એવો મળે જ કે જેથી C(A) < C(B) થાય. Bને સ્થાને Aનો ઘાતગણ (power set) (Aના તમામ ઉપગણોનો ગણ) લઈ શકાય.
પ્રધાન સંખ્યાઓ c0 અને c1 વચ્ચે કોઈ પ્રધાન સંખ્યા છે કે નહિ તે પ્રશ્ન દાયકાઓ સુધી અનુત્તર રહ્યો હતો. એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાગણ Rનો ઉચિત ઉપગણ S એવો મળે ખરો કે c0 < C(S) < c1 એ પ્રશ્ન હતો. કૅન્ટરે એવું અનુમાન કર્યું હતું કે આવી કોઈ પ્રધાન સંખ્યા ન જ મળે. આ પૂર્વધારણાને Continuum Hypothesis કહેવાય છે. આ પૂર્વધારણાને આધારે કૅન્ટરે પોતાનું ગણશાસ્ત્ર વિકસાવ્યું હતું. 1963માં કોહેને સાબિત કર્યું હતું કે આ પૂર્વધારણા ગણશાસ્ત્રની અન્ય પૂર્વધારણાઓથી સ્વતંત્ર છે. તેને અન્ય પૂર્વધારણાઓની મદદથી સાબિત ન જ કરી શકાય અને તે ખોટી છે એમ પણ ન સાબિત કરી શકાય. જો એ પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ તો કૅન્ટરે વિકસાવેલ (કૅન્ટોરીય) ગણશાસ્ત્ર મળે. જો એથી વિરુદ્ધની પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ તો અકૅન્ટોરીય ગણશાસ્ત્ર ઊભું કરી શકાય.
અરુણ મ. વૈદ્ય