શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા (Schwarzschild radius)

શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા (Schwarzschild radius) : એવું અંતર કે જેના કરતાં ઓછા અંતરે કણો વચ્ચેના ગુરુત્વબળથી અપ્રતિવર્તી (irreversible) ગુરુત્વ નિપાતભંજન (collapse) સર્જાય. આથી શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા એ ગુરુત્વાકર્ષી (gravitational) ત્રિજ્યા છે. આ ઘટનાને વધુ દળદાર તારકોના અંતિમ ભાગ્ય તરીકે વિચારી શકાય. M દળના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષી ત્રિજ્યા (R_g) નીચેના સૂત્રથી મળે છે :

 જ્યાં G અને C અનુક્રમે ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક અને પ્રકાશનો વેગ છે.

માણસના જેટલું દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વત્રિજ્યા 10^-23 સેમી. જેટલી હોય છે, જે પારમાણ્વિક ન્યૂક્લિયસની ત્રિજ્યા કરતાં ઓછી છે. સૂર્ય જેવા (જેટલા) તારક માટે આ ત્રિજ્યા લગભગ ત્રણેક કિલોમીટર જેટલી છે.

સામાન્ય (વ્યાપક) સાપેક્ષવાદના આરંભ બાદ તુરત જ ક્ષેત્ર-સમીકરણો(field equations)નો ઉકેલ કે. શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડે 1916માં મેળવ્યો હતો. આ ઉકેલ સૂર્ય જેવા ગોલીય સમમિતિ ધરાવતા પદાર્થની ફરતે મુક્ત અવકાશમાં ક્ષેત્ર દર્શાવે છે. આ ઉકેલ સૌરમંડળના સાપેક્ષિકીય (relativistic) વર્ણનનો પાયો છે. તેના આધારે વ્યાપક (general) સાપેક્ષવાદની તમામ પ્રાયોગિક ચકાસણીઓ કરવામાં આવી છે. ગોલીય યામો (r, θ, Φ) અને સમયના યામમાં આ ઉકેલ રેખાખંડ (line element) દર્શાવે છે. આ રેખાખંડ પદાર્થની બહારની બાજુ માટે જ સાચો છે.

દળનું વિતરણ સ્થિર અથવા ત્રિજ્યાવર્તી (radial) ગતિ કરતું હોઈ શકે છે. એટલે કે ત્રિજ્યાની દિશામાં સંકોચન કે વિસ્તરણ કે કંપનગતિ કરી શકે છે. આવો રેખાખંડ (ds) નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

અહીં અંતર r ઘણું મોટું લેવામાં આવે તો ન્યૂટોનિયન સંનિકટતા (approximation) સંતોષાય છે. આ સંજોગોમાં ન્યૂટોનિયન સ્થિતિમાન (potential)   મળે છે. અહીં M સ્રોત(source)-નું દળ છે. r = 2M દળ માટે આ શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા છે. આ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની પ્રકૃતિ કેવી હોય છે તે જોવાનું રહે છે.

સમીકરણ (1) શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાની અસામાન્યતા (વિચિત્રતા – singularity) પેદા કરે છે. આ કંઈ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની અસામાન્યતા નથી. પસંદ કરેલ યામપદ્ધતિને લીધે તે પેદા થાય છે. જો એ જ રેખાખંડને જુદી યામપદ્ધતિ (u, r, θ, Φ)માં વ્યક્ત કરીએ તો

આ રેખાખંડ તેના નવા સ્વરૂપે r = 2M આગળ કોઈ અસામાન્યતા દર્શાવતો નથી. રેખાખંડનું આ સ્વરૂપ આર્થર એડિંગ્ટને આપેલું.

જોકે સંપૂર્ણ નિયમિત, ગુરુત્વક્ષેત્ર, શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા આગળ નોંધપાત્ર ગુણધર્મો પ્રગટ કરે છે. આ ગુણધર્મોનું મૂળ આ સમીકરણમાં રહેલ છે : અંતરે રહેલા સ્થિર નિરીક્ષકનો ઉચિત-સમય (proper-time) છે. ઊંડી નજરે જોતાં લાગે છે કે જેમ rનું મૂલ્ય અનંત તરફ થવા જાય (r → ∞ ) તેમ dt → dΓ થાય છે. અન્યથા, શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ સમય t એ દળ Mથી અતિ દૂર રહેલા નિરીક્ષકનો ઉચિત-સમય બને છે.

ઉપરના સમીકરણને આધારે થાય છે. જ્યાં dΓ₁ અને dΓ₂ ઉચિત-સમય અંતરાલ (intervals) છે. જેમ જેમ શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા r₁ → 2M (અશૂન્ય) થાય છે. ઉચિત-સમય અંતરાલ dΓ, આ ત્રિજ્યાની બહારના બધા નિરીક્ષકોના અમર્યાદિત (infinite) ઉચિત-સમય અંતરાલને અનુરૂપ બને છે. આથી પરીક્ષણ કણ (test particle) જેમ જેમ શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાની નજીક જાય છે તેમ તેમ બધા આવા કણોનો વેગ બહારના સ્થિર નિરીક્ષકોને શૂન્યવત્ લાગે છે.

અવકાશીય (spatial) રેખાખંડના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ સમીકરણ મળે છે :

જ્યાં અનુક્રમે ગતિનો અચળાંક અને પરીક્ષણ-કણનું દળ છે.

ઉપરના અને સમીકરણ (2)ના આધારે

ઉચિત-વેગ મળે છે.

આ સમીકરણ r અંતરે ઉચિત-વેગ આપે છે. એટલે કે તે જ અંતરે સ્થિર નિરીક્ષકે માપેલ કણનો વેગ છે. તે જ રીતે r¹ અંતરે ઉચિત-સમય, અંતરાલ dGના સંદર્ભમાં નીચે પ્રમાણે મળે છે :

જો થાય તો  દૂરના નિરીક્ષક વડે દેખાતો વેગ બને છે.

હવે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાએ પરીક્ષણ-કણની વર્તણૂક સમજી શકાય તેમ છે. સમીકરણ (4) ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા નજીક રહેલા સ્થિર નિરીક્ષકને આ ત્રિજ્યાની નજીક પહોંચતો પરીક્ષણ-કણ પ્રકાશની ઝડપે ગતિ કરતો દેખાય છે. જ્યારે આ ત્રિજ્યાથી દૂર ઉભેલા સ્થિર નિરીક્ષકને પરિદૃશ્ય કંઈક જુદું જ લાગશે.

દૂરના નિરીક્ષકને પરીક્ષણ-કણનો વેગ સમીકરણ (5) મુજબ જોવા મળે છે. આથી બહારના સ્થિર નિરીક્ષક મુજબ પરીક્ષણ-કણ જેમ જેમ શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાની નજીક જાય છે તેમ તેમ તેનો વેગ શૂન્યવત્ લાગે છે.

આ બાબત પ્રકાશ માટે પણ સાચી છે એટલે કે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાએ પ્રકાશ પણ સ્થગિત થાય છે. પરિણામે ફોટૉન સહિત કોઈ પણ કણ શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યામાંથી છટકી શકે નહિ.

બીજી રીતે પણ આ નિષ્કર્ષ ઉપર આવી શકાય છે : સ્થાનિક (local) પરીક્ષણ-કણની ઊર્જા  વિચારતાં સમીકરણ (4)ને આધારે નીચે પ્રમાણે મળે છે :

મતલબ કે કણને છટકવા માટે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાથી અનંત ઊર્જા સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવો પડે, જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. આ બાબત પ્રકાશને લાગુ પાડવામાં આવે તો સમીકરણ (6) આવૃત્તિ-વિસ્થાપન (frequency shift) સૂત્ર

આ ઉપરથી દેખાય છે કે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા પાસે યદૃચ્છયા (arbitrarily) રાખેલ સ્થિર ઉદ્ગમમાંથી નીકળતો પ્રકાશ બહારના નિરીક્ષકને તે રીતે વધુ અભિરક્ત (red) વિસ્થાપન દેખાય છે. અર્થાત્ પૃષ્ઠ r = 2M એ અનંત અભિરક્ત વિસ્થાપન પૃષ્ઠ બને છે.

શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાનો નિહિતાર્થ શું છે ? સામાન્ય તારાકીય (stellar) પદાર્થની ત્રિજ્યા સામાન્ય રીતે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા કરતાં અનેક ગણી વધારે હોય છે.

આ સાથે વ્યાપક સાપેક્ષવાદ સૂચિત કરે છે કે દ્રવસ્થિત (hydrostatic) સમતોલનમાં હોય તેવા તારકની ત્રિજ્યા સદર તારકની શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા કરતાં કદાપિ થી ઓછી હોઈ શકે નહિ. આથી તારક માટે શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યાનો અર્થ રહેતો નથી.

તે છતાં જો કોઈ એવો પદાર્થ રચાય, જેની ત્રિજ્યા શ્વાર્ઝસ્ચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા જેટલી હોય તો જ ઉપરના નિષ્કર્ષો તેને લાગુ પડે એટલે કે આવા પદાર્થની સપાટી ઉપરથી કશું જ છટકી શકે નહિ. અલબત્ત પદાર્થો (કણો) ગુરુત્વબળને લીધે તેના ઉપર પડી શકે ત્યારે આવો પદાર્થ અવકાશમાં શ્યામગર્ત (black hole) બને છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ