વિકલ સમીકરણો

વિકલ સમીકરણો : x, y અને y ના x વિશેના વિકલન ફળોને સમાવતું કોઈ પણ સમીકરણ. દા.ત., વગેરે વિકલ સમીકરણો છે. વિકલ સમીકરણોનું જ્ઞાન ગણિત સિવાયની વિજ્ઞાનની અન્ય શાખાઓ તથા સમાજવિદ્યાની શાખાઓના અભ્યાસમાં પણ ઘણું ઉપયોગી છે. વિકલ સમીકરણમાં આવતા મહત્તમ કક્ષાના વિકલનફળની કક્ષાને વિકલ સમીકરણની કક્ષા (order) કહેવાય છે. વિકલ સમીકરણને અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંકમાંથી મુક્ત કર્યા બાદ તે સમીકરણમાં રહેલા મહત્તમ કક્ષાના વિકલનફળના પરિમાણને વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. y અને x વચ્ચેનો જે સંબંધ આપેલા વિકલ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેને તે વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ (solution) કહેવાય છે. N-કક્ષાના વિકલ સમીકરણના સામાન્ય (general) ઉકેલમાં n સ્વૈર અચલો હોય છે. આ સ્વૈર અચલોને વિશિષ્ટ કિંમતો આપવાથી મળતા ઉકેલને વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ (particular) ઉકેલ કહેવાય છે. પ્રથમ કક્ષા અને એક પરિમાણવાળા વિકલ સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલ મેળવવાની કેટલીક રીતો અહીં આપી છે.

(1) વિયોજનીય (separable) ચલની રીત : જો આપેલ વિકલ સમીકરણને f₁ (x) dx + f₂ (y) dy = 0 સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્ત કરી શકાય તો તેનો સામાન્ય ઉકેલ ∫f₁(x)dx + ∫f₂(y)dy = c છે અને C સ્વૈર (arbitrary) અચલ છે. f₁ એ ફક્ત xનું અને f₂ એ ફક્ત yનું વિધેય છે. સ્પષ્ટ છે કે અહીં ચલ રાશિ x અને y વિયોજનીય છે. વધુમાં  સ્વરૂપના સમીકરણને આદેશ (substitution) υ = ax + by + c દ્વારા ઉપર્યુક્ત સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરી શકાય છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે. a, b અને c અચલો છે.

(2) સમપરિમાણ (homogeneous) સમીકરણ માટેની રીત : જો f₁ (x, y) અને f₂ (x, y) સમાન પરિમાણવાળાં x અને yનાં વિધેયો હોય, તો સમીકરણ ને સમપરિમાણ સમીકરણ કહેવાય છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે આદેશ y = υx અર્થાત્ લેવામાં આવે છે. આથી પરિવર્તિત સમીકરણ સ્વરૂપમાં મળે છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ વિયોજનીય ચલની રીતે મેળવી શકાય છે.

(3) x અને yમાં એક-પરિમાણી સમીકરણની રીત : આપેલ વિકલ સમીકરણ સ્વરૂપનું છે. અહીં a, b, c, a¹, b¹ અને c1 વાસ્તવિક અચળો છે. જો હોય, તો x = x¹ + h, y = y¹ + k લઈને ઉપર્યુક્ત સમીકરણને સમપરિમાણ સમીકરણમાં પરિવર્તિત કરી શકાય છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે. જો હોય, તો આદેશ ax + by = υ લેવાથી ઉપર્યુક્ત સમીકરણને વિયોજનીય ચલ (variable) સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરીને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

(4) સુરેખ (linear) વિકલ સમીકરણ માટેની રીત : વિકલ સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ કહેવાય છે. અહીં P અને Q એ ફક્ત xનાં વિધેયો છે. સુરેખ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ  છે જ્યાં c સ્વૈર અચલ છે. કેટલાંક પ્રથમ કક્ષાનાં વિકલ સમીકરણોને સુરેખ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરી શકાય છે. આમાં બર્નુલીનું સમીકરણ મુખ્ય છે. વિકલ સમીકરણ  ને બર્નુલીનું સમીકરણ કહેવાય છે; જ્યાં p અને Q ફક્ત xનાં વિધેયો છે; n કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. જો x = 0 અથવા n = 1 હોય, તો આ સમીકરણ સ્પષ્ટ રીતે જ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. જો આમ ન હોય, તો y^1-x = υ આદેશ દ્વારા બર્નુલી સમીકરણને સુરેખ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

યથાર્થ (exact) સમીકરણ : જે વિકલ સમીકરણ પોતાના ઉકેલનું સીધું જ વિકલન કરવાથી (અને બીજો કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) મળ્યું હોય તેને યથાર્થ વિકલ સમીકરણ કહેવાય છે; દા.ત., એ યથાર્થ છે, કારણ કે તે x²y + x³ = cનું સીધું વિકલન કરવાથી મળે છે. વિકલ સમીકરણ M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 યથાર્થ હોવા માટેની આવદૃશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે જો આપેલ વિકલ સમીકરણ ઉપરની શરતનું પાલન કરે તો તેનો સામાન્ય ઉકેલ f (x, y) = c છે; જ્યાં c સ્વૈર અચલ છે અને f = υ + h (y) છે અહીં υ = ∫Mdx, h (y) = ∫g(y) dy,   છે. કેટલાંક પ્રથમ કક્ષાના એક-પરિમાણી વિકલ સમીકરણો એવાં હોય છે કે તેમને અમુક અવયવ વડે ગુણવાથી તે યથાર્થ બને છે આ પરિસ્થિતિમાં આ અવયવને સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) કહેવાય છે. આપેલા વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ શોધવાનું કાર્ય હંમેશાં સરળ હોતું નથી. સંકલ્યકારક અવયવ મેળવવા માટેના કેટલાક નિયમો અહીં આપેલ છે :

નિયમ 1 : જો Mx + Ny ≠ 0 અને વિકલ સમીકરણ Mdx + Ndy = 0 સમપરિમાણ હોય, તો એ તેનો સંકલ્યકારક અવયવ છે.

નિયમ 2 : જો Mx  Ny ≠ 0 અને વિકલ સમીકરણને f₁ (xy) y dx + f₂ (xy) xdy = 0 સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્ત કરી શકાતું હોય, તો એ તેનો સંકલ્યકારક અવયવ છે.

નિયમ 3 : વિકલ સમીકરણ Mdx + Ndy = 0 માટે જો એ ફક્ત xનું વિધેય f(x) હોય, તો આ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ ef(x)dx છે.

નિયમ 4 : વિકલ સમીકરણ Mdx + Ndy = 0 માટેનો એ ફક્ત yનું વિધેય g(y) હોય, તો આ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ eg(y)dy છે.

પ્રથમ કક્ષા અને ઉચ્ચતર પરિમાણીય વિકલ સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલ વિશે ચર્ચા કરતી વખતે માટે સંકેત pનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પ્રથમ કક્ષા અને n પરિમાણવાળા વિકલ સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ p^x + f₁p^x-1 + f₂p^x-2 + … + f_n = 0……… (1) છે; જ્યાં f_i (i = 1, 2, …, n) એ x અને yનાં વિધેયો છે. જો સમીકરણ (1) ને (p-g₁) (p-g₂) … (p-g_n) = 0 સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્ત કરી શકાતું હોય, તો pg_i = 0, i = 1, 2, …, n જેવાં n એક-પરિમાણી સમીકરણો મળે છે. આ દરેક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ સમીકરણ (1)નો પણ સામાન્ય ઉકેલ છે. અહીં g1, g2, …, gn એ x અને yનાં વિધેયો છે.

x કે y માટે ઉકેલનીય (solvable) સમીકરણ : જો આપેલ વિકલ સમીકરણ y માટે ઉકેલનીય હોય, તો તે y = f(x, p) સ્વરૂપનું છે. x વિશે વિકલન કરો. આમ કરવાથી x અને pમાં પ્રથમ કક્ષા અને પ્રથમ પરિમાણવાળું વિકલ સમીકરણ મળશે. આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ અને મૂળ સમીકરણમાંથી pનો લોપ કરવાથી આપેલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મળશે.

જો આપેલ વિકલ સમીકરણ yને બદલે x માટે ઉકેલનીય હોય, એટલે કે તે x = h (y, p) સ્વરૂપનું હોય, તો y વિશે વિકલન કરતાં y અને pમાં પ્રથમ કક્ષા અને પ્રથમ પરિમાણવાળું વિકલ સમીકરણ મળશે. આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ અને મૂળ સમીકરણમાંથી pનો લોપ કરવાથી આપેલ વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મળશે.

ક્લેરોટનું સમીકરણ : y અને x માટે ઉકેલનીય સમીકરણોના એક વિશિષ્ટ પ્રકારને તેના શોધક ક્લેરોટના નામ ઉપરથી ક્લેરોટનું સમીકરણ કહેવાય છે. તેનું વ્યાપક સ્વરૂપ y = px + f (p) છે, f એ ફક્ત pનું વિધેય છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y = (x + f(c) છે, c સ્વૈર અચલ છે. ક્લેરોટના સમીકરણનું એક વધુ વ્યાપક સ્વરૂપ તેના શોધક લાગ્રાંજના નામ ઉપરથી લાગ્રાંજના સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે. આ સમીકરણ y = x f (p) + g (p) છે. આ સમીકરણ y માટે ઉકેલનીય હોવાથી તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

સુરેખ વિકલ સમીકરણો : n કક્ષાના સુરેખ વિકલ સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ  છે. p₁, p₂, … p_n અને X xનાં વિધેયો છે. આ સમીકરણમાં X = 0 મૂકવાથી મળતા સમીકરણને સમીકરણ(2)નું સંબંધિત સમીકરણ કહેવાય છે. આ સંબંધિત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને સમીકરણ (2)નો પૂરક (complementary) સંકલ કહેવાય છે. સમીકરણ(2)ના અચલો વગરના વિશિષ્ટ ઉકેલને સમીકરણ(2)નો વિશિષ્ટ સંકલ (particular integral) કહેવાય છે. આમ, સમીકરણ(2)નો સામાન્ય ઉકેલ તેના પૂરક સંકલ અને વિશિષ્ટ સંકલના સરવાળાથી મળે છે. વિકલની ક્રિયા માટે સંકેત D વપરાય છે. આમ એ x પ્રત્યેના સંકલનની ક્રિયા માટે વપરાય છે. સમીકરણ(2)ને f(D)y = X સ્વરૂપમાં પણ લખી શકાય છે. જ્યાં f(D) = Dⁿ + p₁D^n-1 + … + p_n છે. સમીકરણ (2)માં p₁, p₂,…, p_n અચલ છે. અને સમીકરણ(2)ને અચલ સહગુણકોવાળું સુરેખ વિકલ સમીકરણ કહેવાય છે. હવે પછી p₁, p₂, …, p_n અચલ છે એમ માનીશું. આવા અચલ સહગુણકોવાળા સુરેખ સમીકરણના પૂરક સંકલ અને વિશિષ્ટ સંકલ મેળવવાની રીતો, ટૂંકમાં, આ મુજબ છે. સમીકરણ f (D) = 0 ને n ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ m₁, m₂, …, m_x છે. આ વિકલ્પમાં આપેલ વિકલ સમીકરણનો પૂરક સંકલ y = c₁e^m1^x + c₂e^m2^x + … + c_ne^mn^x છે. જ્યાં c₁, c₂, …, c_n સ્વૈર અચલો છે. સમીકરણ f (D) = 0 નાં તમામ બીજ ભિન્ન ન પણ હોય. ધારો કે m એ f (D) = 0નું આવૃત વાસ્તવિક બીજ (એટલે કે r વખત આવતું બીજ) છે. આ વિકલ્પમાં આ બીજને અનુરૂપ પૂરક સંકલનો ભાગ e^mx (c₁ + c₂x + … + c_rx^r-1) છે જ્યાં c₁, c₂, …, c_r સ્વૈર અચલો છે. સમીકરણ f (D) = 0નાં બીજ સંકર પણ હોઈ શકે. જો α + iβ એ f (D) = 0નું સંકર બીજ હોય, તો α − iβ પણ f (D) = 0 નું બીજ છે. આ સંજોગોમાં f (D) y = X સમીકરણના પૂરક સંકલનો આ બે સંકર બીજને અનુરૂપ ભાગ e^ax (c₁cosbx + c₂sinbx) છે જ્યાં c₁ અને c₂ સ્વૈર અચલો છે. જો α + iβ એ સમીકરણ f (D) = 0 નું આવૃત્ત સંકર બીજ (r વખતે આવતું સંકર બીજ) હોય, તો α − iβ પણ f (D) = 0નું r વખત આવતું આવૃત્ત સંકર બીજ છે. આ આવૃત્ત સંકર બીજોને અનુરૂપ f (D) y = Xના પૂરક સંકલનો ભાગ e^ax [(c₁ + c₂x + ………… + c_rx^r-1) cos βx + (b₁ + b² x + … + b_rx^r-1) sinβx] છે જ્યાં c₁, c₂, …, c_r, b₁, b₂, …, b_r સ્વૈર અચલો છે. જો f(D)y =X હોય, તો થાય. એ સમીકરણ f(D) y = Xનો વિશિષ્ટ સંકલ છે. આપેલ વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ સંકલ મેળવવામાં ઉપયોગી થાય તેવાં કેટલાંક સૂત્રો અહીં આપેલાં છે;

 ને સમપરિમાણીય સુરેખ વિકલ સમીકરણ કહેવાય છે. અહીં A₁, A₂, …, A_x અચલો છે, n પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને X એ xનું વિધેય છે. આવાં સમીકરણોને x = e^t આદેશની મદદથી અચલ સહગુણકોવાળા સુરેખ વિકલ સમીકરણમાં પરિવર્તિત કરી શકાય છે અને તેથી તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે. સમીકરણ ને તેના શોધકના નામ ઉપરથી લેજાન્દ્રેનું સમીકરણ કહેવાય છે. અહીં a, b, p1, p2, …, pn અચલો છે અને X એ xનું વિધેય છે. આદેશ δ = an + b નો ઉપયોગ કરવાથી આ સમીકરણને સમપરિમાણીય સુરેખ વિકલ સમીકરણમાં પરિવર્તિત કરી શકાય છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

દ્વિતીય કક્ષાનાં સુરેખ વિકલ સમીકરણો : દ્વિતીય કક્ષાના સુરેખ વિકલ સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે જ્યાં P, Q અને X એ xનાં વિધેયો છે. આવા પ્રકારનાં વિકલ સમીકરણોનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે કોઈ સામાન્ય પદ્ધતિ ઉપલબ્ધ નથી. પરંતુ અલગ અલગ પ્રકારનાં વિકલ સમીકરણો માટે વિશિષ્ટ રીતો આપી શકાય છે. આવી બધી રીતોની વિગતપૂર્ણ ચર્ચા અહીં શક્ય નથી. અહીં આવી બે રીતો પૂરતી ચર્ચા મર્યાદિત કરી છે.

(1) પ્રથમ વિકલનફળનો લોપ (સાપેક્ષ ચલ y માટેના આદેશ દ્વારા) : સમીકરણ આદેશ લેવાથી તે સમીકરણ માં પરિવર્તિત થાય છે, જ્યાં  છે. આ નવું સમીકરણ ઉકેલનીય નીવડી શકે. વિશેષ કરીને જો Q1 અચલ હોય અથવા હોય ત્યારે.

(2) પ્રથમ વિકલનફળનો લોપ (નિરપેક્ષ ચલ x માટેના આદેશ દ્વારા)

સમીકરણ માં આદેશનો ઉપયોગ કરવાથી તે સમીકરણ

માં પરિવર્તિત થાય છે. કેટલાક વિકલ્પોમાં ઉપર્યુક્ત વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

પ્રાચલના ચલનની રીત : આ રીત ગણિતજ્ઞ લાગ્રાંજે સૌપ્રથમ આપેલી. સરળતા ખાતર આ રીતની ચર્ચા દ્વિતીય કક્ષાના સુરેખ વિકલ સમીકરણ પૂરતી મર્યાદિત રાખીશું. વિકલ સમીકરણ લો જ્યાં P, Q અને X એ xનાં વિધેયો છે. પ્રાચલના ચલનની રીતે આ વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ   છે જ્યાં y₁ અને y₂ એ  બે ઉકેલો છે અને છે.

ઘણી વખત આપેલ સુરેખ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ પ્રાથમિક વિધેયોના સ્વરૂપમાં મેળવવાનું શક્ય હોતું નથી. લેજાન્દ્રેનું સમીકરણ, બેસલનું સમીકરણ, હરમાઇટનું સમીકરણ વગેરે આનાં ઉદાહરણો છે. આવાં સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે ઘાતશ્રેઢીની રીતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આવાં સમીકરણોનો સામાન્ય ઉકેલ અભિસારી શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં મેળવી શકાય છે.

લીલાભાઈ ખે. પટેલ