યામો (co-ordinates)

યામો (co-ordinates) : સંદર્ભરેખાઓ કે સંદર્ભ-બિંદુઓ સાપેક્ષે અવકાશમાં આવેલાં બિંદુઓનું સ્થાન નક્કી કરતી પદ્ધતિ તે યામપદ્ધતિ અને નિર્દેશન-માળખા(frame of reference)થી બિંદુનું સ્થાન – અંતર દ્વારા કે અંતર અને ખૂણા દ્વારા દર્શાવતો સંખ્યાગણ તે યામ.

સરળ ભૂમિતિની રીતોનો બીજગણિત સાથે વિનિયોગ કરવાથી બિંદુને બૈજિક અભિવ્યક્તિ આપી શકાય છે; દા.ત., X-Y સમતલમાંના દરેક બિંદુને ક્રમયુક્ત સંખ્યાયુગ્મ (x, y) સાથે સાંકળી દર્શાવવામાં આવે છે. સત્તરમી સદીમાં રેને દ’ કાર્તે કાર્તેઝીય યામપદ્ધતિનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો; જેમાં પરસ્પરને લંબરૂપે છેદતા અક્ષોને X-અક્ષ અને Y-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ Pને સંખ્યાયુગ્મ(x, y)થી દર્શાવ્યું છે (જુઓ આકૃતિ 1).

xને ભુજ (abscissa) કહેવામાં આવે છે, જે બિંદુ Pનું Y-અક્ષથી લંબઅંતર છે. yને કોટિ (ordinate) કહેવામાં આવે છે, જે બિંદુ Pનું X-અક્ષથી લંબઅંતર છે :

ત્રિ-પરિમાણી અવકાશમાં આવેલા બિંદુનું સ્થાન નક્કી કરવા પરસ્પરને લંબરૂપે હોય એવી ત્રણ અક્ષો OX, OY, OZ તેમજ યામો(x, y, z)ની જરૂર પડે છે. X-Y સમતલ પરના વક્રોને y = f(x) સમીકરણથી અને અવકાશમાંનાં પૃષ્ઠો(surfaces)ને z = f (x, y) સમીકરણથી વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ત્રિ-પરિમાણી કાર્તેઝીય યામપદ્ધતિમાં બિંદુ Pમાંથી Z-અક્ષને સમાંતર અને X-Y સમતલને લંબરૂપે PM રેખા, Mમાંથી Y-અક્ષને સમાંતર X-Y સમતલ પર

અને Z-X સમતલને લંબરૂપે MN રેખા તેમજ Nમાંથી X-અક્ષ ઉપર Z-Y સમતલને લંબરૂપે OM છે (જુઓ આકૃતિ 2). યામાક્ષો OX, OY, OZ પરસ્પરને લંબરૂપે છે અને O બિંદુ આગળ સંગામી (con-current) છે. આકૃતિમાં ON = x, MN = y અને PM = z છે. બિંદુ pને(x, y, z)થી દર્શાવવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને કાર્તેઝીય લંબકોણીય પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ધ્રુવીય યામો : સમતલમાં O બિંદુને ધ્રુવ (pole) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેમાંથી પસાર થતી ક્ષૈતિજ રેખા OXને મૂળરેખા કે સંદર્ભરેખા (line of reference) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (જુઓ આકૃતિ 3). મૂળરેખા OX સાથે વિષમ-ઘડી (anti-clockwise) દિશામાં θ ખૂણો નિર્દિષ્ટ રેખા (directed line) લઈ તેના પર અંતર OP = r લેવાથી P બિંદુ મળે છે. ધ્રુવ Oથી નિર્દિષ્ટ રેખા પરના P બિંદુ સુધીના અંતરને OP = rથી દર્શાવવામાં આવે છે. નિર્દિષ્ટ રેખા OPને સદિશ ત્રિજ્યા અને મૂળ રેખાના નિર્દિષ્ટ રેખા સાથેના ખૂણા θને સદિશ ખૂણો (vectorial angle) કહેવામાં આવે છે. (r, θ) યુગ્મ સમતલ પરનું નિશ્ચિત બિંદુ P દર્શાવે છે. Pના ધ્રુવીય યામ (r, θ) છે તેમ કહેવાય. (આ પદ્ધતિમાં ધ્રુવ Oને યામ નથી) આ પદ્ધતિ ધ્રુવીય યામપદ્ધતિ છે. સર્પિલ વક્ર (spiral) અને પરિભ્રમણના અભ્યાસમાં તેમજ કેન્દ્રીય બળોની અસર નીચે ઘૂમતા ગ્રહોની ગતિ અને ધૂમકેતુઓની ગતિનું પરિશીલન કરવામાં ધ્રુવીય યામપદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ગોલીય ધ્રુવી નિર્દેશાંક પ્રણાલી (spherical polar co-ordinate system) : ત્રિ-પરિમાણી યુક્લિડીય અવકાશમાં આકૃતિ 4માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, સમતલ પર O બિંદુ (ધ્રુવ) છે. O બિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલ XOYને લંબરૂપે ધ્રુવીય અક્ષ OZ છે. OZ ઉપર આવેલું ન હોય તેવું બિંદુ P છે. OP રેખા OZ સાથે સમતલ ZOP રચે છે. ગોલીય ધ્રુવી યામપદ્ધતિમાં P બિંદુનું નિર્દિષ્ટ અંતર OP = P છે, મૂળરેખા OXને ZOP સમતલ સાથે સંપાતી થવા માટે જેવડા ખૂણાથી ફેરવવી પડે તે ખૂણો θ છે. વળી ∠ ZOP = Φ છે. આમ બિંદુ Pને ρ, θ, Φ ત્રિક (triplet) તરીકે (ρ, θ, Φ)થી દર્શાવવામાં આવે છે. O બિંદુમાંથી અરીય રેખાઓ (radial lines) (θ, Φ અચળ છે), યામોત્તરવૃત્તો (meridian circles) (ρ, Φ અચળ છે) અને અક્ષાંશવૃત્તો (circle of lattitude) (ρ, θ અચળ છે), એ યામ-રેખાઓ છે; જે વક્રીય લંબનિર્દેશાંકો (curvilinear rectangular co-ordinates) દર્શાવે છે. તારાઓનાં સ્થાન નિશ્ચિત કરવામાં, ગોલીય તરંગોનો અને ગોલીય સમમિતિની સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવામાં વક્રીય લંબનિર્દેશાંકોનો ઉપયોગ થાય છે (આકૃતિ 4).

નળાકારીય–નિર્દેશાંકો (cylindrical co-ordinates) : એક સમતલમાં એક મૂળરેખા છે તેના પર ધ્રુવ O છે. O બિંદુમાંથી સમતલને લંબરૂપે ધ્રુવીય અક્ષ OZ છે. ત્રિ-પરિણામી અવકાશની ધ્રુવીય-નિર્દેશાંક પ્રણાલીની જેમ નળાકારીય નિર્દેશાંક-પ્રણાલીમાં બે નિર્દેશાંકો (r, θ) એક સમતલમાં આવેલા હોય છે તેમજ ધ્રુવ Oમાંથી પસાર થતો ધ્રુવીય અક્ષ OZ, સમતલને લંબરૂપે હોય છે. જો r અચળ હોય તેમજ Z અને θ વિચરિત થઈ ઘણાં મૂલ્યો ધારણ કરતાં હોય તો નળાકારીય પૃષ્ઠનું નિર્માણ થાય છે (જુઓ આકૃતિ 5). નળાકારીય યામો અને કાર્તેઝીય લંબાક્ષ યામોનું પરસ્પરમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે. જો નળાકારીય યામ-પ્રણાલીનો ધ્રુવ કાર્તેઝીય યામ-પ્રણાલીના ઊગમબિંદુ સાથે અને ધ્રુવરેખા X-અક્ષ સાથે સંપાતી થાય તેમજ બંનેની Z-અક્ષ પણ સંપાતી થાય તો નળાકારીય યામ-પદ્ધતિમાં દર્શાવેલા બિંદુ P(r, θ, z)ને કાર્તેઝીય સ્વરૂપમાં x = r cos θ, y = r sin θ, z = zથી દર્શાવી શકાય છે. આવી જ રીતે કાર્તેઝીય સ્વરૂપમાં દર્શાવેલા P(x, y, z)ને નળાકારીય સ્વરૂપમાં અને z = zથી દર્શાવી શકાય છે.

સમઘાત યામો (homogeneous co-ordinates) : વૈશ્લેષિક ભૂમિતિમાં સમતલ પરના બિંદુના કાર્તેઝીય યામ, યામાક્ષોથી તે બિંદુનાં લંબઅંતરો છે. આ રીતે યામોની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે તો સમતલ પરનાં અનંત આગળનાં બિંદુના યામ મળતા નથી, તેથી આ યામપદ્ધતિ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિને વૈશ્લેષિક સ્વરૂપ આપવામાં નાકામિયાબ થાય છે. આ કારણે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં એક જુદી યામપદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને સમઘાત યામપદ્ધતિ કહે છે.

આપણે જે સમતલમાં સમઘાત યામપદ્ધતિ દાખલ કરવી હોય (અહીં π સમતલ) તે ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં xy-સમતલથી એકમ અંતરે અને તેને સમાંતર આવેલું છે તેમ ધારી લઈએ (જુઓ આકૃતિ 6), તો π સમતલ પરના કોઈ પણ બિંદુ Pના (ત્રિપરિમાણીય કાર્તેઝીય) યામો (x, y, 1) થશે. ઊગમ બિંદુ O (0, 0, 0) છે. ત્રિપરિમાણીય અવકાશમાં રેખા OP પરના O સિવાયના કોઈ પણ બિંદુના ત્રિપરિમાણીય કાર્તેઝીય યામોને Pના સમઘાત યામો કહેવાય.

ત્રિપરિમાણી વૈશ્લેષિક ભૂમિતિમાં જાણીતું છે કે જો O (0, 0, 0) અને P (x, y, 1) તો OP = {(tx, ty, t) |t ∈ IR } છે.

આમ પ્રત્યેક t ∈ IR, t ≠ 0 માટે Pના સમઘાત યામો (tx, ty, t) છે. આપેલ બિંદુ માટે સમઘાત યામ અનન્ય નથી; દા.ત., સમઘાત યામો (x, y, 1), (zx, zy, z),  – એ બધા એક જ બિંદુના સમઘાત યામો છે. પ્રત્યેક t  0 માટે (x, y, z) અને (tx, ty, tz) સમઘાત યામો તરીકે એક જ બિંદુના યામ છે. બીજી રીતે કહીએ તો જો  તો સમઘાત યામો (x₁, y₁, z₁) અને (x₂, y₂, z₂) એક જ બિંદુનું નિરૂપણ કરે છે.

જો બિંદુ P, π સમતલ પરનું અનંત આગળનું બિંદુ હોય તો સ્પષ્ટ છે કે OP રેખા π સમતલને સમાંતર રેખા બનશે. એ રેખા Oમાંથી પસાર થતી હોવાથી ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં તે XY-સમતલમાંની જ રેખા હશે. આથી તે રેખા પરના કોઈ પણ બિંદુના કાર્તેઝીય યામ (x, y, 0)  થશે. આમ અનંત આગળના બિંદુના સમઘાત યામો (x, y, 0) હોવાના. અલબત્ત, દરેક t ≠ 0 માટે (tx, ty, 0) પણ અનંત આગળના બિંદુના સમઘાત યામ છે.

સમઘાત યામોમાં રેખાનું સમીકરણ  px + qy + rz = 0 થશે. આ સમીકરણ સમઘાત છે. અનંત આગળનાં તમામ બિંદુઓ સમરેખ છે અને તેમને જોડતી રેખાનું (સમઘાત) સમીકરણ Z = 0 છે (જે અનંત આગળની રેખા છે).

અરુણ વૈદ્ય

શિવપ્રસાદ મ. જાની