મૅક્સવેલ વિતરણ

મૅક્સવેલ વિતરણ : બાહ્ય બળક્ષેત્રની ગેરહાજરી અને ઉષ્મા-યાંત્રિકીય સંતુલનસ્થિતિ(thermodynamic equilibrium)માં એકપારમાણ્વિક (monoatomic) સમરૂપ (homogeneous) આદર્શ વાયુના અણુઓનું સ્થાયી સ્થિતિવેગવિતરણ. મૅક્સવેલિયન વિતરણ એ અસ્તવ્યસ્ત ઉષ્મીય ગતિમાં અણુઓની અન્યોન્ય અથડામણોનું પરિણામ છે. અણુના વેગવિતરણનું સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

જ્યાં dn_u એ અણુઓની કુલ સંખ્યા n હોય ત્યારે u અને u+du વચ્ચેની ઝડપ ધરાવતા અણુઓની સખ્યા છે. જ્યાં

 અણુની ઝડપ; m = અણુનું દળ, k = બોલ્ટ્ઝમાન અચળાંક, અને T = નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

મૅક્સવેલિયન વેગવિતરણને નીચે મુજબ પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે :

જ્યાં u_x, u_y અને u_z એ અનુક્રમે x, y અને z અક્ષ ઉપર અણુનો વેગ છે.

આ સૂત્રને બીજી રીતે નીચે પ્રમાણે પણ અપાય છે :

(i = x, y, z) એ વેગના પ્રક્ષેપોના વિતરણનું વિધેય છે.

અહીં એક ખાસ નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે અવકાશમાં અણુઓની ગતિ માટે બધી જ દિશાઓ એકસરખી સંભવિત છે. આથી આણ્વિક વેગ વિતરણ સમદૈશિક (isotropic) છે અને  એક જ સ્વરૂપ ધરાવે છે. બીજી રીતે મૅક્સવેલિયન વેગવિતરણ નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે :

જ્યાં u_mp મહત્તમ સંભવિત વેગ છે.

આકૃતિ (1) આણ્વિક વેગ-વિતરણના નિયમનો વક્ર દર્શાવે છે. u અને u + du વચ્ચે વેગ ધરાવતા વાયુના અણુઓનો અંશ dn/n આકૃતિ 1ના વક્ર હેઠળ રેખા-આચ્છાદિત ક્ષેત્રફળ ds જેટલો થાય છે. તે રીતે

એ આણ્વિક વેગ-વિતરણનો અંશ છે, જે u વેગના મૂલ્ય સમીપ એકમ અંતરાલ duમાં અણુઓનો ^dn⁄_n અંશ સૂચવે છે; પણ વિતરણ-વિધેયના પ્રસામાન્યીકરણની શરત

 છે;

કારણ કે અણુઓના વેગનું મૂલ્ય 0(શૂન્ય)થી ∞ (અનંત) વચ્ચે હોય છે. વેગ-વિતરણવક્ર વાયુના તાપમાન ઉપર નિર્ભર છે. જેમ વાયુનું તાપમાન વધે છે તેમ વિતરણવક્રનું અધિકતમ સ્થાન ઉચ્ચતર વેગ તરફ ખસે છે. સાથે સાથે તાપમાન વધતાં આવા  અધિકતમનું મૂલ્ય ઘટે છે.

જુદા જુદા તાપમાન T₁ < T₂ < T₃ માટે આણ્વિક વેગ વિતરણ વક્ર આકૃતિ(2)માં દર્શાવ્યા છે.

અહીં શૂન્ય વેગ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા શૂન્ય હોય છે, પણ અનંત વેગ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા શૂન્ય નહિ, પણ ઘણી ઓછી હોય છે.

આપેલ તાપમાને વાયુની લાક્ષણિકતા દર્શાવતા જુદા જુદા વેગનો તફાવત નીચેનાં પરથી સ્પષ્ટ થાય છે :

વિધેય f(u)ના મહત્તમને અનુરૂપ વેગ મહત્તમ સંભવિત વેગ u_mp કહેવાય છે :

જ્યાં R = વૈશ્વિક વાયુ-અચળાંક; μ = વાયુનો અણુભારાંક;

k = બોલ્ટ્ઝમૅનનો અચળાંક; m = વાયુના અણુનું દળ અને

T = નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

C_uy આણ્વિક ગતિનો ગાણિતિક સરેરાશ વેગ  નીચે પ્રમાણે મળે છે :

=   જ્યાં n વાયુના અણુઓની કુલ સંખ્યા છે. તે રીતે

અહીં આણ્વિક ગતિના સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ નીચે પ્રમાણે અપાય છે :

આ રીતે C = , જ્યાં B એ વિશિષ્ટ વાયુ અચળાંક છે.

એથી  મળે છે.

આનંદ પ્ર. પટેલ