મુક્તતાની માત્રા

મુક્તતાની માત્રા (degree of freedom) : યાંત્રિક પ્રણાલીના અવકાશી અવસ્થા(configuration)ના નિરૂપણ માટે આવશ્યક સ્વતંત્ર માર્ગ(રીત)ની સંખ્યા. બીજી રીતે, યાંત્રિક પ્રણાલીની મુક્તતાની માત્રાની સંખ્યા એટલે પ્રણાલીની શક્ય એવી સ્વતંત્ર ગતિઓની સંખ્યા (s). પૂર્ણ સંકેતિત (holonomic) પ્રણાલી માટે મુક્તતાની માત્રાની સંખ્યા પ્રણાલીના વ્યાપ્તીકૃત યામો(generalised co-ordinates)ની સંખ્યા(l) બરાબર થાય છે. એટલે કે s = l થાય છે. જો પ્રણાલી અપૂર્ણ સંકેતિત (non-holonomic) હોય તો મુક્તતાની માત્રાની સંખ્યા s = l – k થાય છે, જ્યાં k અપૂર્ણ સંકેતિત નિયંત્રણો(constraints)ની સંખ્યા છે.

કોઈ પણ દ્રવ્યકણ અવકાશમાં સીધી રેખા ઉપર ખસતો (ગતિ કરતો) હોય તો તેને મુક્તતાની માત્રા એક હોય છે. આવી ગતિને અભિવ્યક્ત કરવા માટે એક જ યામની જરૂર પડે છે.

કોઈ પણ દ્રવ્યકણ પૃષ્ઠ (સમતલ) ઉપર ગતિ કરતો હોય તો તે બે લંબ દિશામાં ગતિ કરે છે માટે તેને મુક્તતાની માત્રા બે હોય છે. આવી ગતિને અભિવ્યક્ત કરવા માટે બે યામોની જરૂર પડે છે.

કોઈ પણ કણ ભૌતિક ત્રિપારિમાણિક અવકાશમાં ગતિ કરતો હોય અથવા ગતિ કરવા મુક્ત હોય તો તે એકબીજાને લંબરૂપ એવાં ત્રણ સ્થાનાંતરોને અનુરૂપ મુક્તતાની માત્રા ત્રણ હોય છે. આવી ગતિ અભિવ્યક્ત કરવા માટે ત્રણ યામોની જરૂર પડે છે.

તંત્ર (પ્રણાલી) મુક્ત એવા બે કણોનું બનેલું હોય તો તેને મુક્તતાની છ માત્રાઓ હોય છે. તે જ રીતે N કણોના તંત્રને મુક્તતાની માત્રાઓ 3N હોય છે.

બે કણોના તંત્રમાં બે કણો વચ્ચેનું અંતર અફર (અચળ) રહેતું હોય તો તેવા ત્રિપારિમાણિક ગતિ કરતા તંત્રને મુક્તતાની માત્રાઓ પાંચ હોય છે.

મુક્તતાની માત્રામાં એકનો ઘટાડો કરે તેવી કોઈ પણ જરૂરિયાતને પૂર્ણસંકેતિત નિયંત્રણ કહે છે. આવા પ્રત્યેક નિયંત્રણને શરતી સમીકરણ વડે વ્યક્ત કરાય છે. આવું સમીકરણ તંત્રના યામોને નિયતાંક સાથે જોડે છે. તેની સાથે સમય સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. સમય સંકળાયેલો હોય ત્યારે કણની ગતિ સમય-આધારિત હોય છે.

યાંત્રિક પ્રણાલીને અવકાશમાં N કણોના સમૂહ તરીકે વિચારી શકાય છે. આ પ્રણાલી ઉપર k જેટલાં પૂર્ણ સંકેતિત નિયંત્રણો લાગતાં હોય તો, મુક્તતાની માત્રાની સંખ્યા = 3N – k જેટલી થાય છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ