મહત્તમ અને લઘુતમ મૂલ્યો (maximum–minimum values) : અપેક્ષિત બિંદુથી તદ્દન નજીકના બિંદુ પરનાં મૂલ્યો કરતાં વધારે કે ઓછાં સ્થાનિક મૂલ્યો. વિધેયનું y મૂલ્ય, અપેક્ષિત બિંદુથી તદ્દન નજીકના (આગળના કે પાછળના) બિંદુ પરનાં મૂલ્યો કરતાં વધારે હોય તો તે મૂલ્ય વિધેયનું સ્થાનિક મહત્તમ (local maximum) મૂલ્ય છે અને વિધેય દર્શાવતા વક્ર પરનું એ બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે. આથી ઊલટું વિધેયનું y-મૂલ્ય અપેક્ષિત બિંદુથી તદ્દન નજીકના (આગળના કે પાછળના) બિંદુ પરનાં મૂલ્યો કરતાં ઓછું હોય તો તે મૂલ્ય સ્થાનિક લઘુતમ મૂલ્ય (local minimum value) છે અને વિધેય દર્શાવતા વક્ર પરનું એ બિંદુ લઘુતમ બિંદુ છે.
વિધેય y = F (x) માટે xની કિંમત વધે તેમ F(x)નું મૂલ્ય વધે છે. પરંતુ xની અમુક કિંમત માટે F(x)નું મૂલ્ય સ્થિર થાય છે તે પછી xની કિંમત વધે તો F(x)નું મૂલ્ય વધવાને બદલે ઘટવા લાગે છે. F(x) વિધેયે પ્રાપ્ત કરેલું આ સ્થિર મૂલ્ય F(x)નું મોટામાં મોટું કે મહત્તમ મૂલ્ય છે. [આકૃતિ 1(a)]. આથી ઊલટું, xની કિંમત વધે તેમ F(x)નું મૂલ્ય ઘટે છે, પરંતુ (x)ની અમુક કિંમત પછી F(x)નું મૂલ્ય ઘટવાને બદલે વધે છે. F(x) વિધેયે પ્રાપ્ત કરેલું આ સ્થિર મૂલ્ય F(x)નું નાનામાં નાનું કે લઘુતમ મૂલ્ય છે. [આકૃતિ 1(b)]
વિજ્ઞાનમાં તેમજ વ્યવહારમાં મહત્તમ-લઘુતમ મૂલ્યો અંગેની કેટલીક અવનવી સમસ્યાઓનો ઉકેલ શરૂઆતમાં ભૂમિતિની મદદથી મેળવવામાં આવતો હતો; પરંતુ હવે કલનશાસ્ત્રની મદદથી મેળવવામાં આવે છે. મહત્તમ અને લઘુતમ મૂલ્યો અંગેનાં કેટલાંક ઉદાહરણ જોઈએ.
15ના એવા બે ભાગ કરવા છે કે જેથી એક ભાગનો વર્ગ અને બીજા ભાગના ઘનનો ગુણાકાર મહત્તમ થાય. આપેલા ક્ષેત્રફળવાળા બધા લંબચોરસોમાં કેવા લંબચોરસની પરિમિતિ ન્યૂનતમ છે એ શોધવું છે વગેરે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં યાંત્રિકીમાં અને વ્યાપાર-ઉદ્યોગ વગેરેમાં પણ મહત્તમ-લઘુતમ મૂલ્ય મેળવવા માટે કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
આકૃતિ 1(a) : F(x) > F(x1); F(x) > F(x2)
આકૃતિ 1(b) : F(x) < F(x1); F(x) < F(x2)
સમતલ પર ગતિ કરતાં બિંદુ વિવિધ પ્રકારના વક્રો રચે છે, જેવા કે વધતા વક્રો, ઘટતા વક્રો કે સ્થિર વક્રો. આવા વક્રોને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં વિધેય તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. વક્ર પરના બિંદુના y-યામનું મૂલ્ય એ વિધેય y = F(x)નું મૂલ્ય છે. વિધેય મહત્તમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે ત્યારે વિધેય દર્શાવતા વક્ર પર મહત્તમ બિંદુ મળે છે. તેમજ વિધેય દર્શાવતા વક્ર પરના મહત્તમ બિંદુ આગળનો વક્ર પરનો સ્પર્શક સમક્ષિતિજ (horizontal) થાય છે. આમ સ્પર્શકનો ઢાળ (slope of the tangent) શૂન્ય થાય છે. એટલે કે વિધેય F(x)નું x પ્રત્યેનું વિકલનફળ 
થાય છે.
આપેલા વિધેયનાં મહત્તમ અને લઘુતમ મૂલ્ય મેળવવા માટે વિધેયનું પ્રથમ વિકલન (first differentiation) કરી મળેલા પરિણામ બરાબર શૂન્ય મૂકી x અને yની કિંમત મેળવવામાં આવે છે.
આકૃતિ 2(i) : θ લઘુકોણ → tan θ > 0
આકૃતિ 2(ii) : θ ગુરુકોણ → tan θ < 0
x, yની કિંમતો પરથી ક્રમિક યુગ્મ (x, y) રચવામાં આવે છે, જે સ્થિર બિંદુ (stationary point) આપે છે. આ બિંદુ આગળ વક્રને દોરેલો સ્પર્શક સમક્ષિતિજ (horizontal) બને છે. F´(x) = 0 સમીકરણનો ઉકેલ વક્રનાં પરિવૃત્તિબિંદુઓ(turning points) આપે છે; જેમાં મહત્તમ, લઘુતમ અને નતિબિંદુ (point of inflexion)નો સમાવેશ થાય છે. ભૌમિતિક પરિપ્રેક્ષ્યમાં જોઈએ તો y = F(x) વિધેય, x = a બિંદુ આગળ મહત્તમ છે. [આકૃતિ 2(i)] અને A બિંદુ આગળ વક્રને દોરેલો સ્પર્શક X અક્ષને સમાંતર છે અને સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય છે. [F´(a) = 0]. a બિંદુથી અગાઉનાં બિંદુઓ આગળ F(x) વધતું વિધેય છે તેમજ x = aથી અગાઉના કોઈ પણ બિંદુ આગળનો સ્પર્શક x અક્ષ સાથે લઘુકોણ (q < 90°) બનાવે છે અને x = a બિંદુ આગળ વિધેય સ્થિર થઈ ત્યારબાદ ઘટતું વિધેય થાય છે. A બિંદુ આગળ વિધેય અધિકતમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે.
y = F(x) વિધેય x = a બિંદુ આગળ લઘુતમ છે. [આકૃતિ-2(iii)]. અને A બિંદુ આગળ વક્રને દોરેલો સ્પર્શક x-અક્ષને સમાંતર છે તેમજ સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય છે. [F´(a) = 0]. x = a બિંદુ પહેલાં F(x) ઘટતું વિધેય છે, A બિંદુ આગળ વિધેય સ્થિર થાય છે. ત્યારબાદ વિધેય વધતું વિધેય બને છે. આમ A બિંદુ આગળ વિધેય લઘુતમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે. મહત્તમ બિંદુ, લઘુતમ બિંદુ અને નતિબિંદુ (point of inflexion) વગેરે વિકલ્પો અંગેના ભેદ સ્પષ્ટ કરવા માટે અપેક્ષિત બિંદુ (point under consideration) આગળ વિધેયના પ્રથમ વિકલિત F´(x) અને દ્વિતીય વિકલિત F´´(x)નું મૂલ્ય મેળવવામાં આવે છે. જો અપેક્ષિત બિંદુ આગળ F´(x) = 0 અને F´´(x) < 0 (ઋણ) હોય તો તે બિંદુ આગળ વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે અને વક્ર પર મહત્તમ બિંદુ મળે છે. F´´(x) > 0 (ધન) હોય તો તે બિંદુ આગળ વિધેયનું લઘુતમ મૂલ્ય મળે છે અને વક્ર પર લઘુતમ બિંદુ મળે છે, પરંતુ જો F´´(x) = 0 હોય તો વક્ર પર નતિબિંદુ મળે છે. આકૃતિ 3માં વક્ર પરનાં મહત્તમ બિંદુ, લઘુતમ બિંદુ અને નતિબિંદુ દર્શાવેલાં છે. આકૃતિમાં A મહત્તમ બિંદુ, B લઘુતમ બિંદુ અને C નતિબિંદુ છે. અહીં F´´(c) = 0 છે તેમજ આકૃતિ 3માં બતાવ્યા પ્રમાણે C બિંદુ (નતિબિંદુ) આગળ વિધેય Fનો આલેખ પોતાના સ્પર્શકને ઓળંગે છે.
આકૃતિ 3 : આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે C બિંદુ (નતિબિંદુ) આગળ વિધેય
Fનો આલેખ પોતાના સ્પર્શકને ઓળંગે છે.
બહુચલ વિધેયમાં મહત્તમ-લઘુતમ મૂલ્યો : એક કે તેથી વધુ ચલવાળાં વિધેયોનાં મહત્તમ કે લઘુતમ મૂલ્યોની ચર્ચા પણ કરી શકાય; દા.ત., બિંદુ (x0, y0) આગળ વિધેય F(x, y) સ્થિર મૂલ્ય ધારણ કરે તે માટેની શરત એ છે કે તે બિંદુએ Fx = 0 તથા Fy = 0 છે. વળી જો તે બિંદુએ Fxx Fyy – 
> 0 તથા Fxx અને Fyy ઋણ હોય તો (x0, y0) બિંદુએ F(x, y) મહત્તમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે. જો તે બિંદુએ Fxx Fyy — > 0 તથા Fxx અને Fyy ધન હોય તો (x0, y0) બિંદુએ F(x, y) લઘુતમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે.
પરંતુ જો Fxx અને Fyy વિરુદ્ધ સંજ્ઞાવાળાં હોય તો (x0, y0) બિંદુએ જીન-બિંદુ (saddle point) હોય છે. (આકૃતિ 4)
આકૃતિ 4
સપાટી પર આ બિંદુ એવું છે કે તેમાંથી પસાર થતા સપાટી પરના અમુક વક્રો માટે તે મહત્તમ બિંદુ છે અને અમુક અન્ય વક્રો માટે તે લઘુતમ બિંદુ છે. આવું બિંદુ ઘોડા પર બેસવા માટે વપરાતા જીન પર હોય છે અને તેથી આવા બિંદુને જીનબિંદુ કહે છે.
અરુણ વૈદ્ય
શિવપ્રસાદ મ. જાની