બર્નૂલી સંખ્યાઓ (Bernoulli numbers) : આ સંખ્યાશ્રેણીનો પરિચય જેકબ બર્નૂલીએ કરાવેલો, તેથી તેને ‘બર્નૂલી સંખ્યાઓ’ નામ આપવામાં આવ્યું. જેકબ બર્નૂલીએ અનુમાન કરવા અંગેની કલા (The Conjectural Art) નામના ગ્રંથમાં આ સંખ્યાશ્રેણી આપી છે.
પ્રથમ n ધનપૂર્ણાંકો(natural numbers)ના K ઘાતનો સરવાળો nના K + 1 ઘાતની બહુપદી હોય છે તે તો જાણીતું છે.
પરંતુ kની મોટી કિંમતો માટે મળતી બહુપદીના સહગુણકો મેળવવવાનું કામ ખૂબ મુશ્કેલ જણાતું હતું. બર્નૂલીએ આ સહગુણકોના ગુણધર્મોનો ઝીણવટથી અભ્યાસ કરી તેમની સાથે સંબંધિત સંખ્યાઓની એક શ્રેણી શોધી કાઢી. આ શ્રેણીમાંની સંખ્યાઓ એટલે બર્નૂલી સંખ્યાઓ. nમી બર્નૂલી સંખ્યાને Bn સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. B1 સિવાયની અયુગ્મ પાદાંક(odd-sub-script)વાળી બર્નૂલી સંખ્યાઓ B3 = B5 = B7 = …… = 0 છે. યુગ્મ (even) પાદાંકવાળી સંખ્યાઓ એકાંતરે ધન અને ઋણ હોય છે. કેટલીક પ્રાથમિક બર્નૂલી સંખ્યાઓ પરિણામ (1) દ્વારા દર્શાવેલી છે :
બર્નૂલી સંખ્યાની એક વ્યાખ્યા પરિણામ (2)માં દર્શાવ્યા મુજબના સાંકેતિક સ્વરૂપમાં છે.
Bn = (B + 1)n………………………………(2)
ઉદાહરણ તરીકે n = 4 માટે તે B4= (B + 1)4
= B4 + 4B3 + 6B2 + 4B1 + B0 ………….(3)
અહીં (3)માં ઘાતાંક(power)ને પાદાંક (sub-script) તરીકે દર્શાવેલો છે. (દા.ત., B4ને બદલે B4 વગેરે.)
ઐતિહાસિક ર્દષ્ટિએ બર્નૂલી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા સૌપ્રથમ બર્નૂલીએ આપી હતી. બર્નૂલીના અભિગમ અનુસાર ‘પરિમિત સંખ્યાના અનુગામી પૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય ઘાતાંકોના સરવાળાને, સામાન્ય પૂર્ણાંકના અનુગામી ઘાતાંકોના સુરેખ સંયોજન (linear combination) તરીકે ફરીથી દર્શાવવાનો છે.’ (પરિણામ 4)
આવી ફેરરજૂઆત પામેલી બર્નૂલી સંખ્યાઓ પરિણામ (4)માં સહગુણકો તરીકે વ્યક્ત કરેલી છે. સંખ્યાસિદ્ધાંતોમાં બર્નૂલી સંખ્યાઓનો વિનિયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
શિવપ્રસાદ મ. જાની