ફોરિયે શ્રેઢી

ફોરિયે શ્રેઢી (Fourier Series) : આવર્તી (periodic) ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવામાં વપરાતું ગાણિતિક સાધન. પ્રકાશ અને ધ્વનિની તરંગગતિ(wave motion)માં તેમજ કંપમાન (vibrating) તાર અને ખગોલીય કક્ષા જેવા દોલાયમાન (oscillatory) યાંત્રિક તંત્રના અભ્યાસમાં પણ આ શ્રેઢી અનિવાર્ય ઉપકરણ તરીકે વપરાય છે. સંભાવ્યતા(probability)ના સિદ્ધાંતો અને આંશિક વિકલ સમીકરણ (partial differential equations) ગણિતની આ બે શાખાઓમાં ફોરિયે શ્રેઢીનું મહત્વનું પ્રદાન છે.

એક ચલરાશિનાં સંકરમૂલ્ય (complex single valued) અને 2π આવર્તકાલ(period)વાળાં સંકલનીય વિધેય f(x) દર્શાવતી ફોરિયે શ્રેઢી

પરિણામ(III) એ પરિણામ(I)નું સમાન સ્વરૂપનું સૂત્ર છે અને ફોરિયે

…. (IV) છે. અહીં એક સ્વાભાવિક પણ રસપ્રદ પ્રશ્ન ઉપસ્થિત થાય છે કે જો ઉપર દર્શાવ્યા પ્રમાણે અચળની પસંદગી કરીએ તો 2π આવર્તકાળવાળા વૃત્તીય વિધેયની ફોરિયે શ્રેઢી f પ્રત્યે અભિસારી થાય ખરી ? વિધેય ઉપર કેટલીક યોગ્ય હળવી શરતો મૂકીને આ પ્રશ્નનો હકારાત્મક (affirmative) જવાબ મળી શકે છે.

જોકે ફોરિયે શ્રેઢીનો ઉદભવ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાંથી થયો, પરંતુ ગાણિતિક વિશ્લેષણના વિકાસમાં તેનો નોંધપાત્ર ફાળો છે. કેટલીક વાર વિકલ સમીકરણ, સંકલ સમીકરણ અને વૈશ્લેષિક વિધેયના ગાણિતિક સિદ્ધાંતો લંબકોણીય (ortho-gonal) શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢીઓ ખાસ કરીને વૈશ્લેષિક સિદ્ધાંતોમાં મહત્વની છે. z = e^ix ના વિસ્તરણ ½a₀ + (a₁  ib₁)z + (a₂ – ib2)z²+ …….+ માંથી ઘાતાંકીય શ્રેઢીનો વાસ્તવિક (real) ભાગ ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢીઓ છે. આથી તે વાસ્તવિક અને સંકર વિશ્લેષણ વચ્ચે સેતુરૂપ બને છે. ગણિતના વિવિધ ખ્યાલોના સ્પષ્ટીકરણમાં અને તેના ઐતિહાસિક વિકાસમાં આ શ્રેઢીનું પ્રદાન છે. ફોરિયે શ્રેઢીના આરંભકાળમાં અઢારમી સદીમાં ગાણિતિક વિધેયની વિભાવના અંગે મોટો વિવાદ થયેલો. તે સમયે એવી માન્યતા પ્રવર્તતી હતી કે વિધેય f(x)ને એક વૈશ્લેષિક-પદાવલી તરીકે, ઘાતાંકીય શ્રેઢી કે ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી તરીકે જ દર્શાવી શકાય છે. જો f(x)નો આલેખ બહુભુજરેખા (polygonal line) દર્શાવતો હોત તો તેને વિધેય તરીકે સ્વીકારી શકાયો ન હોત. ફોરિયે શ્રેઢીના સંશોધન દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું કે યર્દચ્છ આલેખોને ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી તરીકે દર્શાવી શકાય છે; તેથી શ્રેઢીની વિધેય તરીકે ગણના કરવી જોઈએ; આવું વિધાન ઘણાને વિવાદાસ્પદ લાગ્યું. આ વિવાદનું સ્પષ્ટીકરણ થવામાં અને વિવાદશમનમાં સારો એવો સમય લાગ્યો. વિધેયની હાલની સર્વમાન્ય વ્યાખ્યા 1837માં ડીરીશ્લેના સ્મૃતિગ્રંથમાં રજૂ કરવામાં આવેલી, જે ફોરિયેના સિદ્ધાંત પર આધારિત હતી. આ સ્મૃતિગ્રંથમાં જે તે વિધેયોને અનુરૂપ ફોરિયે શ્રેઢી દ્વારા વ્યક્ત કરતી સાબિતીઓ પણ રજૂ કરેલી છે. જોકે ફોરિયેનું પોતાનું અને તેના પુરોગામીઓનું કાર્ય પ્રાથમિક કક્ષાનું હોવા છતાં ચીલો ચાતરનારું હતું.

સંકલની વિભાવનાના ઇતિહાસમાં ફોરિયે શ્રેઢીના પ્રભાવની ઘણી મહત્વની વિગતો મળી શકે તેમ છે. ફોરિયે સહગુણકોવાળા સૂત્ર (II) અને (III)ને કારણે સંકલનો આ ખ્યાલ ફોરિયે શ્રેઢીની પૂર્વાવશ્યકતા છે. કલનશાસ્ત્રનાં પાઠ્યપુસ્તકોમાં વિધેયના સંકલનની ચિરપ્રતિષ્ઠિત વ્યાખ્યા રિમાન્ને આપેલી. 1854ના તેના સંશોધનપત્રમાં વિધેયોને ફોરિયે શ્રેઢી દ્વારા સૌપ્રથમ સવિસ્તર રજૂ કરેલાં. વિધેયને ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં અનન્ય રીતે દર્શાવવા અંગેના જ્યૉર્જ કેન્ટરના કાર્ય ઉપર રિમાન્નના આ સંશોધનપત્રની અસર થઈ હતી. વળી રજૂઆતની અનન્યતાને અસર ન કરે તેવા વિવિધ બિંદુગણો (point sets) વિશે જ્યૉર્જ કેન્ટરને વિચારણા કરવી પડેલી. સાદા કિસ્સાઓથી શરૂ કરીને તેમણે અનન્યતાના ગણોની સંરચના(structure)નો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો. આ તપાસણી દરમિયાન ખાસ કરીને બિંદુ-ગણો અંગેના સર્વસામાન્ય સિદ્ધાંતો (general theory of point sets) અંગેના સંશોધન તરફ તેઓ વળ્યા. ઓગણીસમી સદીની આ એક મહત્વની શોધ છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં પાછળથી ઈ. બોરેલ અને એસ. લેબેગે વિકસાવેલા માપન (measure) અને સંકલનના સિદ્ધાંતો, કેન્ટરના ગણ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. લેબેગના સંકલન દ્વારા ફોરિયે શ્રેઢીને નવું મહત્વનું પરિમાણ મળ્યું. તેમણે આપેલી સંકલનની વ્યાખ્યા સુયોગ્ય અને સર્વસ્વીકૃત બની છે.

જો(III)માં દર્શાવેલી ફોરિયે શ્રેઢીનાં પ્રથમ (n+1) પદોના સરવાળા S_n(x)ને પરિમિત સંકલન તરીકે પરિણામ (V) તરીકે દર્શાવીએ તો

ફોરિયે શ્રેઢી અંગેનું આ મૂળભૂત સૂત્ર છે. જો f અમુક શરતોનું પાલન કરે અને n → ∞ હોય તો S_n(x) એ f(x)ને અનુલક્ષે છે, એમ સાબિત કરી શકાય; દા. ત., ડીરીશ્લેએ સાબિત કર્યું કે o ≤ x ≤ 2πમાં વિધેય fનો આલેખ પરિમિત સંખ્યામાં મહત્તમ લઘુતમ ધરાવતો હોય તો fના દરેક સાતત્ય-બિંદુ આગળ S_n(x)એ f(x)ને અભિસરે છે. fનાં અસાતત્યનાં x બિંદુઓ (points of discontinuity) આગળ ફોરિયે શ્રેઢી સંખ્યા ½[f(x+o) + f(x-o)]ને અભિસરે છે. અહીં f(x+o) એ f(y)નું x આગળનું અને જમણી તરફથી મળતું લક્ષ છે અને f(x-o) એ f(y)નું x આગળનું ડાબી તરફથી મળતું લક્ષ છે : સંકલ પરિમિત થાય તો ફેરિયે શ્રેઢી f(x) પ્રત્યે અભિસારી થાય છે. અભિસારિતા(convergence)ની આ બીજી શરત છે. f(x) વિધેય જે બિંદુ આગળ વિકલનીય (differentiable) હોય તેવા દરેક બિંદુ આગળ આ શરતનું સમાધાન થાય છે. આ અને આવી બીજી કેટલીક શરતો અભિસારિતાની પર્યાપ્ત (sufficient) શરતો છે તેમ ડીનીએ સાબિત કર્યું. ફોરિયે શ્રેઢીની અભિસારિતા નક્કી કરવાના એકમાત્ર સાધન તરીકે વિધેય સતત (continuous) હોય તે પૂરતું નથી એમ 1872માં જર્મન ડુબોઇસ રેમન્ડે બતાવેલું. થોડાં બિંદુ આગળ ફોરિયે શ્રેઢી અપસારી (divergent) થતી હોય તેવાં વિધેય તેમણે રચ્યાં. સતત વિધેયની ફોરિયે શ્રેઢી લગભગ સર્વત્ર અભિસારી (everywhere convergent) થવી જોઈએ એટલે કે ગણનાં જે બિંદુઓ આગળ લેબેગ માપન શૂન્ય હોય તે સિવાય સર્વત્ર અભિસારી હોય છે કે કેમ ? – તે ઘણા લાંબા સમય સુધી વણઊકલેલો કોયડો રહ્યો. 1966માં સ્વીડિશ ગણિતજ્ઞ લેનાર્ટ કાર્લસને ખરેખર આમ જ છે એમ બતાવ્યું છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણની આ મોટી સિદ્ધિ છે. વળી f² પણ સંકલનીય હોય તેવા કોઈ પણ વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢી આવશ્યક રીતે સર્વત્ર અભિસારી છે એમ કાર્લસને બતાવ્યું. 1967માં અમેરિકન ગણિતજ્ઞ રિચાર્ડ એ. હન્ટે બતાવ્યું કે |f|^p સંકલનીય હોય (p ચુસ્તપણે 1થી મોટો છે). તોપણ આ અનુમાનનું સમર્થન થાય છે. અગાઉ 1926માં રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એ. એન. કોલ્મોગોરો p=1 માટે પરિણામ ખોટું ઠરે છે એમ બતાવેલું. તેમજ જેની ફોરિયે શ્રેઢી પ્રત્યેક બિંદુ આગળ અપસારી થાય એવું સંકલનીય વિધેય તેણે રચેલું.

ફોરિયે શ્રેઢીની યોગનીયતા (summability) : સતત વિધેયની ફોરિયે શ્રેઢી સર્વત્ર અભિસારી થાય તે જરૂરી નથી. આ હકીકતે વિધેયોને ફોરિયે શ્રેઢી દ્વારા રજૂ કરવાનો આખો સિદ્ધાંત જોખમમાં મુકાયો. 1900માં હંગેરિયન ગણિતજ્ઞ એલ. ફેજરે આ પરિસ્થિતિનો નિવેડો આણ્યો. તેણે બતાવ્યું કે કોઈ પણ સતત વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢી એકધારી (uniformly) સીઝારો (cesaro) યોગનીય હોય છે. વિશેષત: પરિણામ(V)ના અર્થમાં S_n(x) લઈએ તો S₀(x), S₁, (x),……. S_n(x)નો સમાંતર મધ્યક (arithmetic mean) s(x) એ f(x) પ્રત્યે એકધારો અભિસારી થાય છે અને તેથી પ્રત્યેક બિંદુએ અભિસારી થાય છે. [f(x) સર્વત્ર સતત હોય તો]. ત્યારબાદ લેબેગે બતાવ્યું કે દરેક સંકલનીય વિધેય f માટે મધ્યક s(x) લગભગ સર્વત્ર f(x)ને અનુલક્ષે છે. આથી સિદ્ધાંતને ર્દઢ અનુમોદન પ્રાપ્ત થાય છે અને ફોરિયે શ્રેઢીના સંદર્ભે સંકલ કરતાં અભિસારિતા વધારે મહત્વની છે એમ પ્રતિપાદિત થાય છે. s(x) ને xના વિધેય તરીકે સંકલ સ્વરૂપમાં

થી દર્શાવી શકાય છે. પરિણામ (V) અને (VI)થી સંકલ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરેલાં S_n(x) અને s(x)માં એકમાત્ર તફાવત એ છે કે ફેજર કર્નલ તરીકે જાણીતો અવયવ ઋણેતર (non-negative) જ્યારે ડીરીશ્લેગર્ભ (kernel) તરીકે ઓળખાતો અવયવ પરિવર્તનશીલ (variable) ચિહ્નવાળો છે. ફેજરગર્ભ ધન હોવાની ખાસિયત, s(x)ના કેટલાક રસપ્રદ ગુણધર્મો માટે કારણભૂત છે; કારણ કે S_n(x) જે રીતે f(x)ને રજૂ કરે છે તેના કરતાં વધારે સારી રીતે તે f(x)ને રજૂ કરે છે.

સમાંતર મધ્યકની રીત ઉપરાંત યોગનીયતાની ઘણી બીજી રીતો ફોરિયે શ્રેઢીને લગાડવામાં આવી છે. આબેલ(Abel)ની રીત સૌથી મહત્વની રીત છે તે ફોરિયે શ્રેઢીને r ઘાતવાળી શ્રેઢી(power series)ના સ્વરૂપમાં સાઇન અને કોસાઇન વિધેયોના ઘાતના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરે છે; જેમ કે ½a₀ + (a₁ cosx + b1 sinx) r + (a₂ cos2x + b₂ sin2x) r² + …….. (VII) અહીં 1 કરતાં નાની કિંમતો માટે r એ 1ને અનુલક્ષે છે. પરિણામ(VII)ને નિયત સંકલ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે અને ત્યારે તેને પૉયસૉ સંકલ કહેવામાં આવે છે. r એકને અનુલક્ષે ત્યારે (i) જો f સર્વત્ર સતત હોય તો સંકલ f(x)ને એકધારી રીતે અનુલક્ષે છે (ii) જો f માત્ર સંકલનીય હોય તો સંકલ લગભગ સર્વત્ર f(x)ને અનુલક્ષે છે.

અનુબદ્ધ શ્રેઢીઓ અને અનુબદ્ધ વિધેયો (conjugate series and conjugate functions) : Z=e^ix વિધેય માટે ઘાતાંકીય શ્રેઢીનો ½a0 + (a1–ib1)z + (a2–ib2)z² +……. વાસ્તવિક (real) ભાગ ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી ½a₀ + (a1cosx + b1sinx) + (a2cos2x + b2sin2x) +……… છે. જ્યારે કાલ્પનિક (imaginary) ભાગ ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી (a1sinx – b1cosx) + (a2sin2x – b2cos2x) +…… છે, જેને ઘાતાંકીય શ્રેઢીની અનુબદ્ધ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. જો ઘાતાંકીય શ્રેઢી સંકલનીય વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢી હોય તો તેની અનુબદ્ધ શ્રેઢી લગભગ સર્વત્ર સીઝારો યોગનીય અને આબેલ યોગનીય હોય છે. તેનો વ્યાપક સરવાળો નિયત સંકલ

આ સંકલને વિધેય f(x)નું અનુબદ્ધ વિધેય કહેવામાં આવે છે તેને f(x) સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક સંકલનીય વિધેય f માટે સંકલ (VIII) લગભગ સર્વત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે આ નોંધપાત્ર ગુણધર્મ છે અને સતત વિધેય માટે પણ તે સ્વયંસ્પષ્ટ છે. સતત વિધેયના વિકલ્પ વિશે પણ સંકલ(VIII)નું અસ્તિત્વ હોવું જરૂરી નથી. સતત વિધેયો પોતે સર્વત્ર સતત ન હોય તોપણ લગભગ સર્વત્ર અમુક મૅટ્રિક ગુણધર્મો ધરાવે છે, જે કંઈક અંશે આશ્ચર્યજનક છે. ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી અને ઘાતાંકીય શ્રેઢી વચ્ચે અનુબદ્ધ શ્રેઢી કડીરૂપ છે. ફોરિયે શ્રેઢીના અંશત: સરવાળાનું વર્તન અને અમુક અનુબદ્ધ વિધેયોના વર્તન વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે. વાસ્તવમાં ફોરિયે શ્રેઢીનાં અભિસારિતાને લગતાં કાર્લસન અને હન્ટનાં પ્રમેયોમાં અનુબદ્ધ વિધેયનાં પરિષ્કૃત પરિણામોનો ભારપૂર્વક ઉપયોગ કરેલો છે. સંકલનીય વિધેય fનું અનુબદ્ધ વિધેય સંકલનીય હોય એ જરૂરી નથી. વળી વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢીની અનુબદ્ધ શ્રેઢી ફોરિયે શ્રેઢી હોવી પણ જરૂરી નથી.

પર્સિવલ(parseval)નું સૂત્ર : ધારો કે ½a₀ + (a1cosx + b1sinx) + (a2cos2x + b2sin2x) + ….. વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢી છે. વિધેય f(x)ને શ્રેઢી સાથે સરખાવી બંને બાજુનો વર્ગ કરી સંકલન કરવામાં આવે તો

મળે છે. આ પરિણામને પર્સિવલનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

f² સંકલનીય હોય ત્યારે આ રીતને વધારે પરિશુદ્ધ (rigorous) બનાવી શકાય છે. આવા કોઈ પણ વિધેયના ફોરિયે સહગુણકો a₀, a1, b1, a2, b2 …..વગેરે છે, જે સીમિત (bounded) હોવાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે. આથી વિપરીત (converse) પણ સાચું છે એમ ગણિતજ્ઞ એફ. રીઝ (Riesz) અને એસ. ફિશરે (Fischer) 1907માં સાબિત કર્યું હતું. રીસ્ઝ-ફિશરના પ્રમેયને લેબેગ(Lebesgue)ના સંકલનના સિદ્ધાંતની એક મોટી સિદ્ધિ ગણવામાં આવે છે. a₀, a1, b1, a2, b2 ….. જેવી સંખ્યાઓની કોઈ શ્રેણિ માટે અભિસારી હોય તો a₀, a1, b1, a2, b2 ….. સંખ્યાઓ ફોરિયે સહગુણકો હોય તેવું વિધેય f મળે છે કે જેથી f² સંકલનીય છે. આ વિધેય અનન્ય છે. લંબકોણીય શ્રેણિઓ (orthogonal series) : ફોરિયે શ્રેઢીને વ્યાપક-સ્વરૂપની શ્રેઢીના વિશિષ્ટ કિસ્સા તરીકે લઈ શકાય. સંવૃત અંતરિત [a,b] ઉપર વ્યાખ્યાયિત વિધેયો

Φ₁, Φ₂, Φ₃, ………ની એક શ્રેઢી છે અને તે  શરતોનું પાલન કરે છે. વિધેયોના આવા ગણને લંબકોણીય વિધેયો અને પરિણામ(IX)થી દર્શાવેલા સંબંધોને લંબકોણીય સંબંધો કહેવામાં આવે છે.

જો વિધેય fને f(x) = c1Φ1(x) +c2Φ2(x) +……..થી દર્શાવીએ તો પરિણામ(IX)નો ઉપયોગ કરી દરેક n માટે ……..(X) મળે.

આથી ઊલટું આપેલા કોઈ વિધેય fમાટે સૂત્ર(X)નો ઉપયોગ કરી શ્રેઢી c1Φ1(x) +c2Φ2(x) +…….. રચી શકાય. આ શ્રેઢીને લંબકોણીય પદ્ધતિ Φ₁, Φ₂, Φ₃, ………ના સંદર્ભમાં વિધેય fની ફોરિયે શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. જ્યારે અંતરાલ [0, 2π] ઉપર Φ1, Φ2, ……… માટે 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ….. લઈએ ત્યારે ત્રિકોણમિતીય ફોરિયે શ્રેઢી મળે છે. લંબકોણીય વ્યાખ્યામાં વિધેયો મુખ્યત્વે વાસ્તવિક મૂલ્યવાળાં લેવામાં આવે છે. આવી જ રીતે સંકર મૂલ્યવાળાં વિધેયો માટે પણ શ્રેઢી વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

આવી પ્રણાલીનો એક અગત્યનો કિસ્સો 1, e^ix, e^-ix, e^2ix, e^–2ix……… છે. તેને સંકર (complex) ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી જેવી જ આ શ્રેઢી છે. સંકર સ્વરૂપને કારણે સાબિતીઓ કોઈ કોઈ વાર વધારે સરળ બને છે.

બહુગુણિત ફોરિયે શ્રેઢી (multiple Fowier Series) : જો Φ₁(x), Φ₂(x), Φ₃(x), ……… અંતરાલ a≤x≤b ઉપર વ્યાખ્યાયિત લંબકોણીય પ્રણાલી હોય અને Ψ₁(y)Ψ2(y),……… એ અંતરિત અંતરાલ c≤y≤dઉપર વ્યાખ્યાયિત લંબ પ્રણાલી હોય તો દ્વિ-વૃતીય પ્રણાલી (double system) Φ_n^(x),Ψ_m(y),m,n = 1,2,3, ……… સમતલ પરના લંબચોરસ a≤x≤b; c≤y≤d, પર લંબકોણીય પ્રણાલી હોય છે અને આ લંબચોરસ પર વ્યાખ્યાયિત કરેલા વિધેય f(x,y)ને દ્વિ-વૃત્તીય ફોરિયે શ્રેઢી દર્શાવી શકાય છે. જ્યારે Ψ_m અને Ψ_n બંને પ્રણાલીને સંકર ત્રિકોણમિતીય પ્રણાલી તરીકે ફોરિયે શ્રેઢી તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આવી જ રીતે ત્રિ-ફોરિયે શ્રેઢી અંગે પણ વિચારી શકાય. બહુગુણિત ફોરિયે શ્રેઢી પરની સમસ્યાઓ વિશેષ અટપટી હોય છે.

નરેન્દ્ર લાધાવાલા

અનુ. શિવપ્રસાદ મ. જાની