ફૂરિયે રૂપાન્તર (Fourier transform) : કોઈ બે યોગ્ય ચલરાશિઓ x અને pને અનુલક્ષીને કોઈ વિધેય f(x)ના સંકલન–રૂપાન્તર (integral transform) દ્વારા મળતું વિધેય g(p). તે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે :
જેમાં 
છે. વિધેય f(x)નું ફૂરિયે રૂપાન્તર g(p) છે તો g(p)નું પ્રતીપ (inverse) રૂપાન્તર f(x) છે; અર્થાત્
સમીકરણો (1) અને (2) લગભગ સમમિત (symmetric) છે, જેમાં ફક્ત ઘાતાંકીય વિધેયની ઘાતની નિશાનીનો તફાવત રહે છે. વળી, બંનેમાં એકસમાન અવયવ 
રાખવામાં આવેલ છે. આમ, ચલ xનાં વિધેય f(x)નું અન્ય ચલ pના વિધેયના અવકાશમાં પ્રતિબિંબ એ વિધેય g(p) છે. વ્પાપકપણે અહીં ત્રિપરિમાણી 
અને 
ચલો પણ લઈ શકાય. ફૂરિયે રૂપાન્તર એક ચલના વિધેય અવકાશમાંથી અન્ય ચલના વિધેય અવકાશમાં એક પ્રકારનું ચિત્રાંકન (mapping) દર્શાવે છે. એ નોંધીએ કે ઉપર્યુક્ત સમીકરણોમાં રહેલું ઘાતાંકીય વિધેય સંકલનની ક્રિયા સહિત એક કારક (operator) તરીકે વર્તે છે, જે દ્વારા f (x) અને g (p) પરસ્પર રૂપાન્તરિત થઈ શકે છે.
ફૂરિયે શ્રેઢી (series) અને ફૂરિયે રૂપાન્તરનો અભ્યાસ ફૂરિયે વિશ્લેષણ (analysis) નામે પણ ઓળખાય છે. ફૂરિયે શ્રેઢી કોઈ આવર્તી (periodic) વિધેયને સરળ આવર્તી ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરે છે, જેમાં સરવાળાની ચલરાશિ પૃથક (discrete) હોય છે. ફૂરિયે રૂપાન્તરમાં સરવાળાનું સ્થાન સંકલન લે છે અને તદનુરૂપ ચલ સતત (continuous) હોય છે.
થોડા જુદા સંદર્ભમાં વપરાતું એક પદ, ‘ઝડપી ફૂરિયે રૂપાન્તર (fast Fourier transform)’ એ પૃથક ફૂરિયે રૂપાન્તરની શ્રેઢીનાં પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને સરળતાથી સંગણન (computation) કરવા માટેનું તાર્કિક આયોજન (algorithm) છે. હવે,
હોવાથી ઉપર્યુક્ત સમીકરણ (1) અને (2) દ્વારા બેકી વિધેય f(x) = f(–x) માટે ફૂરિયે કોસાઇન રૂપાન્તર તેમજ એકી વિધેય f(x)= –f(–x) માટે ફૂરિયે સાઇન રૂપાન્તરની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે.
ઘણી વાર વિધેય f(x)ના અવકાશને બદલે તેના ફૂરિયે રૂપાન્તર g(p)ના અવકાશમાં કાર્ય કરવાનું સુગમ પડે છે. આ રૂપાન્તર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં ઘણી રીતે ઉપયોગી છે. આ માટેના ભૌતિક ચલો પરસ્પર ખાસ સંબંધ ધરાવતા હોય છે. ઉપર્યુક્ત ફૂરિયે રૂપાન્તર, કોણીય આવૃત્તિ w (=2π ν, ν આવૃત્તિ) તથા સમય tને ચલની જોડ ગણીને પણ લખી શકાય. કાર્તેઝીય અવકાશમાં ત્રિપરિમાણી 
સ્થાનસદિશ હોય તો તરંગ-સદિશ 
(મૂલ્યમાં 2π/λ, જેમાં λ તરંગલંબાઈ) એ ને અનુરૂપ ચલ છે. નાં પરિમાણ (dimensions) અંતરનાં વ્યસ્ત હોય છે. આમ, નીચેનું ફૂરિયે રૂપાન્તર વ્યાખ્યાયિત થઈ શકે છે :
અને
ઉપરનાં સંકલનો ત્રિપરિમાણી છે. ક્વૉન્ટમ ગતિવિજ્ઞાનમાં ધારો કે કણના વેગમાનને 
કહીએ. હવે 
જો કણનું તરંગવિધેય હોય તો 
તેની સ્થાનસંભાવના ઘનતા (position probability density) આપે છે. જ્યારે નું ફૂરિયે રૂપાન્તર 
હોય તો | g(p) |2 એ વેગમાન અવકાશ(momentum space)માં સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે. તે બંને વચ્ચેનો સંબંધ હાયઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત(uncertainty principle)ની યાદ અપાવે છે.
વળી, ઘંટાકાર (bell shaped) એટલે કે ગાઉસિયન વિધેયનું ફૂરિયે રૂપાન્તર એક અન્ય ગાઉસિયન વિધેય આપે છે; પરંતુ તે બીજા વિધેયના વક્રની પહોળાઈ (width) તેમજ ઊંચાઈ (height) એ મૂળ વિધેયની તે રાશિઓના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
કમલનયન ન. જોશીપુરા