ફર્માનું અંતિમ પ્રમેય : ગણિતમાં સંખ્યાઓના એક વિશિષ્ટ ગુણધર્મને લગતો સાડાત્રણસોથી વધુ વર્ષ સુધી વણઊકલ્યો રહેલો કોયડો, જે વીસમી સદીના અંતિમ દાયકામાં જ ઉકેલી શકાયો. ‘‘શૂન્યેતર પૂર્ણાંકો x, y, z અને પૂર્ણાંક n ≥ 3 માટે xn + yn = zn ન હોઈ શકે’’ – આ વિધાન ફર્માનું અંતિમ પ્રમેય છે.
સત્તરમી સદીના ફ્રેન્ચ ધારાશાસ્ત્રી પિયર દ’ ફર્માને ગણિતનો શોખ હતો. તેમણે સંખ્યાઓ વિશે અનેક પરિણામો મેળવ્યાં હતાં અને તેમાંનાં કેટલાંક સાબિત કર્યાં હતાં, અન્ય કેટલાંકની સાબિતી પોતાની પાસે હોવાનો તેમણે દાવો કર્યો હતો તે સાથે બાકીનાંની સાબિતી પોતાની પાસે ન હોવાનો એકરાર કર્યો હતો. ફર્મા પછીના ગણિતજ્ઞોએ તેમનાં પરિણામો સાબિત કર્યાં અથવા ખોટાં ઠરાવ્યાં. છેવટે એક જ પરિણામ રહ્યું જે સાબિત કર્યાનો ફર્માએ ઈ. સ. 1637માં દાવો કર્યો હતો, પણ તેની સાબિતી કોઈને મળતી નહોતી. આ પરિણામ આ જ કારણે ફર્માનું અંતિમ પ્રમેય કહેવાયું.
આ પ્રમેયની સાબિતી મેળવવાના પ્રયત્નો તો સતત થતા રહ્યા હતા. ફર્માએ પોતે n = 4 માટે આપેલી સાબિતી જાણીતી હતી. ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં ગાઉસે n = 3 માટે જે સાબિતી આપી હતી તેમાં સંકર સંખ્યાઓના ગણિતના નવા ખ્યાલો દાખલ થયા અને આ ખ્યાલો ગણિતના વિકાસ માટે બહુ મહત્વના પુરવાર થયા. આ જ ખ્યાલોને આગળ વધારી 1847માં લામેએ એક ‘સાબિતી’ આપી; પણ લિયુવિલે તેમાં ભૂલ શોધી કાઢી. આ ભૂલ સુધારવાના પ્રયત્નોમાંથી કુમેરને ફર્માના અંતિમ પ્રમેયની પૂરી સાબિતી તો ન મળી પણ ગણિતના વિકાસ માટે વધુ મહત્ત્વની વાત તો એ બની કે બીજગણિત અને બૈજિક સંખ્યાગણિતમાં ખૂબ મહત્ત્વની સંકલ્પનાઓ પણ એમાંથી જ ઉદભવી. કુમેરને nનાં અમુક મૂલ્યો માટે ફર્માના પ્રમેયની સાબિતી મળી પણ ખરી.
કુમેર પછી છેક 1983માં ગર્ડ ફૉલ્ટિઝે આ પ્રમેયની સાબિતીની દિશામાં કાંઈક પ્રગતિ કરી. તેણે સાબિત કર્યું કે જો n ≥ 3 માટે xn + yn = zn થાય તેવા પૂર્ણાંકો x, y, z હોય તો એવા પૂર્ણાંકો મર્યાદિત સંખ્યામાં જ હોય (n = 2 માટે આવા પૂર્ણાંકો અનંત સંખ્યામાં છે તે સદીઓથી જાણીતું છે.).
દરમિયાનમાં એક સાવ જુદી જ દિશામાં કામ ચાલી રહ્યું હતું. આ કામ ઉપવલયી વક્રો y2 = x3 + ax + b અંગેનું હતું. 1955માં જાપાની ગણિતજ્ઞ તાનીયામાએ આવા વક્રોના એક ગુણધર્મ અંગે એક અટકળ કરી હતી. તાનીયામાના આ અનુમાનને સાબિત કરવાના પ્રયત્નો કરતાં કરતાં તજ્જ્ઞોએ એક મોટું શાસ્ત્ર ઊભું કરી દીધું હતું. 1983ના અરસામાં જી. ફ્રે અને જે. પી. સેરેએ સૌપ્રથમ આ બધાં કામને ફર્માના અંતિમ પ્રમેયની સાથે સંબંધ હોઈ શકે એ પ્રત્યે સૌનું ધ્યાન દોર્યું. 1985માં કે. રીબેએ સાબિત કર્યું કે તાનીયામાના અનુમાનનો એક અંશ (અર્ધ- સ્થિર વિકલ્પ) સાબિત થઈ શકે તો ફર્માનું અંતિમ પ્રમેય સાબિત થઈ જાય. આ પરિણામ બહુ મહત્વનું હતું કારણ કે તાનીયામાના અનુમાનને સાબિત કરવા માટે ગણિતજ્ઞોએ ઘણી રીતો વિકસાવી હતી.
આખરે 1993ના જૂનની 23મીએ કેમ્બ્રિજમાં એક વ્યાખ્યાનમાં અમેરિકાના ચાળીસ વર્ષના એન્ડ્રુ વાઇલ્સે તાનીયામાના અનુમાનના અર્ધ-સ્થિર વિકલ્પની સાબિતી આપી અને એમ ફર્માના અંતિમ પ્રમેયની સાબિતી મળી. એન્ડ્રુ વાઇલ્સની આ સાબિતી લગભગ 200 પાનાંની હતી. ફર્માએ પોતાની પાસે જે સાબિતી હોવાનો દાવો કર્યો હતો તે સાબિતી આ તો નહિ જ હોય. સામાન્ય રીતે એવું મનાય છે કે ફર્માને પોતાની પાસે સાબિતી હોવાનો ભ્રમ જ થયો હશે.
એન્ડ્રુ વાઇલ્સની 1993ની સાબિતીમાં પાછળથી એક ખામી મળી આવી હતી, તે દૂર કરતાં વાઇલ્સને એક વર્ષથી વધુ સમય લાગ્યો હતો; પણ આખરે 1995માં તેણે જે સાબિતી આપી તે સાચી હોવાની પુષ્ટિ થઈ છે.
અરુણ વૈદ્ય