પૂર્વધારણા (postulate) : નિ:શંકપણે સ્વીકારી શકાય તેવી સરળ, સ્પષ્ટ હકીકત. સરળ ભૂમિતિનું કોઈ પુસ્તક જોઈએ તો તેમાંની ધારણાઓ (assumptions) બે વિભાગમાં વહેંચાયેલી જોવા મળશે : (i) અભિગૃહીત કે ગૃહીત (axiom) અને (ii) પૂર્વધારણા (postulate). કેટલીક વાર ગૃહીત અને પૂર્વધારણાને એકબીજાના પર્યાય તરીકે વાપરવામાં આવે છે; પરંતુ બંને વચ્ચે સ્પષ્ટ તફાવત છે.
ગૃહીત સ્વયંસ્પષ્ટ (self-evident) અને સનાતન સત્ય હોવાથી તેનો અસ્વીકાર કરી શકાય નહિ; જ્યારે પૂર્વધારણાની યથાર્થતા નિ:શંકપણે સ્વીકારી શકાય છે, પરંતુ તે અમુક વિષયના તાર્કિક વિકાસ માટે ધારી લીધેલું સત્ય છે. ‘સમગ્ર (whole) તેના કોઈ પણ ખંડ કરતાં મોટો હોય છે.’ ‘સમગ્ર તેના બધા ખંડોના સરવાળા બરાબર હોય છે.’ આ અને આવાં સાર્વત્રિક વિધાનો સ્વયંસ્પષ્ટ છે અને ગૃહીતો કે અભિગૃહીતો (axioms) તરીકે ઓળખાય છે. ‘બે ભિન્ન (distinct) બિંદુઓમાંથી એક અને માત્ર એક (unique) રેખા દોરી શકાય.’ ‘એક રેખાને બંને તરફ અમર્યાદિત રીતે લંબાવી શકાય.’ આ અને આવાં વિધાનો પૂર્વધારણાઓ તરીકે ઓળખાય છે. પૂર્વધારણાનો અસ્વીકાર કરી તેનાથી વિરુદ્ધ નિવેદન કરતી પૂર્વધારણા પણ સ્વીકારી શકાય. એરિસ્ટોટલ(ઈ. સ. પૂ. 384થી ઈ. સ. પૂ. 321)ના મત મુજબ દરેક નિર્દેશનાત્મક (demonstrative) વિજ્ઞાન બિનનિર્દેશનાત્મક (non-demonstrative) સિદ્ધાંતોમાંથી શરૂ થવું જોઈએ; નહિતર નિર્દેશન-સોપાનોનો અંત જ ન આવે. આવા સર્વસામાન્ય સિદ્ધાંતો વધતા-ઓછા અંશે બધાં જ વિજ્ઞાનોમાં હોય છે. જ્યારે અમુક સિદ્ધાંતો વિશિષ્ટ વિજ્ઞાન સાથે જ સંકળાયેલા હોય છે. આમ સર્વસામાન્ય સિદ્ધાંતો અભિગૃહીતો છે, પરંતુ વિશિષ્ટ કિસ્સામાં વપરાતા સિદ્ધાંતો પૂર્વધારણાઓ છે.
ઈ. સ. પૂ. 300ના અરસામાં લખાયેલા યુક્લિડનાં મૂળ તત્ત્વોમાં ‘સર્વસામાન્ય ખ્યાલો’ અને ‘પૂર્વધારણાઓ’ એવા વિભાવનાગત ભેદ કર્યા છે. આની મદદથી તર્કપરંપરાથી યુક્લિડે 465 જેટલાં વિધાનો તારવેલાં છે.
યુક્લિડે તેની ભૂમિતિના પ્રારંભમાં પાંચ સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને પાંચ પૂર્વધારણાઓ નોંધી છે; જેમ કે, ‘એક વસ્તુને સમાન હોય તેવી વસ્તુઓ એકબીજીને સમાન હોય છે.’ ‘સરખામાં સરખા ઉમેરીએ તો સરવાળા સરખા રહે.’ ‘એકબીજી ઉપર બંધબેસતી વસ્તુઓ એકબીજીને સરખી થાય.’ વગેરે. આ સ્વયંસિદ્ધ સત્યો છે. આ વિધાનો બધાં વિજ્ઞાનોને લાગુ પડે છે.
‘કોઈ પણ બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઈ તથા કોઈ પણ લંબાઈની ત્રિજ્યા લઈ વર્તુળ રચી શકાય.’ ‘કોઈ એક રેખા અને તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી તે રેખાને સમાંતર એક જ રેખા દોરી શકાય.’ (સમાંતરની પૂર્વધારણા) ‘કોઈ બે બિંદુ આપેલાં હોય તો તે બંને બિંદુમાંથી પસાર થાય તેવી એક જ રેખા મળે છે.’ યુક્લિડની ભૂમિતિમાં લીધેલી આ પૂર્વધારણા સમતલ પરની રેખાઓ માટે સાચી છે, પણ ‘બે બિંદુમાંથી એક કરતાં વધુ રેખાઓ પસાર થઈ શકે.’ આ પૂર્વધારણાની મદદથી પણ ભૂમિતિનો તાર્કિક વિકાસ કરી શકાય. સમાંતરની પૂર્વધારણાની સત્યતા અંગે ખુદ યુક્લિડને પણ અવઢવ હતી. ત્યારપછી ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પૂર્વધારણાની આ સત્યાસત્યતા સાબિત કરવા પ્રયાસ કર્યા, પરંતુ તેમને તેમાં સફળતા ન મળી.
ગોસ અને બોલ્યાઇએ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે યુક્લિડની સમાંતર પૂર્વધારણાને બદલે ‘આપેલી સુરેખાની બહારના એક બિંદુમાંથી સુરેખાને સમાંતર ઓછામાં ઓછી બે સુરેખાઓ દોરી શકાય’ – એવી પૂર્વધારણા સ્વીકારી તેમાંથી રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી લૉબેશેવ્સ્કીએ યુક્લિડેતર ભૂમિતિ રચી, જે અતિવલયી (hyperbolic) ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાય છે; જ્યારે જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી રીમાન્ને ‘આપેલી સુરેખાની બહારના એક બિંદુમાંથી સુરેખાને સમાંતર એક પણ રેખા દોરી શકાય નહિ.’ આ પૂર્વધારણા આપી જેમાંથી રીમાન્નની ભૂમિતિ કે ઉપવલયી (elliptic) ભૂમિતિ મળી. રીમાન્ને અન્ય વ્યાપક ભૂમિતિઓ પણ આપી અને પાછળથી તેમનો ઉપયોગ સાપેક્ષવાદમાં કરવામાં આવ્યો. ભૂમિતિમાં પૂર્વધારણા સ્પષ્ટતાથી રજૂ કરવામાં આવે છે, પરંતુ ગણિતની દરેક શાખામાં પૂર્વધારણાઓ તો હોય જ છે; દા. ત., સંખ્યાસંહતિ(number system)માં ક્રમનો નિયમ, જૂથનો નિયમ વગેરે પૂર્વધારણાઓ છે.
શિવપ્રસાદ મ. જાની