પીએનો, જીઉસિપ્પી (જ. 27 ઑગસ્ટ 1858, સ્પિનેટ્ટા, ઇટાલી; અ. 20 એપ્રિલ 1932, તુરિન, ઇટાલી) : ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી અને સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્ર(symbolic logic)ના પ્રણેતા. પિતાનું નામ બાર્ટોલોમિયો અને માતાનું નામ રોઝા કેવેલો હતું. બાર વર્ષની ઉંમરે તે અભ્યાસ કરવા મોસાળ તુરિન નગરમાં ગયા. શરૂઆતનું શિક્ષણ ઘરમાં જ શિક્ષકો પાસેથી મેળવ્યું. 1873માં કેવર સ્કૂલમાંથી શાળાંત પરીક્ષા પસાર કરી. 1876માં ઉચ્ચતર માધ્યમિક શાળાની પરીક્ષા ઉચ્ચગુણાંક સાથે પસાર કરી. આથી તુરિન યુનિવર્સિટીની પ્રૉવિન્સ કૉલેજમાં નિ:શુલ્ક રહેવા-જમવાની શિષ્યવૃત્તિ મળી. 1880ના જુલાઈ માસમાં તેઓ યુનિવર્સિટીની અંતિમ પરીક્ષામાં ઉચ્ચ સન્માન સાથે ઉત્તીર્ણ થયા. તેમના ગણિતના અધ્યાપકોમાં એનરિકો દ’ ઓવીદિયો, ફ્રાન્સેસ્કો સિયાકી, જિનોક્ચી, બ્રુનો ઇત્યાદિ હતા. 1880-81ના શૈક્ષણિક વર્ષમાં દ’ ઓવીદિયોના મદદનીશ તરીકે અને 1881થી જિનોક્ચીના મદદનીશ તરીકે, પછી 1889 સુધી જિનોક્ચીની અવેજીમાં રહ્યા. 1887માં એક ચિત્રકારની પુત્રી કેરોલા ક્રોસિયો સાથે તેમનાં લગ્ન થયાં.
1890ના ડિસેમ્બરમાં પીએનોને તુરિન યુનિવર્સિટીમાં શૂન્યાભિચલ-કલનશાસ્ત્ર(infinitesimal calculus)ના ખાસ અધ્યાપક નીમવામાં આવ્યા. 1895માં વરિષ્ઠ પ્રાધ્યાપક બન્યા. લશ્કરી અકાદમીમાં પ્રાધ્યાપક તરીકે જોડાયેલા, તેમાંથી 1901માં છૂટા થયા; પરંતુ તુરિન યુનિવર્સિટીમાં મૃત્યુ પર્યંત કામ કર્યું.
શરૂઆતનાં વર્ષોમાં પ્રેરણાદાયી શિક્ષક હતા, પરંતુ સંશોધનકાર્યમાં લાગી જતાં તેમની શિક્ષણપદ્ધતિ પર માઠી અસર થઈ. તેની સામે વાંધો લેવાતાં લશ્કરી અકાદમીમાંથી તેમણે રાજીનામું આપ્યું અને પૉલિટેકનિકમાં શીખવવાનું પણ બંધ કર્યું. આમ છતાં તેમણે શાળાઓનાં ગણિતશિક્ષણનાં મંડળોમાં સક્રિય કામ કર્યું તુરિન યુનિવર્સિટીમાં શાળાના શિક્ષકો માટે શ્રેણીબદ્ધ પરિષદો યોજી. ગણિતશિક્ષણમાં સ્પષ્ટતા, ઊંડાણ અને સરળતાના તેઓ હિમાયતી હતા. તેમને ઇટાલીનો ‘નાઇટ’નો ખિતાબ પણ મળેલો.
પીએનો સાંકેતિક તર્કશાસ્ત્રના આદ્યસ્થાપક અને અભિગૃહીત પદ્ધતિ (axiomatic method) અને વિશ્લેષણ(analysis)માંના સંશોધનકાર્ય માટે જાણીતા છે. કોશી અને ઑઇલર પછી લખાયેલાં ગાણિતિક વિશ્લેષણનાં તેમનાં બે પુસ્તકો આ વિષયનાં પ્રસિદ્ધ પુસ્તકો ગણાય છે. પીએનોનાં આ બંને પુસ્તકોનો જર્મન વિશ્વકોશમાં વિગતે ઉલ્લેખ છે. 1893માં શૂન્યાભિચલ વિશ્લેષણ વિશે પ્રકાશિત થયેલા તેમના બે ગ્રંથો તે વિષયની વિશદ અને સ્પષ્ટ રજૂઆત માટે નોંધપાત્ર છે.
પીએનો-જીઉસિપ્પી રચનાનાં પ્રથમ ત્રણ પગલાં
પીએનોનું પ્રથમ સંશોધનપત્ર 1881માં પ્રકાશિત થયું. 1883થી તેમણે વિશ્લેષણમાં વિધેયની સંકલનીયતા (integrability) અને ક્ષેત્રફળ વિશે સંશોધનાત્મક લેખો લખ્યા. ‘સતત વિધેય f માટે વિકલ સમીકરણ y’ = f(x, y)નો ઉકેલ છે’ – તેવું સૌપ્રથમ તેમણે સાબિત કરેલું. 1890માં આવું જ પરિણામ તેમણે વિકલ સમીકરણોની સંહતિ (system) માટે સાબિત કર્યું. આ લેખમાં પસંદગીની પૂર્વધારણા(axiom of choice)નું સ્પષ્ટ વિધાન પહેલી વાર સમાવિષ્ટ થયેલું છે. આ પૂર્વધારણા (postulate) ગણિતની સામાન્ય સમજની બહાર છે એમ કહી તેમણે નકારેલી અને ઘણાં પ્રતિઉદાહરણો (counter-examples) પણ આપેલાં. 1890માં પ્રકાશિત થયેલો પીએનોનો અવકાશ આવરતો વક્ર (Peano’s space filling curve) પ્રખ્યાત છે.
પીએનો-વક્ર : આ વક્ર સતત પ્રચલ વિધેયથી વ્યાખ્યાયિત થાય છે અને પ્રચલ કોઈ અંતરાલમાં બધી કિંમતો ધારણ કરે છે ત્યારે આ વક્ર ચોરસ(કે ત્રિકોણ)ના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. (જુઓ આકૃતિ) પીએનો-વક્રનાં પ્રથમ ત્રણ પગલાં આ આકૃતિ(i), (ii), (iii)માં દર્શાવેલાં છે.
પીએનો-વક્ર સમતલના ઉપગણ તરીકે ક્યાંય સઘન (dense) નથી. એ જૉર્ડન-વક્ર છે, પણ કૅન્ટર-વક્ર નથી અને તેથી તેને લંબાઈ નથી. આ વક્રને ગુણિત (multiple) બિંદુઓ છે. ભૌમિતિક દૃષ્ટિએ તે રેખા અને સમતલના પરિણામનો તફાવત દર્શાવે છે. આ વક્રનું ઉચ્ચ પરિમાણીય વ્યાપકીકરણ (higher dimensional generalization) થયું છે; એટલું જ નહિ, પણ સંસ્થિતિ અવકાશ (topological) સુધીનું વ્યાપકીકરણ થયું છે, જે ‘મઝુરકીવિક્ઝ પ્રમેય’ તરીકે જાણીતું છે. ફ્રૅક્ટલ્સનો ખ્યાલ પણ પીએનો-વક્ર સાથે જોડાયેલો છે.
પીએનોએ સપાટીના ક્ષેત્રફળની ખોજ, જેકોબિયન નિશ્ચાયક, ટેઇલરનું પ્રમેય, ક્ષેત્રકલન(quadrature)નાં સૂત્રો, માપન (measure) વિશે વ્યાપક વિભાવન વગેરે બાબતો અંગે કામ કરેલું છે. નિર્ગમિત (deductive) તર્કશાસ્ત્રમાં પ્રક્રિયા (operations) પરના લખાણમાં તેમણે મુખ્યત્વે બુલ, શ્રોડર અને મેકકૉઇલ વગેરેના કામનું સંકલન કરેલું છે. પછીથી ઍરિથમેટ્રાસિસ પ્રિન્સિપિયા, નોવા મેથેડા ઍક્સ્પોઝિટામાં તેમણે તાર્કિક સંજ્ઞાઓમાં નોંધપાત્ર સુધારા કર્યા અને સંખ્યાઓ વિશેની પ્રખ્યાત પૂર્વધારણાઓનું પ્રથમ વાર સ્પષ્ટ વિધાન કરવામાં આવ્યું. આ પૂર્વધારણાઓ નીચે મુજબ છે.
પીએનોની પૂર્વધારણાઓ (Peano’s axioms) : પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ ।N અને તેના અનુવિધેય (successor function) S માટે
આ પૂર્વધારણાઓ પ્રવર્તમાન સ્વરૂપમાં 1898માં મુકાઈ છે.
1890થી 1900ના ગાળામાં તેમણે તર્કશાસ્ત્ર પર કામ ચાલુ રાખ્યું. ઝૂરિકમાં યોજાયેલી આંતરાષ્ટ્રીય ગણિત પરિષદમાં તેમણે વ્યાખ્યાન આપ્યું. પૅરિસમાં યોજાયેલી ફિલૉસૉફીની પરિષદમાં તે અને તેમના સહકાર્યકરો છવાઈ ગયા. તેમણે 1891માં ‘રિવિસ્તા દ’ મૅથેમૅટિકા’ નામનું સંશોધન-સામયિક શરૂ કર્યું. તેમણે ફૉર્મ્યુલેરીઓ નામની પોતાની મહત્ત્વાકાંક્ષી યોજનાની જાહેરાત કરી, તેમાં ગણિતની વિવિધ વિદ્યાશાખાઓનાં બધાં જ જાણીતાં પરિણામોને તર્કશાસ્ત્રના સંકેતો વાપરી સાબિત કરવાની તેમની ઇચ્છા હતી. યુક્લિડીય ભૂમિતિને પૂર્વધારણાના પાયા પર મૂકી અદ્યતન સ્વરૂપ આપ્યું. અવ્યાખ્યાયિત પદો જેમ બને તેમ ઓછાં હોવાં જોઈએ તેવો તેમનો આગ્રહ હતો. ‘બિંદુ’ અને ‘વચ્ચે હોવું’ એમ માત્ર બે જ અવ્યાખ્યાયિત પદો સ્વીકારીને 1894માં તેમણે પૂર્વધારણાયુક્ત ભૂમિતિનો અભિગમ વિકસાવ્યો. વિવિધ વિષયો પરનાં સંશોધન-સંપાદનનાં તેમનાં અનેક પુસ્તકો અને લેખો પ્રકાશિત થયેલાં છે. તેમના સમકાલીનો અને ખાસ કરીને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ પર તેમની ઊંડી અસર હતી. તેમણે વિકસાવેલા સાંકેતિક તર્કશાસ્ત્ર અને સ્વરૂપશાસ્ત્રના વિષયોનું ગણિતની પ્રગતિમાં અવિસ્મરણીય પ્રદાન છે.
રેખા મહેતા