પાયથાગોરાસ

પાયથાગોરાસ [જ. આશરે ઈ. પૂ. 58૦, સેમોસ, આયોનિયા (હાલનું એશિયા માઇનોર); અ. : આશરે ઈ. પૂ. 5૦૦, મેટાપોન્ટમ લ્યુકેનિયા, દક્ષિણ ઇટાલી] : ગ્રીક ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી. તેઓ પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી થેઇલ્સના શિષ્ય હતા.

થેઇલ્સના સૂચનથી તેમણે ઇજિપ્ત અને બીજા દેશોની મુલાકાત લઈ ઘણું જ્ઞાન સંપાદન કર્યું હતું. તેમને ઘણા શિષ્યો હતા. તેમણે ‘ઑર્ડર ઑવ્ પાયથાગોરાસ’ નામનું વિદ્વન્મંડળ સ્થાપ્યું હતું.

સામોસની જુલ્મી રાજ્યવ્યવસ્થાને કારણે ત્યાંથી સ્થળાંતર કરી દક્ષિણ ઇટાલીના ક્રેટોના શહેરમાં વસ્યા. તેમણે ગણિતના વિષયમાં ઘણાં વ્યાખ્યાનો આપ્યાં હતાં; જેમાં અમીર, ઉમરાવો ઉપરાંત સ્ત્રીઓ પણ હાજર રહેતી. તેમણે તેમના એક યજમાન મીલોની સુંદર પુત્રી થિયાનો સાથે લગ્ન કર્યાં હતાં, જેણે પાયથાગોરાસનું જીવનચરિત્ર લખ્યું છે. પાયથાગોરાસનું મોટાભાગનું લેખન અને સંશોધનકાર્ય નાશ પામ્યું છે આથી તેમના કાર્યને તેમના અનુયાયીઓના કાર્યમાંથી જુદું તારવવું મુશ્કેલ છે.

પાયથાગોરાસે ભૂમિતિમાં ક્ષેત્રફળ(area)નાં સૂત્રો, નક્કર પદાર્થનાં ઘનફળ(volume)નાં સૂત્રો અને સંખ્યાઓ(numbers)ના સિદ્ધાંતો તૈયાર કર્યાં હતાં. કાટખૂણ ત્રિકોણની બાજુઓ પરના ચોરસોના ક્ષેત્રફળ ઉપરનો સિદ્ધાંત તેમણે શોધ્યો, જે ‘પાયથાગોરાસના પ્રમેય’ તરીકે પ્રચલિત છે.

પાયથાગોરાસનું પ્રમેય : કાટખૂણ ત્રિકોણમાં કર્ણ (hypotenuse) ઉપરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ કાટખૂણો બનાવતી બાકીની બે બાજુઓ પરના ચોરસના ક્ષેત્રફળ બરાબર હોય છે. આ પ્રમેયની સાબિતી બે વિશિષ્ટ આકારના કાટખૂણ ત્રિકોણો માટે જ ઉપલબ્ધ હતી.

(i) Δ ABCમાં કર્ણ BC = 5, AB = 3 અને AC = 4 સે.મી. લઈ તેની ઉપર ચોરસ રચી પ્રમેયનું સમર્થન થઈ શકે છે. (આકૃતિ 2)

(ii) ત્રિકોણ ABCમાં AB = AC લઈ, તેની બાજુઓ પર ચોરસ દોરીને દર્શાવ્યું કે પ્રમેયનું સમાધાન થાય છે. (આકૃતિ 3)

ઈ. સ. 115૦માં ભાસ્કરાચાર્યે  પાયથાગોરાસના પ્રમેયની સાબિતી આપી. તદનુસાર આકૃતિ 4 અને આકૃતિ 5માં બે સમાન ચોરસ (square) (a + b બાજુવાળા) છે. તે બંનેમાં એકસરખા (એકરૂપ) એવા ચાર ચાર કાટખૂણ ત્રિકોણો 1, 2, 3, 4 છે. આકૃતિ 4માંથી આ ચાર કાટખૂણ ત્રિકોણો કાઢી લઈએ તો કાટખૂણ ત્રિકોણના કર્ણ પરનો ચોરસ મળે છે. આકૃતિ 5માંથી એ જ માપના ચાર કાટખૂણ ત્રિકોણો કાઢી લઈએ તો કાટખૂણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ પરના ચોરસ મળે છે. ∴ c² = a² + b² થાય, જે પાયથાગોરાસનું પ્રમેય સિદ્ધ કરે છે.

વળી પાયથાગોરાસના પ્રમેયની સાબિતી યૂક્લિડે આપી છે. (જુઓ આકૃતિ 6)

આ આકૃતિમાં Δ LBC ≡ ABH, ∴ 2Δ LBC ≡ 2Δ ABH. વળી Δ LBC = Δ BLM અને Δ ABH = Δ BHN

∴ 2Δ LBC = 2Δ BHN

∴  ચોરસ AL = લંબચોરસ BN. એવી જ રીતે AG અને BFને જોડીને

ચોરસ AF = લંબચોરસ CN છે એમ દર્શાવી શકાય.

∴  ચોરસ AL + ચોરસ AF = લંબચોરસ BN + લંબચોરસ CN = ચોરસ BG

આમ પાયથાગોરાસનું પ્રમેય સિદ્ધ થાય છે.

સંખ્યાશાસ્ત્ર(theory of numbers)માં પાયથાગોરાસનું પ્રમેય :  અસંમેય સંખ્યા છે. આ પરિણામની સાબિતી પાયથાગોરાસે આપેલી નથી; જોકે તેને આવા પરિણામ અંગે આશંકા હતી. આ પ્રમેયની સાબિતી ઈ. સ. પૂ. 4૦૦માં યૂક્લિડ અને યુડૉક્સસે આપી છે. (આકૃતિ 7)

આકૃતિ 7 : વાળું પ્રમેય

પ્રમેય : અસંમેય છે.

સાબિતી : કાટખૂણ Δ ABCમાં ∠ A = 9૦⁰, AB = AC = 1 લઈએ તો પાયથાગોરાસના પ્રમેય અનુસાર કર્ણ BC = થાય. કર્ણ ત્રિકોણની મોટામાં મોટી બાજુ હોય છે. તેથી  > 1. વળી ત્રિકોણની ગમે તે બે બાજુનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય છે. હવે Δ ABCમાં AB + AC > BC ∴ BC < AB + AC એટલે  < 2 છે. આમ 1 < < 2 છે (આકૃતિ 7). વળી કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાનો વર્ગ 2 ન થાય. ∴  પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી. તો  અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે તેમ લઈએ. આથી = છે. (અહીં p > q, p, q, ∈ N અને (p,q) = 1 એટલે કે p અને q વચ્ચેનો સામાન્ય અવયવ 1 છે.) ∴ બંને બાજુનો વર્ગ કરતાં છે. આથી 2q² = P² ⇒ p² સમસંખ્યા (even number) છે. ⇒ p = સમસંખ્યા છે. ⇒ p = 2m છે અને m∈N છે. ∴ 2q² = 4m² ⇒ q² = 2m² = સમસંખ્યા ⇒ q = સમસંખ્યા છે. ∴ p અને q બંને સમસંખ્યા થાય છે; જેથી (p, q) = 2 એટલે કે p અને q વચ્ચેનો સામાન્ય અવયવ 2 છે, જે આપણી ધારણા (p,q) = 1નું ખંડન કરે છે. ∴  =  = અપૂર્ણાંક હોય તેવું શક્ય નથી. ⇒ સંમેય (rational) નથી ⇒ અસંમેય (irrational) છે.

પાયથાગોરાસ ત્રિકોણ અને પાયથાગોરાસની ત્રિપુટી : કાટખૂણ Δ ABCની a, b, c બાજુઓ છે અને c કર્ણ છે. આથી પાયથાગોરાસના પ્રમેય અનુસાર c² = a² + b² છે. જો a, b, c ધનપૂર્ણાંકો હોય અને  c² = a² + b² હોય તો Δ ABCને પાયથાગોરાસ ત્રિકોણ કહેવાય છે.

કોષ્ટકમાં બતાવ્યા પ્રમાણે a < b < c એ પાયથાગોરાસ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈઓ હોય તો ત્રિપુટી (a, b, c)ને પાયથાગોરાસ ત્રિપુટી (Pythagorean triple) કે પાયથાગોરાસ સંખ્યાઓ (Pythagorean numbers) કહેવાય છે. a, b, cને સામાન્ય અવયવ ન હોય તો પાયથાગોરાસ ત્રિપુટી(કે ત્રિકોણ)ને મૂલગત (primitive) કહેવાય છે. આમ ત્રિપુટી (3, 4, 5) એ મૂલગત છે; પણ ત્રિપુટી (6, 8, 1૦) નથી. (3, 4, 5), (6, 8, 1૦), (5, 12, 13), (9, 12, 15) અને (8, 15, 17) આ પ્રથમ પાંચ પાયથાગોરાસ ત્રિપુટીઓ છે.

આ અંગેનું જ્ઞાન પાયથાગોરાસથી ઘણી સદીઓ પહેલાં બૅબિલોન અને સિંધુ સંસ્કૃતિનાં ધાર્મિક પુસ્તકોમાં જાણીતું હતું. પાયથાગોરાસે જણાવેલું કે એક બિંદુ ફરતા છ સમબાજુ (equilateral) ત્રિકોણ કે ચાર સમચોરસ (squares) અથવા ત્રણ સમબાજુ ષટ્કોણ (regular hexagons) દોરી શકાય [આકૃતિ 8(i), (ii), (iii).

વળી તેમણે ઘનભૂમિતિના બે ઘનપૃષ્ઠો દ્વાદશફલક (dodecahedron) અને વિંશતિફલક (icoshedron) રચ્યાં હતાં. [આકૃતિ 9 (i) અને 9(ii)

ત્રિકોણનાં ત્રણ નિત્યસમો sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x અને 1 + cot²x = cosec²xને પાયથાગોરાસ નિત્યસમો (identities) કહેવાય છે. નિયમિત પંચકોણમાં બધા વિકર્ણો (diagonal) દોર્યા પછી પંચકોણની બાજુઓ ભૂંસી નાંખતાં એક પાંચ અણીવાળો તારક (star)  મળે છે. તેને પાયથાગોરાસનો પંચતારક (pentagram) કહેવાય છે.

ઘનભૂમિતિમાં સુરેખાના ત્રણ અક્ષો સાથેના ખૂણાઓ ∝, β, ϒ માટે cos∝, cosβ, cosϒ ને તે સુરેખાના દિક્કોસાઇન (direction cosines) કહેવાય છે. તેને અનુક્રમે l, m, n સંકેત વડે દર્શાવાય છે. l, m, n વચ્ચેનો સંબંધ l² + m² + n² = 1 છે. આ સંબંધને દિક્કોસાઇનો વચ્ચેનો પાયથાગોરાસ સંબંધ કહેવાય છે. 1, 3, 6, 1૦, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66 …… સંખ્યાઓને આકૃતિ 11 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણમાં ગોઠવી શકાય છે, તેથી તેમને ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ કહેવાય છે. આ સંખ્યાઓની શોધ પાયથાગોરાસે કરી હતી.

પાયથાગોરાસે સંગીત અને ગણિત વચ્ચેનો સંબંધ સૌપ્રથમ શોધ્યો હતો. તેમણે આંદોલિત થતા તારની લંબાઈ અને તેમાંથી ઉત્પન્ન થતા સ્વરની તીવ્રતા વચ્ચે સંબંધ છે તેમ સૌપ્રથમ પ્રતિપાદિત કર્યું હતું.

નરેન્દ્ર પ. ભામોરે