દ્વિપદી પ્રમેય

દ્વિપદી પ્રમેય (binomial theorem) : આઇઝેક ન્યૂટને ઈ. સ. 1665માં રજૂ કરેલો બે પદના વિસ્તરણનો સિદ્ધાંત.

n ∈ N માટે(a + b)ⁿનું વિસ્તરણ સૂત્ર

(a + b)ⁿ = nC₀aⁿ + nC₁ a^n–1b + nC₂a^n–2b² + ………. + nC_ra^n–rb^r + …… + nC_n bⁿ …………………….(i) છે.

આ સૂત્રમાં a અને b એમ બે પદો હોવાથી તેને દ્વિપદી પ્રમેય કહે છે. આ સૂત્રમાં  (n+1) પદો છે અને (i) નું શ્રેણી સૂત્ર

T_r+1 = nC_r a^n–r b^r ……….(ii) છે. અહીં

વિસ્તરણ(i)માં nC_o, nC₁, nC₂,………_nC_n છે. આ (n+1) સહગુણકોને n-ઘાતી દ્વિપદી સહગુણકો (binomial coefficients) કહે છે. વિસ્તરણ(i)માં n = 0,1,2,3,……… અને a = 1, b = x લેતાં નીચેનાં જેવાં વિશિષ્ટ વિસ્તરણો મળે છે :

(1 + x)⁰ = 1

(1 + x)¹ = 1 + x

(1 + x)² = 1 + 2x + x²

(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³

(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴ વગેરે મળે છે.

અહીં T_r+1 = nC_rx^r છે. આ રીતે પ્રાપ્ત થયેલાં વિસ્તરણોના દ્વિપદી સહગુણકોને નીચે મુજબ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપે મૂકી શકાય છે. આવા ત્રિકોણને પાસ્કલનો ત્રિકોણ કહે છે. પાસ્કલના ત્રિકોણની રચના પરથી સ્પષ્ટ દેખાય છે કે દરેક અંક તેની ઉપરની ડાબી અને જમણી બાજુના અંકોના સરવાળા બરાબર છે.

                                                             1

                                                     1               1

                                             1              2               1

                                     1              3               3               1

                             1              4              6               4               1

બંને છેડે એક અંક શૂન્ય ગણી લેવામાં આવે છે. જો r મી પંક્તિમાં s મા ક્રમે આવેલા ઘટકને a(r,s) દ્વારા દર્શાવીએ તો

a (r,s) = a(r–1,s–1) + a(r–1,s), અહીં r>1, 1 ≤ s ≤ r અને a(1,1) = 1 છે. …………………………………(iii)

દ્વિપદી સહગુણકો વચ્ચે

(i) nC₀ + nC₁ + nC₂ + ………+ nCn = 2ⁿ

(ii) nC₀ + nC₂ + nC₄ + …… = nC₁ + nC₃ + nC₅ + …. = 2^n–1

(iii) C₀² + C₁² + C₂² + ………. + C_n² (અહીં C_r = nC_r છે. આવા સંબંધો સ્થાપિત કરી શકાય છે.

દ્વિપદી વિસ્તરણમાં (n+1) પદો છે, તેથી (i) n = યુગ્મસંખ્યા (even number) હોય તો પદ વિસ્તરણનું મધ્યમપદ બને છે અને (ii) n = અયુગ્મ સંખ્યા (odd number) હોય તો  માં પદો મધ્યમપદો બને છે. આ મધ્યમપદો n ઘાતી દ્વિપદી સહગુણકોમાં મહત્તમ હોય છે. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ નિત્યસમો (identities), કેટલીક શ્રેઢીઓના સરવાળા, કેટલીક અસંમેય સંખ્યાઓનાં આસન્ન (approximate) મૂલ્યો મેળવી શકાય છે.

દ્વિપદી સહગુણકોની કિંમતો સાથે સૂત્ર (i)ને

મુજબ લખી શકાય છે. જો nN હોય તો સૂત્ર (i) અથવા (iv)ની સાબિતી (સંચય) પસંદગીની રીતો દ્વારા, ગણિતીય અનુમાન (mathe-matical induction) (લાગ્રાન્જના શેષ સહિત) ટેઇલરની શ્રેઢી દ્વારા કે (કોશીના શેષ સહિત) ટેઇલરની શ્રેઢી દ્વારા આપી શકાય છે.

જો  a = 1 અને b = x  લઈએ તો

IxI<1 માટે પરિણામ(v)ની જમણી બાજુએ આવેલી શ્રેઢીની કિંમત n∈Q માટે (1+x)ⁿ ની એક ધન કિંમત બરાબર થાય છે એમ એન. એચ. આબેલ (1802–1829) નામના ગણિતશાસ્ત્રીએ બતાવ્યું.

વળી જો x(x–1)(x–2)…..(x–r+1)=x_r લઈએ તો

(m+n)_r=m_r+rc₁m_r-1n₁+rC₂m_r–2n₂ +…….+n_r ………………………….(vi) થાય છે.

(vi)ને વેન્ડરમોન્ડીનું પ્રમેય કહે છે. આ પ્રમેયની સાબિતીમાં nN માટેના દ્વિપદી-વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવેલો. |x|<1,n∈Q માટે પરિણામ (v) સાચું છે એમ સૂત્ર(vi)ની મદદથી યુલરે બતાવ્યું. આમ |x|<1 હોય ત્યારે અનંત શ્રેઢીઓના સરવાળાને દ્વિપદી સ્વરૂપે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે :

n =, 1, 2, 3 વગેરે કિંમતો (vii)માં મૂકતાં (1+x)^–, (1+x)^–1, (1+x)^–2 વગેરેનાં વિસ્તરણો મળે છે. વળી (vii)માં x ને બદલે x મૂકીએ તો

મળે છે, જેમાં n = , 1, 2, 3 વગેરે કિંમતો મૂકવાથી (1–x)^–, (1–x)^–1, (1–x)^–2 વગેરેનાં વિસ્તરણો મળે છે. n, x∈R અને |x|<1 માટે પરિણામ (v) સિદ્ધ થયેલું છે. n∈R, x ∈ ⊄ અને |x|<1  માટે પરિણામ (v) સાચું છે અહીં (1+x)ⁿ નો અર્થ તેની મુખ્ય કિંમત (principal value) છે. તેથી દ્વિપદી પ્રમેયનું વ્યાપક સ્વરૂપ : n∈R, z ∈ ⊄ તો અનંત શ્રેઢી

અભિસારી (convergent) કરે તેવી z ની બધી જ કિંમતો માટે શ્રેઢી (ix) નો સરવાળો (1+z)ⁿ ની મુખ્ય કિંમત બરાબર થાય છે. આ પ્રમેય n ∈ ⊄ માટે પણ સાચું છે એમ દર્શાવી શકાય.

નરેન્દ્રભાઈ પ. ભામોરે