દ્રવગતિશાસ્ત્ર

દ્રવગતિશાસ્ત્ર (hydrodynamics) : અદબનીય તરલની ગતિના નિયમો અને તેના પ્રવર્તનનું શાસ્ત્ર. સીમા આગળ થતી તરલની આંતરક્રિયા સાતત્યકયાંત્રિકી (continuum mechanics) સાથે સંબંધ ધરાવે છે. બંધ, જળાશય અને નહેર જેવી જળયોજનાઓ સાથે માણસ ઘનિષ્ઠ સંબંધ ધરાવે છે. આથી પાણી જીવનનો પર્યાય ગણાય છે. ઉપરાંત માણસની જિજ્ઞાસાવૃત્તિ અને તેના વૈજ્ઞાનિક સ્વભાવને કારણે આ શાખાનો વ્યાવહારિક અને વૈશ્લેષિક વિકાસ થયો છે.

તરલક્ષેત્ર (fluid field) : ઉષ્માયાંત્રિકીય અને વિદ્યુતચુંબકીય ગુણધર્મો ઉપરાંત તરલ ઘનતા, શ્યાનતા, આસક્તિ અને સંસક્તિબળ જેવા બીજા કેટલાક ગુણધર્મો પણ ધરાવે છે. માત્ર ગતિકીય ગુણધર્મો ઉપર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાનું હોઈ, કેશાકર્ષણની અસર ધ્યાનમાં લેવાની ન હોવાથી આસક્તિ અને સંસક્તિ બળનું મહત્વ નથી.

તરલક્ષેત્રનો અભ્યાસ લાગ્રાન્જિયન અને ઑઇલેરિયન – એમ બે પદ્ધતિથી થાય છે. લાગ્રાન્જિયન પદ્ધતિમાં જુદા જુદા બિંદુ આગળ તરલના પ્રત્યેક કક્ષની ઝડપ, દિશા, સ્થાન વગેરેની વિગતવાર માહિતી જાણવાની હોય છે. આ પદ્ધતિ વધુ વૈજ્ઞાનિક ખરી પરંતુ ઓછી વ્યવહારુ છે. ઑઇલેરિયન પદ્ધતિમાં કોઈ એક નિશ્ચિત બિંદુ આગળથી પસાર થતા કણોના વેગ-સદિશ ઉપર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાનું હોય છે. આ પદ્ધતિ ઓછી વૈજ્ઞાનિક પણ વધુ વ્યવહારુ છે.

દ્રવગતિશાસ્ત્રમાં આદર્શ અથવા અશ્યાન (inviscid) તરલનો ખ્યાલ મહત્વનો છે. કોઈ પણ આડછેદ આગળ તરલ એક બાજુએ લંબ રૂપે જેટલું દબાણ કરે છે એટલું જ દબાણ બીજા છેડે લાગે છે. આવા દબાણનું મૂલ્ય આડછેદના દિક્-વિન્યાસ (orientation) ઉપર આધારિત હોતું નથી. આ સાથે સદિશ વેગ-ક્ષેત્ર સાથે અદિશ દબાણ-ક્ષેત્ર સંકળાયેલું હોય છે. દ્રવગતિશાસ્ત્રમાં સીમા-શરતોને અનુલક્ષીને આ ક્ષેત્ર નક્કી કરવામાં આવે છે.

શ્યાનબળને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે આડછેદ ઉપર લાગતું લંબ-પ્રતિબળ (stress) સામાન્ય રીતે દિક્-વિન્યાસથી સ્વતંત્ર હોતું નથી. વધુમાં સ્પર્શીય પ્રતિબળ પણ હાજર હોય છે. આથી અદિશ દબાણ-ક્ષેત્રને બદલે પ્રદિશ (tensor) પ્રતિબળ-ક્ષેત્ર લેવું જોઈએ.

દ્રવશુદ્ધ ગતિકી (hydrokinematics) : અહીં તરલની આણ્વિક સંરચના ધ્યાનમાં લેવાતી નથી અને તરલને સાતત્યક તરીકે લેવામાં આવે છે. આથી તરલના વિવિધ ગુણધર્મો સ્થાન અને સમયના સળંગ વિધેય તરીકે લેવામાં આવે છે. લંબ-નિર્દેશાંકો (rectangular co-ordinates) વાળી યામપદ્ધતિમાં બિંદુનું સ્થાન x, y, z વડે દર્શાવવામાં આવે તો વેગ-સદિશક્ષેત્ર U(x,y,z,t) વડે આપવામાં આવે છે અને તેના x,y,z અક્ષની દિશામાં ઘટકો u(x,y,z,t), v(x,y,z,t) અને w(x,y,z,t) તરીકે મળે છે. આથી  થાય છે

તેની દળ-ઘનતા(એકમ કદદીઠ દળ)ને r (x,y,z,t) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. દળ-સંરક્ષણના નિયમ માટે સાતત્ય સમીકરણ પાયાની બાબત છે. સ્રોત (source) અથવા ક્ષાલનપાત્ર (sink) ન હોય તેવા વિભાગમાં સાતત્ય સમીકરણ નીચેના સૂત્રથી આપવામાં આવે છે :

દળ ઘનતા અચળ હોય તો  થતાં સમીકરણ (2) નીચે પ્રમાણે મળે છે :

div U = 0 …………………………………………………………………………………………………………….(3)

આ સમીકરણમાંથી ધારા-પૃષ્ઠ(stream surface)ના a અને b નિયત મૂલ્યોવાળા બે સમૂહ નીચે મુજબ મળે છે :

Ψ (x,y,z) = a, χ (x,y,z) = b …………………………………………………………………………………….(4)

અને ધારા-પૃષ્ઠ a અને b નો આંતર-છેદ પ્રવાહની ધારારેખાઓ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, એટલે કે કોઈ પણ ક્ષણે ધારા-રેખા વેગ-સદિશને સ્પર્શીય હોય છે. આ વ્યાખ્યા મુજબ ધારારેખા માટે વિકલન સમીકરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

આ સમીકરણ નીચે દર્શાવેલા, પથ-રેખાના સમીકરણથી અલગ હોવું જોઈએ. પથ-રેખા એ કણનો માર્ગ છે.

સ્થાયી પ્રવાહ માટે રેખાના બે ગણ (sets) એકાકાર મળે છે. પ્રવાહ માટે ધારા-વિધેય y અને c નક્કી કરવામાં આવે તો વેગ-સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર વડે નીચે મુજબ મળે છે :

U = grad Ψ X grad χ        ………………………………………………………………………………………….(7)

આકૃતિ (1) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચાર પૃષ્ઠ Ψ₁,χ₁,Ψ₂,χ₂ વડે ઘેરાયેલ ધારા-નહેર(stream channel)માં પ્રવાહ-વહનનો દર Q નીચેના સૂત્રથી આપવામાં આવે છે :

Q = (Ψ₂-Ψ₁) (χ₂-χ₁) …………………………………………………………………………………………..(8)

ખાસ કિસ્સાઓમાં બે ધારા-વિધેયો એક બને છે. બે પરિમાણમાં પ્રવાહ માટે વેગ-ઘટકોના સંદર્ભમાં લાગ્રાન્જે વિધેય Ψ(x,y) નીચે પ્રમાણે મળે છે :

Ψનાં અચળ મૂલ્યો ધારારેખા આપે છે અને ધારારેખાઓ Ψ₁ અને Ψ₂ વચ્ચે પ્રવાહનો દર q નીચે પ્રમાણે મળે છે :

q = Ψ₂-Ψ₁…………………………………………………………………………………………………………(10)

બીજો કિસ્સો છે અક્ષ-સમમિતીય પ્રવાહનો. તેને માટે સ્ટોકના ધારા-વિધેય Y (r,z) છે. અહીં z-અક્ષ સમમિતીય અક્ષ સાથે એકાકાર હોય છે અને r , z થી લીધેલું લંબ-અંતર છે. વેગના ઘટકો અને બે ધારા-પૃષ્ઠ વચ્ચે પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્રથી આપવામાં આવે છે :

જો સ્રોત (અથવા ક્ષાલનપાત્ર ઋણ હોય તો) આગળ પ્રવેશ કરતા તરલના ઘનફળનો દર 4πM (જ્યાં M સ્રોત-પ્રબળતા છે) હોય તો r ત્રિજ્યાવાળા અને જેનું કેન્દ્ર સ્રોત ઉપર હોય તેવા ગોળામાંથી નીકળતા તરલ માટે તરલવેગ ત્રિજ્યાવર્તી (radial) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય તેનું થાય છે. વિસ્તારમાં એકથી વધુ સ્રોત હોય તો ગૉસના પ્રમેય મુજબ આ વિસ્તારની સપાટીમાંથી પસાર થતું તરલનું ફ્લક્સ સ્રોત-પ્રબળતાના સરવાળા અને 4π ના ગુણાકાર જેટલું થાય છે. સમગ્ર વિસ્તારમાં સ્રોતનું વિતરણ સળંગ હોય અને એકમ કદદીઠ ઘનતા m હોય તો સાતત્ય-સમીકરણને વ્યાપક સ્વરૂપ આપતાં નીચે પ્રમાણે મળે છે :

div U = 4πm …………………………………………………………………………………………………………(13)

ધારામાં તરલના અંશની વર્તણૂકનું વિશ્લેષણ કરતાં જોવા મળે છે કે તે ω/2 કોણીય વેગથી પરિભ્રમણ કરે છે; જ્યાં ω ભ્રમિલતા (vorticity)નો સદિશ છે અને તે નીચે પ્રમાણે મળે છે :

ω = curl U …………………………………………………………………………………………………………..(14)

આ સદિશ અભિસરણ (circulation) સાથે ઘનિષ્ઠ રીતે સંકળાયેલ છે. આ સદિશને વેગના સ્પર્શીય ઘટકના બંધ વક્રની આસપાસના રેખીય સંકલન વડે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે નીચે પ્રમાણે મળે છે :

સ્ટોકના પ્રમેય મુજબ તે નીચે પ્રમાણે મળે છે :

જ્યાં n પૃષ્ઠ ઉપરના કોઈક બિંદુ આગળ એકમ લંબાઈ ધરાવતો લંબ છે તે અને તેની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પ્રમાણે એટલે કે જમણા અંગૂઠા વડે સ્ક્રૂને ફેરવતાં તે જે દિશામાં ખસે તે દિશા n ની ગણાય. દરેક બિંદુ આગળ ભ્રમિલતા (vorticity) સદિશ દર્શાવતી સ્પર્શક રેખાઓને ભ્રમિલ તંતુઓ કહે છે. ભ્રમિલ રેખાઓનું જૂથ ભ્રમિલ નળી રચે છે. ભ્રમિલ નળીનો આકાર વીંટી જેવો ન હોય તો તેનો આરંભ કે અંત, સીમા ઉપર હોય છે. વધુમાં, ભ્રમિલ નળીના બધા ભાગ આગળ અભિસરણ અચળ રહે છે.

આવા અભિસરણને ભ્રમિલતાની પ્રબળતા (strength) કહે છે.

ભ્રમિલ ગતિ ઉપર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ જેવું સંરક્ષણબળ કાર્ય કરે છે. (1) ભ્રમિલ તંતુઓ હંમેશાં એક તરલના કણોના બનેલા હોય છે. (2) ભ્રમિલ નળીની પ્રબળતા સમયની સાપેક્ષે અચળ હોય છે.

સ્રોત અને ભ્રમિલતા-વિતરણને આધારે પ્રવાહક્ષેત્ર નક્કી થાય છે. તેમાં વેગસદિશ ક્ષેત્ર U નક્કી કરવાનો હોય છે :

div U = 4πm , curl U = ω ………….(17)

તેને પૂર્ણ કરવા માટે U = U1 + U2 મૂકવામાં આવે છે, જ્યાં

div U1 = 4πm curl U1 = 0 ………….(18)

div U2 = 0    curl U2 = ω

વેગ-સદિશ ક્ષેત્ર U1 ને અચક્રીય (irrotational) અને U2 પરિનાલકીય (solenoidal) કહે છે.

આથી U1 = Φ grad મળે છે …………..(19)

દ્રવબળગતિકી (hydrokinetics) : તરલ અંશ (element) ઉપર ગુરુત્વાકર્ષણ જેવું એકમ દળદીઠ બળ લાગે છે, જેને પિંડબળ (body force) કહે છે. તેની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ પ્રતિબળ પણ લાગે છે. પિંડબળ Bના ઘટકો Bx, By અને Bz છે. પ્રતિબળને સમમિતીય પ્રદિશ tij વડે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં i દર્શાવે છે કે પ્રતિબળ સમતલને ધન લંબદિશામાં લાગે છે અને i = 1, 2, 3 તથા j = 1, 2, 3 છે અથવા તો i = 1, 2, 3 અને j = 1, 2, 3 અનુક્રમે x, y, z ઘટકો દર્શાવે છે. જુઓ આકૃતિ (2). અશ્યાન તરલમાં આ પ્રતિબળ સદિશ અદિશ દ્બાણક્ષેત્ર બને છે. તરલમાં પદાર્થ ઉપર બળ F અને વેગમાન M નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

અહીં p = દબાણ છે.

શ્યાન પ્રવાહીને નીચેનાં સમીકરણ લાગુ પડે છે :

અશ્યાન તરલના અંશને ન્યૂટનના ગતિના નિયમ લાગુ પાડતાં તેમાંથી નીચે મુજબનાં ઑઇલરનાં સમીકરણો મળે છે :

 

સમીકરણને સદિશ રૂપે વ્યકત કરવામાં આવે તો નીચે પ્રમાણે મળે છે :

B = grad Ω તરીકે દર્શાવી શકાય છે જ્યાં Ω અદિશ સ્થિતિમાન વિધેય છે. પૃથ્વીની સપાટી ઉપર કોઈ પણ બિંદુ આગળ z ઊર્ધ્વ દિશામાં ધન હોય તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માટે અદિશ સ્થિતિમાન Ω = – gz થાય છે. જ્યાંં g ગુરુત્વ-પ્રવેગ છે.

દ્રવગતિશાસ્ત્રમાં બર્નુલીનું સમીકરણ મહત્ત્વનું સ્થાન ધરાવે છે. તેને ઑઇલર સમીકરણના પ્રથમ સંકલન તરીકે મેળવી શકાય છે. જુદી જુદી શરતો પ્રમાણે આ સમીકરણ જુદાં જુદાં સ્વરૂપ ધારણ

કરે છે.

(1) પ્રવાહ સ્થાયી હોય તો ધારારેખા ઉપરનાં બિંદુ ઉપર નીચે મુજબ સમીકરણ મળે છે :

(2) પ્રવાહ અચક્રીય હોય તો સમીકરણ નીચે મુજબ મળે છે :

(3) પ્રવાહ સ્થાયી અને ધારારેખી હોય અને ભ્રમિલ રેખાઓ સમાંતર હોય તો નીચે પ્રમાણે સમીકરણ મળે છે :

(4) યામપદ્ધતિ ગતિમાં હોય અને યામપદ્ધતિના ઉગમબિંદુના વેગઘટકો U,V,W અને યામપદ્ધતિનો કોણીય વેગ  હોય તો નીચે પ્રમાણે સમીકરણ મળે છે :

જ્યાં ^ . r x U દર્શાવેલ સદિશોનો ત્રિવિધ (triple) અદિશ ગુણાકાર છે. U અને તેના ઘટકો u,v,w તરલના વેગ છે.

અનંત સ્થળે વેગ V_∞ અને દ્બાણ P_∞ હોય તેવી સ્થાયી ધારામાં પદાર્થને ડુબાડવામાં આવે તો અને પદાર્થ ઉપરના બિંદુ આગળ વેગ V અને દ્બાણ P હોય તો બર્નુલીનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે પરિમાણ વિહીન મળે છે :

શ્યાનતાને ગણતરીમાં લેવામાં આવે તો ગતિનું સમીકરણ નેવિયર-સ્ટોકનું સમીકરણ બને છે.

આ સમીકરણને સદિશ સ્વરૂપે વ્યક્ત કરવામાં આવે તો નીચે પ્રમાણે મળે છે :

અચક્રીય પ્રવાહ : અચક્રીય પ્રવાહમાં ભ્રમિલતા શૂન્ય હોય છે અને વેગને અદિશ સ્થિતિમાનના ઢાળ (potential gradient) તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વેગ U = gradΦ થાય છે. લંબનિર્દેશાંક પ્રણાલીમાં સાતત્ય-સમીકરણ નીચે મુજબ લાપ્લાસનું સમીકરણ બને છે :

પ્રવાહ અચક્રીય હોય ત્યારે નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણમાં શ્યાનબળને લીધે ઉદ્ભવતું પદ શૂન્ય બનતાં, આ સમીકરણો ઑઇલર સમીકરણો જેવાં બને છે. આ રીતે શ્યાન અથવા અશ્યાન અચક્રીય પ્રવાહમાં લાપ્લાસ સમીકરણનો, વેગ સ્થિતિમાન માટેનો ઉકેલ મેળવવામાં આવે તો, બર્નુલી સમીકરણમાંથી દ્બાણ ક્ષેત્ર મેળવી શકાય છે.

લાપ્લાસ સમીકરણનો પ્રાથમિક ઉકેલ નીચે પ્રમાણે મળે છે. l,m,n દિક-કોસાઈન (direction cosines) ધરાવતી રેખાની દિશામાં સમાન પ્રવાહ માટે

x-અક્ષ સાથે સંબંધિત Δ પ્રબળતાની દ્વિક (doublet) માટે નીચે પ્રમાણે સમીકરણ મળે છે :

સમાન પ્રબળતાવાળા સ્રોત અને ક્ષાલનપાત્ર એકબીજાની નજીક લાવતાં દ્વિક મળે છે પણ તે દરમિયાન સ્રોત-પ્રબળતા અને તેમની વચ્ચેના અંતરનો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ. સમીકરણ (35), (36) અને (37)નું સંયોજન કરવાથી કેટલાક રસપ્રદ પ્રવાહ મળે છે.

શ્યાન પ્રવાહ : હવા, પાણી અને સામાન્ય તરલ માટે શ્યાનબળ ઘણું ઓછું હોય છે. રેનોલ્ડ આંક 10થી ઓછો હોય તો તેમના પ્રવાહને અશ્યાન ગણી શકાય છે. સીમાની સાપેક્ષતામાં દીવાલ પાસે તરલનો વેગ શૂન્ય હોય છે. સીમા બહારના સ્તર માટે પ્રવાહ અશ્યાન ગણી શકાય છે.

સીમાસ્તર-સમીકરણ તરીકે ઓળખાતા નેવિયર-સ્ટોક્સના સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં વેગ-પરિચ્છેદિકા (profile) માટે સ્તરીય પ્રવાહનો ઉકેલ મળે છે. સીમ-સ્તર-પ્રવાહ પ્રક્ષુબ્ધ (turbulent) હોય છે. પ્રક્ષુબ્ધ પ્રવાહ નેવિયર-સ્ટોકના સમીકરણથી દર્શાવી શકાય છે પણ તેનાથી પ્રક્ષુબ્ધ પ્રવાહ માટે ઉકેલ મળતો નથી.

પ્રહલાદ છ. પટેલ