ટેલરનું પ્રમેય (Taylor’s Theorem) : વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક વિધેય માટેનું પ્રમેય, જે લાગ્રાન્જના મધ્યક-માન (mean value) પ્રમેયનું સાર્વત્રિક સ્વરૂપ (generalisation) છે. લાગ્રાન્જનું મધ્યક-માન પ્રમેય આ પ્રમાણે છે : જો f, એ સંવૃત અંતરાલ [α, β] પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય હોય, [α, β] પર સતત હોય અને વિવૃત અંતરિત (α, β) પર વિકલનીય (differentiable) હોય તો [α, β]માંનાં ભિન્ન બિંદુઓ a અને x માટે f(x) = f(a) + f´(c) (x–a) થાય તેવું બિંદુ c, a અને xની વચ્ચે મળે.
ટેલરનું પ્રમેય : n અને p ધનપૂર્ણાંક અને 1 ≤ p ≤ n માટે f એ [α, β]માં વાસ્તવિક વિધેય છે, f(n–1) [α, β]માં સતત વિધેય છે અને (α, β)ના દરેક બિંદુ t માટે fn(t)નું અસ્તિત્વ છે. વિશેષમાં જો a અને x એ [α, β]નાં ભિન્ન બિંદુઓ હોય તો
થાય એવું બિંદુ c, a અને xની વચ્ચે મળે.
અહીં 
વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેને ટેલરના પરિણામમાં n પદ પછીની શેષ (remainder) કહેવામાં આવે છે. શેષના આ સ્વરૂપને શ્લમી લ્શ-(Schl milch)નું સ્વરૂપ કહે છે. આ સ્વરૂપમાં જો p = n લઈએ તો 
મળે, જે શેષનું લાગ્રાન્જનું સ્વરૂપ છે. p = 1 મૂકતાં, 
થાય, જે કૉશી-(Cauchy)નું સ્વરૂપ છે. ટેલરના પરિણામ પરથી વિધેય માટેની ટેલરની શ્રેઢી મેળવી શકાય છે. જુદાં જુદાં વિધેય માટે શેષનાં જુદાં જુદાં સ્વરૂપ ઉપયોગી છે.
ટેલરના પ્રમેયમાં n = p = 1 લેવાથી લાગ્રાન્જનું મધ્યક-માન પ્રમેય મળે છે. ઉપરના પરિણામ (1)માં x = a + h લેતાં
જ્યાં 0 < θ < 1 છે.
આમ aની નજીકના બિંદુ a + h માટે f(a + h)ને hના વધતા ઘાતના સાંત વિસ્તરણ તરીકે લખી શકાય છે. આ પરિણામથી f અને તેના સાંત (finite) કક્ષાનાં વિકલિતોનું a આગળ મૂલ્ય જાણવાથી f(a+h)નું મૂલ્ય અંદાજી શકાય છે.
દ્વિ-વાસ્તવિક ચલના વિધેય માટેનું ટેલરનું પ્રમેય :
f(x, y) એ બિંદુ (a, b)ના કોઈ સામીપ્ય(neighbourhood)માં વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય છે. વિધેય f અને તેનાં n-કક્ષા સુધીનાં બધાં આંશિક વિકલિતો આ સામીપ્યમાં સતત વિધેયો છે. જો (a+h, b+k) સામીપ્યમાંનું બિંદુ હોય તો કોઈક θ, 0 < θ < 1 માટે
અહીં 
Rn એ શેષનું લાગ્રાન્જનું સ્વરૂપ છે અને 1 ≤ j ≤ n માટે 
થાય છે.
ટેલર શ્રેઢી અને મૅક્લોરિન શ્રેઢી : જો a વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, R > 0 અને f એ અંતરાલ (a – R, a + R) પર વ્યાખ્યાયિત અનંતશ: (infinitely) વિકલનીય વિધેય હોય તો ટેલરના પ્રમેયથી, દરેક ધનપૂર્ણાંક n માટે, સાંત વિસ્તરણ
અહીં જમણી બાજુની શ્રેઢીને fની a આસપાસની ટેલર શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. જ્યારે a = 0 હોય ત્યારે આ શ્રેઢીને મૅક્લોરિન શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. કેટલાંક જાણીતાં વિધેયોની મૅક્લોરિન શ્રેઢી નીચે આપેલી છે :
બે અથવા વધુ વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક વિધેયની ટેલર (મૅક્લોરિન) શ્રેઢીની ચર્ચા પણ ઉપરની રીતે જોઈ શકે.
જો f એ a ના કોઈ પણ સામીપ્યમાં અનંતશ: વિકલનીય (એક વાસ્તવિક ચલનું) વાસ્તવિક વિધેય હોય તો તેની a આસપાસની ટેલર શ્રેઢી f(a) + f´(a) (x–a) + …….. + f(n)(a) (x–a)n + … મળે. એવું બની શકે કે સામીપ્યના દરેક બિંદુએ ઉપરની શ્રેઢી અભિસારી (convergent) હોવા છતાં a સિવાયના કોઈ પણ બિંદુ x માટે તેનો સરવાળો f(x) ન પણ હોય. વિધેય
આનું ઉદાહરણ છે. અહીં f અને fના પ્રત્યેક વિકલિતનું 0 બિંદુએ મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે. આથી fની 0 આસપાસની ટેલર શ્રેઢી 0 + 0 + 0 + … + 0 + … મળે છે. દેખીતી રીતે જ આ શ્રેઢીનો સરવાળો શૂન્યેતર બિંદુ x માટે f(x) નથી.
સંકર ચલ(complex variable)ના સંકર મૂલ્યના વિધેય માટે પણ ટેલર શ્રેઢી વ્યાખ્યાયિત થઈ શકે. જો a સંકર સંખ્યા હોય અને f, aના સામીપ્ય , 
(D એ સંકર સંખ્યાનો ગણ છે, R > 0) માં વ્યાખ્યાયિત વૈશ્લેષિક (analytic) વિધેય હોય તો આ સામીપ્યના દરેક બિંદુ z માટે fની a આસપાસની ટેલર શ્રેઢીનો સરવાળો f(z) થાય છે.
આમ, વાસ્તવિક ચલનાં વાસ્તવિક વિધેયો કરતાં સંકર ચલનાં સંકર વિધેયો ટેલર શ્રેઢીના સંદર્ભમાં જુદાં પડે છે.
મહાવીરેન્દ્ર હરિપ્રસાદ વસાવડા