ચલ (variable) : ચલ એ નિર્દિષ્ટ ગણની કોઈ સંખ્યાઓ કે બીજી રાશિને વ્યક્ત કરતો સંકેત છે. ચલને દર્શાવવા x,y, z, t, u, v, w, …. જેવા મૂળાક્ષરો વાપરવામાં આવે છે. ગણનો ઘટક ચલનું મૂલ્ય કે ચલની કિંમત દર્શાવે છે. પૂરો ગણ એ ગણનો વિસ્તાર (range) છે. ગણને એક જ ઘટક હોય તો તે ચલને અચલ (constant) કહે છે.
દા.ત., (i) સંખ્યા ગણ S = { x/ x∈N }નો અર્થ ચલ xથી બનતો ગણ છે અને x પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
અર્થાત્ S = { 1, 2, 3, 4, …..} છે અને x = પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
(ii) આકૃતિઓનો ગણ S = { ત્રિકોણ, સમચોરસ, વર્તુળ, સમાન્તરબાજુ ચતુષ્કોણ, (parallelogram), લંબચોરસ} છે.
અહીં x = ત્રિકોણ અથવા x = સમચોરસ વગેરે હોઈ શકે.
(iii) વસ્તુઓનો ગણ S = { ટેબલ, ખુરશી, પંખો, ટી.વી., રેડિયો, ફોન} હોય તો ચલ xની કિંમત x = ટેબલ અથવા x = ખુરશી વગેરે લઈ શકાય. ચલનો વિસ્તાર પરિમિત (finite) કે અપરિમિત (infinite) હોઈ શકે છે. ઉપરનાં ઉદાહરણ (ii), (iii)નો વિસ્તાર પરિમિત છે; પરંતુ (i)નો વિસ્તાર અપરિમિત છે. ચલની કિંમત બે નિશ્ચિત કિંમતો વચ્ચે જ લેવામાં આવે તો તે ચલનો વિસ્તાર સીમિત (bounded) છે અને તે ચલને સીમિત ચલ કહે છે.
દા.ત., (i) 1 ≤ x ≤ 3, x = વાસ્તવિક સંખ્યા છે. અહીં x સીમિત ચલ છે. (ii) a અને b નિયત વાસ્તવિક સંખ્યા માટે a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b, a < x ≤ b અને a < x < b માટે ચલ x સીમિત છે. a અને bને ચલની સીમાઓ (bounds) કહે છે. જો બે સીમાઓ પૈકીની ઓછામાં ઓછી એક સીમા અપરિમિત હોય તો ચલ x અસીમિત (unbounded) ચલ છે. વિધેયમાં ચલનો ઉપયોગ અનિવાર્ય છે.
(i) f : A →B, y = f (x), x ∈ A, y ∈ B હોય તો xને નિરપેક્ષ ચલ (independent variable) અને yને સાપેક્ષ ચલ (dependent variable) કહે છે. ગણ Aને વિધેય fનો પ્રદેશ (domain) અને ગણ Bને વિધેય fનો સહપ્રદેશ(co-domain) કહે છે. ગણ {f (x)/x ∈ A}ને વિધેય fનો વિસ્તાર (range) કહે છે. (ii) z = f (x,y)માં x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C છે, x અને y નિરપેક્ષ ચલો છે અને z સાપેક્ષ ચલ છે. ક્રમિક યુગ્મ (ordered pair) (x, y)ને ચલ P તરીકે લઈ શકાય છે. Pને દ્વિચલ કહે છે. R2 (દ્વિપરિમાણ) ભૂમિતિમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. x અને yને Pના યામો (co-ordinates) કહે છે. (iii) u = f (x,y,z) છે. અહીં x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C છે, x,y,z નિરપેક્ષ ચલો છે અને u સાપેક્ષ ચલ છે. (x,y,z) ક્રમિકત્રિપુટી (triad) છે જેને P વડે દર્શાવવામાં આવે છે. R3 (ત્રિપરિમાણ) ભૂમિતિમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. x, y, zને Pના યામો કહે છે. (iv) વ્યાપક રીતે P (x1, x2, …, xn)ને n – ચલ/પુટી(n-tuple) કહે છે, તેનો ઉપયોગ ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં થાય છે.
v = f (x1, x2, …., xn)ને બહુચલ વિધેય કહે છે.
જો કોઈ ચલ y બીજા ચલ xનું વિધેય હોય તો ચલ x એ yનું પણ વિધેય હોય જ એવું હંમેશાં શક્ય બનતું નથી. દા.ત.,
y = x2, -1 ≤ x ≤ 1 આ વિધેય x પર આધારિત વિધેય છે; પરંતુ x=±
સંબંધ માટે yની નિશ્ચિત ધન કિંમત માટે xની બે કિંમતો મળે છે. આમ સંબંધ એક અનેક સ્વરૂપનો છે. આથી x એ yનું વિધેય થઈ શકતું નથી – જો z = f (x, y) હોય તો zના આંશિક વિકલનો (partial derivatives) લઈ શકાય છે. જેને 
વગેરે વડે દર્શાવાય છે. અમુક સાનુકૂળ ચલનો ઉપયોગ કરી કેટલીક વાર વિધેયને દર્શાવવામાં આવે છે, આવા ચલને પ્રાચલ (parameter) કહે છે.
દા.ત., x2 + y2 = a2 (જે વર્તુળ (o, a) છે) તેને x = a cosθ, y = a sinθથી દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં θને પ્રાચલ કહે છે.
વિધેયનું સંકલન સરળતાથી મેળવવામાં કેટલીક વાર ચલપરિવર્તન (change of variable) કરવામાં આવે છે. આવા ચલપરિવર્તનથી પ્રાપ્ત થતા ચલને આદેશ (substitution) કહે છે. એક કરતાં વધુ ચલોનાં પરિવર્તન કરતી વખતે પરિવર્તન ગુણક જૅકોબિયનની જરૂર પડે છે. વિધેયનું વિકલન મેળવવામાં પણ ચલ પરિવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે. મિશ્ર (composite) વિધેયનું વિકલન કરવામાં વપરાતા સાંકળના નિયમ(chain rule)માં આ જોવા મળે છે. દા.ત., જો y=f(u) અને u = g(x) હોય તો y = f(g(x)) થાય જે મિશ્ર વિધેય છે. તેનું વિકલન ફળ = 
નિયમથી કરવામાં આવે છે. વિકલ સમીકરણમાં ચલરાશિઓને વિયોજિત સ્વરૂપે લેવાથી સમીકરણનો ઉકેલ સીધું સંકલન કરવાથી મળે છે. આ પદ્ધતિને વિયોજનીય ચલરાશિ (separable variable) પદ્ધતિ કહે છે.
નરેન્દ્ર પ. ભામોરે