ઘનાકારો (solid shapes)

ઘનાકારો (solid shapes) : પ્રિઝમ, બહુફલક (polyhedron), પિરામિડ, શંકુ (cone), નળાકાર અને ગોલક (sphere) વગેરે નિયમિત (regular) અને અનિયમિત ઘન પદાર્થો.

પ્રિઝમ : બે સમાંતર સમતલોમાં આવેલા અને સમસ્થિતિમાં હોય (similarly situated) તેવા એકરૂપ બહુકોણનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ(vertices)ને જોડવાથી બનતી ઘનાકૃતિ પ્રિઝમ છે. તેનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુઓને જોડવાથી બનતી રેખાઓ સમાંતર હોય છે. તેનાં પૃષ્ઠો (faces) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ આકારનાં હોય છે, જેને પ્રિઝમનાં પાર્શ્વફલકો (lateral faces) કહે છે. ટોચ અને તળિયાના બહુકોણ(polygons)નાં અનુરૂપ બિંદુઓને જોડવાથી મળતી રેખાઓ પાર્શ્વિક ધારો (lateral edges) કહેવાય છે. પ્રિઝમના પાયાના બહુકોણના આકાર પરથી પ્રિઝમને નામ આપવામાં આવે છે. જેમ કે ચતુષ્કોણ પાયાવાળા પ્રિઝમને ચતુર્ભુજી (quadrangular) પ્રિઝમ કહે છે. આવી જ રીતે પંચભુજીય (pentangular), ષડ્-ભુજીય (hexagonal) જેવા પ્રિઝમ મળે છે. (જુઓ આકૃતિ 1).

જે પ્રિઝમમાં પાર્શ્વિક ધારો પાયાને લંબ રૂપે હોય અને પાર્શ્વફલકો લંબચોરસ હોય તેને લંબ-પ્રિઝમ (right prism) કહે છે [આકૃતિ 1(a), 1(c)] જો પાર્શ્વધારો પાયાને લંબ રૂપે ન હોય તો તેને તિર્યક (oblique) પ્રિઝમ કહે છે [આકૃતિ 1(b)]. પ્રિઝમનાં બધાં જ પાર્શ્વફલકો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય તો પ્રિઝમને સમાંતર-ષટ્-ફલક (parallelopiped) કહે છે [આકૃતિ 1(b)]. જો પ્રિઝમનાં બધાં પાર્શ્વફલકો સમચોરસ (square) કે લંબચોરસ (rectangle) હોય તો પ્રિઝમને સમ-ચતુષ્કોણી સમાંતર-ષટ્-ફલક (rectangular paralle-lopiped) કહે છે. તેને લંબઘન (cuboid) પણ કહે છે [આકૃતિ 1(c)]. જેનાં બધાં ફલકો ચોરસ હોય અને દ્વિતલખૂણા (dihedral angles) કાટખૂણા હોય તેવા લંબઘનને ઘન (cube) કહે છે [આકૃતિ 1(d)]. પ્રિઝમની અંદર એકબીજાને છેદતાં ન હોય તેવાં એક કે તેથી વધારે સમતલોથી કપાયેલો પ્રિઝમનો ભાગ રુંડિત (truncated) પ્રિઝમ કહેવાય છે [આકૃતિ (1e)]. સમાંતર ષટ્-ફલકનું ઘનફળ = સમાંતર સમતલો વચ્ચેનું લંબ-અંતર x પાયાનું ક્ષેત્રફળ એટલે કે V = h × A.

કોઈ પણ બંધ ઘન આકૃતિ રચવા માટે ઓછામાં ઓછાં ચાર સમતલ જોઈએ છે. બહુફલક ચાર કે ચારથી વધારે સમતલ સપાટીથી રચાયેલી ઘનાકૃતિ છે. બહુફલકની પ્રત્યેક સપાટીને ફલક કહે છે. બહુફલકનો દરેક ફલક બહુકોણ હોય છે. બહુકોણની બાજુઓ બહુફલકની ધારો બનાવે છે. જે બિંદુઓ આગળ બહુફલકની ધારો એકબીજીને મળે છે તે બિંદુઓને બહુફલકનાં શિરોબિંદુઓ કહે છે. બહિર્મુખ બહુફલક (convex polyhedron) તેના કોઈ ફલકને સમાવતા સમતલની એક જ બાજુએ આવેલો હોય છે. બહિર્મુખ ન હોય તેવા બહુફલકને બિનબહિર્મુખ (non-convex) બહુફલક કહે છે. બહિર્મુખ બહુફલકમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા = V, ધારોની સંખ્યા E, ફલકોની સંખ્યા = F હોય તો ઑયલરના પ્રમેય મુજબ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા – ધારોની સંખ્યા + ફલકોની સંખ્યા = 2 આવે છે. — એટલે કે V – E + F = 2 છે.

બહુફલકનો પ્રત્યેક ફલક નિયમિત બહુકોણ (regular polygon) હોય, ફલકો એકરૂપ (congruent) હોય, તેના દ્વિતલ ખૂણા સરખા હોય તો બહુફલકને નિયમિત બહુફલક (regular polyhedron કે platonic solid) કહે છે. નિયમિત ચતુષ્ફલક (regular tetrahedron), સમાંતર ષટ્-ફલક (ઘન), અષ્ટફલક(octahedron), દ્વાદશ-ફલક (dodecahedron), વીસફલક (icosahedron) નિયમિત બહુફલકો છે.

સમતલમાં નિયમિત બહુકોણના પ્રકાર અનંત છે; પરંતુ અવકાશમાં નિયમિત બહુફલકના પ્રકાર ફક્ત પાંચ જ છે. નિયમિત બહુફલકની આ ખાસિયત સાબિત કરી શકાય છે.

પિરામિડ (pyramid) : તે બહુફલકનો એક પ્રકાર છે. તેનો આધાર-ફલક બહુકોણાકાર (polygonal) હોય છે. બાકીના ફલકો ત્રિકોણાકાર હોય છે. તેમને એક સામાન્ય શિરોબિંદુ હોય છે જેને પિરામિડનું શિરોબિંદુ કહે છે, શિરોબિંદુથી આધાર (base) સુધીના લંબ અંતરને વેધ (altitude) કહે છે.

પિરામિડનું ઘનફળ V = Bh

અહીં V =  પિરામિડના પાયાનું ક્ષેત્રફળ (B) × પિરામિડનો વેધ (h).

પિરામિડના આધારના આકાર પરથી પિરામિડનાં વિવિધ નામ આપવામાં આવે છે (જુઓ આકૃતિ 3).

પિરામિડનો આધાર નિયમિત બહુકોણ હોય અને તેની તિરકસ ધારો સરખી હોય તો પિરામિડને નિયમિત પિરામિડ કહે છે [આકૃતિ 3(a)]. ચોરસ આધારવાળા પિરામિડને ચોરસ પિરામિડ કહે છે [આકૃતિ 3(b)]. ઇજિપ્તના પિરામિડો ચોરસ પિરામિડો છે. ત્રિકોણાકાર આધારવાળા પિરામિડને ચતુષ્ફલક (tetrahedron) કહે છે [આકૃતિ 3(c)]. પિરામિડના શિરોબિંદુમાંથી તેના બહુકોણાકાર આધારના કેન્દ્રને જોડતી લંબરેખાને પિરામિડની અક્ષ (axis) કહે છે. પિરામિડની અક્ષ આધારને લંબ રૂપે હોય તે પિરામિડને લંબ પિરામિડ (right pyramid) કહે છે. લંબ પિરામિડ ન હોય તેવા પિરામિડને તિર્યક પિરામિડ (oblique pyramid) કહે છે. સમાંતર સમતલો વચ્ચે સમાયેલા પિરામિડના ખંડ(segment)ને પિરામિડનો છિન્નક (frustrum) કહે છે [આકૃતિ 3(d)].

પિરામિડના છિન્નકના ઘનફળનું સૂત્ર V = h (A₁ + A₂ + ) છે. અહીં ટોચનું ક્ષેત્રફળ = A₁, તળિયા(આધાર)નું ક્ષેત્રફળ = A₂ અને સમાંતરતલ A₁, A₂ વચ્ચેનું લંબઅંતર h છે.

શંકુ (cone) : સમતલમાં આવેલા સંવૃત (closed) વક્રને આધાર તરીકે લઈ આધારવક્ર પરના પ્રત્યેક બિંદુને આધારના સમતલમાં ન હોય તેવા બહારના નિયતબિંદુ સાથે જોડતી સર્જક-રેખાઓ- (generator)થી બનતો ઘનાકાર શંકુ છે. શંકુના આધારના આકાર મુજબ શંકુને નામ આપવામાં આવે છે; જેમ કે, શંકુનો આધાર વર્તુળ હોય તો શંકુને વૃત્તીય શંકુ (circular cone) [આકૃતિ 4(a)], શંકુનો આધાર ઉપવલય હોય તો ઉપવલયી (elliptic) શંકુ કહે છે [આકૃતિ 4(b)]. શંકુના શિરોબિંદુને વર્તુળાકાર આધારના કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખા આધારને સમાવતા સમતલને લંબરૂપ હોય તો શંકુને લંબશંકુ (right cone) કહે છે. લંબશંકુ ના હોય તેવા શંકુને તિર્યક શંકુ (oblique cone) [આકૃતિ 4(c)] કહે છે. શંકુનું ઘનફળ V = hA છે. અહીં A = આધારનું ક્ષેત્રફળ અને h = શંકુની ઊંચાઈ છે.

બે સમાંતર સમતલ વચ્ચે સમાયેલા શંકુના ખંડને શંકુનો છિન્નક કહે છે [આકૃતિ 4(d)]. એકબીજાને શંકુમાં છેદતા ન હોય તેવાં એક કે તેથી વધારે સમતલોથી કપાયેલા શંકુનો ભાગ રુંડિત શંકુ કહેવાય છે [આકૃતિ 4(e)].

નળાકાર (cylinder) : સમાંતર સમતલ ઉપર આવેલા અને સમસ્થિતિમાં હોય તેવા, એકરૂપ આધારો પરનાં અનુરૂપ બિંદુઓને જોડતી સમાંતર રેખાઓ દોરવાથી બનતી ઘનાકૃતિ તે નળાકાર છે. આધારની વક્રિત (curved) ધારને નળાકારની નિયામિકા (directrix) કહે છે. સમાંતર રેખાઓને નળાકારની સર્જક-રેખા કહે છે. વક્રાકાર સપાટીને નળાકારની પાર્શ્વ સપાટી (lateral face) કહે છે. જો નિયામિકા સંવૃત હોય તો નળાકાર સંવૃત નળાકાર કહેવાય છે. આમ ન હોય તો નળાકાર વિવૃત (open) નળાકાર કહેવાય છે. નિયામિકાના આકાર મુજબ નળાકારને નામ આપવામાં આવે છે.

વર્તુળાકાર નિયામિકાવાળો નળાકાર વૃત્તીય (circular) નળાકાર કહેવાય છે. નળાકારની સર્જક-રેખાઓ વર્તુળાકાર નિયામિકાને લંબ રૂપે હોય તો નળાકારને લંબવૃત્તીય નળાકાર (right circular cylinder) કહે છે (આકૃતિ 5). જો આમ ન હોય તો તેને તિર્યક (oblique) નળાકાર કહે છે.

વર્તુળાકાર નળાકારનું ઘનફળ V = πr²h છે. અહીં r =  નળાકારના વર્તુળાકાર આધારની ત્રિજ્યા અને h =  નળાકારની ઊંચાઈ છે.

ગોલક (sphere) : આપેલા બિંદુથી નિયત (fixed) અંતરે અવકાશમાં આવેલાં સઘળાં બિંદુઓના ગણથી બનતી સંવૃત (closed) ઘનાકૃતિ છે. આ ઘનાકૃતિથી ઘેરાયેલું ઘનફળ  છે. અહીં r = ગોલકની ત્રિજ્યા છે. ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 4πr² છે. અહીં r = ગોલકની ત્રિજ્યા છે. સમતલથી કપાતી ગોલકની છેદન આકૃતિ વર્તુળાકાર હોય છે. સમતલથી ગોલકને કાપવાથી ગોલકના બે ભાગ મળે છે, પ્રત્યેક ભાગને ગોલકાંશ (segment of a sphere) કહે છે [આકૃતિ 6(b)]. ગોલકને બે સમાંતર સમતલથી છેદીએ તો ત્રણ ભાગ થાય છે જેમાંથી વચલો ભાગ ગોલકનો છિન્નક છે [આકૃતિ 6(a)]. તેના ઘનફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે :

ગોલકના છિન્નકનું ઘનફળ V = πh (3r₁² + 3r₂² + h²) અહીં r₁, r₂ વર્તુળાકાર આધારોની ત્રિજ્યા અને h બે આધારો વચ્ચેની લંબ-ઊંચાઈ છે. બેમાંનો એક સમતલ સ્પર્શક હોય તો ગોલકના બે ભાગ મળે છે જે ગોલકાંશ છે. ગોલકની સપાટી પરના વર્તુળને ગોલકના કેન્દ્ર સાથે જોડવાથી બનતી ઘનાકૃતિને ગોલકનો ત્રિજ્ય-ખંડ (sector of a sphere) કહે છે. આમ ત્રિજ્ય-ખંડ એ ગોલકાંશ અને શંકુના યોગથી બનતી ઘનાકૃતિ છે [આકૃતિ 6(e)].

ગોલકનો કટિબંધ (zone of a sphere) : બે સમાંતર સમતલથી કપાયેલી ગોલકની વક્ર સપાટીને ગોલકનો કટિબંધ કહે છે [આકૃતિ 6(d)]. બે સમતલમાંનો એક પણ સમતલ સ્પર્શતલ (tangent plane) ન હોય તો સપાટી દ્વિ-આધાર ઝોન કહેવાય છે.

જો બેમાંથી એક સપાટી સ્પર્શતલ હોય તો સપાટી એક આધાર કટિબંધ (cap) કહેવાય છે. ઝોનનું ક્ષેત્રફળ = 2π Rh છે. અહીં R = ગોલકની ત્રિજ્યા અને h = બે આધાર સમતલ વચ્ચેની ઊંચાઈ છે.

ચતુષ્ફલક : ચાર ત્રિકોણાકાર ફલકવાળી ઘનાકૃતિ છે. ચતુષ્ફલકને ચાર શિરોબિંદુઓ, ત્રિકોણાકાર આધાર અને બાકીના ત્રણ ત્રિકોણાકાર પાર્શ્વફલકો મળી ચાર પાર્શ્વફલક હોય છે. તેને છ ધારો હોય છે [આકૃતિ 3(b)].

ગુણધર્મો : કોઈ પણ ચતુષ્ફલક અનન્ય (unique) સમાંતર ષટ્-ફલક રચે છે, જે ચતુષ્ફલકને પરિગત (circumscribing) હોય છે; પરંતુ આપેલા સમાંતર ષટ્-ફલકને અંતર્ગત (inscribed) અનન્ય ચતુષ્ફલક ન મળે પણ બે ચતુષ્ફલક મળે છે, જે અંતર્ગત દ્વંદ્વ ચતુષ્ફલક (inscribed twin tetrahedra) કહેવાય છે (આકૃતિ 7).

ચતુષ્ફલકની સામસામેની ધારો વિષમતલીય (skew) હોય છે. ધારોની આવી ત્રણ જોડ હોય છે. ત્રણ જોડમાંથી બે જોડ લંબ રૂપે હોય તો ત્રીજી જોડ પણ લંબ જ હોય. ત્રિકોણમાં મધ્યગાઓ (medians) સંગામી (concurrent) હોય છે, જેનું સંગમનબિંદુ (point concurrence) ત્રિકોણનું મધ્યબિંદુ (centroid) છે. આ મધ્યબિંદુ મધ્યગાનું 2 : 1માં વિભાજન કરે છે. આવી જ રીતે ચતુષ્ફલકના કોઈ શિરોબિંદુને તેની સામેના ત્રિકોણના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખાને ચતુષ્ફલકની મધ્યગા કહે છે. ચતુષ્ફલકની મધ્યગાઓ પણ સંગામી હોય છે. સંગમનબિંદુને ચતુષ્ફલકનું મધ્યબિંદુ કહે છે. આ મધ્યબિંદુ ચતુષ્ફલકની દરેક મધ્યગાનું 3 : 1માં વિભાજન કરે છે. ચતુષ્ફલકના ચાર ત્રિકોણાકાર ફલકના પરિકેન્દ્ર (circum-centre) આગળ ફલકને લંબ દોરીએ તો લંબ સંગામી હોય છે, સંગમનબિંદુને ચતુષ્ફલકનું પરિકેન્દ્ર (circumcentre) કહે છે, સમતલમાં ન હોય તેવાં અવકાશમાં આવેલાં ચતુષ્ફલકનાં ચાર બિંદુઓમાંથી અનન્ય ગોલક પસાર થાય છે. તેને પરિગોલક (circumsphere) કહે છે. ચતુષ્ફલકનાં શિરોબિંદુઓમાંથી બિંદુને અનુરૂપ ત્રિકોણાકાર ફલક પર દોરેલા અભિલંબ (normals) સંગામી ન પણ હોય; પરંતુ ચતુષ્ફલકની સામસામેની ધારો લંબ હોય તો તે ચતુષ્ફલકના વેધ (altitudes) સંગામી હોય જ. આવા ચતુષ્ફલકને લંબકેન્દ્રીય (orthocentric) ચતુષ્ફલક કહે છે. વેધોનું સંગમનબિંદુ ચતુષ્ફલકનું લંબકેન્દ્ર છે. લંબકેન્દ્રીય ચતુષ્ફલકમાં જ આવું લંબકેન્દ્ર હોય છે.

એ. આર. રાવ

શિવપ્રસાદ મ. જાની