ગોલક (sphere)

ગોલક (sphere) : એક સ્થિર બિંદુથી સમાન અંતરે રહેલાં અવકાશનાં તમામ બિંદુઓનો ગણ. સ્થિર બિંદુને ગોલકનું કેન્દ્ર (centre) અને અચલ અંતરને ગોલકની ત્રિજ્યા (radius) કહે છે. કેન્દ્રથી ગોલકના પૃષ્ઠ સુધી દોરેલા કોઈ પણ રેખાખંડને પણ ગોલકની ત્રિજ્યા કહે છે. કેન્દ્ર c અને r ત્રિજ્યાવાળા ગોલકને (c, r) વડે દર્શાવાય છે.

જે રેખાખંડનાં બંને અંત્ય બિંદુઓ ગોલક પર હોય તે રેખાખંડને ગોલકની જીવા (chord) કહે છે. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ગોલકની જીવાને ગોલકનો વ્યાસ (diameter) કહે છે. બધા વ્યાસ સમાન લંબાઈના અને ત્રિજ્યાથી બમણા હોય છે. ગોલકની ત્રિજ્યા r હોય તો કેન્દ્રથી r એકમથી ઓછા અંતરે રહેલાં તમામ બિંદુઓનો ગણ ગોલકનો અંદરનો ભાગ રચે છે અને કેન્દ્રથી r એકમથી વધુ અંતરે રહેલાં તમામ બિંદુઓનો ગણ ગોલકનો બાહ્ય ભાગ રચે છે.

વર્તુળ કે અર્ધવર્તુળ તેના વ્યાસની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તેથી ગોલક રચાય છે. લંબયામ પદ્ધતિ(Cartesian co-ordinate system)માં જો ગોલકના કેન્દ્રના યામ (a, b, c) અને તેની ત્રિજ્યા r હોય તો ગોલકનું સમીકરણ (x–a)² + (y–b)² + (z–c)² = r² મળે. વળી જો કેન્દ્ર લંબયામ પદ્ધતિના ઊગમબિંદુ(0,0,0)એ હોય તો તેનું સમીકરણ x² + y² + z² = r² મળે. પણ ગોલીય યામપદ્ધતિમાં, ઊગમબિંદુએ કેન્દ્ર અને p ત્રિજ્યાવાળા ગોલકનું સમીકરણ r = p મળે. r ત્રિજ્યાવાળા ગોલકનું ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ A = 4πr² હોય છે. ગોલકનું પૃષ્ઠફળ તેને પરિગત કરતા (circum scribing) નળાકાર(cylinder)ના વક્રપૃષ્ઠના ક્ષેત્રફળ બરાબર હોય છે (જુઓ આકૃતિ 2). એ સત્ય આર્કિમિડીઝે પ્રતિપાદિત કર્યું હતું. તેની સૂચના અનુસાર, તેની યાદ માટે ગોલકને પરિગત કરતા નળાકારની આકૃતિ તેની કબર ઉપર કોતરવામાં આવી હતી. તે આકૃતિ ઉપરથી 200 વર્ષ પછી તેની કબર ઓળખી કાઢવામાં આવી હતી.

ગોલકનો સમતલ સાથેનો છેદ વર્તુલ હોય છે. સમતલ ગોલકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય તો સમતલના ગોલકના પૃષ્ઠ સાથેના છેદને ગુરુવૃત્ત (greater circle) કહે છે (આકૃતિ 3). ગુરુવૃત્તની ત્રિજ્યા ગોલકની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે. ગોલકને છેદતું સમતલ ગોલકના કેન્દ્રમાંથી પસાર ન થાય તો છેદને લઘુવૃત્ત (smaller circle) (આકૃતિ 4) કહે છે. લઘુવૃત્તની ત્રિજ્યા ગોલકની ત્રિજ્યાથી ઓછી હોય.

વળી જો સમતલ ગોલકને માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે તો તે સમતલને ગોલકનું સ્પર્શતલ (tangent plane) કહે છે (આકૃતિ 5). અને તે બિંદુને સ્પર્શતલનું ગોલક સાથેનું સ્પર્શબિંદુ (point of contact) કહે છે. કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શબિંદુ સુધી દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શતલને લંબ હોય છે.

કોઈ પણ બે ગુરુવૃત્તો હંમેશાં છેદે છે. તેમના સમતલોનો સામાન્ય છેદ ગોલકનો વ્યાસ થાય, કારણ કે બંને સમતલો કેન્દ્રમાંથી પસાર થતાં હોઈ, તેમનો સામાન્ય છેદ પણ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.

ગોલકનાં બે સમાંતર છેદક સમતલો વચ્ચે આવેલા ભાગને ગોલકનો છિન્નક (frustum of a sphere) કહે છે. આ બે સમતલો વડે થતા ગોલકના છેદને છિન્નકનો આધાર કહેવાય અને તેમની ત્રિજ્યાને આધારત્રિજ્યા કહેવાય. વળી સમતલો વચ્ચેના લંબઅંતરને છિન્નકની ઊંચાઈ કહે છે.

ઉપરની આકૃતિ 6માં MM´ N´ N ગોલકનો છિન્નક, AM અને BN આધારત્રિજ્યાઓ અને AB છિન્નકની ઊંચાઈ છે. આધાર-ત્રિજ્યાઓને R₁ R₂ વડે અને ઊંચાઈને h વડે દર્શાવીશું.

છિન્નકના વક્રપૃષ્ઠને કટિબંધ (zone) કહેવાય. જો એક છેદક તલ કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા જેટલા અંતરે હોય, તો છેદ શૂન્યવૃત્ત થાય એટલે કે સમતલ સ્પર્શતલ થાય. ગોલકના આવા ખંડને શિર:ખંડ (spherical cap) કહે છે. શિર:ખંડની એક આધારત્રિજ્યા શૂન્ય થાય.

ઉપરના ગોલકના MM´ NN´ છિન્નકનું ઘનફળ અથવા  વડે દર્શાવી શકાય. અહીં B₁ B₂ છિન્નકના બે આધારોનું અને M મધ્યછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. કટિબંધનું ક્ષેત્રફળ 2πrR હોય છે; એમાં r ગોલકની ત્રિજ્યા અને h કટિબંધની ઊંચાઈ છે.

પ્રત્યેક ગુરુવૃત્ત ગોલકને બે સમાન ભાગ – બે અર્ધગોલકમાં વિભાગે છે. અર્ધગોલકનું ઘનફળ હોય, એમાં r તેના આધારવૃત્તની ત્રિજ્યા છે. અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ 3πr² થાય.

ગોલકના કેન્દ્રને શિરોબિંદુ તરીકે લઈ સમશંકુ રચવામાં આવે તો તેના વડે છેદાતા ગોલકના ભાગને ગોલકાંશ (sector of a sphere) કહે છે. ગોલકાંશ (આકૃતિ 6 પ્રમાણે) એક સમશંકુ OPMQ અને ગોલકના એક શિર:ખંડ PMQA વડે રચાય છે.

હિંમતલાલ ચૂનીલાલ શુક્લ