ગુરુત્વાકર્ષણ

ગુરુત્વાકર્ષણ : વિવિધ પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું અખિલ બ્રહ્માંડને આવરી લેતું નૈસર્ગિક આકર્ષણનું બળ.

પૂર્વભૂમિકા : ઈ. સ. 1919માં સૂર્યના ખગ્રાસ ગ્રહણ સમયે દક્ષિણ આટલાંટિક મહાસાગરમાં આવેલા પ્રિન્સાઇપ ટાપુ ઉપરથી કરેલાં અવલોકનો દ્વારા આઇન્સ્ટાઇનના ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાન્તનું ન્યૂટનના સિદ્ધાંત ઉપર ચડિયાતાપણું સાબિત થયું; ત્યારપછી પ્રોફેસર આઇન્સ્ટાઇનની વિશ્વભરમાં ખ્યાતિ ફેલાઈ અને દુનિયાભરમાંથી તેમને વ્યાખ્યાનો માટે આમંત્રણ મળવા લાગ્યાં. આવા એક આમંત્રણને પરિણામે તે અમેરિકા ગયા અને ત્યાં જુદે જુદે સ્થળે વિશાળ સમુદાય આગળ તેમણે તેમના સિદ્ધાંતો વિશે વ્યાખ્યાનો આપ્યાં. એક વ્યાખ્યાનમાં પાછળથી પ્રશ્નોત્તરી દરમિયાન એક ડોશીમાએ સવાલ પૂછ્યો કે ‘આ બધી વાત તો ઠીક; પણ મને હવે એક શંકા ઊભી થાય છે કે ગુરુત્વાકર્ષણનું ખરેખર અસ્તિત્વ છે કે નહિ ?’ આઇન્સ્ટાઇને જવાબ આપ્યો : ‘ગુરુત્વાકર્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે તે સાબિત કરવું સહેલું છે. એક પથ્થર હાથમાં લઈ માથા ઉપર ઊંચો ઉછાળો અને તે જગ્યાએથી જો તમે ખસી નહિ જાઓ તો ગુરુત્વાકર્ષણની સચોટ સાબિતી તમારા માથા ઉપર આવીને પડશે.’

લંડનમાં ઈ. સ. 1666માં પ્લેગ ફેલાયો અને આઇઝેક ન્યૂટનને પોતાનો અભ્યાસ છોડી પોતાને ગામ જવાની ફરજ પડી. ત્યાં ખેતરમાં સફરજનના ઝાડ નીચે બેઠા બેઠા ઉપરથી પડતું સફરજન જોઈને તેને ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતનો પહેલો ખ્યાલ આવ્યો. તે દંતકથા અને ઉપર જણાવેલ આઇન્સ્ટાઇનનો જવાબ એ બે વચ્ચે કેટલું બધું સામ્ય છે ! હાથમાં રાખેલો પદાર્થ છોડી દઈએ તો તે પૃથ્વી ઉપર પડે છે એ પ્રાથમિક અવલોકન ગુરુત્વાકર્ષણના પાયામાં છે અને તે અવલોકનને પૂરેપૂરું સમજવા માટે બે હજારથી વધુ વર્ષોથી પ્રયત્નો થયા છે અને રોજેરોજ તેની સમજણ વધુ ને વધુ વિસ્તૃત તેમજ ઊંડી થતી આવી છે.

આકાશગંગાના કરોડો તારાઓ તેમની જગ્યાએ ગોઠવાઈને રહ્યા છે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે છે. પૃથ્વીને સૂર્ય આસપાસ અને ચંદ્રને પૃથ્વીની આસપાસ સતત ફરતા રાખતું પ્રેરકબળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે. પાકી કેરી આંબા પરથી નીચે પડે કે અકસ્માતથી વિમાન જમીન પર પટકાય એ પણ ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે જ બને છે. ગુરુત્વાકર્ષણનું બળ અને તેને કારણે થતી નૈસર્ગિક પરિઘટનાઓ વિશેની મુખ્ય જાણકારી ત્રણ વૈજ્ઞાનિકોએ આપેલી છે : ગૅલિલિયો, ન્યૂટન અને આઇન્સ્ટાઇન.

માનવી ભાષા વાપરતાં શીખ્યો ત્યારથી ‘ઉપર’, ‘નીચે’, ‘ચડવું’, ‘પડવું’ વગેરે શબ્દો વાપરતો આવ્યો છે. ‘ચડે તે પડે’ એવા અર્થવાળી કહેવત દુનિયાની બધી ભાષામાં મળે છે. પૃથ્વી દડા જેવી ગોળ છે તે ખ્યાલ માનવીને પ્રમાણમાં મોડો આવ્યો. પહેલાં તો એમ મનાતું કે પૃથ્વી ગોળ તો છે પણ રકાબી જેવી ચપટી છે અને તેથી ઉપર તરફની દિશા અને નીચે તરફની દિશા સરળતાથી નક્કી થઈ શકતી. પણ મૅગેલને પૃથ્વીની પ્રદક્ષિણા કરીને પૃથ્વી દડા જેવી ગોળ છે એમ નક્કી કરી આપ્યું ત્યારે ઉપર તરફની અને નીચે તરફની દિશા પૃથ્વીને જુદે જુદે સ્થળે જુદી જુદી હોય તે ખ્યાલ આવ્યો અને તે સાથે જ એ સ્પષ્ટ થયું કે સમુદ્રનું પાણી ‘નીચે ઢોળાઈ’ જતું નથી પણ પૃથ્વી ઉપર ટકી શકે છે કારણ કે પૃથ્વી સઘળા પદાર્થોને પોતાના કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે. આમ ધીરે ધીરે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણનો ખ્યાલ જન્મ્યો.

ગૅલિલિયોના પ્રયોગો : મકાન ચણતી વખતે દીવાલ સીધી ચણાય તે માટે કડિયો ઓળંબાનો ઉપયોગ કરે છે. ઓળંબાની દોરી જે દિશા નક્કી કરે છે તે ગુરુત્વાકર્ષણની દિશા છે. માટે તે ગુરુત્વરેખા કહેવાય છે. તે દિશા ઊર્ધ્વાધ: (ઉપર-નીચેની) હોઈને લંબક દિશા તરીકે ઓળખાય છે. હાથમાંથી છોડી મૂકેલો પદાર્થ આ લંબક દિશામાં એટલે કે ગુરુત્વરેખામાં પૃથ્વી ઉપર પડે છે. ગુરુત્વરેખામાં થતી આવી ગતિ પરત્વે ગ્રીક તત્વવેત્તા એરિસ્ટોટલે અવલોકનો ઉપરથી વિધાન કર્યું કે પાંદડાં કરતાં પથ્થર વધારે ઝડપથી નીચે પડે છે અને તેથી નીચે પડતો પદાર્થ જેમ વધારે ભારે તેમ તે વધુ ઝડપથી નીચે પડે છે. એરિસ્ટોટલની દલીલ પ્રમાણે 200 ગ્રામ વજનનો પદાર્થ 100 ગ્રામ વજનના પદાર્થ કરતાં વધારે વેગથી નીચે પડશે.

અન્ય ક્ષેત્રોમાં અવલોકનો ઉપરથી સચોટ નિયમો તારવનારા એરિસ્ટોટલે, પડતા પદાર્થની ગતિ બાબતમાં મોટી થાપ ખાધી. હવાના અવરોધને કારણે પાંદડાંને પડતાં વાર લાગે છે અને પથ્થર જલદી નીચે પડે છે એ હકીકત તેના ધ્યાનમાં ન આવી અને અધૂરાં અવલોકનો ઉપરથી તેણે ગુરુત્વાકર્ષણ નીચે થતી ગતિ માટે ખોટો નિયમ આપ્યો.

એરિસ્ટોટલનું વાક્ય એ જમાનામાં બ્રહ્મવાક્ય મનાતું. તેનો વિરોધ કરવામાં મોટું જોખમ હતું. એરિસ્ટોટલ ખોટો હોઈ જ ન શકે એવી જડ માન્યતા હતી. છતાં તેના આ અસત્ય ખ્યાલનું નિરસન કરવાનું કામ ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક ગૅલિલિયોએ કર્યું. એરિસ્ટોટલે પવનના અવરોધને ધ્યાનમાં લીધો નહોતો તે વાત ગૅલિલિયોના ધ્યાનમાં આવતાં તેણે અનેક પ્રયોગો કર્યા. દંતકથા એવી છે કે પીઝા યુનિવર્સિટીના અન્ય પ્રોફેસરોની હાજરીમાં પીઝાના વિખ્યાત ઢળતા ટાવર ઉપર એ ચડ્યો અને ત્યાંથી અસમાન વજનના બે દડા તેણે એકસાથે નીચે પડતા મૂક્યા. બંને દડા જમીન પર એકસાથે અફળાયા. ગૅલિલિયો સાચો હતો અને એરિસ્ટોટલ ખોટો હતો.

આ દંતકથા સાચી હોય કે ખોટી, પણ એક વાત તો સાચી જ છે કે પૃથ્વી પર મુક્ત રીતે પડતા પદાર્થોની ગતિ સમજવા તથા માપવા માટે ગૅલિલિયોએ ઘણા પ્રયોગો કર્યા હતા. પદાર્થને અમુક અંતર સુધી પડતાં કેટલો સમય લાગે છે તે શોધવાનો તેણે પ્રયત્ન કર્યો. તે જમાનામાં સાચો સમય આપનારાં ઘડિયાળો નહોતાં (ઘડિયાળોમાં વપરાતાં લોલકની ગતિ વિશેનું પ્રાથમિક અવલોકન ગૅલિલિયોએ જ કરેલું). કોઈ પણ પદાર્થને પીઝાના ઢળતા ટાવર પરથી નીચે પડતાં ત્રણ સેકન્ડ જેટલો સમય લાગે અને ગૅલિલિયોને આ બધા સમય સૂક્ષ્મ સમયદર્શક સાધનોની મદદ વગર માપવાના હતા.

ગૅલિલિયોએ આ પ્રશ્ન બીજી રીતે તપાસી જોયો. સીધી રીતે પડતા પદાર્થનો સમય માપવાને બદલે તેણે લગભગ 7 મીટર લાંબી લીસી પટ્ટી લીધી અને તેમાં વચ્ચે ખાંચ (groove) બનાવી જેથી ખાંચમાં રહીને દડો સરકી શકે. આ પટ્ટીને ઢળતી રાખી તે પર સરકતા દડાનો સમય તેણે માપ્યો. સમયમાપન માટે એક પ્રકારની જલઘટિકાનો તેણે ઉપયોગ કર્યો. પાણી ભરેલા વાસણના નાના છેદમાંથી ટપકતું પાણી ડોલમાં ઝીલી લઈ ટપકેલા પાણીના વજન ઉપરથી તેણે સમયનો અંદાજ મેળવ્યો. પહેલાં તેણે જુદા જુદા વજનના દડા લઈ એક જ પટ્ટી પરથી સરકાવ્યા તો તે બધાનો સરકવાનો સમય સરખો આવ્યો, જે એરિસ્ટોટલની માન્યતાથી તદ્દન વિપરીત હતું. પછી એક જ દડો લઈ પહેલા દડાને આખી પટ્ટી પર સરકવા દઈ સમય માપ્યો. પછી અડધી પટ્ટી પર સરકવા દઈને, પછી ચતુર્થાંશ પટ્ટી પર સરકવા દઈને, અને એ રીતે દડાને જુદાં જુદાં અંતરો સુધી સરકવા દઈને તેણે સમય માપ્યા. વળી પટ્ટીને જુદે જુદે કોણે ઢળતી રાખીને તેણે આવાં ઘણાં બધાં અવલોકનો કર્યાં અને તેની મદદથી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ નીચે થતી ગતિના નિયમો તારવ્યા.

ગૅલિલિયોએ આ પ્રયોગોને આગળ વધાર્યા. બે સામસામે ઢળતી પટ્ટીઓને એકબીજીને તળિયે અડકી રહે એમ ગોઠવી અને પછી એક પટ્ટી પરથી દડો ગબડાવ્યો તો દડો તળિયે પહોંચી બીજી પટ્ટી પર ઊંચે ચડવા લાગ્યો અને જેટલી ઊંચાઈથી પહેલી પટ્ટી ઉપર સરકીને તે નીચે આવ્યો હતો, લગભગ તેટલી જ ઊંચાઈ સુધી તે બીજી પટ્ટી ઉપર ચડતો તેણે અવલોક્યો. આ અવલોકનો ઉપરથી તેણે કલ્પના કરવા માંડી : પટ્ટી નીચે તરફ ઢળતી હોય તો દડો ઝડપથી નીચે તરફ સરકવા લાગે છે અને જેમ સરકતો જાય છે તેમ તેનો વેગ વધતો જાય છે. તળિયે પહોંચ્યા પછી સામે રાખેલી પટ્ટી પર ઉપરની તરફ ચડવાનો વારો આવે છે ત્યારે જેમ જેમ તે ઉપર ચડતો જાય છે તેમ તેમ તેનો વેગ ઘટવા લાગે છે. તેણે કલ્પના કરી કે ગતિ કરતો દડો સહેજ પણ નીચે તરફ ઢળતી પટ્ટી પર હશે તો તેનો વેગ વધવા લાગશે અને જો તે સહેજ પણ ઉપરની તરફ ઢળતી પટ્ટી પર હશે તો તેનો વેગ ઘટવા લાગશે. તો પછી ગતિ કરતો દડો સહેજ પણ ઢળતી નહિ એટલે કે સમક્ષિતિજ પટ્ટી પર હશે તો તેનો વેગ વધશે પણ નહિ અને ઘટશે પણ નહિ. આ ઉપરથી તેણે નિયમ તારવ્યો કે કોઈ પણ પદાર્થ આપમેળે તેનો વેગ બદલી શકતો નથી. જો તે સ્થિર હોય તો સ્થિર જ રહે છે અને ગતિ કરતો હોય તો એકધારા વેગની ગતિ કરતો રહે છે.

આમ, અવલોકનો ઉપરથી ગૅલિલિયોએ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ નીચે થતી ગતિની ભૂમિકા બાંધી આપી. 1642માં ગૅલિલિયોનું મૃત્યુ થયું; જ્યારે ન્યૂટનનો જન્મ 1642ના ક્રિસ્ટમસના દિવસે થયો હતો.

ન્યૂટને કહ્યું છે કે ‘જો હું દૂર સુધી જોઈ શક્યો હોઉં તો મહામાનવોના ખભા ઉપર ઊભો રહીને તેમ કરી શક્યો છું.’ આવો એક મહામાનવ તે ગૅલેલિયો. આવા જ એક બીજા મહામાનવ યોહાન્સ કૅપ્લર હતા.

કૅપ્લરની ગણતરીઓ : 1540ના અરસામાં કોપરનિકસે સૂર્યકેન્દ્રી વિશ્વરચનાનો સિદ્ધાંત સૂચવ્યો હતો. ગ્રહમંડળના કેન્દ્રમાં સૂર્ય છે અને ગ્રહો એની આસપાસ વર્તુળાકારે ફરે છે એવી કોપરનિકસે સૂચવેલી સૂર્યમંડળની રચના યુરોપના બુદ્ધિશાળી વર્ગે હજુ સ્વીકારી નહોતી. તે અરસામાં 1618માં કૅપ્લરે, અવલોકનો ઉપરથી કોપરનિકસના સિદ્ધાંતને પુષ્ટિ આપી એટલું જ નહિ પરંતુ અવલોકનો ઉપરથી ગ્રહોની ગતિ માટે સૂક્ષ્મ ગાણિતિક નિયમો આપ્યા.

કોપરનિકસના સૂર્યકેન્દ્રી ગ્રહમંડળના સિદ્ધાંતમાં પ્રાગના ખગોળવેત્તા ટાઇકો બ્રાહીને શ્રદ્ધા ન હતી. તેથી અવલોકનોની મદદથી કોપરનિકસના સિદ્ધાંતોનું નિરસન કરવાનો તેણે નિર્ણય કર્યો અને તે હેતુથી તેણે ગ્રહોનાં અનેક અવલોકનો કર્યાં અને નોંધ્યાં. સંભવ છે કે આ અવલોકનો ઉપરથી તેને પ્રતીતિ થઈ હશે કે પોતે ખોટો છે અને કોપરનિકસ સાચો છે કારણ કે તેણે કોપરનિકસના સિદ્ધાંતના હિમાયતી કૅપ્લરને પોતાના મદદનીશ તરીકે સ્વીકાર્યો. ટાઇકો બ્રાહીએ કરેલાં હજારો અવલોકનો અને પોતે કરેલાં આગવાં અવલોકનોને ગણિતની કસોટીએ ચડાવી વ્યવસ્થિત ગોઠવી કૅપ્લરે ગ્રહગતિ માટે નીચેના ત્રણ નિયમો જાહેર કર્યા :

(1) દરેક ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ લંબવર્તુળાકાર (ઉપવલય) કક્ષામાં ફરે છે અને સૂર્ય આ ઉપવલયના કેન્દ્રમાં નથી, પણ તેની એક નાભિમાં છે.

(2) જેમ જેમ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતો જાય છે તેમ તેમ ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સરખા સમયમાં સરખું ક્ષેત્રફળ આવરી લેતી જાય છે.

(3) ગ્રહોના સૂર્યની આસપાસના પરિભ્રમણકાળનો વર્ગ સૂર્યથી તેના સરેરાશ અંતરના ઘનના સપ્રમાણમાં વધે-ઘટે છે.

કૅપ્લરે અવલોકનો ઉપરથી આકાશી પદાર્થોની ગતિના નિયમો આપ્યા. ગૅલિલિયોએ પ્રયોગ કરી પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચેની ગતિ માટેના નિયમો બાંધ્યા. આ બંને મહામાનવોના ખભા ઉપર ઊભા રહીને ન્યૂટને પૃથ્વી પરની તેમજ આકાશમાં થતી ગતિના ઉપલક ર્દષ્ટિએ તદ્દન ભિન્ન લાગતા આ નિયમોનો સમન્વય સાધીને વિશ્વમાન્ય ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ ઘડ્યો.

ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ : ન્યૂટનના નિયમનું કથન આ પ્રમાણે છે : ‘વિશ્વમાં આવેલા કોઈ પણ બે પદાર્થો એકબીજાને આકર્ષે છે અને આ આકર્ષણના બળનું માપ બંને પદાર્થોના દ્રવ્યમાનના ગુણાકારના સપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વધતું-ઓછું થયા કરે છે.’

સ્નાતક થયા પછી લંડનના પ્લેગને કારણે જે વર્ષો ન્યૂટને પોતાના ગામમાં ગાળ્યાં તે ગાળામાં તેણે ગુરુત્વાકર્ષણ વિશે ખૂબ ચિંતન કર્યું. પૃથ્વી પરના પદાર્થોની ગતિના નિયમો અને આકાશી પદાર્થો(ગ્રહો)ના ગતિના નિયમોનો સમન્વય કરવાનો પ્રશ્ન તેણે નજર સમક્ષ રાખ્યો. અવકાશમાં ઘૂમતા ગ્રહોની ગતિ સમજવા માટે તેણે ગૅલિલિયોના ગતિ-નિયમોનો ઉપયોગ કરવાનો નિશ્ચય કર્યો. હવે ગૅલિલિયોએ એવો નિયમ તારવ્યો હતો કે કોઈ પણ પદાર્થ આપમેળે પોતાનો વેગ બદલતો નથી અને તેથી તેના પર બળ લગાડીને તેનો ગતિમાર્ગ બદલવામાં ન આવે ત્યાં સુધી તે પદાર્થ એકધારા વેગથી સુરેખા(સીધી લીટી)માં ગતિ કરતો રહે છે. ગૅલિલિયોનો આ નિયમ ગ્રહોની ગતિને લગાડીએ. કૅપ્લરના નિયમ મુજબ ગ્રહો સુરેખામાં ગતિ કરતા નથી પણ ઉપવલય આકારની કક્ષામાં ગતિ કરે છે. ગ્રહો જો આપમેળે મુક્ત ગતિ કરતા હોય તો સુરેખામાં જવા જોઈએ, પણ તેમ થતું નથી તેથી ન્યૂટને તારણ કાઢ્યું કે ગ્રહ ઉપર કોઈ બળ કાર્ય કરતું હશે જે ગ્રહોના ગતિમાર્ગને વળાંક આપે છે. વળી આ વળાંક હંમેશાં સૂર્ય તરફ જ થતો હોવાથી અનુમાન બાંધી શકાય કે આ બળ સૂર્યવર્તી હોવું જોઈએ અને કદાચ સૂર્ય જ આ બળનું ઉદભવસ્થાન હોય. આવી દલીલો તો ન્યૂટનના સમય પહેલાં પણ થતી હતી. આ દલીલ પરથી એટલું તો નક્કી થયું હતું કે જેવી રીતે પૃથ્વી પદાર્થોને પોતા તરફ આકર્ષે છે તેવી રીતે સૂર્ય પણ ગ્રહોને પોતા તરફ આકર્ષતો હોય. કદાચ આ બંને આકર્ષણબળો એક જ પ્રકારનાં પણ હોય. આવી દલીલ પરથી પૃથ્વી ઉપર કે અવકાશમાં થતી સઘળી ગતિ સમજવા માટે એક સર્વસાધારણ નિયમ હોવો જોઈએ એવી એક ર્દઢ માન્યતા ન્યૂટને બાંધી.

આ પ્રકારના ચિંતન પછી ન્યૂટને તેના વિચારોને ગાણિતિક સ્વરૂપ આપવાનું શરૂ કર્યું. ઝાડ પરના સફરજનને પૃથ્વી આકર્ષે છે, ચંદ્રને પણ પૃથ્વી આકર્ષે છે. પણ બીજી તરફ પૃથ્વી સૂર્યના આકર્ષણને વશ થાય છે. આમ પૃથ્વી આકર્ષણ ઉત્પન્ન કરે છે અને આકર્ષણને વશ પણ થાય છે. સહેજ ઊંડા ઊતરતાં તરત જણાશે કે આમાં પૃથ્વીની કોઈ વિશેષતા હોવાનું કારણ નથી. કોઈ પણ પદાર્થ આકર્ષણ ઉત્પન્ન કરી શકે છે અને આકર્ષણને વશ પણ થઈ શકે છે. તેથી સૂર્ય પૃથ્વીને આકર્ષે છે એમ કહેવાને બદલે સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચે આકર્ષણ થાય છે તેમ કહેવું વધુ યોગ્ય થાય. એ જ રીતે પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચે આકર્ષણ થાય છે. સફરજન અને પૃથ્વી વચ્ચે આકર્ષણ થાય છે. કોઈ પણ બે પદાર્થો વચ્ચે આકર્ષણ થાય છે. આમ ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો પ્રથમ વર્ણનાત્મક ભાગ તરત ફલિત થાય છે કે વિશ્વમાં આવેલા કોઈ પણ બે પદાર્થો એકબીજાને આકર્ષે છે.

આ આકર્ષણ પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યમાન(mass)ને કારણે છે. તેથી જેમ દ્રવ્યમાન વધારે તેમ આકર્ષણ વધારે થવાનું. આવી દલીલ પરથી ન્યૂટન તેના નિયમમાં આગળ જઈ શક્યો અને ‘‘આકર્ષણનું માપ બંને પદાર્થોના દ્રવ્યમાનના ગુણાકારના પ્રમાણમાં વધે-ઘટે છે.’’ એવું તેણે વિધાન કર્યું. આટલે સુધી તો બધું સરળ છે. પણ પછી પાછળનો ભાગ ‘અને બંને પદાર્થોની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં પણ વધેઘટે છે.’ – સ્થાપિત કરવા માટે તેને આખું કલનગણિત(calculus)નું નવું શાસ્ત્ર રચવાની જરૂર પડી.

ગૅલિલિયોએ પ્રયોગો ઉપરથી સ્થાપિત કર્યું હતું કે ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું બળ પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે (પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર) અને તેથી બે પદાર્થો વચ્ચેના આકર્ષણબળનું માપ જાણવા માટે આકષર્ણને કારણે ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ માપવાની ન્યૂટનને જરૂર પડી. કૅપ્લરના નિયમોમાં તો ગ્રહોનો ગતિમાર્ગ વર્ણવ્યો છે એટલે ગ્રહોનું સૂર્યથી અંતર કેવી રીતે વધેઘટે છે તે બતાવ્યું છે. ગતિમાર્ગનું સમીકરણ આપ્યું હોય તો તે પરથી તે માર્ગમાં ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ કેટલો હોય તે જાણવા માટે ન્યૂટને કલનગણિતના નિયમો ઘડ્યા. તે નિયમો ઘડી ઉપવલયના યામભૂમિતીય સમીકરણ ઉપર તે નિયમો વાપર્યા અને તેને જવાબ મળ્યો કે ગ્રહનો પ્રવેગ સૂર્ય તરફ છે અને જો ગ્રહનું સૂર્યથી અંતર r હોય તો પ્રવેગ  છે. અંતર વધેઘટે તેમ r²માં વધઘટ થશે પરંતુ k સ્થિર રહેશે. આમ પદાર્થની વચ્ચેના અંતર(r)ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણવાળો ભાગ ન્યૂટનને મળી ગયો.

ન્યૂટને તેની ઘણીખરી આવિષ્કૃતિઓ 24થી 26 વર્ષની ઉંમર દરમિયાન પૂરી કરી હતી. પણ પોતાના પ્રયોગ અને ચિંતનનાં જે થોડાં પરિણામ તેણે જાહેર કર્યાં હતાં તેમાંથી ઊભા થયેલા વિવાદથી કંટાળી તેણે પોતે મેળવેલાં પરિણામ જાહેર કરવાનું લગભગ બંધ કરી દીધું હતું. તે દરમિયાન ક્રિસ્ટોફર રેને 1684માં હૂક અને હેલીને પત્ર લખ્યો કે ગ્રહો ઉપવલય કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ શા માટે ફરે છે તે જો તમે શોધી કાઢશો તો હું તમને ઇનામ આપીશ. બે વર્ષની મથામણ પછી ખગોળવેત્તા હેલીએ ન્યૂટનને પત્ર લખી રેને આપેલી સમસ્યાનો ઉકેલ માગ્યો અને ન્યૂટને તરત જ જવાબ આપી સાબિત કરી આપ્યું કે સૂર્ય  નિયમ પ્રમાણે ગ્રહને આકર્ષે છે. માટે ગ્રહ ઉપવલયાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે. હેલીએ ન્યૂટન સાથે આ અંગે ચર્ચા કરી ત્યારે તેને માલૂમ પડ્યું કે નિસર્ગના એક મૂળભૂત નિયમ વિશે તેણે ખૂબ જ વિગતે અભ્યાસ કર્યો છે. હેલીના અત્યંત આગ્રહથી ન્યૂટન તેના આવિષ્કારનાં પરિણામ પ્રગટ કરવા સંમત થયો. આ રીતે ન્યૂટનનો વિખ્યાત ગ્રંથ ‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’ (નિસર્ગવિજ્ઞાનના ગાણિતિક સિદ્ધાંતો) પ્રગટ થયો અને વિશ્વને ગુરુત્વાકર્ષણના નૈસર્ગિક નિયમનું વિજ્ઞાન જાણવા મળ્યું.

ન્યૂટને પોતાના ગ્રંથમાં કૅપ્લરના નિયમો ઉપરથી કલનગણિતનો ઉપયોગ કરી ગુરુત્વાકર્ષણના વિશ્વવ્યાપી નિયમની તારવણી તો આપી છે; પરંતુ તે ઉપરાંત આ નિયમનો ઉપયોગ પૃથ્વી પર થતી ગતિ માટે કર્યો છે. વળી, સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિ પણ સ્પષ્ટપણે ગણી આપી છે. ચંદ્રની પૃથ્વીની આસપાસની ગતિમાં પૃથ્વીનું ચંદ્ર ઉપરનું આકર્ષણ મુખ્ય છે. ઉપરાંત સૂર્યનું પણ ચંદ્ર ઉપરનું ગૌણ આકર્ષણ ભાગ ભજવે છે; અને આ ગૌણ આકર્ષણને કારણે ચંદ્રની ઉપવલયાકાર કક્ષામાં થોડીક ચ્યુતિ આવે છે. એ ચ્યુતિની પણ ન્યૂટને ગણતરી કરી આપી. તેણે પૃથ્વીના અને સૂર્યના દ્રવ્યમાનની ગણતરી કરી. વળી પૃથ્વી આમ તો ગોળાકાર છે. છતાં તે ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ પાસે થોડી ચપટી છે અને વિષુવવૃત્ત આગળ ઊપસેલી છે તેનું કારણ પણ પોતાના ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતને આધારે તેણે સમજાવ્યું. પૃથ્વી ઉપરના મહાસાગરોના પાણી ઉપર સૂર્ય તથા ચંદ્રનાં આકર્ષણોની ગણતરી કરી અને ભરતી-ઓટનું ગણિત કાઢી આપ્યું. આ રીતે, ગુરુત્વાકર્ષણનો સિદ્ધાંત રચી તેનો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ કરી વિજ્ઞાનને આધુનિક માર્ગે વાળ્યું.

ન્યૂટનનો આ ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ પૃથ્વી પર તથા આકાશમાં બધે જ સફળતાથી વપરાયો છે. આધુનિક ઇજનેરી વિદ્યા ન્યૂટોનીય પાયા પર ઊભી છે. છતાં ગુરુત્વાકર્ષણની પરિઘટનાના આ ન્યૂટોનીય વર્ણનની કેટલીક મર્યાદા પણ છે.

ન્યૂટોનીય નિયમની સિદ્ધિ : વિજ્ઞાનનો કોઈ પણ સિદ્ધાંત, જાણીતી પરિઘટના શા માટે થાય છે તે સમજાવતો હોય છે. એટલું જ નહિ; પરંતુ નવી ઘટનાની આગાહી પણ કરતો હોય છે. તેને અવલોકીને મૂળ સિદ્ધાંતની સત્યતા અને વ્યાપકતા ચકાસી શકાય. નેપ્ચૂન અને પ્લૂટો નામના ગ્રહોના અસ્તિત્વની આગાહી ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમે જ કરી હતી.

1780માં હર્ષલે અનાયાસે યુરેનસ ગ્રહ શોધ્યો ત્યારે ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ સાથે સંકળાયેલું ગ્રહોનું ગતિ-ગણિત ખૂબ પ્રચલિત થઈ ચૂક્યું હતું. નવો ગ્રહ યુરેનસ શોધાયો એટલે પંચાંગકારોએ તેની ગતિની પણ અગાઉથી ગણતરી કરી તેનું રોજેરોજનું સ્થાન અગાઉથી પંચાંગમાં આપવા માંડ્યું. અવલોકન કરતાં જણાયું કે પંચાંગ પ્રમાણે આકાશમાં જે સ્થાને યુરેનસ દેખાવો જોઈએ તે સ્થાન આગળ તે નહોતો પણ તેનાથી જરા દૂર હતો. પંચાંગની બધી ગણતરી ફરીથી કરી જતાં તેમાં તો કશી ભૂલ ન નીકળી. તો પછી ગણતરી અને વાસ્તવિકતા વચ્ચેના ભેદનું કારણ શું હોઈ શકે ?

યુરેનસ ઉપર સૂર્યનું આકર્ષણ છે તેને કારણે તેની ગતિ લંબવર્તુળમાં થાય છે. વળી યુરેનસની નજીક આવેલો ગ્રહ શનિ છે. શનિના આકર્ષણની પણ યુરેનસની ગતિ પર અસર પડે છે. સૂર્યનું મુખ્ય આકર્ષણ તથા શનિના ગૌણ આકર્ષણને ધ્યાનમાં લઈને પંચાંગની ગણતરી થઈ છે. જેમ નજીકના ગ્રહ(શનિ)ના ગૌણ આકર્ષણને લક્ષમાં લીધું છે તેમ યુરેનસની નજીકના કોઈ અજાણ્યા ગ્રહનું આકર્ષણ ગણતરીમાં ન લેવાવાને કારણે પંચાંગ અને અવલોકન વચ્ચેનો આ થોડો તફાવત ઉત્પન્ન થતો હોય ? આમ વિચાર કરી ઇંગ્લૅન્ડમાં ઍડમ્સે અને ફ્રાન્સમાં લ વેરિયરે એક કૂટ-પ્રશ્ન રચ્યો : સૂર્યથી અંતર પ્રમાણે ગોઠવેલા ગ્રહોની હારમાળા(બુધ, શુક્ર, પૃથ્વી, મંગળ, ગુરુ, શનિ, યુરેનસ)માં ધારો કે યુરેનસ પછી કોઈ ગ્રહ ‘क’ છે. તે ગ્રહનાં સ્થાન અને ગતિ કેવાં હોવાં જોઈએ કે જેથી યુરેનસ પરનું તેનું આકર્ષણ વત્તા શનિનું આકર્ષણ વત્તા સૂર્યનું મુખ્ય આકર્ષણ, એમ ત્રણે આકર્ષણો લક્ષમાં લેતાં યુરેનસનું ગણતરી પ્રમાણેનું સ્થાન બરાબર આકાશમાં દેખાતા તેના સ્થાન ઉપર જ આવે ? આ પ્રશ્ન તેમણે રચ્ચો : એટલું જ નહિ, તેમણે પ્રશ્ન ઉકેલ્યો અને ગણી કાઢ્યું કે નવો ગ્રહ ‘क’ આકાશમાં અમુક જગ્યાએ હોવો જોઈએ, તેમજ દેખાવો જોઈએ.

ઇંગ્લૅન્ડમાં ઍડમ્સની ગણતરી ઉપર ધ્યાન દેવાયું નહિ. પણ ફ્રાન્સમાં લ વેરિયરની ગણતરી પ્રમાણેના સ્થાન પર અવલોકન ગોઠવાયું અને નવો ગ્રહ ‘क’ અવલોકાયો. આ ગ્રહ તે નેપ્ચૂન.

ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમે ગણિતની મદદથી નવા ગ્રહ નેપ્ચૂનની આગાહી કરી અને તે ગ્રહ શોધાયો ! એવી જ રીતે નેપ્ચૂન પછીનો ગ્રહ પ્લૂટો પણ શોધાયો.

આઇન્સ્ટાઇન અને ગુરુત્વાકર્ષણ : આઇન્સ્ટાઇનના નામ સાથે જ સાપેક્ષતા (relativity) શબ્દ સંકળાયેલો છે.

ગતિમાત્ર સાપેક્ષ છે એ સત્યથી તો ઇતિહાસના પ્રારંભકાળથી જ તત્વચિંતકો પરિચિત છે. હવે વિજ્ઞાનમાં તો નિસર્ગનાં અવલોકનો અને નૈસર્ગિક પરિઘટનાઓને આવરી લેતા નિયમોની વાત આવે છે; પરંતુ અવલોકનકારની ગતિની, તેણે કરેલાં અવલોકનો ઉપર અસર પડે છે. એ અસરને બાદ કરીએ તો જ એ અવલોકનકારોએ કરેલાં અવલોકનો સરખાવી શકાય અને સરખાવ્યાં પછી જ તેમાં રહેલા સામ્યને આધારે પૃથ્વીના બે અવલોકનકારો A તથા B નિસર્ગનો નિયમ તારવી શકે.

જુદા જુદા અવલોકનકારોએ કરેલાં અવલોકનોમાં રહેલું સામ્ય સામાન્યત: નૈસર્ગિક પરિઘટનાનું પોતાનું લક્ષણ દર્શાવે છે. પરસ્પર સાપેક્ષ ગતિ ધરાવતા બે અવલોકનકારો A તથા B જો કોઈ એક પરિઘટનાનું એકસરખી રીતે વર્ણન કરે તો તે પરિઘટના નૈસર્ગિક પરિઘટના હોવી જોઈએ અને આવું એકસરખી રીતે કરેલું વર્ણન તે નિસર્ગનો નિયમ કહેવાય.

ઉપરની રીતને વિજ્ઞાનમાં સાપેક્ષતાની કસોટી કહે છે. વૃક્ષ ઉપરથી સફરજન નીચે પડ્યું તેના આધારે ન્યૂટને ગુરુત્વાકર્ષણની વ્યાખ્યા બાંધી. એ વ્યાખ્યા ખરેખર નૈસર્ગિક પરિઘટના વર્ણવે છે કે કેમ તેને પુન: ચકાસી જોવા આઇન્સ્ટાઇને એક પ્રયોગની કલ્પના કરી. અમેરિકામાં આવેલી વિખ્યાત સ્કાઇસ્ક્રૅપર જેવી ઊંચી એક ગગનચુંબી ઇમારતમાં ઉપલે માળેથી નીચે ઊતરતી એક લિફ્ટની કલ્પના કરો. ધારો કે કોઈ કમનસીબ પળે લિફ્ટને આધાર આપતાં દોરડાં તૂટી જાય છે. ન્યૂટનના સફરજનની માફક આ લિફ્ટ પણ નિર્બંધ રીતે નીચે પડવા લાગશે. કલ્પના આગળ ચલાવીએ. ધારો કે લિફ્ટની અંદર એક ગણિતી A નીચે ઊતરે છે. લિફ્ટને જમીન સુધી પહોંચવામાં લાગતો સમય તો આ ગણિતી સરળતાથી ગણી કાઢશે. (ઘણાંખરાં ગગનચુંબી મકાનો માટે આ સમય 2થી 3 સેકન્ડ જેટલો થાય.)

આ દરમિયાન A ગુરુત્વાકર્ષણ ચકાસવાનું નક્કી કરે છે. ખિસ્સામાંથી એક ચૉકનો ટુકડો પોતાની આંખ સામે બરાબર આંખના લેવલે લાવીને છૂટો મૂકી દે છે. તેને શું દેખાશે ? ચૉક લિફ્ટની ભોંય તરફ પડતો દેખાશે ? તે તો કેમ બને ? તે પોતે પણ નિર્બંધ રીતે પડે છે એટલે કે એની આંખને અને ચૉકને એકસરખા વેગ તથા પ્રવેગ છે. જેમ ચૉકનો ટુકડો નીચે પડતો જાય છે તેમ તે (અને તેથી તેની આંખો પણ) એટલું જ અંતર નીચે ઊતરે છે. આમ તેની આંખ અને ચૉક વચ્ચેનું અંતર વધતું કે ઘટતું નથી. તેને ચૉકનો ટુકડો હવામાં તોળાઈને સ્થિર રહેલો દેખાશે. તેની નજરે ચૉક નીચે પડતો નથી પણ આંખના લેવલે સ્થિર રહે છે. તેને આશ્ચર્ય થશે – ‘પૃથ્વી રજા પર ગઈ છે કે શું ?’ ચૉકના ટુકડાને તે કેમ આકર્ષતી નથી ? પૃથ્વી વિશ્વમાં આવેલો એક પદાર્થ છે. ચૉકનો ટુકડો પણ વિશ્વમાં ભિન્ન સ્થાને આવેલો એક બીજો પદાર્થ છે. અવલોકનકાર Aની નજરે વિશ્વમાં આવેલા આ બે પદાર્થો એકબીજાને આકર્ષતા નથી !

પરંતુ જમીન ઉપર ઊભા રહેલા બીજા અવલોકનકાર Bનો તો એવો દાવો છે કે આ બે પદાર્થો એકબીજાને આકર્ષે છે. Bની નજરે ચૉકનો ટુકડો પૃથ્વી તરફ પડે છે. તેની નજરે તો લિફ્ટ અને તેની સાથે અવલોકનકાર A પણ નિર્બંધ રીતે નીચે પડે છે. આનો અર્થ એ થયો કે એ બે અવલોકનકાર A તથા Bની વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ છે. આમ એકબીજાની નજરે સાપેક્ષ ગતિ ધરાવતા બે અવલોકનકારો ન્યૂટોનીય ગુરુત્વાકર્ષણનું વર્ણન જુદી જુદી રીતે કરે છે. એટલે ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ સાપેક્ષતાની કસોટીમાંથી પસાર થઈ શકતો નથી એટલું તો આઇન્સ્ટાઇનના આ કલ્પના-પ્રયોગથી નક્કી થઈ ગયું.

A અને B બંને ગુરુત્વીય પરિઘટનાનું એકસરખું વર્ણન કરે તે રીતે ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ નવેસરથી રચવાનો પ્રશ્ન ખરેખર તો ભૂમિતિનો વિષય છે. તે સમજવા ફરી એક વાર આઇન્સ્ટાઇનના કલ્પના-પ્રયોગ તરફ ધ્યાન આપવાનું રહે.

પહેલાં તો અવલોકનકાર A ઉપર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું. પોતાની આંખ સામે હવામાં તોળાઈ રહેલો ચૉકનો ટુકડો તે જુએ છે. ધારો કે A આ ચૉક્ધો ક્ષિતિજ સમાન્તર દિશામાં પોતાની આંખથી દૂર જાય તેવી રીતે આંગળી વતી સહેજ ધક્કો આપે છે તો તે શું અવલોકશે ? ચૉક હવામાં સીધી લીટીમાં ગતિ કરી લિફ્ટની સામેની દીવાલને તેની આંખના લેવલે જ જઈને ટકરાશે. એમ Aનું અવલોકન થશે.

હવે B તરફ ફરીએ. Bએ શું નોંધ્યું હશે ? Bના અવલોકન પ્રમાણે આગળની દિશામાં તેમજ નીચે તરફની દિશામાં એમ બંને દિશામાં ચૉકના ટુકડાએ ગતિ કરી છે. આમ તેના અવલોકન પ્રમાણે ચૉકની ગતિ વક્ર રેખામાં છે. હકીકતમાં આ વક્રરેખા પરવલય છે.

સ્પષ્ટ છે કે ગુરુત્વીય પરિસ્થિતિના અવલોકનને તે પરિસ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે વપરાતી ભૂમિતિ સાથે ગૂઢ સંબંધ હોવો જોઈએ. A તથા B બંને સરખી રીતે વર્ણવે તેવા ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમની ખોજ કરવા માટે A તથા B જે ભૌમિતિક વ્યવસ્થા વાપરે છે તે ભૂમિતિને જ એકસરખી કરવી જોઈએ. આઇન્સ્ટાઇને આવું જ કાંઈ તેના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમમાં કર્યું છે.

ગુરુત્વાકર્ષણ અને ભૂમિતિ : પોતાના કલ્પના-પ્રયોગથી આઇન્સ્ટાઇનને ખાતરી થઈ કે ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ ભૂમિતિ સાથે ગૂઢ રીતે સંકળાયેલો છે. આથી તેણે ગણિતમાં જે નવી નવી ભૂમિતિઓ શોધાઈ હતી તેનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો.

શાળામાં જે ભૂમિતિ શીખવવામાં આવે છે તે યુક્લિડીય ભૂમિતિ છે. આ ભૂમિતિમાં સમાન્તર રેખાઓ આવે છે. રીમને એક એવી ભૂમિતિ શોધી છે જેમાં બે રેખા કદી સમાન્તર થાય જ નહિ. રીમનીય ભૂમિતિમાં બધી સુરેખા એકબીજીને છેદતી જ સુરેખા છે. આ ભૂમિતિમાં ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં વધારે જ થાય !

આમ છતાં, પૃથ્વીની સપાટી પર વસનારાને આ ભૂમિતિની નવાઈ ન લાગવી જોઈએ કારણ કે પૃથ્વીના ગોળા ઉપરની ભૂમિતિ યુક્લિડીન જ હોઈ શકે, તે તો રીમનીય હોવી જોઈએ.

સુરેખા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર છે. હવે ગોલક ઉપર આવેલાં બે બિંદુ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર દીર્ઘવૃત્ત છે. ગોલક ઉપરના જે વર્તુળનું કેન્દ્ર ગોલકના આ કેન્દ્ર પર આવેલું હોય તે વર્તુળને દીર્ઘવૃત્ત કહે છે. આમ, દીર્ઘવર્તુળો ગોલક ઉપર ‘સુરેખા’ બને છે પણ ગોલક ઉપર દોરેલાં બે દીર્ઘવર્તુળો એકબીજાંને છેદશે જ, તેથી ગોલક ઉપર વપરાતી ભૂમિતિમાં સમાન્તર સુરેખા આવતી નથી. સ્પષ્ટ છે કે આ ભૂમિતિ રીમનીય ભૂમિતિ હોવી જોઈએ.

તો પછી પૃથ્વી ઉપર રમતનું મેદાન સપાટ છે અને તેની ઉપર સુરેખાઓ દીર્ઘવર્તુળો જેવી વક્ર દોરવાને બદલે સીધી જ દોરીએ છીએ. રમતનું મેદાન તો પૃથ્વીની સપાટીનો એકદમ નાનો – કોઈ હિસાબમાં ન આવે તેટલો સૂક્ષ્મ – ભાગ છે; પરંતુ પૃથ્વી ઉપર દૂર દૂર આવેલાં બે શહેરો વચ્ચેનો હવાઈ માર્ગ જ્યારે નકશા ઉપર મૂકવામાં આવે છે ત્યારે આ માર્ગ અચૂક રીતે વર્તુળાકાર મુકાય છે. ગોલકની સપાટીના નાનકડા અંશનો વિચાર કરતી વખતે ગોલકની વક્રતા અવગણી શકાય છે એટલે તે નાનકડો અંશ સપાટ છે તેમ ગણી શકાય છે. તેથી આ સપાટ ભાગ પર દીર્ઘ વર્તુળો પણ તેમની વક્રતા નગણ્ય થવાથી સુરેખા બની જાય છે.

રીમનીય ભૂમિતિનો આ એક સામાન્ય ગુણધર્મ છે. અવકાશના કોઈ પણ પ્રદેશમાં જો રીમનીય ભૂમિતિ વપરાતી હોય તો તે પ્રદેશના કોઈ એક બિંદુની સન્નિધિ(પડોશ)માં રીમનીય ભૂમિતિ યુક્લિડીય ભૂમિતિ બની જાય છે. આઇન્સ્ટાઇને પડતી લિફ્ટનો પ્રયોગ સમજવામાં આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો. પડતી લિફ્ટમાં રહેલા અવલોકનકાર Aને ચૉકનો ટુકડો સુરેખામાં ગતિ કરતો દેખાય છે, જ્યારે પૃથ્વી પર રહેલા Bને તે જ ગતિમાર્ગ વક્ર (પરવલય) લાગે છે. આ પરિસ્થિતિ તો પૃથ્વીની તે પરિસ્થિતિ સાથે મળી આવે છે, જેમાં રમતનાં મેદાનો ઉપર સુરેખા દોરાય છે અને પૃથ્વીના વિશાળ પૃષ્ઠતલ પર દીર્ઘવર્તુળો દોરાય છે. કારણ કે ખરું જોતાં, આ બંને રીમનીય ભૂમિતિની ‘સુરેખા’ઓ છે. રીમનીય ભૂમિતિમાં બે બિંદુને જોડનારા ન્યૂનતમ માર્ગને ‘સુરેખા’ નહિ પણ ભૂરેખા (geodesic) કહે છે.

ગોલકની વક્રસપાટી પર દોરેલી ભૂરેખાઓ દીર્ઘવર્તુળો છે. રમતના મેદાન પર આ ભૂરેખાઓ સુરેખા થઈ જાય છે. પડતી લિફ્ટના ચૉકના અવલોકન ઉપરથી એવું સૂચન મળે છે કે ચૉકના ટુકડાનો ગતિમાર્ગ રીમનીય ભૂમિતિની ભૂરેખા હોવો જોઈએ.પડતી લિફ્ટને એક બિંદુના નજીકના પ્રદેશ સાથે સરખાવી શકાય. તેથી આ નાના પ્રદેશમાં ભૂમિતિ યુક્લિડીય બની જાય છે. એટલે ભૂરેખા સુરેખા બની જાય છે. અવલોકનકાર B માટે વક્રતા નગણ્ય નથી તેથી તેને ભૂરેખાઓ વક્ર પરવલયો જણાય છે.

પડતી લિફ્ટ એ અવલોકનકાર Aના અનુભવોને સમાવતો નાનો પડોશ-પ્રદેશ છે. આ પ્રદેશનું નાનાપણું Bના અવલોકન-પ્રદેશની સરખામણીમાં નક્કી થાય છે. વળી આ નાનાપણું લિફ્ટની લંબાઈ-પહોળાઈ તથા ઊંચાઈ નાનાં છે એટલા ઉપર જ નિર્ભર નથી; પરંતુ Aનો અનુભવ જે થોડા સમય (2 કે 3 સેકન્ડ) સુધી જ મર્યાદિત છે એના ઉપર પણ નિર્ભર છે. અવલોકનકાર Aના અવલોકન-પ્રદેશનું નાનાપણું ફક્ત લિફ્ટનાં ત્રિપરિમાણોના નાનાપણામાં સમાયેલું નથી. પરંતુ સમયના ચોથા પરિમાણના નાનાપણામાં સમાયેલું છે અને જે રીમનીય ભૂમિતિનો ઉલ્લેખ કરાયો છે તે સ્થળ-કાળની ચતુષ્પરિમાણ રીમનીય ભૂમિતિ છે.

આઇન્સ્ટાઇનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ : અવલોકન-પ્રદેશ ચતુષ્પરિમાણ છે. આ ચતુષ્પરિમાણ-પ્રદેશને અનુલક્ષીને આઇન્સ્ટાઇને તેનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ આપ્યો છે. તે નિયમ પ્રમાણે ગુરુત્વાકર્ષણ-ક્ષેત્રમાં અવલોકનો કરતાં અવલોકનકારનો ચતુષ્પરિમાણ અવલોકન-પ્રદેશ વક્રતા ધરાવે છે અને તે પ્રદેશની ભૂમિતિ રીમનીય છે. આ અવલોકન-પ્રદેશની વક્રતા માટે આઇન્સ્ટાઇને, ગુરુત્વાકર્ષણ ઉત્પન્ન કરતા પદાર્થોના દ્રવ્યમાન પર આધારિત સૂત્ર આપ્યું છે, જેને આઇન્સ્ટાઇનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ કહે છે.

સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણક્ષેત્ર મેળવવું હોય તો આઇન્સ્ટાઇનના સૂત્રને સંતોષે એવા ચતુષ્પરિમાણ સ્થળ-કાળ-પ્રદેશની રીમનીય ભૂમિતિ શોધવી જોઈએ. સ્પષ્ટ છે કે ન્યૂટોનીય ગુરુત્વાકર્ષણ જેવું આ સરળ કામ નથી.

ગણિત અને શુદ્ધ ચિંતનથી મેળવેલ આઇન્સ્ટાઇનનો આ ગુરુત્વાકર્ષણનો ખ્યાલ વિજ્ઞાનમાં સ્થાન પામ્યો. કારણ કે પહેલું તો આઇન્સ્ટાઇનના નિયમમાંથી ન્યૂટોનીય ગુરુત્વાકર્ષણનાં બધાં જ પરિણામ મેળવી શકાયાં, એટલું જ નહિ એવાં પણ કેટલાંક અવલોકન-નિર્ભર પરિણામો મળ્યાં જે ન્યૂટોનીય સિદ્ધાંત વડે મળી શકતાં નથી. આવા એક પરિણામની ચર્ચા નીચે પ્રમાણે છે :

આઇન્સ્ટાઇનનું જાણીતું સમીકરણ E = mc² દર્શાવે છે કે m દ્રવ્યમાનના કણમાં mc² અર્ગ જેટલી ઊર્જા રહેલી છે. (અહીં c = પ્રકાશનો વેગ 3 લાખ કિલોમીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે.) તેથી ઊલટું E અર્ગ ઊર્જા =  દ્રવ્યમાનનો કણ છે. આમ ઊર્જાને પણ દળ છે. તેથી અન્ય પદાર્થ કણની જેમ ઊર્જાના કિરણ ઉપર પણ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર થવી જોઈએ. આઇન્સ્ટાઇને પોતાના સિદ્ધાંતની મદદથી આ અસર ગણી કાઢી. તેણે સાબિત કર્યું કે તારાના પ્રકાશનું કિરણ જો સૂર્ય પાસેથી પસાર થાય તો સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે સીધી રેખામાંથી વંકાઈ જાય છે અને આ વંકન 1.75 વિકળા જેટલું છે. (1 વિકળા એટલે 1°નો 3600મો ભાગ.) સૂર્ય નજીકથી પસાર થતું તારાનું કિરણ તો ખગ્રાસ સૂર્યગ્રહણ વખતે જ અવલોકી શકાય. 1919ના સૂર્યગ્રહણ વખતે ખાસ અવલોકનો ગોઠવવામાં આવ્યાં અને આઇન્સ્ટાઇનની આગાહી પ્રમાણે 1.75 વિકળાનું વંકન મપાયું.

આમ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના વર્ણન કરતાં આઇન્સ્ટાઇનનું ભૌમિતિક વર્ણન ચડિયાતું સાબિત થયું.

પ્ર. ચૂ. વૈદ્ય