ગતિશાસ્ત્ર (ગતિવિદ્યા)

ગતિશાસ્ત્ર (ગતિવિદ્યા) : યંત્રશાસ્ત્રની જે શાખામાં પદાર્થ ઉપર કાર્ય કરતાં બળો અને તેનાથી ઉત્પન્ન થતી ગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે શાસ્ત્ર. ગતિશાસ્ત્રમાં ન્યૂટનના ગતિના નિયમોને સ્વયંસિદ્ધ વિધાનો (axioms) તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે. આ નિયમો નીચે મુજબ છે :

નિયમ 1 : કોઈ પણ પ્રકારનું બાહ્ય બળ લગાડવામાં ન આવે, તો પદાર્થ પોતાની સ્થિતિ બદલતો નથી, એટલે કે સ્થિર પદાર્થ સ્થિર રહે છે અને એકધારી સુરેખ ગતિ કરતો પદાર્થ તેની ગતિ ચાલુ રાખે છે.

આ નિયમ પરથી બળની વ્યાખ્યા મળે છે.

નિયમ 2 : જો m દ્રવ્યમાનવાળા કણ ઉપર બળ કાર્ય કરે તો તે સમીકરણ  અનુસાર ગતિ કરે છે; અહીં  કણનો પ્રવેગ છે અને K એક ધન અચળ છે જેની કિંમત બળ, દ્રવ્યમાન, લંબાઈ અને સમયના એકમોની પસંદગી ઉપર આધાર રાખે છે. જો બળના એકમો એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે એકમ દ્રવ્યમાન ઉપર લાગતું એકમ બળ એકમ પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે તો k = 1 થાય છે.

નિયમ 3 : ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા સરખી અને સામસામી દિશામાં હોય છે.

ઉપર્યુક્ત બીજા નિયમ પ્રમાણે બળ ની અસર નીચે ગતિ કરતા m દ્રવ્યમાનવાળા કણની ગતિનું નિયમન સમીકરણ

વડે થાય છે. અહીં  કણનો પ્રવેગ છે. જો આપણે કાર્તીય (cartsion) યામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, તો સદિશ (vector) સમીકરણ (1)માંથી નીચેનાં સમીકરણો મળે છે :

અહીં X, Y, Z બળ ના યામાક્ષો(coordinate axis)ની દિશામાં સંઘટકો છે.

વેગમાન : m દ્રવ્યમાનવાળા અને  વેગથી ગતિ કરતા કણના વેગમાનની વ્યાખ્યા સદિશ m વડે આપવામાં આવે છે.

કોણીય વેગમાન : વેગમાન એક સદિશ હોવાને કારણે કોઈ બિંદુ A આસપાસ આઘૂર્ણ (moment) લઈ શકાય છે. આ આઘૂર્ણને કણના બિંદુ A આસપાસનું કોણીય વેગમાન કહેવાય છે.

કોણીય વેગમાનનો સિદ્ધાંત : સમતલની અંદર ગતિ કરતા કણ માટે, તે સમતલમાંના કોઈ નિયત બિંદુ આસપાસ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર તે કણ ઉપર કાર્ય કરતા બળના તે બિંદુ આસપાસના આઘૂર્ણ બરાબર થાય છે.

ગતિશક્તિ : જો m દ્રવ્યમાનવાળો કણ v વેગથી ગતિ કરતો હોય તો  ને તે કણની ગતિશક્તિ કહેવાય છે.

સ્થિતિશક્તિ : જો કણ ઉપર કાર્ય કરતા બળસ્વરૂપમાં દર્શાવાય, તો અદિશ (scalar) vને કણની સ્થિતિશક્તિ કહેવાય છે.

કોઈ પણ કણની ગતિશક્તિ અને સ્થિતિશક્તિનો સરવાળો અચળ રહે છે. આ વિધાનને શક્તિસંરક્ષણનો નિયમ કહેવાય છે.

ઉપર્યુક્ત ખ્યાલોને એક કરતાં વધારે કણોના ગતિશાસ્ત્ર માટે પણ વિસ્તારી શકાય છે. હવે આપણે ગતિશાસ્ત્રનાં કેટલાંક અગત્યનાં વિકલ સમીકરણોની ચર્ચા કરીશું.

સુરેખ સ્વરિત ગતિ : સુરેખા ઉપર સ્વરિત ગતિ (harmonic motion) કરતા કણ માટે

સ્વરૂપનું સમીકરણ છે. t સમયે ઊગમબિંદુથી કણનું અંતર x છે અને a વાસ્તવિક અચળ છે. સમીકરણ (2)નો સામાન્ય ઉકેલ

અથવા x = λ cos (at + ε) છે.

અહીં A, B, λ અને ε સ્વૈર અચળો (arbitrary constants) છે. અહીં કણનો વેગ

થાય છે. અચળો A, B, λ અને ε આપેલી શરતોને આધારે નિશ્ચિત થાય છે. સમીકરણ (1)ના ઉકેલ (3)માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયો સમાયેલાં છે તથા આ વિધેયોનો આવર્તકાળ (periodic time) 2π/a  છે. આમ કણની સ્વરિત ગતિ આવર્તી છે અને એકમ સમયમાં આંદોલનની સંખ્યા a/2π  થાય છે. આ સંખ્યાને સ્વરિત ગતિની આવૃત્તિ કહેવાય છે.

સમતલમાં ગતિ કરતા અવરોધ વગરના ઊર્ધ્વ પ્રક્ષેપકો : એક કણને ઊર્ધ્વ દિશામાં u વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. જે બિંદુથી કણને ફેંકવામાં આવે તે બિંદુથી ઊર્ધ્વ ક્ષિતિજ લંબ દિશામાંના કણના અંતરને y વડે દર્શાવીએ. જો ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ g હોય અને t સમયે કણની સ્થિતિ y હોય તો કણની ગતિનું વિકલ સમીકરણ

જો t સમયે કણનો વેગ હોય, તો v, y અને tને આવરી લેતાં સૂત્રો

જો x-અક્ષ ક્ષૈતિજ લઈએ, તો ગતિનાં સમીકરણો

જો પ્રારંભિક વેગનો ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો α હોય, તો

u_x = u cos α અને u_y = u sin α એ પ્રારંભિક વેગના સંઘટકો છે. જ્યારે t = 0 હોય, ત્યારે x = 0, ગતિમાર્ગનું સમીકરણ

છે (જે જોઈ શકાય છે). એક એક પરવલય દર્શાવે છે.

જો t સમયે પ્રક્ષેપક ફરીથી નીચે ભટકાતો હોય, તો t અને તે સમયનું ક્ષૈતિજ અંતર x નીચેનાં સૂત્રો વડે મળે છે :

જો હોય, તો આ વિસ્તાર મહત્તમ થાય છે અને તેનું મૂલ્ય  છે. સમયે પ્રક્ષેપની મહત્તમ ઊંચાઈ  હોય છે.

સાદું લોલક : એક હલકા દંડ અથવા અપ્રતાન્ય (inextensible) દોરીના છેડે ભારે કણ લટકતો રહે તેવી રીતે બાંધી તે દોરીનો બીજો છેડો એક નિશ્ચિત બિંદુ સાથે બાંધી દેવાથી સાદું લોલક રચાય છે.

દોરીનો છેડો નિશ્ર્ચિત બિંદુ A સાથે જોડેલો હોય અને દોરીના બીજા છેડે m દ્રવ્યમાનવાળો કણ લટકાવ્યો હોય, તો કણ ઉપર કાર્ય કરતું બળ mg છે અને તેની દિશા નીચેની તરફ લંબક છે. કણને તેના સ્થિર બિંદુએથી ખસેડવામાં આવે તો t સમયે કણની સ્થિતિ P, (Aમાંથી ક્ષિતિજરેખા અને ABની દિશામાંની ક્ષિતિજ લંબ દિશાના યામાક્ષોના સંદર્ભમાં) (x, y) હોય તથા કિરણ AO, કિરણ AP સાથે θ ખૂણો બનાવે તો કણની ગતિનાં સમીકરણો (જુઓ આકૃતિ.)

છે. અહીં S એ દોરીનો તણાવ PA દિશામાં છે. જો દોરીની લંબાઈ l હોય, તો

જો θ નાનો હોય, તો sin θ = θ અને cos θ = 1

તેથી આશરે y = 0, થાય. સમીકરણ(9)માં આ મૂકતાં,

અને 0 = S – mg થાય.

આમ સાદા લોલકની ગતિ સ્વરિત છે અને સાદા લોલકનો આવર્તકાળ છે.

કેન્દ્રીય બળ નીચે કણની ગતિ : કોઈ એક કણ એક નિશ્ર્ચિત બિંદુ તરફ કોઈક બળથી આકર્ષાતો હોય અને આ બળની અસર નીચે ગતિ કરતો હોય તો કણનો ગતિમાર્ગ (કક્ષા) સમતલમાં આવે છે. ધારો કે m દ્રવ્યમાનનો એક કણ એક નિશ્ચિત બિંદુ O તરફ mp બળથી આકર્ષાય છે. જો આકર્ષણને બદલે અપાકર્ષણ હોય, તો Pને ઋણ લેવામાં આવે છે. કાર્તીય યામપદ્ધતિમાં કણની ગતિનાં સમીકરણો

અહીં r² = x² + y² છે. જો P = K²r (K અચલ) લઈએ તો બળ અંતરના સીધા પ્રમાણમાં છે. આવા બળ Pની અસર નીચે ગતિનાં સમીકરણો

થાય છે. સમીકરણો (11) સ્વરિત ગતિનાં સમીકરણો છે. આ સમીકરણોના ઉકેલ ઉપરથી અને x અને yની કિંમતો સાન્ત (finite) છે તે હકીકતના ઉપયોગથી તારવી શકાય છે કે કણનો ગતિમાર્ગ ઉપવલય છે. બળ અંતરના પ્રમાણમાં ન હોય ત્યારે ધ્રુવીય યામનો ઉપયોગ કરવાથી સરળતા આવે છે. લખીએ તો કણની ગતિનું સમીકરણ

મળે છે. અહીં અચળ છે. ક્ષેત્રીય વેગ સંદર્ભમાં h ક્ષેત્રીય વેગથી બમણો થાય છે. આમ કણનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ છે. સમીકરણ (12)નો ઉકેલ u = u (e) કેન્દ્રીય કક્ષાનું સમીકરણ દર્શાવે છે. સમીકરણ (12)માં  હોય, તો આકર્ષણ બળ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં થાય છે. આ વિકલ્પમાં સમીકરણ (12)

-માં પરિણમે છે. સમીકરણ (13)નો સામાન્ય ઉકેલ

છે; જ્યાં સ્વૈર અચળો છે. ધ્રુવીય યામોમાં  સમીકરણ 1 અર્ધનાભિલંબ અને e ઉત્કેન્દ્રતાવાળા શાંક્વનું સમીકરણ છે. પરિણામ (14)માંથી સ્પષ્ટ છે કે અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણના આકર્ષણબળ નીચે ગતિ કરતો કણ ઉત્કેન્દ્રતા એકથી ઓછી, એક, એકથી વધુ હોય તે અનુસાર ઉપવલય, પરવલય કે અતિવલયમાં ગતિ કરે. અચળો  પ્રારંભિક શરતો ઉપરથી નક્કી થાય છે. જો કણની કુલ શક્તિ E હોય તો ઉત્કેન્દ્રતા માટેના સૂત્ર ઉપરથી કહી શકાય કે જો E < 0 તો કણની કક્ષા પરવલય (parabolic), જો E = 0 કણની કક્ષા ઉપવલય (elliptical) અને E > 0 તો કણની કક્ષા અતિવલય (hyperbolic) હોય છે.

જ્હૉન કેપ્લર નામના વિજ્ઞાનીએ ખગોળશાસ્ત્રીય અવલોકનોનો બારીકાઈથી અભ્યાસ કરીને ગ્રહોની ગતિને લગતા નીચેના ત્રણ નિયમોનું પ્રતિપાદન કર્યું :

નિયમ 1 : કોઈ પણ ગ્રહ ઉપવલીય કક્ષામાં એવી રીતે પરિભ્રમણ કરે છે કે તે કક્ષાની બેમાંથી એક નાભિ ઉપર સૂર્ય હોય છે.

નિયમ 2 : સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા (ઉપવલયની ત્રિજ્યા) સરખા સમયમાં સરખું ક્ષેત્રફળ આંતરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો કોઈ પણ ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે.

નિયમ 3 : કોઈ પણ ગ્રહના આવર્તનકાળનો વર્ગ, તેની ઉપવલીય કક્ષાની અર્ધ-પ્રધાન (semi-major) અક્ષના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ : દ્રવ્યનો પ્રત્યેક કણ, તેના દરેક બીજા કણને આકર્ષે છે અને એ આકર્ષણબળ બંને કણોનાં દ્રવ્યમાનોના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

ન્યૂટનના ગતિના નિયમો અને કેપ્લરના નિયમોની મદદથી ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ તારવી શકાય છે. વળી ન્યૂટનના ગતિનિયમો અને ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમમાંથી કેપ્લરના નિયમો પણ તારવી શકાય છે.

આઘાત : જો m દ્રવ્યમાનના એક કણ ઉપર બળ હંમેશાં એક જ દિશામાં કાર્ય કરે તો તેની ગતિનું સમીકરણ છે જ્યાં  એ કણનો t સમયે વેગ છે. જો બળ સમય T પૂરતું કાર્ય કરે અને શરૂઆતનો અને છેવટનો કણનો વેગ અનુક્રમે હોય તો મળે. હવે ને એવી રીતે વધારવામાં આવે છે અને સમય Tને એવી રીતે ઘટાડવામાં આવે છે કે જેથી નું લક્ષ સાન્ત થાય. જો આ લક્ષ  હોય તો ને આઘાતી બળ અથવા આઘાત (impulsive force) કહેવાય છે અને ગતિનું સમીકરણ

ર્દઢ (rigid) પદાર્થની ગતિમાં ગતિશક્તિ અને કોણીય વેગમાનના ખ્યાલો ખૂબ જ ઉપયોગી થાય છે.

ગતિશાસ્ત્રના કોઈ પણ પ્રશ્નના ઉકેલ માટે બે વૈશ્લેષિક (analytical) પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. આ બે પદ્ધતિઓ અનુક્રમે લાગ્રાંઝિયન અભિગમ અને હેમિલ્ટોનીય અભિગમ તરીકે ઓળખાય છે. લાગ્રાંઝિયન અભિગમમાં વિધેય L = T – V ખૂબ જ અગત્યનો ભાગ ભજવે છે જ્યાં T અને V અનુક્રમે કણસંહતિની ગતિશક્તિ અને સ્થિતિશક્તિ દર્શાવે છે. હેમિલ્ટોનીય અભિગમમાં વિધેય H મહત્ત્વપૂર્ણ ભાગ ભજવે છે. વિધેય H ભૌતિક રીતે કણસંહતિની કુલ શક્તિ દર્શાવે છે. ગતિશાસ્ત્રનો કોઈ પણ પ્રશ્ર્ન ઉપર્યુક્ત બે અભિગમોમાંથી ગમે તે એક વડે ઉકેલી શકાય છે. આમ બંને અભિગમો સમાનાર્થી છે.

લીલાધર ખેસાભાઈ પટેલ