ગણિતીય કોષ્ટકો

ગણિતીય કોષ્ટકો (mathematical tables) : વિધેય રચતા ચલરાશિની પસંદ કરેલી કિંમતોને અનુરૂપ વિશિષ્ટ ગાણિતિક વિધેયોની સંખ્યાત્મક કિંમતોની લંબચોરસ સારણી. કોષ્ટકની મદદથી તેનો ઉપયોગ કરનાર ચલરાશિની પસંદ કરેલી કિંમત સામે વિધેયની અનુરૂપ કિંમત મેળવી શકે છે. ગણિતીય સારણીમાં દર્શાવેલાં યુગ્મનનાં ઉદાહરણોમાં , જેવી વર્ગમૂળ કે ઘનમૂળ દર્શાવતી સારણી; x ↔ x², x ↔ x³ જેવી વર્ગ કે ઘન દર્શાવતી સારણી; x ↔ sin x, x ↔ cos x જેવી ત્રિકોણમિતીય સારણીઓ; x ↔ log x લઘુગણકીય વિધેયની સારણી; x ↔ (1+i)ⁿ જેવી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ દર્શાવતી સારણી છે. સારણીમાંની નોંધની ચોકસાઈ વિધેયની કિંમતોનાં સન્નિકટ (approximate) મૂલ્યો અને ચલરાશિની સંખ્યા ઉપર આધાર રાખે છે.

ઇતિહાસ : લગભગ ઈ. પૂ. 2000માં બૅબિલોનિયન ગણિતના ઘડિયા અને વ્યસ્ત સંખ્યાનાં કોષ્ટકો જોવા મળે છે. (nની કિંમત જાણીતો પૂર્ણાંક હોય ત્યારે  તેની વ્યસ્ત સંખ્યા કહે છે.) ઇજિપ્શિયન અને ગ્રીકોના ગણિતમાં અપૂર્ણાંકોને એકમ અંશના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવતા; દા.ત., ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાના હિરાનેસ્વરૂપમાં દર્શાવ્યો હતો. આધુનિક સ્વરૂપનું પ્રથમ ગણિતીય કોષ્ટક ટૉલેમીના આલ્માગેસ્ટમાં ચાપના કોષ્ટકમાં જોવા મળે છે. ઈ. પૂ. બીજા સૈકામાં રચાયેલા આ કોષ્ટકમાં વર્તુળની ચાપની કિંમત દર અર્ધા અંશના તફાવતથી દશાંશનાં 6 સ્થળો સુધીનાં મૂલ્યોમાં આપવામાં આવે છે. ઈ. સ. 1538માં આલ્માગેસ્ટની ગ્રીક આવૃત્તિ પ્રસિદ્ધ થઈ હતી જેમાં ટૉલેમીનું ચાપનું કોષ્ટક હતું. કોષ્ટક પ્રતિપાદન કરવામાં ટૉલેમીએ ષાષ્ટિક પદ્ધતિ (sexagesimal) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરેલો છે. તેમાં ત્રિજ્યાનું 60 ભાગમાં, તે દરેક ભાગનું વળી 60 ભાગમાં એ રીતે વિભાજન કરેલું છે. જોકે હિન્દુ અને આરબ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિવિધ પ્રકારનાં કોષ્ટકો બનાવ્યાં અને વાપર્યાં હતાં છતાં આધુનિક સ્વરૂપમાં કોષ્ટક રચવાનું પંદરમી સદીમાં વિકસ્યું. પ્રાકૃતિક ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં કોષ્ટકો પંદરમી સદીની મધ્યમાં જ્યૉર્જ વૉન પરબાક(Perbach)ની દોરવણી નીચે શરૂ થયાં જેણે ત્રિજ્યાનું 6 લાખ ભાગોમાં વિભાજન કર્યું હતું. વિધેયોની કિંમતોમાં ઓછામાં ઓછા બે કે વધુમાં વધુ પાંચ કે તેથી વધારે દશાંશનાં સ્થાનો લેવામાં આવે છે. સારણીમાં ચલરાશિની કિંમતનોંધણીઓ વચ્ચેના ટૂંકા કે લાંબા ગાળા ઉપર આધાર રાખે છે; દા. ત., ત્રિકોણમિતીય વિધેયની સારણીમાં અંશના ગુણકોમાં કે અંશ અને મિનિટના ગુણકોમાં નોંધણી (entry) દર્શાવેલી હોય છે. સારણીનો ઉપયોગ કરવામાં ઉપયોગકર્તા ચલરાશિની આપેલી કિંમત લઈ સારણીમાંથી વિધેયની કિંમત શોધી શકે છે અને આથી ઊલટું પણ થઈ શકે છે. સારણીમાં દર્શાવેલી કિંમતોની વચ્ચેની કિંમત શોધવા માટે સુરેખ અંતર્વેશન-(interpolation)ની રીતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. અહીં સારણીમાં નોંધેલી કિંમતો વચ્ચેના ગાળામાં વિધેય સુરેખ છે એમ સ્વીકારવામાં આવે છે.

નિકોલસ કૉપરનિકસના 1534માં પ્રસિદ્ધ થયેલા ‘આકાશી પિંડોનાં પરિક્રમણ’ (revolutions) નામના પુસ્તકમાં જ્યા(sine)ના દશાંશના પાંચમા સ્થળ સુધીનાં કોષ્ટક પ્રસિદ્ધ થયાં. ઈરેસ્મસ રેનહોલ્ડના 1553માં પ્રસિદ્ધ થયેલા કાર્યમાં સ્પર્શક(tangent)નાં સુધારેલાં કોષ્ટકો પ્રગટ કરવામાં આવ્યાં. કૉપરનિકસના એક શિષ્યે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતના દશાંશનાં પંદર સ્થળ સુધીનું કોષ્ટક આપ્યું. તેણે સાઇનનું કોષ્ટક પૂરું કર્યું; પરંતુ તે સ્પર્શક અને છેદક(secant)નાં કોષ્ટક પૂરાં કરી શક્યો નહિ. તેના મૃત્યુ બાદ તેના શિષ્ય વેલેન્ટિન ઓથોએ 1596થી 1613માં આ કામ પૂર્ણ કર્યું. આ આધુનિક કોષ્ટકના પાયારૂપ કામ છે.

લઘુગણક (logarithm) : સમીકરણ x = b^y પરથી y = log_b^x લખી શકાય, જ્યાં yને સંખ્યા xના b આધારવાળો લઘુગણક કહે છે; દા. ત., 100 = 10² છે તેથી 2 = log₁₀ 100 છે. અહીં આધાર 10 છે. આવા દસના આધારવાળા લઘુગણક્ધો સામાન્ય (common) લઘુગણક કહે છે. ગુણાકાર, ભાગાકાર જેવી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સંખ્યાઓની ગણતરી કરવામાં લઘુગણક ઉપયોગી સાધન છે. બે સંખ્યાઓને ગુણવા માટે તેમના લઘુગણક મેળવી, લઘુગણકનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, જેનો પ્રતિલઘુગણક (antilogarithm) શોધવાથી જોઈતો જવાબ મળે છે. 1544માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી માઇકલ સ્ટીફેલના કાર્યમાં લઘુગણકના વિચારનું મૂળ મળે છે. ઈ. સ. 1614માં એડિનબર્ગમાં જ્હૉન નેપિયરે લઘુગણક પર સ્વતંત્ર કોષ્ટક પ્રસિદ્ધ કર્યું અને ઈ. સ. 1620માં પ્રાગમાં સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી બુર્ગી(Burgi)એ પ્રતિલઘુગણકનું સંક્ષિપ્ત કોષ્ટક પ્રસિદ્ધ કર્યું. નેપિયરનું કોષ્ટક દશાંશનાં આઠ સ્થળ સુધીનું હતું. e આધાર પરના લઘુગણક્ધો નેપિરિયન લઘુગણક કહે છે; દા. ત., log_e x, અહીં e = 2.7183 છે. ઈ. સ. 1624માં અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી હેન્રી બ્રિગ્ઝે ‘અમેરિકા મૅથેમૅટિકા’ના મથાળા નીચે 10 આધાર પરના લઘુગણકનું પ્રથમ કોષ્ટક પ્રગટ કર્યું, જેમાં દશાંશનાં ચૌદ સ્થળ સુધી ગણતરી કરવામાં આવી હતી.

ઈ. સ. 1633માં ‘ટ્રિગોનૉમેટ્રિક આર્ટિફિસિયાલીસ’માં વ્લાકે (Vlacq) લઘુગણકીય જ્યા અને લઘુગણકીય સ્પર્શક્ધો પ્રત્યેક દસ સેકન્ડના તફાવત માટે દસ સ્થાનો સુધી અને ‘ટ્રિગોનૉમેટ્રિકા બ્રિટાનિકા’માં બ્રિગ્ઝે પ્રાકૃતિક (natural) જ્યા માટે પંદર સ્થાન સુધી અને સ્પર્શક માટે દશ સ્થાન સુધી કિંમતો આપી. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વ્લાકની વિભાજનપદ્ધતિ કરતાં બ્રિગ્ઝનું વિભાજન વધારે પસંદ કર્યું છે. જ્યારે વજન અને માપ માટે મેટ્રિક પદ્ધતિ પ્રચલિત બની ત્યારે આ પ્રશ્નને નવો અભિગમ મળ્યો. ત્રિકોણમિતીય વિધેયનાં મૂલ્યોને શતાંશ એકમમાં દર્શાવવા માટેની યોજના ગેસ્પાર્ક પ્રોનીને સોંપવામાં આવી. તેમાં એક ચરણના સો ભાગ પાડી દરેકને ગ્રેડ, ગ્રેડના સો ભાગ પાડી દરેકને મિનિટ અને તેના સો ભાગ પાડી દરેકને સેકન્ડ નામ આપ્યું. વિજ્ઞાન અને વાણિજ્યના ઝડપી વિકાસ સાથે સત્તરમી સદી કરતાં અઢારમી સદીમાં વધારે કોષ્ટક તૈયાર થયાં. ઓગણીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં ઉપવલયી વિધેયો, અતિવલયી વિધેયો, ગૅમા વિધેયો, સંભવિતતા વિધેયોનાં કોષ્ટકોનો ઉદભવ થયો. આમ, કોષ્ટકોનો ઇતિહાસ એ વિશિષ્ટ વિધેયોનો ઇતિહાસ બન્યો. ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં કોષ્ટકોના પદ્ધતિસર અભ્યાસ માટે ઇતિહાસ અને ગ્રંથસૂચિ તૈયાર કરવામાં આવી. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સની રાષ્ટ્રીય સંશોધન સંસ્થાએ આધુનિક કોષ્ટકોની સમીક્ષા, સંશોધનમાં વિશિષ્ટ ક્ષેત્રોનાં કોષ્ટકોની હસ્તપ્રતોની નોંધણી, પ્રમાણિત કોષ્ટકોમાં ક્ષતિઓની યાદી, સામાન્ય ગ્રંથસૂચિ વગેરે માટે ખાસ ત્રૈમાસિક સામયિકની સ્થાપના કરી. આવું પ્રકાશન 1946માં થયું; જેમાં ફ્લેચર, મિલર અને રોજનહેડ વગેરેએ નોંધેલાં 200 કોષ્ટકોની અનુક્રમણિકા હતી.

સોળમી સદીની શરૂઆતથી વિકસેલાં કોષ્ટકોની અનુક્રમણિકા, તેમનાં શીર્ષક અને તેમની ગ્રંથસૂચિ એચ. ડેવિસ અને વી. ફિશરે તૈયાર કર્યાં. ફ્લેચર, મિલર અને રોજનહેડે 1962માં અનુક્રમણિકાની બીજી આવૃત્તિ બે ગ્રંથોમાં તૈયાર કરી. 1964માં ભારતીય માનક સંસ્થાએ ગણિતીય વિધેયોની હાથપોથી પ્રસિદ્ધ કરી; જેમાં ગણિતીય કોષ્ટકો, સૂત્રો અને આલેખ પ્રસિદ્ધ કર્યાં. આ મહાન કાર્યમાં 29 પ્રકારનાં વિધેયો સમાવિષ્ટ થયેલાં છે.

શિવપ્રસાદ મ. જાની