ક્ષેત્રકલન (quadrature) (ખગોળ) : ગ્રહો, ઉપગ્રહ (ચંદ્ર) વગેરે ખગોલીય પદાર્થોની વિશિષ્ટ અભિમુખતા (aspect), જેમાં પૃથ્વી ઉપરથી જોતાં ખગોલીય પદાર્થની દિશા અને સૂર્ય-પૃથ્વી દિશા કાટખૂણો રચે તે. ભારતીય જ્યોતિષશાસ્ત્રમાં ચાંદ્રમાસના અર્ધા ભાગ, 15 તિથિ જેટલા સમયગાળાને પક્ષ કે પખવાડિયું કહે છે અને ચતુર્થાંશ ભાગ(7.5 તિથિ = 7 તિથિ + 1 કરણ)ને ચાંદ્રપક્ષાર્ધ (quadrature of the moon) અથવા અષ્ટકા એટલે આઠમ કહે છે. સૂર્ય-પૃથ્વી-ચંદ્ર કોણ 84° થાય એટલે સાતમ (તિથિ) પૂરી થઈ અષ્ટમી કે આઠમનો આરંભ થાય છે. આ કોણ 90°નો થતાં પક્ષને દુભાગે છે એટલે કે ચાંદ્રપક્ષાર્ધ થયો એમ કહેવાય. સુદ અષ્ટકાએ ચાંદ્રમાસનો પ્રથમ ચતુર્થાંશ સમાપ્ત થાય ત્યારે ચાંદ્રક્ષેત્રકલન થાય છે, જે માટે ચંદ્રસમકોણસ્થિતિ સંજ્ઞા પ્રયોજવામાં આવે છે. સૂર્ય-પૃથ્વી-(ખગોળીય) પદાર્થ કોણને ઇનાંતર કહેવામાં આવે છે, જેનું મૂલ્ય 0°થી 180° જેટલું હોય છે. સૂર્ય સાપેક્ષ ખગોલીય પદાર્થનું સ્થાન પૂર્વ કે પશ્ચિમ ગોળાર્ધમાં હોય તે પ્રમાણે ઇનાંતરને પૂર્વ કે પશ્ચિમની સંજ્ઞા આપવામાં આવે છે. પૃથ્વીની ધરીભ્રમણ દિશા પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફની હોવાથી, ગ્રહ(કે ચંદ્ર)ના પૂર્વ ઇનાંતરનું મૂલ્ય જેમ મોટું તેમ ગ્રહના ઉદયાસ્ત સૂર્ય કરતાં વધારે મોડા અને પશ્ચિમ ઇનાંતર મોટું તેમ ગ્રહના ઉદયાસ્ત સૂર્ય કરતાં વધારે વહેલા થાય છે. સુદ અષ્ટકા(first-quarter)એ પૂર્વક્ષેત્રકલન (સમકોણસ્થિતિ) સમયે ચંદ્ર (કે ગ્રહ) મધ્યાહ્ને ઊગે છે; સૂર્યાસ્ત સમયે યામ્યોત્તરવૃત (meridian) ઉપર હોય છે અને મધ્યરાત્રિએ આથમે છે. એનાથી ઊલટું વદ અષ્ટકા(last quarter)એ પશ્ચિમક્ષેત્રકલન સમયે ગ્રહ(કે ચંદ્ર)નો મધ્યરાત્રિએ ઉદય થાય છે, સૂર્યોદય સમયે યામ્યોત્તરવૃત્ત ઉપર આવી પહોંચે છે અને મધ્યાહને તે આથમતો દેખાય છે.
આકૃતિ 1 : ચંદ્રની અર્ધકલા અવસ્થાનાં અવલોકનો ઉપરથી ઍરિસ્ટાર્કસની રીતે મપાતાં પૃથ્વી-ચંદ્ર અને પૃથ્વી-સૂર્યનાં સાપેક્ષ અંતરો
ઈ. પૂર્વે 310-230 દરમિયાન સામોસના ઍરિસ્ટાર્કસે ‘સૂર્ય અને ચંદ્રના કદ અને અંતર વિશે’ લખેલા ગ્રંથમાં જણાવ્યા પ્રમાણે ક્ષેત્રકલન અને અર્ધકલા અવસ્થા વચ્ચેના સૂક્ષ્મ તફાવત ઉપરથી તેણે સૂર્ય અને ચંદ્રનાં પૃથ્વીથી સાપેક્ષ અંતરોનો ગુણોત્તર, સૌપ્રથમ નક્કી કર્યો હતો. ખગોલીય ગોલકના પ્રકાશિત ભાગ અને અપ્રકાશિત ભાગને વિભાજિત કરતી સંધ્યારેખા (terminator) સામાન્ય રીતે તો વક્રાકાર જ દેખાય છે. પરંતુ પૃથ્વી ઉપરથી જોતાં ર્દષ્ટિરેખા (line of sight) જ્યારે સંધ્યારેખાના સમતલમાં આવી જાય છે (જુઓ આકૃતિ 1) ત્યારે આ સંધ્યારેખા એક સીધી લીટી જેવી દેખાય છે અને તે ચંદ્રબિંબને દુભાગે છે. આવી ખગોલીય ગોઠવણી(configuration)ને અર્ધકલા (dichotomy) કહે છે. પૃથ્વી-ચંદ્ર અંતરની સરખામણીમાં પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર (ખગોળીય એકમ, Astronomical Unit,-AU) અનંત (infinite) નથી, એટલે સુદ અષ્ટકા (FQ) અને અર્ધકલા અવસ્થા (M1) વચ્ચેના તેમજ વદ અષ્ટકા (LQ) અને નજીક આવતી અર્ધકલા અવસ્થા (M2) વચ્ચેના સમયગાળા લગભગ એક ચતુર્થાંશ દિવસ જેટલા હોય છે.
ઍરિસ્ટાર્કસે નોંધ્યું હતું કે ચંદ્રને M2થી NM (અમાસ) થઈને M1 સુધી પહોંચતાં જેટલો સમય લાગે છે, તેના કરતાં M1થી FM (પૂનમ) થઈને M2એ પહોંચતાં લગભગ 1 દિવસ જેટલો વધારે સમય લાગે છે. ચંદ્ર અર્ધકલા અવસ્થા(M1, M2)એ હોય ત્યારે ચંદ્ર-પૃથ્વી-સૂર્ય કોણ લગભગ 87° થવાથી તેણે જણાવ્યું હતું કે પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર અને પૃથ્વી-ચંદ્ર અંતરનો ગુણોત્તર આશરે 19 : 1 જેટલો આવે. આ ગુણોત્તરનું સાચું મૂલ્ય 389 જેટલું છે; પરંતુ આજથી સવા બે હજાર વર્ષો પૂર્વે ઍરિસ્ટાર્કસનો આ તર્કબદ્ધ પ્રયત્ન સૌપ્રથમ અને સાચી દિશાનો હોઈ પ્રશંસનીય છે.
સૂર્યની પરિક્રમા કરતા બધા જ ગ્રહો પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં પરિભ્રમણ કરે છે. તેમનો કક્ષીય વેગ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે; ત્રિજ્યા જેમ નાની તેમ કક્ષીય વેગ વધારે અને ત્રિજ્યા જેમ મોટી તેમ વેગ સદિશનું મૂલ્ય ઓછું હોય છે (આકૃતિ 2માં V1 > V2 > V3). સ્થિર સ્થિતિવાળી પૃથ્વી Eના સંદર્ભમાં પૃથ્વી ઉપરથી જોતાં, અન્ય ગ્રહોના કક્ષીય વેગમાંથી પૃથ્વીનો કક્ષીય વેગ V2 બાદ કરવો પડે છે. સૂર્યવર્તી (અંદરના) ગ્રહનો કક્ષીય વેગ, પૃથ્વીના સંદર્ભમાં V1-V2 થાય છે, જે V1 કરતાં ઓછો પરંતુ ધનમૂલ્ય ધરાવતો હોવાથી, આપણને V1 – V2 વેગથી પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ જતો દેખાય છે; એટલે તેનું કલાચક્ર [આકૃતિ 2(ઇ)] નીચે પ્રમાણેનું હોય છે અને કલાઓ ચંદ્રની કલાની જેમ બદલાય છે :
અંતર્યુતિ (ગ્રહનું સ્થાન P0) → પરમ પશ્ચિમ ઇનાંતર સમયે અર્ધકલા (અમાસ) (P1) → બહિર્યુતિ(P2) → પરમ પૂર્વ ઇનાંતર
આકૃતિ 2 : પૃથ્વી ઉપરથી જોતાં બાહ્યગ્રહ અને સૂર્યવર્તી (અંદરના) ગ્રહની વિશિષ્ટ ટંકરચનાઓ દર્શાવતાં બાહ્ય અને સૂર્યવર્તી ગ્રહનાં કલાચક્રો. (અ) ગ્રહોની વાસ્તવિક કક્ષીય ગતિ અને બાહ્યગ્રહનું સૂર્યથી અંતર, AU એકમમાં માપવાની પદ્ધતિ. (આ) પૃથ્વી ઉપરથી દેખાતું બ્રાહ્યગ્રહનું કલાચક્ર. (ઇ) પૃથ્વી ઉપરથી દેખાતું અંદરના ગ્રહનું કલાચક્ર અને પરમ ઇનાંતર સમયે તેનું (AU એકમમાં) સૂર્યથી અંતર માપવાની કૉપરનિકસે વિકસાવેલી પદ્ધતિ.
સમયે ફરી પાછી અર્ધકલા અવસ્થા (P3) → અંતર્યુતિ (અમાસ) (P0). જ્યારે બાહ્યગ્રહ માટે સ્થિર સ્થિતિવાળી પૃથ્વી Eના સંદર્ભમાં [આકૃતિ 2 (આ)] તેનો સાપેક્ષ કક્ષીય વેગ V3-V2 (V2 > V3) ઋણમૂલ્યનો હોઈ પૃથ્વી ઉપરથી જોતાં આપણને તે પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ V3-V2 વેગથી ખસતો જણાય છે. એટલે તેનું કલાચક્ર આપણે આ પ્રમાણે જોઈએ છીએ :
પ્રતિયુતિ(P00) → પૂર્વક્ષેત્રકલન(P1) → યુતિ(P2) → પશ્ચિમક્ષેત્ર- કલન (P3) →
પ્રતિયુતિ (P0) (સુદ અષ્ટકાના ચંદ્રની જેમ) (વદ અષ્ટકાની જેમ)
આજથી લગભગ 450 વર્ષ પૂર્વે કૉપરનિકસે આકૃતિ 2(ઇ)માં દર્શાવેલા કાટખૂણ ત્રિકોણ EP1S અને EP3Sમાં પરમ ઇનાંતર કોણનાં અવલોકનો ઉપરથી સૂર્યવર્તી ગ્રહોનાં સૂર્યથી અંતર, પૃથ્વી-સૂર્ય અંતરના એકમમાં શોધવા માટે પ્રયત્ન કર્યો હતો. આકૃતિ 2(અ)માં નિજી કક્ષીય વેગ સાથેની ગ્રહ-ભ્રમણકક્ષાઓ દર્શાવી છે; અને બાહ્યગ્રહ – સૂર્ય અંતર કાઢવા માટેની ત્રિકોણમિતિ પદ્ધતિ સમજાવી છે. પ્રતિયુતિ સમયે બાહ્યગ્રહ P0 સ્થાને અને પૃથ્વી E0 સ્થાને દર્શાવેલાં છે, જ્યારે ત્યાર પછીના તુરત આવતા પૂર્વક્ષેત્રકલન-સમયે બાહ્યગ્રહ P1 સ્થાને અને પૃથ્વી E1 સ્થાને આવી પહોંચે છે. V2 – V3 હોઈ, કોણ P0SP1 કરતાં કોણ E0SE1 મોટો હોય છે (ચાપ E0E1 – ચાપ P0P1). બાહ્યગ્રહના નાક્ષત્રકાલ(sidereal period)ની જાણકારી ઉપરથી કોણ P0SP1 અને E0SE1 નિર્ધારિત કરી શકાય છે. આ બંને કોણના તફાવત ઉપરથી કોણ P1SE1 નક્કી થતાં કાટખૂણ ત્રિકોણ P1E1Sમાં એક ખૂણો અને બાજુ E1Sનાં મૂલ્યો જ્ઞાત હોવાથી E1Sના (AU) એકમમાં બાજુ P1Sનું મૂલ્ય મળે છે. કૉપરનિકસે તેના સમયમાં જાણીતા ગ્રહો બુધ, શુક્ર, મંગળ, ગુરુ અને શનિનાં સૂર્યથી અંતર, પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર (AU) એકમમાં નક્કી કર્યાં હતાં, જે આધુનિક માપન કરતાં વધુમાં વધુ 4 ટકા જેટલો તફાવત દર્શાવે છે.
પ્ર. દી. અંગ્રેજી