ક્ષેત્ર

ક્ષેત્ર (field) : સામાન્ય સરવાળા તથા ગુણાકારની ક્રિયાઓ પરત્વે, અમુક ગુણધર્મોને આધારે સંમેય સંખ્યાસંહતિ (rational number system) Q, વાસ્તવિક સંખ્યાસંહતિ (real number system) R તથા સંકર સંખ્યાસંહતિ (complex number system) Cને વ્યાપક સ્વરૂપ આપતી અરૂપ સંરચના (abstract structure).

અરૂપ સંરચનાના અભ્યાસે નીચેના ત્રણ કોયડા કંપાસ તથા માપઅંકન વિનાની ફૂટપટ્ટીની મદદથી ઉકેલવાનો પ્રયત્ન થયો છે : (i) આપેલ ઘનથી બમણા ઘનફળવાળો ઘન દોરવો, (ii) આપેલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ચોરસ દોરવો, (iii) આપેલા ખૂણાને ત્રિભાગવો. આ વણઊકલ્યા કોયડાના ઉકેલ ‘ક્ષેત્ર’ના ખ્યાલની મદદથી ઓગણીસમી સદીમાં શક્ય બન્યા છે. કઈ રચનાઓ શક્ય બને છે તેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો પણ મેળવી શકાઈ છે. (આ કોયડાના નકારાત્મક જવાબ મળ્યા છે.) વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી દ્વિઘાત, ત્રિઘાત કે ચતુર્ઘાત બહુપદીઓના ઉકેલ મેળવવા માટે વિવિધ રીતો વપરાય છે; તેમાં રહેલા સામાન્ય ગુણધર્મને કારણે તે રીતોને મૂળ સંજ્ઞાપદ્ધતિ (method of radical) કહે છે. ચાર કરતાં વધુ ઘાતવાળી અને વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી બહુપદીઓના ઉકેલ માટે આવી કોઈ વ્યાપક રીત શક્ય છે કે નહિ તેનો અભ્યાસ અઢારમી તેમજ ઓગણીસમી સદીમાં લુઇસ લાગ્રાન્જ (1736-1813), એન. એચ. આબેલ (1802-1829) તથા ઈ. ગાલ્વા(1811-1832)એ કર્યો. ઉપરના કોયડાના અભ્યાસ માટે ગાલ્વાએ ક્ષેત્રનો ખ્યાલ દાખલ કર્યો; પરંતુ ક્ષેત્રની પદ્ધતિસરની વ્યાખ્યા 1893માં ગણિતશાસ્ત્રી એચ. વેબરે આપી.

ધારો કે કોઈ ગણ F પર બે દ્વિક ક્રિયાઓ (જેમને આપણે સરળતા ખાતર સરવાળો અને ગુણાકાર કહીશું પણ તે સામાન્ય સરવાળા કે ગુણાકારની ક્રિયાઓ છે તેમ સમજીશું નહિ.) લીધી છે. જો સરવાળા માટે F સમક્રમી સમૂહ હોય અને Fના તમામ શૂન્યેતર સભ્યો ગુણાકાર માટે સમક્રમી સમૂહ બનાવતા હોય અને વસ્તી a, b, c, E, F માટે a (b + c) = ab + ac થતું હોય તો Fને ક્ષેત્ર કહેવાય.

ક્ષેત્રનાં ઉદાહરણો :

(i) સંમેય સંખ્યાસંહતિ, વાસ્તવિક સંખ્યાસંહતિ તથા સંકર સંખ્યા- સંહતિ સામાન્ય સરવાળા તથા ગુણાકારની દ્વિક ક્રિયાઓ પરત્વે ક્ષેત્ર બને છે.

(ii) ગણ M_n (R), શ્રેણિકોના સરવાળા તથા ગુણાકાર પરત્વે ક્ષેત્ર નથી. (કારણ કે પ્રત્યેક શૂન્યેતર શ્રેણિકનો વ્યસ્ત ઘટક મળતો નથી.)

(iii) ગણ સામાન્ય સરવાળા તથા ગુણાકારની દ્વિક ક્રિયાઓને અંગે ક્ષેત્ર બને છે.

(iv) ગણ વ્યાખ્યા નીચેનાં કોષ્ટકો દ્વારા આપવામાં આવે તો F ક્ષેત્ર બને છે. (જુઓ આકૃતિ).

(v) પૂર્ણાંકોના ગણ Zમાં આપેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ફ્રેડરિક ગોસે (1777-1855) સમશેષ સંબંધ(congruence relation)ની વ્યાખ્યા. આપી આ સંબંધ સામ્ય સંબંધ (equivalence relation) થવાથી પ્રત્યેક પૂર્ણાંક K માટે સામ્યગણ [K] મળે. આ રીતે મળતા બધા સામ્યગણોના ગણને Z_n વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેને n ને આપેલી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ કહેવામાં આવે છે. અહીં Z = { [0], [1], [2],…..[n-1]} છે. ગણ Z_nમાં ગોસે સરવાળા ⁺n તથા ગુણાકાર °n ની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી :

[i] ⁺n [j] = [ i + j]

[i] °n [j] = [ij] . ઉદાહરણ તરીકે n = 5 માટે

[2] ⁺5 [4] = [6]₅ = [1] તેમજ [2] 5 [4] = [8]₅ = [3]

⁺n અને n આ બે દ્વિક ક્રિયાઓ પરત્વે Z_n એકમ સંપન્ન સમક્રમી મંડળ (commutative ring) બને છે. જો n અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તો અને તો જ Z_n આ દ્વિક્ ક્રિયાઓ પરત્વે ક્ષેત્ર બને છે.

ક્ષેત્રનું લક્ષણ : વ્યાખ્યા – જો ક્ષેત્ર Fના પ્રત્યેક શૂન્યેતર ઘટક a માટે ma = 0 થાય તેવો ન્યૂનતમ – ધન પૂર્ણાંક m અસ્તિત્વ ધરાવે તો mને ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ (characteristic) કહેવામાં આવે છે. જો આવી ન્યૂનતમ ધનપૂર્ણાંક સંખ્યા અસ્તિત્વ ન ધરાવે તો ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ શૂન્ય (zero) છે તેમ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય સરવાળા અને ગુણાકારની દ્વિક ક્રિયાઓ પરત્વે સંમેય સંખ્યાસંહતિ, વાસ્તવિક સંખ્યાસંહતિ અને સંકર સંખ્યાસંહતિ ક્ષેત્ર બને છે અને પ્રત્યેક ક્ષેત્રનું લક્ષણ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ(iv)માં આપવામાં આવેલા ક્ષેત્રનું લક્ષણ 2 છે તથા (v)માં આપવામાં આવેલા ક્ષેત્રનું લક્ષણ n છે (જ્યાં n અવિભાજ્ય સંખ્યા છે). આ બાબત નીચેનાં પરિણામને પુષ્ટિ આપે છે :

પ્રમેય 1 : કોઈ પણ ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ કાં તો શૂન્ય અથવા અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય છે.

પ્રમેય 2 : (i) જો ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ શૂન્ય હોય તો F સંમેય સંહતિને (isomoriphic) ઉપક્ષેત્ર ધરાવે છે. (ii) જો ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ અવિભાજ્ય સંખ્યા p હોય તો F ક્ષેત્ર Zpને એકરૂપ ઉપક્ષેત્ર ધરાવે છે, આથી સંમેય સંખ્યાક્ષેત્ર અને Zpને મૂળ ક્ષેત્રો (prime fields) કહેવામાં આવે છે. (જ્યાં p અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.) ઉદાહરણ (iv) અને (v) સાંત (finite) ક્ષેત્રો છે જેમાં ઘટકોની સંખ્યા અનુક્રમે 4 = 2² અને n (અવિભાજ્ય સંખ્યા) છે. સાંતક્ષેત્રો માટે નીચેનાં પરિણામો મહત્વનાં છે :

પ્રમેય 3 : જો સાંત ક્ષેત્ર Fનું લક્ષણ અવિભાજ્ય સંખ્યા p હોય તો Fમાં ઘટકોની સંખ્યા p^m હોય છે. (જ્યાં m ધનપૂર્ણાંક સંખ્યા છે.)

પ્રમેય 4 : આપેલી અવિભાજ્ય સંખ્યા p તથા ધનપૂર્ણાંક સંખ્યા m માટે p^m ઘટકોવાળું ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

નીચેનું પરિણામ ક્ષેત્રો મેળવવાની આગવી રીત પૂરી પાડે છે.

પ્રમેય 5 : જો M એકમ સંપન્ન સમક્રમી મંડળ Rનું મહત્તમ ઇષ્ટમંડળ (maximal ideal) હોય તો અવયવમંડળ (quotient-ring R/M ક્ષેત્ર થાય.

ઉદાહરણ તરીકે : (i) પૂર્ણાંકોના એકમ સંપન્ન સમક્રમી મંડળ.

R = {0, ±, 1, ± 2, ….}માં અવિભાજ્ય સંખ્યા p માટે M = {0, ±p, ± 2p, ….} મહત્તમ ઇષ્ટમંડળ થાય છે. આથી અવયવમંડળ R/M ક્ષેત્ર બને છે. (આ ક્ષેત્રમાં p ઘટકો છે અને તે ક્ષેત્ર Zpને એકરૂપ છે.)

(ii) મંડળ Z₂ [x]માં બહુપદી x²+ x + 1 અવિભાજ્ય (irreducible) હોવાથી એકજન્ય ઇષ્ટમંડળ (principal-ideal) < x²+ x + 1 > મહત્તમ બને છે તેથી અવયવમંડળ Z₂[x] / <x² + x + 1 > ક્ષેત્ર થાય છે. આ ક્ષેત્રમાં ચાર સભ્યો છે. વ્યાપક રીતે બહુપદી f(x) ε Zp [x] અવિભાજ્ય હોય તો અવયવમંડળ Z_p[x] / <f(x)>, p લક્ષણવાળું ક્ષેત્ર થાય છે. જો બહુપદી f(x)ની n ઘાત હોય તો આ ક્ષેત્રમાં ઘટકોની સંખ્યા pⁿ થશે.

ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ અરૂપ બીજગણિત ઉપરાંત વિશ્લેષણ તેમજ સંખ્યાશાસ્ત્રમાં થાય છે. સાંત ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ માહિતી- પ્રત્યાયન(data communication)માં ભૂલ શોધવા અને સુધારવામાં થાય છે. આંકડાશાસ્ત્રમાં પ્રયોગોની અભિકલ્પનાની રચના (construction of design of experiments), લંબજાળ ચોરસ (orthogonal lattice squares) વગેરેમાં થાય છે.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ