ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી (Quantum mechanics) અને

ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત (Quantum theory)

દ્રવ્ય, વીજચુંબકીય વિકિરણ તથા દ્રવ્ય અને વિકિરણ વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓ માટેનો આધુનિક સિદ્ધાંત. આ સિદ્ધાંત લાગુ પાડી શકાય એવી ઘટનાઓ માટેની તે યાંત્રિકી છે. ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીને તરંગ યાંત્રિકી (wave mechanics) પણ કહે છે. તે વ્યાપક સ્વરૂપ ધરાવે છે અને તે ચિરસંમત યાંત્રિકી (classical mechanics) તથા મૅક્સવેલના વીજચુંબકીય સિદ્ધાંત (electromagnetic theory) કરતાં વિશેષ ચડિયાતી છે. પારમાણ્વિક (atomic) અને ઉપ-પારમાણ્વિક (subatomic) ઘટનાઓ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી સાચી હોવાના પુરાવા આપે છે. આ ઘટનાઓ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી અને ચિરસંમત ભૌતિકવાદ વચ્ચેનો ભેદ સ્પષ્ટ કરે છે. સ્થૂળ દ્રવ્યના ગુણધર્મો (જેમ કે ઘનપદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા તાપમાન ઉપર આધારિત છે તે) સમજાવવા માટે ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી જરૂરી બને છે.

ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીનો ઉપયોગ થાય છે ત્યાં બધે જ તેનું વૈધિક સ્વરૂપ (formalism) એકસરખું હોતું નથી. વધતી જતી વિભાવનાત્મક મુશ્કેલીઓ (conceptual difficulties), ગણિતીય જટિલતા (mathematical complexities) અને ભવિષ્યમાં થનારા મૂળભૂત ફેરફારની શક્યતાઓના સંદર્ભમાં ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીમાં નીચેનાં ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે :

(i) બિનસાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી (non-relativistic quantum mechanics) : કણોનો નાશ કે સર્જન થતું ન હોય તેવી પ્રણાલીને તથા પ્રકાશના વેગની તુલનાએ ઓછા વેગથી ગતિ કરતા કણને આ યાંત્રિકી લાગુ પડે છે.

પ્રકાશનો વેગ C ≅ 3 x 10⁸ મીટર / સેકન્ડ છે……………..1

અહીં કણ એટલે જેને દળ છે તેવું દ્રવ્યમય અસ્તિત્વ (entity) એવો ખ્યાલ કરવામાં આવ્યો છે. અત્રે કણની આંતરિક સંરચનામાં ફેરફાર થતો નથી એમ સ્વીકારી લીધું છે અથવા તેના વર્ણન માટે આંતરિક સંરચનાનું કોઈ મહત્વ નથી

(ii) સાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી (relativistic quantum mechanics) : પ્રકાશના વેગની ઝડપથી ગતિ કરતા કણને આ યાંત્રિકી લાગુ પડે છે. અહીં કણનું દળ શૂન્ય હોઈ શકે છે. કણનું દળ શૂન્ય થાય ત્યારે કણ પ્રકાશના વેગથી ગતિ કરે છે.

(iii) ક્વૉન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (quantum field theory) : જે પ્રણાલીમાં કણનું સર્જન કે નાશ શક્ય બને છે તેને આ સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. અત્રે કણનું દળ શૂન્ય કે અશૂન્ય (non-zero) હોઈ શકે.

અહીં કરેલી રજૂઆત અનુસાર ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી મુખ્યત્વે બિનસાપેક્ષિકીય ઘટનાઓને લાગુ પાડવામાં આવેલ છે. પરમાણુ-વર્ણપટની સૂક્ષ્મ વિગતો સિવાય પારમાણ્વિક અને આણ્વિક ઘટનાઓને તે લાગુ પડે છે. લઘુ ઊર્જા ન્યૂક્લિયર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બિનસાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી સારી રીતે સ્થાપિત થયું છે. એટલે કે જે ન્યૂક્લીય ઘટનાઓમાં 10⁸ ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટ (eV) કરતાં ઓછી ગતિજ ઊર્જા ધરાવતા કણો ભાગ લેતા હોય ત્યાં આ યાંત્રિકી લાગુ પડે છે. (1eV=1.6 x 10^–19 જૂલ થાય. એક વોલ્ટ વીજવિભવાંતરવાળા વીજક્ષેત્રમાંથી ઇલેક્ટ્રૉન પસાર થતાં, તેની ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એક ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટ જેટલો હોય છે.) કેટલીક ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય આગાહીઓ અણુ તથા પરમાણુની બાબતે જેટલી સચોટ પુરવાર થઈ છે તેટલી ન્યૂક્લિયસ માટે થઈ નથી કારણ કે ન્યૂક્લીય બળોની ચોક્કસ પ્રકૃતિ હજુ પણ જાણી શકાઈ નથી.

અત્રે ચિરસંમત ભૌતિકશાસ્ત્રની ર્દષ્ટિએ બિનસાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીનાં નવાં લક્ષણોનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. કેટલાંક લક્ષણો જેમનાં તેમ જાળવી રખાયાં છે, જ્યારે કેટલાંક લક્ષણોને વધુ જટિલ પ્રદેશો જેવા કે સાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી અને ક્વૉન્ટમ ક્ષેત્રસિદ્ધાંતમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવેલાં છે.

પ્લાંકનો નિયતાંક (Planck’s constant) : પ્લાંકના ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત અનુસાર ν આવૃત્તિ ધરાવતો દોલક ક્વૉન્ટીકૃત (quantized) ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. આવી ઊર્જાનું મૂલ્ય E = nhν સૂત્ર વડે મળે છે. અહીં n પૂર્ણાંક સંખ્યા છે (n =1, 2, 3,…..) અને h, મૅક્સ પ્લાંકે દાખલ કરેલ નિયતાંક છે. આ નિયતાંકનું મૂલ્ય 6.626 x 10^–34 જૂલ.સેકન્ડ છે. આ નિયતાંક ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીની વૈધિકતાનો મુખ્ય અંશ છે. શ્રોડિંજરના સમીકરણ, હાઇસનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત તથા હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઊર્જા સ્તરો જેવા પાયાના ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય સંબંધોમાં દેખીતી રીતે જ પ્લાંકનો નિયતાંક આવે છે. આ નિયતાંકને ‘h’ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. સંજ્ઞા પણ એટલી જ પ્રમાણિત છે.

અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત (uncertainty principle) : ચિરસંમત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રણાલીનું લક્ષણ ચિત્રિત કરતી અવલોક્ય (observable) રાશિનું માપન કરતાં તેમાં સૂક્ષ્મ ત્રુટિ આવે જ છે; જેમ કે, કણનું પ્રારંભિક સ્થાન અને વેગનું અવલોકન શક્ય છે. તે સાથે ન્યૂટનના નિયમોને આધારે બળક્ષેત્રમાં કણના ભાવિ પથનું અનુમાન કરી શકાય છે. ડબ્લ્યૂ. હાઇસનબર્ગ(1927)ના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત અનુસાર એક અવલોકીય રાશિનું ચોક્કસ માપન કરતાં બીજી રાશિમાં અનિશ્ચિતતા સામેલ થાય જ છે. એક જ કણ માટે ખાસ કિસ્સામાં નીચેનું સમીકરણ સાચું ઠરે છે.

Δx · ΔP_x ≥ ħ………………………………………………… 2a

અહીં Δx, કોઈ ક્ષણે કણનું સ્થાન x નક્કી કરતાં, તેમાં ઉદભવતી અનિશ્ચિતતા છે; ΔPx કણના વેગમાનના x-ઘટકમાં ઉદભવતી સમક્ષણિક અનિશ્ચિતતા છે. ઉત્તમ સંજોગોમાં ઉપરનો સંબંધ દર્શાવે છે કે અનિશ્ચિતતાઓનો ગુણાકાર Δx·ΔPx ક્યારેય પણ આશરે 10^–34 જૂલ.સેકન્ડથી ઓછો મળતો નથી. સામાન્ય સંજોગોમાં આ ગુણાકાર ħથી ઘણો વધારે મળતો હોય છે. Δx · ΔPy શૂન્ય બની શકે છે; અહીં ΔPy વેગમાનનો y-દિશામાં ઘટક છે.

આવો બીજો સંબંધ નીચે મુજબ છે :

Δt . ΔE ≥ ħ ………………………………………………….2b

આ સંબંધ દર્શાવે છે કે ΔE અનિશ્ચિતતા સાથે ઊર્જાનું માપન કરતાં ઓછા નહિ એવા સમયમાં કરવાનું રહે છે. જો કોઈ પ્રણાલી Δt સમય માટે હોય તો તેની ઊર્જાના માપનમાં ઓછામાં ઓછી અનિશ્ચિતતા ΔE∼ જૂલ હોય છે. આ પરિણામ સ્થૂળ તંત્ર માટે મહત્વનું નથી, પરંતુ પારમાણ્વિક તંત્ર માટે જ્યાં ઊર્જા Eની સાપેક્ષે અવગણ્ય ન હોય, ત્યાં મહત્વનું છે.

આવો ત્રીજો સંબંધ નીચે મુજબ છે :

ΔΦ Δl_z ≥ ħ ……………………………………………………2c

અહીં ΔΦ, દિક્કોણ(Azimuth angle)ના માપનમાં પ્રવર્તતી અનિશ્ચિતતા છે અને Δl_z, કક્ષીય કોણીય વેગમાન (orbital angular momentum)ના z-ઘટકમાં પ્રવર્તતી અનિશ્ચિતતા છે. આ બધા સંબંધો સ્થૂળ (macroscopic) તંત્રો માટે ખાસ મહત્વના નથી, સૂક્ષ્મ (microscopic) તંત્રો માટે આ સંબંધો મહત્વના ખરા.

તરંગ–કણ દ્વૈતતા (wave-partical duality) : ચિરસંમત યાંત્રિકી મુજબ દ્રવ્યના મૂળભૂત ઘટક કણો પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન બિંદુવત્ કણ છે. ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી મુજબ આ કણો તરંગમય ગુણધર્મો ધરાવે છે. તેથી ઊલટું, મૅક્સવેલના વીજ-ચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ પ્રકાશનું સંચરણ (propagation) જે એક તરંગઘટના છે તેવા પ્રકાશ સાથે ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી અનુસાર દળ વિનાના અને વેગમાનનું વહન કરનાર શક્તિશાળી કણો સંકળાયેલા છે. આવા કણોને ફોટૉન કહે છે. તરંગ અને કણની વિભાવનાનું ક્વૉન્ટમ-યાંત્રિકીય સંયોજન, ડિ-બ્રોગ્લીએ આપેલા નીચેના સંબંધો દ્વારા કરવામાં આવે છે :

λ =  ……………………………………………………………..3a

f = ……………………………………………………………3b

અહીં તરંગલંબાઈ λ અને આવૃત્તિ f ધરાવતા મુક્ત કણનું વેગમાન P અને ઊર્જા E છે. આ સૂત્રો મુક્ત (શૂન્ય) અવકાશમાં તરંગલંબાઈ λ અને આવૃત્તિ fવાળા વીજચુંબકીય તરંગો સાથે સંકળાયેલ ફોટૉનનાં વેગમાન P અને ઊર્જા E પણ આપે છે.

ઇલેક્ટ્રૉન, ન્યૂટ્રૉન, હાઇડ્રોજન અને હિલિયમ જેવા પરમાણુઓ તથા હાઇડ્રોજન અણુઓના કિરણપુંજ(beam)ની બાબતે દ્રવ્યના તરંગસ્વરૂપ ગુણધર્મો નિર્ણાયક રીતે નિર્દેશિત થયા છે. આ કિરણપુંજ સ્ફટિક ઉપર આપાત થાય છે ત્યારે તેનું કેટલીક દિશાઓમાં પ્રકીર્ણન (scattering) થાય છે. પરિણામે વિવર્તન (diffraction pattern) મળે છે. વિવર્તન-ભાત કણપ્રકૃતિ વડે સમજાવી શકાતી નથી, પરંતુ તેને તરંગપ્રકૃતિ વડે જ સમજાવી શકાય છે. નિયમિત (આવર્તક) (periodic) રીતે ગોઠવાયેલા પરમાણુઓ વડે પ્રકીર્ણન પામેલ તરંગિકાઓ (wablets) અમુક જ દિશામાં રચનાત્મક વ્યતિકરણ (constructive interference) રચે છે. વિવર્તન-ભાતમાંથી મેળવેલ દ્રવ્ય-તરંગોની પ્રાયોગિક તરંગલંબાઈ, સૂત્ર (3a) વડે ગણતરીથી મળતા સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય જેટલી હોય છે. આ હકીકત સી. જે. ડેવિસન અને એલ. એચ. ગર્મરે 1927માં પ્રાયોગિક રીતે નિર્દેશિત કરી હતી.

ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઘટના (photoelectric effect) અને કૉમ્પ્ટન ઘટના (Compton effect) : પ્રકાશના તરંગોની કણપ્રકૃતિ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઘટના દ્વારા જાણી શકાય છે. જ્યારે પૂરતી f આવૃત્તિનો પ્રકાશ, સ્વચ્છ કરેલી અને પ્રકાશને સંવેદનશીલ એવી ધાતુની સપાટી ઉપર આપાત કરવામાં આવે ત્યારે તેમાંથી ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થાય છે. આવા ઇલેક્ટ્રૉનને ફોટોઇલેક્ટ્રૉન કહે છે. આવા બધા જ ફોટોઇલેક્ટ્રૉન લગભગ સમાન મહત્તમ ગતિજ ઊર્જા ધરાવતા હોય છે. ફોટોઇલેક્ટ્રૉનની આ મહત્તમ ગતિજ ઊર્જા, આપાત-પ્રકાશની તીવ્રતા ઉપર આધારિત નથી પણ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રૉનની સંખ્યા આપાત-પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ આપાત થતા પ્રકાશની આવૃત્તિ f બદલાય છે તેમ ફોટોઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિજ ઊર્જા W, આવૃત્તિ fને અનુરૂપ સુરેખ પ્રમાણમાં બદલાતી રહે છે. વાસ્તવમાં આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ફોટોઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિજ ઊર્જા નીચેના સંબંધથી મળે છે :

W = hf – C; અહીં C, ફોટોઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જિત કરતા દ્રવ્યનો લાક્ષણિક નિયતાંક છે. આ પરિણામો પ્રકાશની તરંગપ્રકૃતિ વડે સમજાવી શકાતાં નથી. અત્રે વીજક્ષેત્રના સદિશ(electric field vector)નું મૂલ્ય આપાત-પ્રકાશની તીવ્રતાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વીજક્ષેત્રનો સદિશ બળ લગાડે છે જેનાથી ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થતું હોય છે. વીજસદિશ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ f સાથે પ્રત્યક્ષ રીતે સંકળાયેલો નથી. પ્રકાશના કિરણપુંજની ઊર્જાને, ઊર્જાનો જથ્થો (quantum) E = hf તરીકે લેતાં ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઘટનાને સમજાવી શકાય છે. એટલે કે આ ઊર્જાના એક જ ક્વૉન્ટમ(ફોટૉન)ના શોષણથી ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થતું હોય છે. ઊર્જાના જથ્થા(ફોટૉન)નું અપૂર્ણાંકમાં શોષણ થતું નથી, કારણ કે ફોટૉન અવિભાજ્ય પૃથક (discrete) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

વીજચુંબકીય તરંગોની કણપ્રકૃતિ કૉમ્પ્ટન ઘટનામાં પણ નિર્દેશિત થાય છે. એક્સ-કિરણના ફોટૉન પ્રકીર્ણક પદાર્થ (scatterer) ઉપર આપાત થાય, ત્યારે બધી દિશામાં તેનું પ્રકીર્ણન થાય છે. મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન વડે પ્રકીર્ણિત એક્સ-કિરણના ફોટૉનની તરંગલંબાઈમાં વધારો થતો જણાય છે. ફોટૉનની ઊર્જા તરંગલંબાઈના વ્યસ્તપ્રમાણમાં હોઈ તેની ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. ફોટૉનના વેગમાન અને ઊર્જા માટેનાં સૂત્રો — અનુક્રમે (3a) અને (3b) — નો ઉપયોગ કરતાં તથા ફોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત(elastic collision)ને કારણે પ્રકીર્ણન થાય છે તેમ સ્વીકારી લેતાં, પ્રકીર્ણિત એક્સ-કિરણના ફોટૉનની તરંગલંબાઈનો ફેરફાર જાણી શકાય છે. ક્વૉન્ટમ યુગ પહેલાં સ્ફટિક વડે થતાં એક્સ-કિરણના વિવર્તનને આધારે એક્સ-કિરણોને તરંગ તરીકે સ્વીકારેલાં, કણ તરીકે નહિ.

વ્યતિકરણ અને વિવર્તન (interference and diffraction) : વ્યતિકરણ અને વિવર્તનની ઘટના દ્વારા તરંગસંચરણ અને કણસંચરણ જુદાં પાડવામાં આવે છે. તરંગવાદનું એક સામાન્ય પરિણામ એ છે કે વ્યતિકરણ અને વિવર્તન મુખ્યત્વે આપાત કિરણ સાથે રેડિયન જેટલા ખૂણે જોવા મળે છે. અહીં d, વ્યતિકરણ કે વિવર્તન કરનાર તંત્રનું પરિમાણ છે. ઉદાહરણ તરીકે ‘d’ એ વિવર્તન કરનાર તિરાડ(slit)ની પહોળાઈ અથવા વ્યતિકરણ કરતાં બે કેન્દ્રો કે બે તિરાડ વચ્ચેનું અંતર છે. સંચરણની આ હકીકત અને સમીકરણ-(3a)માંથી ફલિત થતું તરંગલંબાઈ λનું મૂલ્ય દર્શાવે છે કે શા માટે સ્થૂળ પદાર્થના સંચરણ દરમિયાન તરંગની અસરો વરતાતી નથી, પણ ઇલેક્ટ્રૉન, ન્યૂટ્રૉન તથા હલકા પરમાણુઓ અને અણુઓના સંચરણ દરમિયાન તરંગની અસર જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે 1 કિલોગ્રામ દ્રવ્યનો પદાર્થ 1 મીટર/સેકન્ડના વેગથી ગતિ કરે ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ = 6.636 x 10^–34 મીટર મળે છે. 100 eV ઊર્જા ધરાવતાં ઇલેક્ટ્રૉનની તરંગલંબાઈ λનું મૂલ્ય 1.22 x 10^–10 મીટર અને 1 MeV = 10⁶eV ઊર્જા ધરાવતાં પ્રોટૉનની તરંગલંબાઈ λનું મૂલ્ય 2.88 x 10^–14 મીટર મળે છે. આ ઉપરથી સમજી શકાય છે કે 10^–10 મીટર આંતરઅણુ અંતરો ધરાવતા સ્ફટિક વડે ઇલેક્ટ્રૉન અને અણુઓનું વિવર્તન સારી રીતે નિર્દેશિત થાય છે. એટલે કે આણ્વિક પરિમાણ 10^–10 મીટર અને ઊર્જા લગભગ 10 eV હોય તેવા આણ્વિક તંત્રને ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી વડે સમજી શકાય છે. 10^–15 મીટર પરિમાણની પરમાણુ-ન્યૂક્લિયસના અભ્યાસ માટે ક્વૉન્ટમ-યાંત્રિકીનો ઉપયોગ જરૂરી છે. આ ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ભારે વાયુ અને ઠંડા વાયુઓ કરતાં હાઇડ્રોજન (H₂) અને હીલિયમ (He) વાયુમાં ક્વૉન્ટમ અસરો સરળતાથી જોઈ શકાય છે, કારણ કે ભારે વાયુના અણુઓનું પરિમાણ 10^–10 મીટરથી વધારે અને ઠંડા વાયુની ઊર્જા 10 eV કરતાં ઓછી હોય છે.

અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત સાથે સંબંધો : તરંગ-કણ દ્વૈતતા, અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલ છે. બિનસાપેક્ષિકીય કણ માટે આ સંબંધ નીચેની દલીલ વડે મળે છે. x અને x + dx બિંદુઓ વચ્ચે કણ x- યામ ઉપર સંભાવ્યતા । Ψ(x) ।² છે; અહીં Ψ(x)ને તરંગવિધેય (wave function) કહે છે. પાણીના તરંગોમાં પાણીની સપાટીની ઊંચાઈમાં આવર્તક ફેરફાર થાય છે, ધ્વનિના તરંગોમાં પ્રવર્તતા દબાણમાં આવર્તક ફેરફાર થાય છે, પ્રકાશના તરંગોમાં વીજ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં આવર્તક ફેરફાર થાય છે. તે જ રીતે જે રાશિનો ફેરફાર દ્રવ્યતરંગો(matter waves)નું નિર્માણ કરે છે તેને તરંગવિધેય કહે છે. કોઈ પણ t સમયે અને x, y, z બિંદુ આગળથી ગતિ કરતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગવિધેયનું મૂલ્ય કણની તે સમયે તે બિંદુ આગળની સંભાવ્યતા વ્યક્ત કરે છે.

ધારો કે માપન ઉપરથી નક્કી કરતાં કણ x = 0ની આસપાસ Δx અંતરાલ(interval)માં છે. માપન ઉપરથી નક્કી થાય છે કે આકૃતિ(1)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે Ψ(x), x ઉપર આધાર રાખે છે. તરંગ-કણ દ્વૈતતાને કારણે આકૃતિ(1)માં તરંગ પૅકેટને સંપાદિત તરંગો તરીકે જોઈ શકાય છે. અંતરાલ Δxમાં, Ψ(x) અલ્પ પ્રમાણમાં વધેઘટે છે. આથી પૅકેટમાં જેની અર્ધ તરંગલંબાઈ Δx જેટલી નાની હોય તેવા તરંગોનો સમાવેશ થવો જોઈએ. તદુપરાંત Ψ(x)ની સંજ્ઞા બદલાતી ન હોઈ, પૅકેટમાં ઘણી વધુ તરંગલંબાઈવાળા તરંગો હોઈ શકે. આથી તરંગની (તરંગ)લંબાઈ 2Δxથી ∞ (અનંત) સુધી હોઈ શકે. તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત મૂલ્ય 0થી વચ્ચે હોય છે. સમીકરણ (3a)માં ΔP_x = ħ Δ λ^–1 છે. આથી ΔP_xΔxનું મૂલ્ય આશરે h/2 થી ઓછું હોઈ શકે નહિ. આ પરિણામ (2a)ને મળતું આવે છે. આ ચર્ચા ઉપરથી ફલિત થાય છે કે Δx = 10^–10મીટર પરિમાણવાળા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર વડે મળે છે :

તે જ રીતે Δx = 10^–15મીટર પરિમાણવાળી પરમાણુ ન્યૂક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન અથવા પ્રોટૉનની ઊર્જા 20 MeV હોવી જોઈએ. જો પરમાણુ ન્યૂક્લિયસમાં ઇલેક્ટ્રૉન હોય તો ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા 200 MeV થવી જોઈએ. આ ઊર્જાની ગણતરી માટે

સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. અહીં m, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ; P, વેગમાન અને C, પ્રકાશનો વેગ છે. 10^–15 મીટર અંતરે રહેલાં ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટૉન વચ્ચેના સ્થિત (static) વીજક્ષેત્ર માટે આ ઊર્જા ઘણી વધારે છે. આથી અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત બતાવે છે કે પરમાણુ ન્યૂક્લિયસમાં ઇલેક્ટ્રૉન શક્ય નથી. આ તારણ ન્યૂક્લીય સંરચના અને બીટા-ક્ષયના ચાલુ સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે.

પૂરકતા (complementarity) : તરંગ-કણ દ્વૈતતા અને અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત, નીલ્સ બોહરે 1923માં પ્રતિપાદિત કરેલા પૂરકતાના સિદ્ધાંતનાં ર્દષ્ટાંતો છે. આ સિદ્ધાંત અનુસાર કુદરત પૂરક પાસાં ધરાવે છે. કોઈ પ્રયોગમાં જ્યારે એક પાસાને વધુ સારી રીતે પ્રકાશમાં લાવી વ્યક્ત કરવામાં આવે છે ત્યારે તેનું પૂરક પાસું અસ્પષ્ટ (obscure) રહે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો કોઈ એક પ્રયોગ કે પ્રયોગોની શ્રેણી જે તંત્રનું પરીક્ષણ કરવાનું હોય તે તંત્રની મર્યાદિત માહિતી આપી શકે છે. એક રસપ્રદ માહિતી મેળવવા જતાં બીજી માહિતી ગુમાવવાનું થાય છે.

ક્વૉન્ટીકરણ (quantization) : ચિરસંમત ભૌતિકશાસ્ત્ર અનુસાર પ્રત્યેક અવલોકીય રાશિનાં શક્ય મૂલ્યો સતત હોય છે અને એ મૂલ્યો પ્રાયોગિક રીતે માપન કરેલાં મૂલ્ય બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે કણના x-યામનું -∞ અને +∞ વચ્ચે ગમે તે હોઈ શકે છે. તે જ પ્રમાણે વેગમાનના x-ઘટક P_xનું મૂલ્ય -∞ અને +∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય હોઈ શકે છે. કણની ગતિજ ઊર્જા 0 અને ∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય ધરાવી શકે છે. પ્રોટૉનના વીજક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા (= ગતિ-ઊર્જા + સ્થિતિ-ઊર્જા) -∞ અને +∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય ધરાવી શકે છે. કેન્દ્રીય ક્ષેત્ર(central field)માં ગતિ કરતા કણના (જેમ કે, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન) કક્ષીય કોણીય વેગમાન (orbital angular momentum) સદિશ Lનું 0થી ∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય હોઈ શકે છે. Lનું માન 1 હોય તો z-દિશામાં Lના ઘટકનું 1 અને +1 વચ્ચે કોઈ પણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે. ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીમાં અવલોકીય રાશિનાં શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ સતત ન પણ હોય. કેટલીક અવલોકીય રાશિઓ માટે માપનનાં સંભવિત મૂલ્યો પૃથક હોય છે જ્યારે બીજી કેટલીક રાશિઓનાં મૂલ્યો અંશત: પૃથક અને અંશત: સતત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે પ્રોટૉનના વીજક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા 0 અને ∞ વચ્ચે ગમે તે ધન મૂલ્ય ધરાવે છે; પણ ઋણ મૂલ્યનો સમૂહ પૃથક હોય છે; જેમ કે,

મૂલ્યો મળે છે. આવી અવલોકીય રાશિઓ (observable quantities) ક્વૉન્ટિત થઈ કહેવાય. ઘણી વાર અવલોકીય રાશિની માન્ય પૃથક કિંમતો નિર્દિષ્ટ કરતી ક્વૉન્ટમ સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટે ક્વૉન્ટીકરણના નિયમો હોય છે; ઉદાહરણ તરીકે, કણના કક્ષીય કોણીય વેગમાનનો વર્ગ L² = 1 (l + 1) ħ² થાય છે. અહીં 1 શૂન્ય કે ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. કુલ કોણીય વેગમાન (કક્ષીય કોણીય વેગમાન પ્રચક્રણ (spin) ) J²નાં માન્ય મૂલ્યો J² = j (j + 1) ħ² વડે મળે છે. અહીં છે. એટલે કે પૂર્ણાંક અથવા અર્ધ-પૂર્ણાંકમાં સંભવે છે. z-દિશામાં jના ઘટક j_zનાં માન્ય મૂલ્યો મળે છે. આપેલ J₂નાં માન્ય મૂલ્યો, ħના એકમમાં, -j, – j + 1, – j + 2….. j – 2, j -1, j થાય છે. જ્યારે સાપેક્ષિકીય કણ માટે x, Px અને કુલ ઊર્જા Tનાં મૂલ્યો ક્વૉન્ટિત નથી. આવી અવલોકીય રાશિઓ માટે ચિરસંમતવાદ મુજબ જે મૂલ્યો માન્ય હોય છે તે ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીમાં પણ માન્ય હોય છે. નિયમનિષ્ઠ (formal) સિદ્ધાંત અનુસાર પ્રત્યેક અવલોકીય રાશિને રેખીય કારક (linear operator) હોય છે. તેનાં આભિલાક્ષણિક મૂલ્યો (eigen values) રાશિનાં માન્ય મૂલ્યો હોય છે. આભિલાક્ષણિક મૂલ્યોના સમૂહને કારકનું માનપટ (spectrum) કહે છે. આવું માનપટ સતત, પૃથક કે મિશ્ર હોઈ શકે. ક્વૉન્ટીકરણને પ્રાયોગિક સમર્થન મળ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે પ્રકાશમાં ઊર્જા અને વેગમાનનું ક્વૉન્ટીકરણ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અને કૉમ્પ્ટન ઘટનાઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે. કોણીય વેગમાનનું ક્વૉન્ટીકરણ સ્ટર્ન-ગર્લાક પ્રયોગ દ્વારા નિર્દેશિત થાય છે. આ પ્રયોગમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુઓના કિરણપુંજને વિષમાંગ (inhomogeneous) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પસાર કરતાં તેનું બે વિભિન્ન કિરણપુંજમાં વિભાજન થાય છે. ચિરસંમતવાદ મુજબ વિષમાંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન ઉપર લાગતું બળ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષાના સમતલ વચ્ચેના કોણ ઉપર આધાર રાખે છે. બે વિભિન્ન કિરણપુંજની રચના ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય આગાહી સાથે સુસંગત છે એટલે કે પારમાણ્વિક હાઇડ્રોજનના કુલ કોણીય વેગમાનનો વર્ગ  થાય છે. આથી સદિશ J લાગુ પાડેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા (સામાન્યત: z-અક્ષ)ને સમાંતર અથવા પ્રતિસમાંતર (antiparallel) હોય છે. સમાંતર કિસ્સામાં અને પ્રતિસમાંતર કિસ્સામાં  થાય છે. સ્ટર્ન-ગર્લાકનો પ્રયોગ બીજા પરમાણુઓ, અણુઓ તથા ન્યુટ્રૉનના કિરણપુંજ વડે પણ કરી શકાય છે. દરેક કિસ્સામાં નિરીક્ષણો ક્વૉન્ટમ-યાંત્રિકીય ધારણાઓ સાથે સુસંગત માલૂમ પડે છે.

પરમાણુ વર્ણપટ (atomic spectra) : વર્ણપટશાસ્ત્રમાં ખાસ કરીને પરમાણુ વર્ણપટનો અભ્યાસ ક્વૉન્ટીકરણની વિગતવાર માનાત્મક (quantitative) પુષ્ટિ કરે છે. પ્રકાશના તરંગનું ક્વૉન્ટીકરણ થાય છે એમ સ્વીકારી લઈએ તો ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ અને સમીકરણ (3b) ઉપરથી ફલિત થાય છે કે જ્યારે પરમાણુ f આવૃત્તિવાળા ફોટૉનનું ઉત્સર્જન કરે ત્યારે પ્રારંભિક ઊર્જા E_i અને અંતિમ ઊર્જા E_fને નીચેના સમીકરણ વડે દર્શાવવામાં આવે છે :

E_i  – E_f = hf……………………………………………………….. 5a

તે જ પ્રમાણે જ્યારે પરમાણુ f આવૃત્તિવાળા ફોટૉનનું શોષણ કરે ત્યારે પ્રારંભિક ઊર્જા E´_i અને અંતિમ ઊર્જા E´_f વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સમીકરણ વડે દર્શાવવામાં આવે છે :

E’_i – E’_L = hf………………………………………………………. 5b

ચિરસંમત યાંત્રિકીની જેમ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીમાં પણ ઇલેક્ટ્રૉન પ્રોટૉનના સામીપ્યમાં રહે છે એટલે કે જ્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિજ ઊર્જા T, ઋણ સ્થિતિઊર્જા (-v) કરતાં ઓછી હોય ત્યાં સુધી તે પ્રોટૉન સાથે બદ્ધ હોય છે. આથી સ્થાયી હાઇડ્રોજન પરમાણુની કુલ ઊર્જા ઋણ હોય છે. અર્થાત્ પરમાણુની ઊર્જાઓ — થાય છે. અહીં n પૂર્ણાંક સંખ્યા છે અને R = -13.6 eV છે. પરિણામે હાઇડ્રોજન પરમાણુ વડે ઉત્સર્જન થતી ઊર્જા, આવૃત્તિઓનો પૃથક સમૂહ ધરાવે છે અથવા તો રેખાઓની આવૃત્તિ નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

અહીં m અને n પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને m > n છે. આ ઉપરથી ફલિત થાય છે કે હાઇડ્રોજન પરમાણુનો રેખીય વર્ણપટ સતત નથી પણ તે પૃથક આવૃત્તિઓ ધરાવે છે. અવલોકિત રેખાઓ સમીકરણ (6)નું ચોકસાઈપૂર્વક સમાધાન કરે છે. તદુપરાંત સાપેક્ષિકીય અને ક્વૉન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની લઘુ અસરો માટે બિનસાપેક્ષિકીય શ્રોડિંજર સમીકરણ, રેખાઓની માત્ર આવૃત્તિઓ નહિ પણ તેમની સાપેક્ષ તીવ્રતા અને પહોળાઈની ચોકસાઈપૂર્વક આગાહી કરે છે કારણ કે સરેરાશ રીતે સમીકરણ (5a)ના ઊર્જાસ્તરો E_i અને E_f મર્યાદિત સમય માટે ટકી રહેલાં હોય છે. તેમની ઊર્જાઓમાં ΔE જેટલી અનિશ્ચિતતા પ્રવર્તે છે. આથી અવલોકિત રેખાની પહોળાઈ Δf = 1/h (ΔE_i + ΔE_f) (ΔE_i + ΔE_f) કરતાં ઓછી હોતી નથી. સમીકરણ (5a) મુજબ હાઇડ્રોજન પરમાણુ કરતાં ભારે પરમાણુઓ માટે રેખીય વર્ણપટ જટિલ હોય છે અને ઉત્સર્જિત થતી આવૃત્તિઓ સમીકરણ (6) વડે દર્શાવી શકાતી નથી. ભારે પરમાણુઓ માટે પ્રાયોગિક પરિણામો અને બિનસાપેક્ષિકીય શ્રોડિંજર સમીકરણની આગાહીઓ એકબીજા સાથે બંધ બેસે છે. પણ હાઇડ્રોજન પરમાણુના જેટલી ચોકસાઈ મળતી નથી. આવી અસંગતિઓનું કારણ એ છે કે વધુ ઇલેક્ટ્રૉનવાળા પરમાણુઓ માટે શ્રોડિંજર સમીકરણનો બરાબર ઉકેલ મળતો નથી. આવી સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓ સંનિકટ (approximate) હોય છે.

સંભાવ્યતા બાબત : ભૌતિક તંત્રના વર્ણન માટે અનિશ્ચિતતા અને પૂરકતાના સિદ્ધાંતો પ્રયોગકર્તાને માટે મર્યાદારૂપ બને છે. પ્રણાલિકાનાં પરિણામોની આગાહી પરત્વે પણ એમ જ બને છે. ધારો કે કણનું સ્થાન x = x₀ ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પરિસ્થિતિ બિનસાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીમાં સ્વીકાર્ય (permissible) છે. ત્યારે આભિલાક્ષણિક મૂલ્ય x = x₀ને અનુરૂપ આભિલાક્ષણિક સ્થિતિ(eigen state)માં કણ છે એમ કહેવાય. આ સંજોગોમાં, સ્થાનના માપનનું તરત જ પુનરાવર્તન કરતાં કણ x = x₀ ઉપર જ મળે છે. કણ x = x₀ ઉપર છે એમ માનવા છતાં કણનું વેગમાન P_x પરિણામ (2a) મુજબ અનિશ્ચિત બને છે. કણ x = x₀ ઉપર હોય ત્યારે તરત જ P_xનું માપન -∞ અને +∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય ધરાવે છે. ગતિજ ઊર્જા નું માપ 0 અને ∞ વચ્ચે ગમે તે મૂલ્ય રૂપે હોય છે. અને વાસ્તવમાં Tનું સરેરાશ મૂલ્ય અનંત બને છે.

ધારો કે પ્રણાલી નિરીક્ષણ Aના આભિલાક્ષણિક મૂલ્ય αને અનુરૂપ આભિલાક્ષણિક સ્થિતિમાં છે, તથા નિરીક્ષણ B કંઈક અંશે Aને પૂરક છે. અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ A અને Bના એકસાથે માપનમાં ચોકસાઈ મર્યાદિત બને છે. Bનાં સંભવિત મૂલ્યો βમાંથી કયું મૂલ્ય અવલોકાશે તે કહી શકાય નહિ. પણ આભિલાક્ષણિક મૂલ્ય B = βને અનુરૂપ આભિલાક્ષણિક સ્થિતિમાં પ્રણાલીની સાપેક્ષ સંભાવ્યતા P_α(β)નું અનુમાન શક્ય છે. જો પ્રણાલીને Aની આભિલાક્ષણિક સ્થિતિ αમાં ઘણી વખત તૈયાર કરવામાં આવે અને ત્યાર બાદ તરત જ નિરીક્ષણ Bનું માપન કરી લેવામાં આવે તો Bનાં મૂલ્યોની સરેરાશ અપેક્ષા (expectation) મૂલ્ય બરાબર થાય છે, જે નીચેના સમીકરણ વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે :

અહીં Bનાં બધાં જ આભિલાક્ષણિક મૂલ્યોનો સરવાળો કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે માનપટ સતત હોય ત્યારે સરવાળાની સંજ્ઞાની જગ્યાએ સંકલનની સંજ્ઞા વપરાય છે. આભિલાક્ષણિક મૂલ્યોને અનુરૂપ અભિલક્ષણિક વિધેયો હોય છે જેના સંદર્ભમાં P_α(β)ની ગણતરી કરી શકાય છે. ખાસ કરીને જ્યારે α Aનું પૃથક આભિલાક્ષણિક મૂલ્ય હોય, અને કારક માત્ર x અને P_x ઉપર આધાર રાખતો હોય ત્યારે સંભાવ્યતા P_α(β)નીચેના સમીકરણથી અભિગૃહીત (postulated) થાય છે.

અહીં u (x, α), A = αને અનુરૂપ અભિલક્ષણિક વિધેય છે. અને v (x, β), B = βને અનુરૂપ અભિલક્ષણિક વિધેય છે. ફૂદડી (^*) સંયુગ્મી સંકલ (complex conjugate) સૂચવે છે. સ્થિતિ A = αમાં Aના માપનથી પરિણામ A = α મળવું જોઈએ. તે માટે અવસ્થાઓ u (x, α) પ્રસામાન્યકારી (normalizing) અને લંબકોણકારી (orthogonalizing) સમીકરણ (9)ને સંતોષે તે જરૂરી છે.

અહીં d_αα’ = 0 થાય છે જ્યારે α ≠ α’ (અભિલક્ષણિક વિધેયો પ્રસામાન્યીકૃત બને છે.) તે જ રીતે અભિલક્ષણિક વિધેયો v(x,β) પ્રસામાન્ય લાંબિક (orthonormal) હોય છે. સમીકરણ(8)માં દર્શાવેલું સંકલન u(x, α)નો v(x, β) ઉપર પ્રક્ષેપ (projection) આપે છે. x કારકનાં અભિલક્ષણિક વિધયો ઉપર A = αને અનુરૂપ અભિલક્ષણિક વિધેયનો પ્રક્ષેપ એ આભિલાક્ષણિક સ્થિતિ A = αમાં રહેલ પ્રણાલીની સંભાવ્યતા છે. આવી પ્રણાલી x અને x + dx અંતરાલમાં હોય છે.

અવલોકનો સાથે ઉત્તમ રીતે સુસંગત હોય તેવી આગાહીઓ આ વૈધિકતા વ્યક્ત કરે છે. સમાનતંત્રો ઉપર લીધેલાં ઘણાંબધાં અવલોકનોના સરેરાશની આગાહી શક્ય બનતી હોવા છતાં એક જ તંત્ર વડે માપનના પરિણામની આગાહી શક્ય નથી. પરિણામ કદાચ જોગાનુજોગ મળી જાય તેવું બંને ખરું. કુદરતની સહજઅનિર્ધાર્યતા-(inherent indeterminancy)ને કેટલાક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ સ્વીકારતા નથી અને માને છે કે વર્તમાન ભૌતિક સિદ્ધાંતની તે ગંભીર ઊણપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આશરે 10²¹ પરમાણુઓ ધરાવતા 1 ગ્રામ રેડિયમની ધારણા કરો. વ્યાપક રીતે સ્વીકારેલા સિદ્ધાંત અનુસાર ગમે તે એક પરમાણુ ક્યારે ક્ષય પામશે તેની આગાહી કરી શકાતી નથી, પણ દર સેકન્ડે ક્ષય પામતા પરમાણુઓની સરેરાશ સંખ્યાની આગાહી કરી શકાય છે. આ હકીકતનો પ્રતિકાર કરનારા માને છે કે વ્યક્તિગત રીતે પ્રત્યેક પરમાણુના પાછળના (subsequent) ઇતિહાસની આગાહી શક્ય બનવી જોઈએ. તેની નિષ્ફળતાથી કુદરતની અંદર રહેલી સહજ અનિયતતા (indeterminism) વ્યક્ત થતી નથી, ખરું જોતાં તે પ્રાપ્ય માહિતીની ઊણપ છે. એટલે કે રેડિયૉઍક્ટિવ ક્ષયની ક્રિયાવિધિ(mechanism)ને લગતી સમજની ઊણપ ગણાય. તેનો એક શક્ય વિકલ્પ એ છે કે બિનસાપેક્ષિકીય ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંતનું નિહિત ચલ રાશિઓ(hidden variables)ના સંદર્ભમાં પુન: અર્થઘટન કરવું, જે સૈદ્ધાંતિક રીતે દરેક વ્યક્તિગત તંત્રની વર્તણૂક ચોકસાઈપૂર્વક નિશ્ચિત કરે.

તરંગવિધેય (wave function) : જ્યારે પ્રણાલી, A = αને અનુરૂપ આભિલાક્ષણિક સ્થિતિમાં હોય ત્યારે અભિલક્ષણિક વિધેય u(x, α) એ તરંગવિધેય હોય છે. એટલે કે તે એવું વિધેય છે જેનો નિરીક્ષણ Bના અભિલક્ષણિક વિધેય v(x, β) ઉપર પ્રક્ષેપ, B = βના માપનની સંભાવ્યતા આપે છે. તરંગવિધેય Ψ(x) યથાર્થ રીતે જાણી શકાય છે. બીજી રીતે, Ψ(x)જાણીતા કારકનું અભિલક્ષણિક વિધેય ન હોય તે છતાં પ્રણાલીની સ્થિતિ, અનિશ્ચિતતા અને પૂરકતાના સિદ્ધાંતની મર્યાદામાં રહીને શક્ય તેટલી યથાર્થતા સાથે જાણી શકાય છે. આવા સંજોગો ઊભા થવાનું કારણ એ છે કે તરંગવિધેય શ્રોડિંજરના તરંગવિધેયને અનુસરે છે. t = 0 સમયે Ψ(x)નું મૂલ્ય જાણતા હોઈએ તો તરંગ સમીકરણ ભાવિના દરેક સમય માટે Ψ(x)નું મૂલ્ય સંપૂર્ણપણે નક્કી કરે છે. વ્યાપક રીતે, જો Ψ(x, o) = Ψ(x, a) હોય એટલે કે જો t > 0 સમયે Aનું અભિલક્ષણિક વિધેય Ψ(x, t) હોય તો Ψ(x,t) પછીના સમય t – 0 માટે Aનું અભિલક્ષણિક વિધેય નહિ હોય.

તરંગસમીકરણ વડે દર્શાવાતી પ્રણાલી શુદ્ધ સ્થિતિમાં છે એમ કહેવાય. બધી જ પ્રણાલીઓ તરંગસમીકરણ વડે દર્શાવી શકાતી નથી. જેમ કે, હાઇડ્રોજન વીજવિભારિત નળીના નાના છિદ્રમાંથી x-દિશામાં ધારારેખી ગતિ કરતા હાઇડ્રોજન પરમાણુઓના કિરણપુંજનો ખ્યાલ કરો. સૂત્રગત (formal) સિદ્ધાંત અનુસાર, જો કિરણપુંજને તરંગ વિધેય Ψ(x) વડે વર્ણવવામાં આવે તો તેને નીચેના સમીકરણથી દર્શાવી શકાય :

Ψ(x) = C₊(x) u⁺(z) + C_–(x) u^– (z)…………………………………………. 10

અહીં u⁺(z) અભિલક્ષણિક વિધેય છે જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુના કુલ કોણીય વેગમાનનો z-દિશામાં લીધેલો ઘટક j_z =  હોય ત્યારે તે જ રીતે j₃ = – હોય ત્યારે અભિલક્ષણિક વિધેય u^–(z)છે; C₊ અને C_– સંકર સંખ્યાઓ છે.  એ કોઈ પણ બિંદુ x આગળ J_z = ħ₂ સંભાવ્યતા છે. તે જ રીતે  એ J₂ = -ħ₂ની સંભાવ્યતા છે. આથી બે સંભાવ્યતાઓ J_z = ±  મળે છે.

+ = 1……………………………………………………….. 11

છે અને બેમાંથી કોઈ એક સંભાવ્યતા પ્રત્યે ઢળવાનું કોઈ કારણ નથી, માટે +  = ½ ગણી લેવું ઉચિત છે. આથી સમીકરણ (10) ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે Ψ(x) નિર્દિષ્ટ કરવા C₊(x) અને C_–(x)નાં માત્ર મૂલ્યો જાણવાં પૂરતાં નથી. તેમની કળા (phase) પણ જાણવી જરૂરી છે. C₊ અને C_–નાં સાપેક્ષ મૂલ્ય અને કળાની પ્રત્યેક પસંદગી γ દિશાને અનરૂપ હોય છે, જેને માટે j_r = હોય ત્યારે સંભાવ્યતા 1(એક) અને j_r = –  હોય ત્યારે સંભાવ્યતા 0(શૂન્ય) હોય છે. આથી અભિલક્ષણિક વિધેય u⁺(r) + u^–(r) મળે છે અને પ્રણાલી શુદ્ધ સ્થિતિમાં હોય છે. બીજી રીતે, વીજવિભારિત નળી કોઈ ખાસ દિશાને અવકાશમાં અલગ પાડતી નથી, જેથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની કોઈ પણ દિશા હોય તોપણ મૂળ કિરણપુંજ સરખી તીવ્રતાવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત થવો જ જોઈએ. આથી મૂળ કિરણપુંજ શુદ્ધ સ્થિતિમાં નથી, પણ તેને સાંખ્યિકીય સમૂહ (statistical ensemble) તરીકે અથવા બધી દિશામાં સમાન સંભાવ્યતા સાથે અભિમુખ (oriented) થયેલ શુદ્ધ સ્થિતિઓના મિશ્રણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. મિશ્રણો અને શુદ્ધ સ્થિતિઓને ધ્રુવીભૂત (polarise) અને અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના કિરણપુંજની જેમ ગણી શકાય.

શ્રોડિંજરનું સમીકરણ (Schrodinger’s equation) : ધન x દિશામાં પ્રસરણ કરતું સમતલ તરંગ સમીકરણ

વડે દર્શાવી શકાય છે. અહીં f તરંગની આવૃત્તિ; λ તરંગલંબાઈ અને A(λ) કંપવિસ્તાર છે. તરંગકણ-દ્વૈતતાની અગાઉ કરેલી ચર્ચા સૂચવે છે કે x-દિશામાં P = P_x વેગમાન સાથે ગતિ કરતા મુક્ત કણો માટે આ સમીકરણ તરંગવિધેયનું સ્વરૂપ છે અહીં f, λ, E, P સંબંધો અને વડે એકબીજા સાથે સંકળાયેલા છે. સમીકરણ (12)નું પ્રથમ x સાપેક્ષે અને તે પછી t સાપેક્ષે અંશત: વિકલન કરતાં નીચેનાં સમીકરણો મળે છે :

મુક્ત કણ માટે હોઈ, નીચેનું સમીકરણ મળે છે :

સમીકરણ (14) યાર્દચ્છિક (Arbitrary) λવાળા સમતલ તરંગ માટે સાચું છે, પરિણામે તેવા તરંગોના સંપાતીકરણ (superposition) માટે પણ સાચું છે. સમીકરણ (14) તરંગસમીકરણ થવું જોઈએ જેને બળની ગેરહાજરીમાં ગતિ કરતા કણનું તરંગવિધેય અનુસરે છે. સંરક્ષી (conservative) બળક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા કણ માટે Ψ(x, t) નીચેના સમીકરણને અનુસરે છે.

અહીં V(x) કણની સ્થિતિઊર્જા છે. સમીકરણ (15) એક પરિમાણ (x-દિશા)માં ગતિ કરતા પ્રચક્રણવિહીન (spinless) કણનું સમય-આધારિત શ્રોડિંજર સમીકરણ છે. સમીકરણ (13b)ને ધ્યાનમાં લેતાં, સમીકરણ(15)નો ઉકેલ નીચે મુજબ મળે છે :

અહીં એટલું ફલિત થાય છે કે સમીકરણ (16)નું તરંગવિધેય y(x) સમયથી સ્વતંત્ર એવા શ્રોડિંજરના નીચેના સમીકરણને અનુસરે છે :

યોગ્ય સીમા-શરતો(boundary conditions)ને આધારે સમીકરણ(17)નો ઉકેલ મેળવી શકાય છે; જેમ કે, આ શરતો મુજબ, Ψનું સાતત્ય જળવાઈ રહેવું જોઈએ અને x = ± ∞ થાય તે છતાં Ψ અનંત બનવું જોઈએ નહિ. સમીકરણ (17)નો ઉકેલ Ψ(x) સ્વીકાર્ય બને તે માટે સીમા-શરતો Eનાં મૂલ્યોને મર્યાદિત કરે છે. Ψ(x)નું અસ્તિત્વ હોય ત્યારે Ψ(x, t)ને અનુરૂપ સંભાવ્યતાઓ સમયથી સ્વતંત્ર હોય છે. આ રીતે, સમીકરણ (17)ની માન્ય ઊર્જાઓ E, સમય સાથે બદલાય નહીં તેવી સ્થાયી સ્થિતિની ઊર્જા છે.

સમીકરણો (13a), (15) અને (17) સૂચવે છે કે ચિરસંમત અવલોકીય રાશિ P_xને કારક વડે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તેમ કરતાં, નીચે મુજબ સમીકરણ મળે છે :

અહીં x અને Px ચિરસંમત સંવિધાન અનુસાર વિહિત સંયુગ્મી (canonically conjugate) રાશિઓ છે જે ક્રમના નિયમને અનુસરે છે એટલે કે નીચે મુજબ મળે છે :

ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય રાશિઓ x અને Px, ક્રમના નિયમનું પાલન ન કરે, તેવા કારકો છે. એટલે કે સમીકરણ નીચે મુજબ મળે છે :

સમાંતર સિદ્ધાંત (correspondence principle) : ચિરસંમત યાંત્રિકી અને મૅક્સવેલનો વીજચુંબકીય સિદ્ધાંત સ્થૂળ ઘટનાઓનું ઝીણવટથી વર્ણન કરતાં હોઈ, ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીને ચિરસંમત મર્યાદા હોય છે જે જૂના પ્રચલિત સિદ્ધાંતને સમકક્ષ હોય છે. જોકે જટિલ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય પ્રણાલીઓના સંદર્ભમાં આ સિદ્ધાંત માટે ચોક્કસ સાબિતી નથી પણ તેની સત્યતા કેટલાંક ઉદાહરણોથી સ્થાપિત થયેલી છે. જ્યારે (i) h → 0 હોય; (ii) દળ વધારે હોય; (iii) તરંગલંબાઈ નાની હોય; (iv) પરિમાણો મોટાં હોય; (v) ક્વૉન્ટમ સંખ્યાઓ મોટી હોય ત્યારે વ્યાપક રીતે, ચિરસંમત મર્યાદા સુધી પહોંચાય છે. આ બધી કસોટીઓ કાળજીપૂર્વક કરવાની હોય છે કારણ કે તે રાશિઓને પરિમાણવિહીન પ્રાચલોના સંદર્ભમાં આપેલી હોતી નથી. આ કસોટીઓ માર્ગદર્શક તરીકે જ ઉપયોગી છે; જેમ કે, h → 0 થાય છે ત્યારે સમીકરણ (19b) એ સમીકરણ (19a)ની તદ્દન નજીક જાય છે. શ્રોડિંજર સમીકરણ (1926) વડે ઊર્જાસ્તરો અને આનુષંગિક ક્વૉન્ટમ સંખ્યાઓ ચોક્કસપણે નક્કી કરી શકાય તે પહેલાં સમાંતર સિદ્ધાંતનો ક્વૉન્ટીકરણના નિયમો મેળવવા માટે અસરકારક ઉપયોગ થતો હતો. આવર્તક કક્ષાઓ માટે નીચે મુજબ નિયમ તૈયાર કરવામાં આવ્યો :

dp dq = nh…………………………………………………..20

અહીં n પૂર્ણાંક સંખ્યા છે; q અને P અનુક્રમે સ્થાન અને વેગમાનની વિહિત સંયુગ્મી (canonically conjugate) ચલ રાશિઓ છે. અહીં કક્ષા ઉપર પૂર્ણ ચક્ર માટે સંકલન (closed integration) કરવામાં આવે છે. સમીકરણ (20) દરેક કિસ્સામાં ચોકસાઈ દર્શાવતું નથી. તે ખાસ કરીને ઊંચી ક્વૉન્ટમ સંખ્યાઓ માટે ઉપયોગી છે; ઉદાહરણ તરીકે, એક પારિમાણિક આવર્તદોલક (harmonic oscillator) જેની ચિરસંમત આવૃત્તિ f અને સ્થિતિઊર્જા V(x) = 2π²mf²x² છે, તે બાબતે સમીકરણ (20)થી અભિપ્રેત થાય છે કે માન્ય ઊર્જાઓ સમીકરણ (21a) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યારે શ્રોડિંજરના સમીકરણ વડે મળતું સાચું પરિણામ સમીકરણ (21b) વડે મેળવી શકાય છે :

 E = nhf……………………………………………………21a

n = 0 માટે મળતી અવસ્થાને ધરાવસ્થા (ground state) કહે છે. n = 0 હોય ત્યારે ઊર્જા E = ½hf મળે છે એટલે કે ધરાવસ્થા માટે મળતી ઊર્જાને શૂન્ય બિંદુ ઊર્જા (zero point energy) કહે છે. આણ્વિક વર્ણપટના વિશ્લેષણથી શૂન્ય ઊર્જાની ઘટનાને પુષ્ટિ મળે છે. કેટલીક ઘટનાઓમાં તેનું મહત્વ છે.

ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકી અને અવિભેદ્યતા (quantum statistics and indistinguishability) : સમીકરણ(20)નો અર્થ એ થાય કે જ્યારે માન્ય કક્ષાઓને q તથા Pના વિધેય તરીકે આલેખ વડે રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે તેમનું ક્ષેત્રફળ nh થાય છે અને બે માન્ય કક્ષાઓ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ h જેટલું થાય છે. ચિરસંમત સાંખ્યિકીય યાંત્રિકીમાં (i) બધી જ કક્ષાઓ માન્ય હોઈ અને (ii) પ્રાવસ્થા-અવકાશ (phase space) q, pના કદ dqdp-નો સાંખ્યિકીય ભાર (weight) dqdp-ને સમપ્રમાણમાં હોઈ, સમાંતર સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે h ક્ષેત્રફળ આવરી લેતા ચિરસંમત કક્ષાઓના સમૂહ(set)ની જગા ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકીની પ્રત્યેક માન્ય કક્ષા લે છે. આમાંથી એટલું ફલિત થાય છે કે ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકીમાં (i) દરેક માન્ય ક્વૉન્ટિત કક્ષાને સમાન સાંખ્યિકીય ભાર હોવો જોઈએ, જે એક જેટલો પણ હોઈ શકે; (ii) ક્વૉન્ટિત કક્ષાના એકમ ભાર સાથે પ્રાવસ્થા-અવકાશના બિનક્વૉન્ટિત કદ dpdq-નો ભાર થવો જોઈએ. E ઊર્જા અવસ્થામાં પરમાણુઓની સરેરાશ સંખ્યાસમપ્રમાણમાં હોઈ, જ્યારે kTની સાપેક્ષે ઊર્જા-સ્તર અવકાશ વધારે હોય ત્યારે ચિરસંમત (બોલ્ટ્ઝમાન) સાંખ્યિકીનાં પરિણામો કરતાં ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકીનાં પરિણામો ભિન્ન આગાહી કરે છે. અહીં k, બોલ્ટ્ઝમાનનો નિયતાંક અને T નિરપેક્ષ તાપમાન છે. સ્તર-અવકાશ kT કરતાં વધારે ઓછો થાય છે ત્યારે h → 0 થાય છે. આ સ્થિતિમાં ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકી બોલ્ટ્ઝમાન સાંખ્યિકી બને છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત અને કાળા પદાર્થના વિકિરણનો સિદ્ધાંત ઉપરની ચર્ચાનાં ઉદાહરણ છે તેમજ તેની પુષ્ટિ કરે છે.

સર્વથા સમાન (identical) કણો અવિભેદ્ય હોય છે ત્યારે ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકી વધુ જટિલ બને છે. ચિરસંમત ખ્યાલ મુજબ, જો બે He પરમાણુઓને પેટીમાં ધરાવસ્થામાં રાખવામાં આવે તો પરમાણુઓને જુદા પાડી શકાય છે એમ ધારીને અવસ્થાના સાંખ્યિકીય ભારની ગણતરી કરવામાં આવે છે. એટલે કે બંને પરમાણુઓ ઉપર ઓળખ માટે જુદી જુદી નિશાની કરવામાં આવે છે. ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી ઓળખની શક્યતાને નકારી કાઢે છે. સાથે સાથે સાંખ્યિકીય સરેરાશને બદલે સાંખ્યિકીય ભારને રૂપાંતરિત કરે છે. આ રૂપાંતર પૂર્ણ કરવા માટે પહેલાં સર્વથા સમાન કણોના તંત્ર માટે તરંગવિધેય જ બધી રીતે સમમિતીય (symmetric) લેવામાં આવતું હતું. અહીં સમમિતિમાં બધા જ કણોના સ્થાન અને પ્રચક્રણ યામોનો સમાવેશ થાય છે. જો કણોનું પ્રચક્રણ પૂર્ણાંક હોય એટલે કે o, h, 2h, હોય તો તરંગવિધેય સમમિતીય બને છે. જો કણોનું પ્રચક્રણ અર્ધપૂર્ણાંક હોય એટલે કે હોય તો તરંગવિધેય અસમમિતીય બને છે.

જો યામો(co-ordinates)ની અદલાબદલી કરવાથી તરંગવિધેય બદલાય નહિ તો વિધેય સમમિતીય ગણાય, ઉદાહરણ તરીકે બે કણ માટે Ψ(x₁, x₂) = cos (x₁ – x₂) સમમિતીય તરંગવિધેય છે. જો બે કણોના યામોની અદલાબદલી કરવાથી તરંગવિધેયની સંજ્ઞા બદલાય તો, વિધેય અસમમિતીય ગણાય; ઉદાહરણ તરીકે, Ψ(x₁, x₂) = sin (x₁ – x₂) અસમમિતીય તરંગવિધેય છે.

આ સિવાયના સમમિતીય ગુણધર્મો ધરાવે તેવા તરંગવિધેયો કદી પણ મળતાં નથી. આથી પ્રાપ્ય અવસ્થાઓની ગણતરી કરતાં તેમને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર રહેતી નથી. આ સમમિતીય પ્રતિબંધો (restriction) સિવાય બહુકણ તંત્ર માટે શ્રોડિંજર સમીકરણના ઉકેલ સ્વીકાર્ય બને છે. આ સમમિતીય પ્રતિબંધોનાં સ્થૂળ અને સૂક્ષ્મ તંત્રો ઉપર મહત્ત્વનાં પરિણામો આવે છે અને આ પ્રતિબંધો નાભિઓ (nuclei) અને પરમાણુઓ ઉપર સારી રીતે સ્થાપિત થયેલા છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ