ક્રિયાત્મક સંશોધન (Operational research – OR)

વાણિજ્ય અને ઉદ્યોગમાં ઊભા થતા પ્રશ્નોના નિરાકરણ માટે ગણિતશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રમાં ચલાવતી સંશોધનાત્મક પ્રક્રિયા. બીજા વિશ્વયુદ્ધની શરૂઆતમાં યુદ્ધને લગતા અનેક પ્રશ્નો ઉદભવ્યા ત્યારે તેમના નિરાકરણ માટે બ્રિટને ગણિતજ્ઞો, પદાર્થવૈજ્ઞાનિકો અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોનાં ક્રિયાત્મક સંશોધન-જૂથ બનાવ્યાં અને વિવિધ તજજ્ઞોનાં અનુભવ અને કાર્યદક્ષતાની સહાયથી આ પ્રશ્નો સારી રીતે ઉકેલ્યા. અમેરિકા યુદ્ધમાં જોડાયું ત્યારે તેણે પણ ક્રિયાત્મક સંશોધનનો ઉપયોગ કરીને યુદ્ધના પ્રશ્નો ઉકેલ્યા. યુદ્ધોત્તર સમયમાં ઔદ્યોગિક પ્રશ્નો ચીલાચાલુ રીતે ઉકેલી શકાયા નહિ ત્યારે ક્રિયાત્મક સંશોધનનું મહત્વ સમજાયું. ઔદ્યોગિક પ્રશ્નોને લગતાં પરિબળો અગણિત અને પરસ્પર સંકળાયેલાં હોવાથી તેમનાં જુદાં જુદાં સમીકરણો બનાવીને કમ્પ્યૂટરની મદદથી જટિલ પ્રશ્નો ઉકેલવાનું વિચારાયું. આમ પ્રબંધન વિજ્ઞાન-પદ્ધતિ(management science school)નો વિકાસ શરૂ થયો.

ધંધામાં અને ઉત્પાદનક્ષેત્રમાં પડતર-કિંમત ઘટાડવી, નફો વધારવો, ઉત્પાદન માટે જરૂરી માલસામગ્રીનો સમુચિત જથ્થો નક્કી કરવો, સમયાંતરે જૂની યંત્રસામગ્રી બદલીને નવી ગોઠવવી વગેરે અનેક પ્રશ્નો ઊભા થતા હોય છે. તેમના નિરાકરણ માટે ક્રિયાત્મક સંશોધનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તેના રેખીય (linear) અને ગત્યાત્મક (dynamic) – એમ બે પ્રકાર છે. ઉત્પાદનનું કદ અને નફાનો ગાળો વધારવાથી તથા પડતર-કિંમત અને ઉત્પાદનનો સમય ઘટાડવાથી ઉત્પાદનના ઇષ્ટતમ સ્તરે પહોંચી શકાય છે. આ ચારેય ઘટકોના મૂલ્ય ઉપર આધારિત અનેક સમીકરણો બનાવી શકાય છે. તેમાંથી મહત્વનાં બે સમીકરણો પસંદ કરવામાં આવે છે. આ આલેખમાં બંને રેખાઓ જે બિંદુ ઉપર એકબીજીને છેદે છે તેનો ઊંડાણથી અભ્યાસ કરીને તે બિંદુની કિંમત ઉપરથી ઉત્પાદનનો ઇષ્ટતમ સ્તર નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને રેખીય નિર્ધારણ-પદ્ધતિ કહેવાય છે. કાચા માલમાંથી પાકો માલ તૈયાર કરવાની સમગ્ર પ્રક્રિયાના અનેક તબક્કા હોય છે. વળી એક તબક્કામાંથી બીજા તબક્કામાં માલનું પરિવર્તન કરવા માટે પણ જુદી જુદી રીતો હોય છે. તેમાંથી જે રીત દ્વારા લઘુતમ ખર્ચે માલનું ઉત્પાદન થાય તે રીત પસંદ કરીને માલનું ઉત્પાદન કરવાની પદ્ધતિને ગત્યાત્મક નિર્ધારણ-પદ્ધતિ કહેવાય છે.

કાચા માલનો પુરવઠો બજારમાંથી યોગ્ય સમયે, યોગ્ય કિંમતે, યોગ્ય જથ્થામાં મળે તે માટે તથા વધતી-ઘટતી માત્રાના પરિપ્રેક્ષ્યમાં ગોદામમાં હાજર રાખવાના તૈયાર માલના જથ્થા ઉપર નિયંત્રણ રાખવા માટે ક્રિયાત્મક સંશોધનનો ઉપયોગ થાય છે અને મૂડીનાં મર્યાદિત સાધનોનો ઇષ્ટતમ લાભ મેળવી શકાય છે. વળી મોટર અને રેલવે વાહનવ્યવહારના માર્ગો નક્કી કરવા માટે તથા વિદ્યુત-ગ્રિડના થાંભલા અને કુદરતી વાયુ માટેની પાઇપો નાખવાનાં સ્થળો નક્કી કરવા માટે પણ ક્રિયાત્મક સંશોધનનો ઉપયોગ કરાય છે. આ ઉપરાંત કારીગરની કામ કરવાની રીતમાં સુધારો કરવા માટે, તેણે કરવી પડતી મહેનતમાં ઘટાડો કરવાની રીત વિકસાવવા માટે, તેને સોંપેલો કામનો સમુચિત સમય નક્કી કરવા માટે અને તેની કાર્યશક્તિનો કરકસરથી ઉપયોગ કરવા માટે પણ ક્રિયાત્મક સંશોધન ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ક્રિયાત્મક સંશોધનનો હેતુ સામાન્ય રીતે કાર્યવાહક સંચાલન અંગેના વિવિધ અને જટિલ પ્રકારના નિર્ણયોમાં મદદરૂપ થઈને યોગ્ય નિર્ણયો તેમજ નીતિ ઘડવાનો છે, જેથી સમગ્ર વ્યવસ્થાનું કુશળ સંચાલન થઈ શકે. એક રીતે જોઈએ તો એમ પણ કહી શકાય કે આ પ્રકારના નિર્ણયો લેવાથી જે તે સંચાલન કે સંગઠન માટેની એકંદરે પ્રાપ્ત થતી અસરકારકતા વધારી શકાય છે કે તેમાં સુધારણા કરી શકાય છે. આ પ્રકારનો નિર્ણય લેવા માટે જે તે સમસ્યાને અનુકૂળ હોય તેવાં વિવિધ પરિબળો તેમજ તે સમસ્યા સાથે સંકળાયેલ શક્યતાઓ અને જોખમોની ગણતરી કરીને ગાણિતિક તેમજ અન્ય વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિઓની મદદ વડે યોગ્ય પ્રકારના પરિરૂપ(model)ની રચનાના આધારે કરાતા પૃથક્કરણનો ઉપયોગ કરીને યોગ્ય નિર્ણય લેવાય છે અને તે પરથી મળતાં તારણોનો અભ્યાસ થાય છે. આ પ્રમાણે ક્રિયાત્મક સંશોધન કોઈ પણ પ્રકારના સંચાલન અંગેના નિર્ણયોમાં યોગ્ય સલાહસૂચનો કરવાનું કાર્ય ઘણી જ કુશળતાથી કરી શકે છે.

ક્રિયાત્મક સંશોધનના કાર્યક્ષેત્ર હેઠળ મુખ્યત્વે જે પ્રકારની સમસ્યાઓ આવે છે તે નીચે પ્રમાણે છે :

(1) ગણિતીય આયોજન (mathematical programming); (2) રેખીય આયોજન (linear programming); (3) પરિવહનની સમસ્યા (transportation problem); (4) નિયુક્તિની અથવા કાર્યવહેંચણીની સમસ્યા (assignment problem); (5) પૂર્ણાંક આયોજન (integer programming); (6) સ્પર્ધાત્મક વ્યૂહરચનાની સમસ્યાઓ (strategic games problems); (7) જથ્થા-નિયંત્રણની સમસ્યાઓ (inventory control problems); (8) હરોળની સમસ્યાઓ (queing problems); (9) ક્રમિકતાની સમસ્યાઓ (sequencing problems); (10) ફેરબદલીની સમસ્યાઓ (replacement problems); (11) મૉન્ટી કાર્લો પદ્ધતિઓ, કૃત્રિમ પરિરૂપરચના (simulation); (12) અસુરેખ આયોજનની સમસ્યાઓ (non-linear programming problems); (13) બહુપદિક આયોજનની સમસ્યાઓ (dynamic programming problems); (14) જાલીય પૃથક્કરણ; (15) નિર્ણાયકતા-પૃથક્કરણ (decision analysis); (16) વિશ્વસનીયતાની સમસ્યાઓ (reliability problems) વગેરે.

ઉપર દર્શાવેલ વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓનો ઉકેલ શોધવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિની આછી રૂપરેખા નીચે મુજબ આપી શકાય :

સામાન્ય પદ્ધતિની રૂપરેખા : કોઈ પણ સંહતિ માટે ક્રિયાત્મક સંશોધનની સમસ્યા અંગે વિચારણા કરવી હોય તો તે માટે જરૂરી પરિરૂપની રચના કરવી જોઈએ. આ માટે જે તે સંહતિ માટેના હેતુઓ અને ગુણાત્મક તેમજ સંખ્યાત્મક વિધાનો પરિરૂપમાં લઈ શકાય તે પ્રમાણે દર્શાવવાં જોઈએ. સામાન્ય રીતે આવા પરિરૂપની રચના ગણિતીય સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે. તેથી એમ કહી શકાય કે આ માટે જરૂરી એવી તમામ વિશિષ્ટ પ્રકારની ગાણિતિક પદ્ધતિઓ ઉપયોગમાં લેવી જોઈએ. સામાન્ય પદ્ધતિની રૂપરેખા માટેનાં મહત્વનાં પાસાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય :

(1) સમસ્યાની રજૂઆત : અહીં આપેલી સંહતિ માટે જે પ્રશ્નનું નિરૂપણ કરી શકાય તેમ હોય તેની યોગ્ય સ્વરૂપમાં રજૂઆત કરવામાં આવે છે. આવી રજૂઆત કરતી વખતે સંશોધનનો હેતુ સ્પષ્ટ કરાય છે.

(2) ધારણાઓ : સમસ્યાનું નિરૂપણ કર્યા બાદ તે સમસ્યાને અનુરૂપ હોય તે પ્રકારની શરતો અથવા ધારણાઓ મૂકવામાં આવે છે. આપેલી સમસ્યાનો ઉકેલ આ શરતોને અધીન હોય છે. તેથી આ બધી ધારણાઓ જે તે સમસ્યા માટેની મર્યાદાઓ પણ દર્શાવે છે.

(3) પરિરૂપની રચના : આપેલી સમસ્યા માટે ઉપર દર્શાવેલ ધારણાઓને આધારે ગણિતીય સ્વરૂપમાં વિધેયાત્મક રીતે સમસ્યાની રજૂઆત પરિરૂપ દ્વારા કરવામાં આવે છે જેમાં હેતુલક્ષી વિધેય, વિધેયના ચલો અને તે માટેની શરતો વગેરે જણાવાય છે.

(4) પરિરૂપનો ઉકેલ : પરિરૂપનું ગણિતીય સ્વરૂપ સ્પષ્ટ થાય ત્યાર બાદ યોગ્ય ગણિતીય પદ્ધતિઓનો આધાર લઈને તેનો ઉકેલ મેળવાય છે. કેટલીક વાર એક કરતાં વધુ ઉકેલ શક્ય બને છે અથવા જો ઉકેલ ન મળી શકે તેમ હોય તો તેનો પણ નિર્દેશ કરવામાં આવે છે.

(5) તારણો અને પૂર્વાનુમાનો : પરિરૂપનો ગણિતીય ઉકેલ મેળવ્યા પછી યોગ્ય ઉદાહરણ દ્વારા પરિરૂપની ચકાસણી કરવામાં આવે છે. આ ઉકેલના આધારે જે તે સમસ્યાને અનુરૂપ આ તારણો મેળવી શકાય છે અને તેના આધારે ભવિષ્ય માટેનાં પૂર્વાનુમાન પણ મેળવી શકાય છે.

હવે ઉપર દર્શાવેલી ક્રિયાત્મક સંશોધનની કેટલીક લાક્ષણિક સમસ્યાઓ અને પદ્ધતિઓ સંક્ષેપમાં નીચે પ્રમાણે છે :

(1) ગણિતીય આયોજન : સામાન્ય સ્વરૂપમાં ગણિતીય આયોજનનો પ્રશ્ન નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય : ચલ x₁, x₂, ….. …., x_nનાં એવાં મૂલ્ય શોધો કે જે નીચેની વિધેયાત્મક શરતો

અહીં (1)ને સમસ્યા માટેની શરતો અથવા પ્રતિબંધો કે બાધકો (restrictions) કહે છે.

(3)માં દર્શાવેલું વિધેય એ હેતુલક્ષી વિધેય (objective-function) કહેવાય છે.

વ્યવહારમાં ચલરાશિઓનું મૂલ્ય ઋણ હોઈ ના શકે તેથી તેને મર્યાદા (2) દ્વારા દર્શાવાય છે.

આ પ્રશ્નનો વ્યાપક ઉકેલ મળતો નથી; પરંતુ તેના ખાસ પ્રકાર તરીકે કેટલાક પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરી શકાય. આવો એક ખાસ પ્રકાર તે સુરેખ આયોજન છે.

(2) સુરેખ આયોજન : ઉપર દર્શાવેલ ગણિતીય આયોજનની સમસ્યામાં જો અવરોધકોને ચલરાશિઓના રેખીય સંયોજકો તરીકે દર્શાવેલ હોય તેમજ હેતુલક્ષી વિધેય પણ રેખીય સ્વરૂપનું હોય તો આવી સમસ્યા એ સુરેખ આયોજનની સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે. જે પ્રચલિત સંકેતોમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

ચલરાશિઓ x₁, x₂,….. x_nનાં એવાં મૂલ્યો મેળવો કે જે અવરોધકો

z = C₁ x₁ + C₂ x₂ +….+ C_nx_nને ઇષ્ટતમ બનાવે. (6)

આ સમસ્યાને શ્રેણિકોના સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

x´ = (x₁, x₂, …. x_n) એવી ચલરાશિઓનો સદિશ મેળવો કે જેથી શરતો

અને  એ શરતોને આધીન રહીને સુરેખ વિધેય z = c´ x ઇષ્ટતમ થાય.

જ્યાં A = (a_ij) = m x n,  = n x 1, = m x 1, c = 1 x n છે. આ સમસ્યાનો એવો કોઈ ઉકેલ કે જે અવરોધોને સંતોષે તેને શક્ય કે શક્યપ્રાપ્ય ઉકેલ (feasible solution) કહે છે, એવો શક્ય ઉકેલ કે જે હેતુલક્ષી વિધેયને ઇષ્ટતમ બનાવે તેને ઇષ્ટતમ શક્ય ઉકેલ (optimum feasible solution) કહે છે. નીચે આપેલા ઉદાહરણ પરથી આવી સમસ્યાનું સ્વરૂપ સ્પષ્ટ થશે :

ઉદાહરણ : કાગળના રૂમાલ બનાવતી એક કંપનીએ કરેલા ઉત્પાદન માટે નીચે પ્રમાણેની વિગતો પ્રાપ્ત થાય છે. (કંપની ત્રણ જુદા જુદા પ્રકારના માપવાળા રૂમાલો બનાવે છે, જેને આપણે A, B તથા C વડે ઓળખીશું. વળી આ કાર્ય ત્રણ વિભાગોમાં કરવામાં આવે છે.)

રૂમાલની જાત

વિભાગ (કાર્ય)	સમય (કલાકમાં)			અઠવાડિક કાર્યક્ષમતા (કલાકમાં)
	A	B	C
કાપડ વેતરવું (cutting)	10.7	5.0	2.0	132
ગડી વાળવી (folding)	5.8	9.3	4.2	140
માલ ભરવો (packaging)	0.6	1.4	2.7	116
રૂમાલના પ્રત્યેક એકમદીઠ નફો (રૂ.માં)	10	8	12

  જો    X = પ્રકાર Aના રૂમાલની સંખ્યા

        Y = પ્રકાર Bના રૂમાલની સંખ્યા

        Z = પ્રકાર Cના રૂમાલની સંખ્યા હોય તો નીચે

        પ્રમાણેની સુરેખ આયોજનની સમસ્યા મેળવી શકાય :

X, Y અને Z એવા મેળવો કે જેથી

10.7 X + 5Y + 2 Z ≤ 132

5.8 X + 9.3 Y + 4. 2 Z ≤ 140

0.6 X + 1.4 Y + 2.7 Z ≤ 116

X ≥ 0 Y ≥ 0 Z ≥ 0 આ શરતો સંતોષાય અને કુલ નફો f = 10 X + 8 Y + 12 Z મહત્તમ થાય. (આવા પ્રકારના પ્રશ્નનો ઉકેલ – જો અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો – સિમ્પ્લેક્સ-પદ્ધતિથી મળે છે.) સામાન્ય રીતે જો n ≥ m હોય તો સુરેખ આયોજનની સમસ્યાનું નિરૂપણ થાય છે. અહીં ઉકેલ મેળવવા માટે મૂળભૂત ઉકેલ(basic solution)ની વ્યાખ્યા જરૂરી બને છે. જે ઉકેલમાં વધુમાં વધુ n ચલરાશિઓનું મૂલ્ય શૂન્યેતર હોય તેને મૂળભૂત ઉકેલ કહે છે. જો આવો ઉકેલ આપેલા અવરોધોને પણ સંતોષે તેવો હોય તો તેને મૂળભૂત શક્ય ઉકેલ (basic feasible solution) કહે છે. વળી જો આવો મૂળભૂત શક્ય ઉકેલ આપેલા હેતુલક્ષી વિધેયને ઇષ્ટતમ બનાવે તેવો હોય તો તેને મૂળભૂત ઇષ્ટતમ શક્ય ઉકેલ (basic optimum feasible solution) કહે છે. કોઈ શક્ય ઉકેલ એ પૂર્ણશક્ય ઉકેલ (non-degenerate feasible solution) અથવા અપૂર્ણશક્ય ઉકેલ (degenerate feasible solution) હોઈ શકે છે. વળી આપેલી સુરેખ આયોજનની સમસ્યા માટે મળતો ઉકેલ અનન્ય (unique) હોઈ શકે છે, અથવા એક કરતાં વધુ ઉકેલો પ્રાપ્ત થતા હોય તેવી પરિસ્થિતિમાં ઇષ્ટતમ ઉકેલો (optimum solution) પણ સંભવી શકે છે. ક્યારેક ઉકેલ અસીમિત (unbounded) પણ બને છે. તે જ રીતે એવું પણ બની શકે કે આપેલી સુરેખ આયોજનની સમસ્યાને માટે ઉકેલ અસ્તિત્વ ન પણ ધરાવતો હોય.

આ માટેનાં જરૂરી પ્રમેયો પરથી કેટલાંક અગત્યનાં તારણો સંક્ષેપમાં આ પ્રમાણે દર્શાવી શકાય : જો બધા જ શક્ય ઉકેલોના ગણને S_F વડે દર્શાવીએ તો S_F એક બહિર્મુખ ગણ (convex set) હોય છે. અહીં આ પ્રમાણેની ત્રણ શક્યતાઓ હોઈ શકે : (1) S_F ખાલી ગણ હોય તો આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ હોતો નથી. (2) S_F એ સીમિત આવૃત ગણ હોય તો આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ હોય જ. (3) S_F એ કોઈ એક દિશામાં અસીમિત ગણ હોય તો આપેલ પ્રશ્નનો ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે પરંતુ હેતુલક્ષી વિધેયનું મૂલ્ય સીમિત અથવા અસીમિત હોઈ શકે.

જો આપેલ પ્રશ્નનો ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો તે શક્ય ઉકેલ ગણ S_Fના કોઈ એક અંતિમબિંદુ કે શિરોબિંદુ(extreme point) આગળ હોય છે. આમ શક્ય ઉકેલ ગણમાં અગણિત ઉકેલો હોય છે; પરંતુ S_Fનાં શિરોબિંદુઓ સાન્ત (finite) હોવાથી પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવો સરળ પડે છે.

આ બધાં પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો હોય તેવી આલેખની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યા વિશે વધુ પ્રકાશ પાથરી શકાય. માત્ર બે જ ચલરાશિઓ હોય ત્યારે આલેખની પદ્ધતિ વપરાય છે. આ પદ્ધતિમાં સૌપ્રથમ અસમતાઓને સમીકરણ તરીકે લેવાય છે; તેમનું નિરૂપણ આલેખમાં કર્યા પછી જે તે અસમતા દ્વારા આવૃત પ્રદેશ નક્કી કરાય છે અને જો બહિર્મુખગણ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો તેના શિરોબિંદુ કે અંતિમબિંદુના યામ (co-ordinates) મેળવીને તેના આધારે હેતુલક્ષી વિધેયની ગણતરી કર્યા બાદ ઇષ્ટતમ ઉકેલ મેળવાય છે. નીચેના ઉદાહરણથી આ વધુ સ્પષ્ટ થશે :

ઉદાહરણ :     ચલરાશિઓ X અને Y એવી મેળવો કે જેથી

                3 X + 5 Y ≤ 15

                5 X + 2 Y ≤ 10

                X ≥ 0, Y ≥ 0 શરતો સંતોષાય અને

                Z = 2.5 X + Yની કિંમત મહત્તમ થાય.

આ સમસ્યામાં માત્ર બે જ અજ્ઞાત ચલરાશિઓ હોવાથી આલેખની પદ્ધતિ વાપરીને ઉકેલ મેળવી શકાય. ઉપરની ચારેય અસમતાઓ માટે પ્રથમ સમીકરણો લખીને ત્યાર બાદ જે તે અસમતા માટેનો યોગ્ય પ્રદેશ નક્કી કરવાથી OABC બહિર્મુખ ગણ પ્રાપ્ત થાય છે જે સીમિત છે, તેથી અનન્ય ઉકેલ મળી શકે છે. આવો ઉકેલ અંતિમબિંદુ O, A, B, Cનાં યામ મેળવીને જે બિંદુએ બહિર્મુખ વિધેયની કિંમત મહત્તમ થાય તે બિંદુ આગળ ઇષ્ટતમ ઉકેલ મળે છે. આલેખમાંથી જોતાં બિંદુ B અને બિંદુ C બે એવાં અંતિમબિંદુઓ છે કે જ્યાં Zની કિંમત મહત્તમ થાય. આથી રેખાખંડ AB પર આવતું કોઈ પણ બિંદુ ઇષ્ટતમ ઉકેલ આપે છે. આ પ્રમાણે અહીં અનેક ઇષ્ટતમ ઉકેલો મેળવી શકાય છે. વ્યવહારમાં આવા અનેક ઉકેલો મળ્યા હોય તેના પરથી જે તે વાસ્તવિક પરિસ્થિતિને લક્ષમાં રાખીને તેના ઉપયોગ અનુસાર યોગ્ય ઉકેલને ધ્યાનમાં રાખવામાં આવે છે.

આ સમસ્યા માટેના અનેક ઇષ્ટતમ ઉકેલો નીચેનાં સૂત્ર પરથી મળશે :

= λ + (1-λ) આમાં 0 < λ 1 અહીં અને બે ઇષ્ટતમ ઉકેલો દર્શાવે છે. λની વિવિધ કિંમત પરથી અસંખ્ય ઇષ્ટતમ ઉકેલો મળે છે, જે દરેકને માટે Z_max = 5 થશે. સુરેખ આયોજનનો પ્રશ્ન ઉકેલવા માટે જ્યારે બેથી વધુ ચલરાશિઓ આવતી હોય ત્યારે આલેખની પદ્ધતિ વાપરવાનું મુશ્કેલ બને છે. તે માટે સિમ્પ્લેક્સ-પદ્ધતિ વપરાય છે. આ પદ્ધતિ જ્યૉર્જ બી. ડાન્ઝિગે વિકસાવી હતી. તેમાં તબક્કાવાર વ્યવસ્થિત રીતે શક્ય પ્રાપ્ય ઉકેલ મેળવીને છેવટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે. હંમેશાં ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ન પણ ધરાવતો હોય. તેવા સંજોગોમાં સૂચક હાર(index row)ના ઘટકો જે તે પ્રકારની પરિસ્થિતિનો નિર્દેશ આપે છે. આ પદ્ધતિમાં મૂળભૂત શક્ય – પ્રાપ્ય ઉકેલ મેળવવા માટે ખૂટતા ચલો (slack variables) અને વધારાના ચલો(surplus variables)નો ઉપયોગ થાય છે. વળી ઉકેલ શોધવા માટે જરૂરી હોય તેવા સંજોગોમાં કૃત્રિમ ચલો(artificial variables)નો પણ ઉપયોગ કરાય છે. અમુક વિશિષ્ટ ભાગ રૂપે સુરેખ આયોજનની સમસ્યામાં ચાર્નની શિક્ષાત્મક પદ્ધતિ (Charne’s penalty method) અથવા દ્વિકળાપદ્ધતિ (two phase method) વપરાય છે. સિમ્પ્લેક્સ- પદ્ધતિથી ગણતરીઓ સરળ બનાવવા માટે સુધારેલી સિમ્પ્લેક્સ-પદ્ધતિ(revised simplex method)નો પણ ઉપયોગ થાય છે.

1984માં નરેન્દ્ર કરમારકર નામના ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીએ સુરેખ આયોજનની સમસ્યાઓ માટે નવી પદ્ધતિ વિકસાવેલી છે જેણે તેની ઉપયોગિતાની ર્દષ્ટિએ ઘણી ચાહના મેળવી છે. આ પદ્ધતિમાં ગણતરી વધુ કાર્યક્ષમ રીતે કરી શકાય છે. તે માટેની યોગ્ય વ્યૂહાત્મક રચનાનું આયોજન કરેલું છે. આ એક અદ્વિતીય ઘટના બની છે. તેમણે તમામ કેળવણીકારો, સંશોધનકારો, વ્યવહારમાં ઉપયોગ કરનારાઓ, જાહેર તથા ખાનગી એકમોના તજજ્ઞોનું તેમજ નીતિ-આયોજકો તેમજ વિવિધ ક્ષેત્રે સંશોધનમાં પ્રદાન કરતા પરિરૂપકારોનું ખાસ ધ્યાન ખેંચ્યું છે. ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીએ કરેલું આ સંશોધન ખરેખર બિરદાવવાને પાત્ર છે. આ સંશોધનના આધારે ચન્દ્રુ અને કોચર (1986), એન્સ્ટ્રેઇચર (1986), ગેય (1987), ડેનિસ (1987) ઘેર્લિક અને વાયલ (1987) તથા કરમારકર(1989)નાં સંશોધનો પ્રચલિત થતાં જાય છે. આ ઉપરથી પરીક્ષણની સમસ્યાઓ માટેના કમ્પ્યૂટર-સંકેત (code) પણ તૈયાર કરવામાં આવ્યા છે.

દ્વન્દ્વ–સમસ્યા (dual problem) : આપેલા કોઈ પણ સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નની સાથે જ અન્ય એક સુરેખ આયોજનનો પ્રશ્ન હંમેશાં સંકળાયેલો હોય છે અને તેને આપેલ સમસ્યાની દ્વન્દ્વ-સમસ્યા કહે છે. આ માટેની રજૂઆત નીચે પ્રમાણે કરેલી છે :

આ બેમાંથી ગમે તે એક પ્રશ્નના ઉકેલ પરથી બીજા પ્રશ્નના ઉકેલ અંગેની માહિતી મેળવી શકાય છે. આ માટે જરૂરી દ્વન્દ્વતાનાં પ્રમેયો (duality theorems) આપવામાં આવે છે.

ઉપરની રજૂઆતમાં પ્રાથમિક સમસ્યા માટે શ્રેણિકો A,અને ના ઘટકો અચલ છે એમ સામાન્ય રીતે સ્વીકારી લેવામાં આવે છે; પરંતુ આ શ્રેણિકોના ઘટકોમાં જો ફેરફાર થાય તો ઉકેલ ઉપર તેની કેવી અસર થાય છે તેનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રચલીય આયોજનની પદ્ધતિ (parametric programming methods) વિકસાવવામાં આવેલી છે. કોઈ પણ પ્રશ્ન માટે મેળવેલો ઉકેલ તેના પ્રાચલોના મૂલ્યમાં અમુક ફેરફાર થાય ત્યાં સુધી વિશિષ્ટ રીતે બદલાતો નથી. એવો કેવો વિસ્તાર હોઈ શકે કે જેમાં પ્રાચલોનાં મૂલ્ય બદલાય તોપણ ઇષ્ટતમ ઉકેલ બદલાય નહિ ? આવા પ્રકારના પ્રશ્નના અભ્યાસ માટે કરાતા પૃથક્કરણને સંવેદિતા-પૃથક્કરણ (sensitivity analysis) કહે છે.

પરિવહનની સમસ્યા (transportation problem) : સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નના એક ખાસ સ્વરૂપ તરીકે પરિવહન અથવા વાહનવ્યવહારનો પ્રશ્ન ગણી શકાય. આ પ્રશ્નને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે :

m ઉદગમબિંદુ (o₁, o₂, …. o_m)માં રહેલા માલને n નિર્ધારિત સ્થાન (D₁, D₂, … D_n)માં મોકલવાનો છે. ઉદગમબિંદુ O_i-માં તે માલના a_i એકમો ઉપલબ્ધ છે અને નિર્ધારિત સ્થાન D_j આગળ તે માલના b_j એકમોની જરૂરિયાત છે. એક એકમ માલને ઉદગમબિંદુથી o_i નિર્ધારિતસ્થાન D_j સુધી લઈ જવાનો પરિવહન-ખર્ચ C_ij એકમો (i = 1, 2, …. m; j = 1, 2, ….. n) છે. અહીં a_i, b_j, C_ijની કિંમતો જ્ઞાત છે. સમસ્યા એ છે કે પ્રત્યેક ઉદગમબિંદુમાંથી વિવિધ નિર્ધારિત સ્થાનો પર કેટલો માલ મોકલવો જોઈએ કે જેથી પરિવહનનું કુલ ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય ? જો  હોય તો આને સમતોલ (balanced) સમસ્યા કહે છે જો તેને અસમતોલ (unbalanced) સમસ્યા કહે છે. કોઈ પણ અસમતોલ સમસ્યાને કૃત્રિમ(dummy) ઉદગમબિંદુ અથવા નિર્ધારિત સ્થાનનો સમાવેશ કરીને સમતોલ બનાવી શકાય છે.

જો ઉદગમબિંદુ O_iથી નિર્ધારિત સ્થાન D_j તરફ લઈ જવાતા એકમોની સંખ્યાને x_ij વડે દર્શાવીએ તો ગણિતીય સ્વરૂપમાં આ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

x_ij (i = 1, 2,… m; j = 1, 2…n) એવો મેળવો કે જેથી

એ શરતને અધીન રહીને પરિવહનનો કુલ ખર્ચ  ન્યૂનતમ થાય.

પરિવહનના કોઈ પણ પ્રશ્નનો ઇષ્ટતમ ઉકેલ હંમેશાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વળી આના કોઈ પણ મૂળભૂત શક્યપ્રાપ્ય ઉકેલ હંમેશાં વધુમાં વધુ (m + n – 1) ચલોનું મૂલ્ય ધન હોય છે.

પરિવહનની સમસ્યાનું માળખું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું હોવાથી તેનો પ્રારંભિક ઉકેલ મેળવવા માટે નીચેની પદ્ધતિઓ વપરાય છે :

(1) વાયવ્ય ખૂણાની પદ્ધતિ (northwest corner rule); (2) હરોળ લઘુતમ પદ્ધતિ (row minima method); (3) સ્તંભ લઘુતમ પદ્ધતિ (column minima method); (4) શ્રેણિક લઘુતમ પદ્ધતિ (matrix minima method); (5) વૉગેલની સંનિકટન પદ્ધતિ (Vogel’s approximation method) વગેરે.

આમાંથી કોઈ પણ એક પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલો પ્રાથમિક ઉકેલ ઇષ્ટતમ છે કે નહિ તે નક્કી કરવા માટે અને જો ઇષ્ટતમ ન હોય તો તેની સુધારણા માટેની સિમ્પલેક્સ-પદ્ધતિ જેવી જ (1) સુધારેલા વિતરણની પદ્ધતિ (modified distribution method) અને (2) સ્ટેપિંગ સ્ટોન ઍલ્ગોરિધમ (stepping stone algorithm) વપરાય છે.

આ પ્રશ્નનાં અન્ય કેટલાંક સ્વરૂપો ટ્રાન્સશિપમેન્ટ સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે. વળી સમય અને ખર્ચ બેયને ન્યૂનતમ બનાવે તેવી પરિવહનની સમસ્યાઓ અને તેમના ઉકેલો માટેની પદ્ધતિઓ પણ વિકસાવવામાં આવેલી છે.

કાર્યવહેંચણીની સમસ્યા (assignment problem) : પરિવહનના પ્રશ્નના એક વિશિષ્ટ પ્રકાર તરીકે કાર્યવહેંચણી અથવા નિયુક્તિનો પ્રશ્ન ગણી શકાય જેને નીચે પ્રમાણે આલેખી શકાય :

આપેલાં n વિવિધ કાર્યો માટે n વ્યક્તિઓ ઉપલબ્ધ છે. કાર્ય i જો વ્યક્તિ j-ને સોંપવામાં આવે તો C_ij જેટલો ખર્ચ આવે છે. દરેક વ્યક્તિને માત્ર એક અને એક જ કાર્ય એવી રીતે સોંપવું છે કે જેથી તમામ કાર્યોની વહેંચણી થઈ જાય અને કુલખર્ચ ન્યૂનતમ થાય.

અહીં ચલ X_ij-ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરાય છે :

X_ij = 1 જો i-નું કાર્ય j-મી વ્યક્તિને સોંપવામાં આવે તો

     = 0 જો i-નું કાર્ય j-ની વ્યક્તિને સોંપવામાં ન આવે તો.

આ પ્રશ્નને તેથી ગણિતીય સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે આલેખી શકાય :

એવા X_ij (i = 1, 2,…. n; j = 1, 2, …. n) મેળવો કે જેથી

આ પ્રશ્નના ઉકેલ માટે એક ખાસ પદ્ધતિ હંગેરિયન ગણિતશાસ્ત્રી હિચકૉકે આપી હતી. તે અત્યંત સરળ પદ્ધતિ છે. આ પ્રશ્ન પરથી પસંદગીની નિયુક્તિ(preferential assignment) અને પ્રતિબંધિત નિયુક્તિ (constrained-assignment) વગેરેનો વિશિષ્ટ પ્રશ્નોનો ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

પૂર્ણાંક આયોજન (integer programming) : સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નના ઉકેલમાં ચલનું મૂલ્ય અપૂર્ણાંકમાં પણ હોઈ શકે છે. મોટા ભાગના પ્રશ્નોમાં ચલનું મૂલ્ય પૂર્ણાંકમાં જ હોવું જરૂરી બને છે. આવા સમયને જો ચલનું મૂલ્ય ઘણું મોટું હોય તો તેને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યા ગણી લેવામાં આવે છે અને તેનાથી આપેલ પ્રશ્નનો ઉકેલ લગભગ મળી જતો હોય છે; દા. ત., જો ચલ X₁નું મૂલ્ય 4523.5 હોય તો X₁ = 4523 અથવા X₁ = 4524 લઈ શકાય. કદાચ X₁ = 4525 લઈએ તોપણ ચાલી શકે, પરંતુ ચલનું મૂલ્ય નાનું હોય ત્યારે આવું સંનિકટ મૂલ્ય ઘણી વાર ઇષ્ટતમ ઉકેલ આપતું નથી.

વ્યૂહાત્મક સ્પર્ધાઓની સમસ્યા (strategic games problems) : કોઈ બે કે બેથી વધુ હરીફો વચ્ચે હરીફાઈની પરિસ્થિતિ હોય ત્યારે તેને સ્પર્ધા કહે છે. આવા હરીફો તરીકે કોઈ બે વ્યક્તિઓ, સમૂહો, પક્ષો, વ્યાપારી ગૃહો વગેરે હોઈ શકે છે. પ્રત્યેક હરીફને સ્પર્ધાના નિયમોની સ્પષ્ટ જાણ હોય છે તેમજ તે પોતાની રીતે સ્પર્ધા દરમિયાન કેવી ચાલ ખેલી શકે તે માટેનો સ્વતંત્ર નિર્ણય લઈ શકે છે. સ્પર્ધા દરમિયાન પ્રત્યેક હરીફ વિવિધ પ્રકારની વ્યૂહરચના અપનાવે છે, જે સરળ (pure) અથવા મિશ્ર (mixed) હોઈ શકે છે. સ્પર્ધા દરમિયાન પ્રત્યેક હરીફે અપનાવેલી વ્યૂહરચનાના વિધેય તરીકે જે તે હરીફને મળતું વળતર નક્કી થાય છે, જે ભૌતિક અથવા નાણાકીય એકમોમાં દર્શાવાય છે. આવું વળતર ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોય છે અને જુદા જુદા વળતર પ્રમાણે બે હરીફોની સ્પર્ધા માટે વળતર શ્રેણિક (pay off matrix) રચી શકાય છે. વળતર શ્રેણિકના ઘટકો જે તે વ્યૂહરચનાઓનાં વિધેય તરીકે પ્રાપ્ત થાય છે. જો સ્પર્ધામાં ભાગ લેતા તમામ હરીફોને મળતા વળતરનો સરવાળો શૂન્ય થાય તો તેને શૂન્યયોગ સ્પર્ધા (zero sum game) કહે છે; અન્યથા તે શૂન્યેતર યોગ સ્પર્ધા (non-zero sum game) તરીકે ઓળખાય છે. દ્વિ-હરીફ શૂન્યયોગ સ્પર્ધામાં બે હરીફો માટેની શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના (best strategy) નક્કી થાય છે અને તેના આધારે સ્પર્ધાનું મૂલ્ય (value of the game) પણ મેળવાય છે. દ્વિ-હરીફ શૂન્યયોગ સ્પર્ધાને સુરેખ આયોજનના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આવી સમસ્યાનો ઉકેલ લઘુ-ગુરુ અથવા ગુરુ-લઘુ સિદ્ધાંત દ્વારા મેળવી શકાય છે. તે જ પ્રમાણે કેટલીક સમસ્યાઓનો ઉકેલ આલેખ દ્વારા પણ મળે છે.

જથ્થાનું નિયંત્રણ (inventory control) : વ્યાપાર અથવા ઉદ્યોગના સફળ સંચાલન માટે તૈયાર અથવા કાચા માલનો જે જથ્થો નાનાં અથવા મોટાં વાણિજ્યગૃહો રાખે છે તેને ઇન્વેન્ટરી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નિશ્ચિત અથવા યચ્છ રીતે ઉદભવતી માગને પહોંચી વળવા માટે તથા યર્દચ્છ રીતે મળતા પુરવઠા સામે ગ્રાહકને સંતોષજનક સેવા આપી શકાય અથવા ઉત્પાદનપ્રક્રિયામાં કાચા માલની ખેંચ ઊભી ન થાય તે માટે આવી ઇન્વેન્ટરી અથવા નિશ્ચિત જથ્થો રાખવામાં આવે તો તેના આનુષંગિક ખર્ચમાં વધારો થાય અને ઓછો જથ્થો રાખવામાં આવે તો તેનાથી ઊભી થતી વારંવાર માલખેંચથી ગ્રાહકનો વિશ્વાસ જોખમાય અથવા ઉત્પાદનપ્રક્રિયામાં વારંવાર વિક્ષેપ પડે છે. જથ્થાનિયંત્રણના પ્રશ્નો તે સાથે સંકળાયેલા સઘળા ખર્ચ જેવા કે જથ્થાધારણ-ખર્ચ (inventory holding cost), વરદીનો સ્થાયી ખર્ચ (set up or replenishing cost) તથા માલની ખેંચ અંગેનો ખર્ચ (shortage cost) વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. આમાં સીધા (direct-cost) તેમજ આડકતરા (indirect) ખર્ચનો પણ સમાવેશ થાય છે. જથ્થાના નિયંત્રણની સમસ્યામાં મુખ્ય બે પ્રશ્નોના ઉત્તર અપાય છે : (i) નવો જથ્થો કેટલો રાખવો ? અને (ii) નવા જથ્થા માટેની વરદી (order) ક્યારે મૂકવી ? આ પ્રશ્નોના ઉત્તરમાંથી ‘વરદીકક્ષા’ (order level), ‘પુન: વરદીબિંદુ’ (reorder point), ‘પશ્ચાત્ સમય’ (lend time) વગેરે શબ્દોનો પ્રયોગ થાય છે અને તેને અનુરૂપ પરિરૂપો તૈયાર થાય છે. લગભગ તમામ પ્રકારની જથ્થાનિયંત્રણની સમસ્યાઓમાં મૂળભૂત પ્રશ્ન એ છે કે નિર્ણાયક ચલોની એવી ઇષ્ટતમ કિંમત મેળવવી કે જેથી કુલ ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય. આ દિશામાં સૌપ્રથમ 1915ના અરસામાં વિલ્સન નામના સંશોધકે નિશ્ચિત માગના સંદર્ભમાં આર્થિક વરદી જથ્થા માટેના પરિરૂપ(economic order quantity model)ની રચના કરી. આ પરિરૂપની રચના સ્પષ્ટ અને વિનિર્દિષ્ટ (stringent) ધારણાઓ નીચે કરવામાં આવી હતી.

આ પરિરૂપ EOQ પરિરૂપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેના માટે કુલ ખર્ચ વિધેય થાય છે.

જ્યાં    Q = જથ્થાનું કદ

        C₁ = જથ્થાનો સંગ્રહ કરવાનો એકમદીઠ એકમ સમય

              માટેનો ખર્ચ

        C₃ = જથ્થા અંગેનો સ્થાયી ખર્ચ

        R  = માગનો દર છે.

આ પરિરૂપનો ઉકેલ એટલે Q-ની એવી કિંમત Q^* મેળવવી કે જેથી C(Q^*) ન્યૂનતમ થાય.

આ માટેનું સૂત્ર   જે વિલ્સનના EOQ સૂત્ર તરીકે પ્રચલિત છે. વળી આ પરિરૂપો માટે ન્યૂનતમ ખર્ચ થાય છે અને ઇષ્ટતમ આવર્ત-સમય (optimum scheduling period)  થાય છે.

આ પરિરૂપ માટે ઉપરની આકૃતિ 3માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે

OQ = EOQ, PQ = C (Q^*) = ન્યૂનતમ ખર્ચ અને

C₁ (Q^*) = C₃(Q^*) થાય છે. જે EOQ માટેનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપે છે.

ઉદાહરણ : છૂટક કાપડ વેચતી એક દુકાનમાં દર વર્ષે 1300 મીટર જેટલું કાપડ વેચાય છે. જો માલની વરદી આપવાનો ખર્ચ પ્રત્યેક વરદીદીઠ 25 રૂ. હોય અને માલને સંગ્રહ કરવાનો ખર્ચ પ્રત્યેક એકમદીઠ 80 પૈસા દર વર્ષે થાય તો આર્થિક વરદી જથ્થો કેટલો રાખવો જોઈએ ?

ઉકેલ : અહીં    R = 1300 મીટર / વાર્ષિક

                        C₁ = 0.80 રૂપિયા / એકમ/ વાર્ષિક

                        C₃ = 25 રૂપિયા / વરદી

સૂત્ર પ્રમાણે

અને થશે.

જથ્થાના નિયંત્રણ માટેનાં પરિરૂપોને મુખ્ય બે વિભાગમાં વહેંચી શકાય છે : (1) અચળ માગ માટેનાં પરિરૂપ અને (2) યર્દચ્છ માગ માટેનાં પરિરૂપ.

અચળ માગ માટેનાં પરિરૂપમાં EOQ પછી, માલની તંગી માટેનાં, વિપુલ જથ્થા માટે વળતર અંગેનાં, સીમિત ઉત્પાદન માટેનાં વગેરે અનેક પ્રકારનાં પરિરૂપો જોવા મળે છે. યર્દચ્છ માગ ધરાવતાં પરિરૂપોમાં ચોક્કસ સમયના અંતરાલે યોગ્ય માત્રામાં વરદી મેળવવાનાં અથવા ચોક્કસ સમયાંતરે હાથ ઉપર રહેલ માલનો જથ્થો નક્કી કરી તદનુસાર નવો જથ્થો નક્કી કરવાનાં પરિરૂપો મુખ્ય છે. ઘણી વાર મોટી માત્રામાં જથ્થો ખરીદીને તે દ્વારા માલની ખરીદકિંમતમાં મળતા ઘટાડાનો લાભ લઈને પણ કુલ ખર્ચમાં ઘટાડો થાય તે પ્રકારની ગણતરી માટેનાં પરિરૂપોની પણ રચના કરવામાં આવે છે. જથ્થાનિયંત્રણના અત્યંત આધુનિક પ્રયાસોમાં શૂન્ય જથ્થા(zero inventory)નો ખ્યાલ પ્રચલિત છે, જે દ્વારા એક નવો અભિગમ પ્રાપ્ત થયો છે.

હરોળની પદ્ધતિ (queuing system) : હરોળની સંહતિને આ મુજબ વર્ણવી શકાય : કોઈ ચોક્કસ પ્રકારની સેવાની જરૂરિયાતવાળા ગ્રાહકો સેવા મેળવવા માટે સેવાકેન્દ્ર પર જાય છે. સેવાકેન્દ્ર પર રહેલા એક કે તેથી વધુ સેવકો આ રીતે આવતા ગ્રાહકોને સેવા આપે છે અને ત્યાર બાદ તે ગ્રાહકો સેવાકેન્દ્રો છોડીને જતા રહે છે. જ્યારે ગ્રાહકો સેવાકેન્દ્રમાં આવે ત્યારે જો અગાઉ આવેલ ગ્રાહકો હાજર હોય તો તેઓ હરોળમાં રાહ જુએ છે અને પોતાનો વારો આવે ત્યારે સેવક પાસેથી સેવા મેળવે છે. અહીં ગ્રાહકોનું આગમન યર્દચ્છ રીતે થતું હોય છે અને જુદા જુદા ગ્રાહક માટે થતો સેવાનો સમય પણ જુદો જુદો હોઈ શકે છે. જો ગ્રાહકના આગમનદરના પ્રમાણમાં સેવાનો દર ધીમો હોય તો સંહતિમાં લાંબી કતારો થાય છે અને તે સંહતિ માટે ખર્ચાળ અથવા નુકસાનકારક બની રહે છે. જો ગ્રાહકોના આગમનદરના પ્રમાણમાં સેવકોની સંખ્યા વધુ હોય તો તે પણ સંહતિ માટે ખર્ચાળ સાબિત થાય છે. હરોળસંહતિ સમસ્યાઓમાં ગ્રાહકોના આગમનદરના પ્રમાણમાં સેવાનો દર અથવા સેવકોની સંખ્યા એવી રીતે નિશ્ચિત કરવાનો વિચાર કરવામાં આવે છે કે જેથી તેને લગતો કુલ ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય. આ બાબતો નક્કી કરવામાં કોઈ પણ ગ્રાહકે હરોળમાં ગાળવો પડતો કુલ સરેરાશ સમય તથા કોઈ પણ સમયે હરોળમાં રહેલા ગ્રાહકોની સરેરાશ સંખ્યા જેવાં પરિમાણો અગત્યનો ભાગ ભજવે છે.

ક્રમિકતાની સમસ્યાઓ (sequencing problems) : હરોળની સમસ્યા સાથે સંકલિત એવી આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં બે યંત્રો પર m કાર્યો કે ત્રણ યંત્રો પર બે કાર્યો કરવાં વગેરે પ્રકારના પ્રશ્નો છે, જેનો ઉકેલ વિશિષ્ટ રીતે મેળવાય છે.

પુન:સ્થાપનની સમસ્યાઓ (replacement problems) : વ્યવહારમાં ઘણી વાર જૂનાં અને બિનકાર્યક્ષમ થઈ ગયેલાં અથવા નિષ્ક્રિય થઈ ગયેલાં યંત્રો, સાધનો અથવા ચીજોને સ્થાને નવાં સાધનો કે વસ્તુઓ લેવાની કે બદલવાની જરૂર પડે છે. આને લગતી સમસ્યાઓને પુન:સ્થાપન અથવા ફેરબદલીની સમસ્યાઓ કહે છે. આવી સમસ્યાઓને મુખ્યત્વે બે પ્રકારમાં વહેંચી શકાય :

(1) જેમની કાર્યદક્ષતા સમયની સાથે ઘટતી જાય, પુનર્વેચાણ મૂલ્ય (resale value) ઘટતું જાય અને મરામત તથા જાળવણીનો ખર્ચ વધતો જાય તેવાં યાંત્રિક સાધનોને કેટલા સમય પછી બદલી નાખવાં જોઈએ કે જેથી તે સાધન પાછળ કરાતો કુલ વાર્ષિક સરેરાશ ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય ?

(2) એકાએક બિનઉપયોગી કે નકામી ચીજો જેવી કે વીજળીના ગોળા, ટ્રાન્ઝિસ્ટર, ટી.વી.ના કેટલાક ઘટકો વગેરે જ્યારે નાશ પામે છે ત્યારે તેમને બદલવાં પડે છે. કોઈ એક વિશાળ સંહતિમાં આવી નાશ પામેલ ચીજોના અનેક એકમો હોય ત્યારે તેમને બદલવા માટેની બે પ્રકારની પદ્ધતિઓ છે. પ્રથમ પદ્ધતિમાં કોઈ એક જ ચીજ જ્યારે નાશ પામે ત્યારે તેને બદલવાની પદ્ધતિ વપરાય છે. વળી જૂના સાધનને સ્થાને નવો સુધારેલ એકમ બજારમાં આવે તો તેને બદલવો કે કેમ અને ક્યારે બદલવો તેને માટે વ્યક્તિગત પુન:સ્થાપનનો સિદ્ધાંત ઉપયોગમાં લેવાય છે.

બીજી પદ્ધતિમાં જ્યારે કોઈ એકમ નાશ પામે ત્યારે તેને બદલવા ઉપરાંત નાશ પામેલા કે નહિ પામેલા સઘળા એકમોને ચોક્કસ સમયગાળે બદલી નાખવાની રીત વપરાય છે. આને સામૂહિક પુન:સ્થાપન (group replacement) કહે છે. એક એકમની વ્યક્તિગત ફેરબદલી કરતાં સામૂહિક ફેરબદલીમાં એકમદીઠ સરેરાશ ખર્ચ ઓછો આવતો હોવાથી મોટે ભાગે સામૂહિક ફેરબદલીની પદ્ધતિ સરવાળે ઓછી ખર્ચાળ પડે છે. આ માટે એકમોના નાશ પામવાના દર(એટલે કે મૃત્યુદર)ને આધારે અને વ્યક્તિગત એકમની ફેરબદલી અને સામૂહિક ફેરબદલી માટેનો ઇષ્ટતમ સમયગાળો નક્કી કરાતો હોય છે. મોટાં ઔદ્યોગિક, સરકારી અથવા વાણિજ્યગૃહોમાં નિવૃત્તિ અથવા આકસ્મિક અવસાનને કારણે કર્મચારીની ફેરબદલી અથવા પુન:સ્થાપન કરવું પડે છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં પણ ફેરબદલીના સિદ્ધાંતોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરીને કર્મચારીઓની નિવૃત્તિને લગતા પ્રશ્નોનો ઉકેલ મેળવી શકાય છે. વ્યાપક ર્દષ્ટિએ જોતાં પુન:સ્થાપનની સમસ્યાનો એક વિશાળ વર્ગ છે અને તેની અનેકવિધ ઉપયોગિતા છે.

ઉદાહરણ : એક યંત્રને 60,000 રૂપિયામાં ખરીદેલ છે. દર વર્ષે તેનો મરામતખર્ચ અને તેના પુનર્વેચાણની કિંમત નીચે દર્શાવેલી છે :

વર્ષ	1	2	3	4	5	6	7	8
મરામત- ખર્ચ (રૂ.)	1000	1200	1400	1800	2300	2800	3400	4000
પુનર્વેચાણ કિંમત (રૂ.)	3000	1500	750	375	200	200	200	200

પ્રશ્ન એ છે કે આ યંત્રની બદલી ક્યારે કરવી જોઈએ ?

અહીં વપરાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, એમ નક્કી કરાય છે કે પાંચમા વર્ષને અંતે આ યંત્રને સ્થાને નવું યંત્ર વસાવવું જોઈએ જેથી સરેરાશ કુલ ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય.

કૃત્રિમ પરિરૂપરચના (simulation) : કોઈ સંહતિના ઘટકો વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ કરવા માટે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. જ્યારે મૂળ પ્રશ્નનું ગણિતીય પરિરૂપ શક્ય હોતું નથી ત્યારે યર્દચ્છ સંખ્યાઓની મદદથી પ્રશ્નનું વાસ્તવિક પરંતુ કૃત્રિમ પરિરૂપ રચીને મૂળ પ્રશ્નના ઘટકો અથવા અસરકારકતાના માપનો અભ્યાસ કરી શકાય છે; દા.ત., એક બૅંકમાં આવતા ગ્રાહકોની સરેરાશ સંખ્યા, ગ્રાહકોને સેવા આપતાં લાગતો સરેરાશ સમય, સેવક કેટલો સમય નિષ્ક્રિય રહે છે તેનું આગણન વગેરે પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કૃત્રિમ પરિરૂપરચના દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ પદ્ધતિઓના ઉપયોગ દ્વારા બે પ્રકારના પ્રશ્નોના અભ્યાસ થઈ શકે છે. પ્રથમ પ્રકારમાં ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર વગેરે મૂળભૂત વિજ્ઞાનનાં ક્ષેત્રોમાં આવતા પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરી શકાય છે. તે જ પ્રમાણે વ્યાવહારિક સમસ્યાઓ જેવી કે ઔદ્યોગિક ક્ષેત્ર, આર્થિક અને સામાજિક સમસ્યાઓ, યુદ્ધ અને વ્યૂહરચનાની સમસ્યાઓ વગેરેમાં આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. આનો એક પ્રકાર મૉન્ટી કાર્લો પદ્ધતિ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ : એક ઉત્પાદનપેઢી એક ચીજવસ્તુ x-નું વેચાણ કરે છે જેની માગનું સમીકરણ x = 10 – 0.2p છે. અહીં ઉત્પાદનના જથ્થા x-નું વિતરણ પ્રમાણ્યવિતરણ છે એમ આગળના અનુભવ પરથી જાણવા મળે છે અને તેનો મધ્યક દર માસે 5000 એકમ અને પ્રમાણિત વિચલન દર માસે 1000 એકમ છે. બે વર્ષના ગાળા માટે આવા ઉત્પાદન માટેની સરેરાશ માસિક આવક કેટલી થશે તેનું આગણન કરો.

આવા પ્રશ્નના ઉકેલ માટે ઉપરની પદ્ધતિ વાપરી શકાય છે.

અરેખીય આયોજન (non-linear programming) : અરેખીય આયોજનની સમસ્યામાં હેતુલક્ષી વિધેય અને/અથવા જે તે અવરોધકો પણ અરેખીય હોઈ શકે છે તેમજ ચલરાશિઓની કિંમત પર કોઈ પ્રતિબંધ હોય કે ન પણ હોય અને હેતુલક્ષી વિધેયની ઇષ્ટતમતા માટેનો વિચાર કરવામાં આવે તેને માટે કુહન-ટકરની શરતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો પ્રચલિત અને સરળ સ્વરૂપમાં નીચેની અરેખીય સમસ્યા દર્શાવી હોય :

x = (x₁, x₂, ……. x_n) મેળવો કે જેથી

Z = F () મહત્તમ થાય અને

-g() ≤ 0 બને તો આ માટેની કુહન-ટકર શરતો નીચે પ્રમાણે છે :

∇f () – λ ∇ () = 0

    λi gi (x) = 0 (i = 1, 2, ….. m)

    g () ≤ 0

    l ≥ 0

આ માટે હેતુલક્ષી વિધેય અને અવરોધકો માટેની અંતર્ગોળતા(concavity)ની શરતો સંતોષાવી જોઈએ. ઉપરની શરતો લાગ્રાન્જેની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલી છે.

અસુરેખ આયોજનની સમસ્યાનો ઉકેલ (માત્ર બે ચલો માટે) આલેખની પદ્ધતિથી થઈ શકે છે. અહીં પ્રત્યેક પ્રશ્ન પ્રમાણે ઉકેલનું સ્વરૂપ બદલાય છે. સુરેખ આયોજનની માફક અહીં કોઈ એક સામાન્ય પદ્ધતિ જોવા મળતી નથી.

અસુરેખ આયોજનની સમસ્યાઓને અનેક જુદા જુદા પ્રશ્નો પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય. આમાંની કેટલીક સમસ્યાઓની યાદી નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલી છે :

(1)     વિભાજ્ય આયોજન (separable programming)

(2)     બહિર્મુખ આયોજન (convex programming)

(3)     વિભાજ્ય બહિર્મુખ આયોજન (separable convex programming)

(4)     વર્ગાત્મક આયોજન (quadratic programming)

(5)     ભૌમિતિક આયોજન (geometric programming)

(6)     અપૂર્ણાંકીય આયોજન (fractional programming)

(7)     લક્ષ્ય-આયોજન (goal programming)

(8)     સંભવિત આયોજન (stochastic programming)

(9)     સુરેખ વરણીઓની પદ્ધતિ (linear combinations method)

(10)    ક્રમિક અબાધિત મહત્તમીકરણની પદ્ધતિઓ (sequential unconstrained maximisation techniques – SUMT Algorithms) વગેરે.

ઉપર દર્શાવેલી વિવિધ સમસ્યાઓ માટે અલગ અલગ પદ્ધતિઓ પણ મેળવવામાં આવી છે; જેમ કે, વર્ગાત્મક આયોજનની સમસ્યા માટે વુલ્ફની પદ્ધતિ, બિલની પદ્ધતિ વગેરે પ્રચલિત છે. વર્ગાત્મક આયોજન વ્યવહારમાં ઘણી વાર વપરાતું જોવા મળે છે; જેમ કે, કુલ આમદાની મહત્તમ થાય તે માટેની સમસ્યા. અહીં માગનું સમીકરણ રેખીય છે એમ સ્વીકારી લઈએ તો કુલ આમદાની વિધેયનું સ્વરૂપ વર્ગાત્મક થશે. તે જ પ્રમાણે અપૂર્ણાંકીય આયોજનની સમસ્યાને પણ સુરેખ આયોજનની સમસ્યા તરીકે દર્શાવી શકાય છે. સંભવિત આયોજનનું ઘણું વિશાળ ક્ષેત્ર છે અને વ્યવહારમાં અનેક સ્વરૂપે તે જોવા મળે છે. આ જ રીતે અન્ય પ્રકારની સમસ્યાઓ પણ જોવા મળે છે.

બહુપદિક આયોજન (dynamic programming) : બહુપદિક આયોજન એ સામાન્ય રીતે વિશિષ્ટ પ્રકારની ગણિતીય સમસ્યાઓની ગણતરીની દક્ષતા સુધારવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી એક ચોક્કસ ગણિતીય પદ્ધતિ છે. આ પદ્ધતિમાં મૂળ સમસ્યાને પેટા સમસ્યામાં વિભક્ત કરી નાખવામાં આવે છે જેથી તેની ગણતરી સરળ બને છે. બહુપદિક સમસ્યા વિવિધ પદ કે સ્તરમાં આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવવાની પદ્ધતિ છે. અહીં દરેક સ્તરે માત્ર એક જ ચલનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય મેળવાય છે. આ પ્રમાણે મેળવેલા ઉકેલને આવર્તિત સંબંધ (recursive relation) દ્વારા દર્શાવાય છે, જેના આધારે સમગ્ર સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવી શકાય છે. કેટલીક વાર આ સમસ્યાઓને ગતિશીલ (dynamic) સમસ્યાઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે; કારણ કે તેના આધારે લીધેલા નિર્ણયો સમયાનુસાર બદલાતા હોય છે, તેમ છતાં વ્યાપક સ્વરૂપમાં જોઈએ તો તબક્કાવાર નિર્ણય લેવાની આ પદ્ધતિને કારણે તેનું નામ બહુપદિક આયોજન તરીકે વધુ સાર્થક છે. આવા પ્રશ્નમાં રિચાર્ડ બેલમૅનનો ઇષ્ટતાનો સિદ્ધાંત વપરાય છે, જે મૂળભૂત રીતે એમ દર્શાવે છે કે આપેલી સમસ્યાને યોગ્ય રીતે વિવિધ તબક્કામાં ફેરવી શકાય કે જેથી આવર્તિત ગણતરીઓ સરળ બને. પ્રત્યેક સમસ્યાના સ્વરૂપ પ્રમાણે તેના ઉકેલની પદ્ધતિ બદલાય છે, જેના લીધે આવી સમસ્યાઓનું કોઈ એક વ્યાપક સ્વરૂપ નિયત કરી શકાતું નથી. આ પદ્ધતિના ઉપયોગથી જથ્થાનિયંત્રણ, હરોળના પ્રશ્નો, અસુરેખ આયોજન વગેરેના જટિલ જણાતા પ્રશ્નો ઉકેલી શકાય છે.

ઉદાહરણ : આપેલી કોઈ સંખ્યા m-ને એવા n ભાગોમાં વહેંચી આપો કે જેથી તે તમામનો ગુણાકાર મહત્તમ થાય.

ઉકેલ : ધારો કે આ બધા ભાગો

x₁, x₂, ….. x_n છે.

ધારો કે Fn(m) =   મહત્તમ પ્રાપ્ય ગુણાકાર – જ્યારે સંખ્યા

                    mને n ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે ત્યારે.

        તેથી n = 1 મૂકતાં F₁(m) = m………………………….(i)

        હવે n = 2 હોય ત્યારે F₂(m) = Max [y₂f₁ (m-y)] (ii)

                0 ≤ y ≤ m

        તેથી F₂(m) = Max [y (m-y)]………………………….(iii)

                0 ≤ y ≤ m

        વિકલન કરવાથી (iii) પરથી y = m₂ મળશે.

     

                0 ≤ y ≤ m

જે આવર્તિત સમીકરણ છે. અગાઉની જેમ જ ઉકેલ મેળવતાં છેવટે

એટલે કે પ્રત્યેક ભાગ જો જેટલો હોય તો આવો મહત્તમ ગુણાકાર   જેટલો થશે.

જાલીય પૃથક્કરણની સમસ્યાઓ : સામાન્ય રીતે આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં એક ઉદભવસ્થાન(source)માંથી એક નિર્દિષ્ટ સ્થાન (sink) તરફ વિવિધ માર્ગો દ્વારા ગતિશીલતાના પ્રશ્નની ચર્ચા થાય છે. આવા માર્ગોમાંથી પ્રવાહ રૂપે કે સમય અનુસાર અથવા ખર્ચ અનુસાર વિગતો આપેલી હોય છે અને આ પ્રમાણે બનતી જાલાકૃતિ (network diagram) પરથી મહત્તમ પ્રવાહ (maximum flow) નક્કી કરાય છે અને તે માટેનો ઇષ્ટતમ માર્ગ મેળવાય છે. ‘નોડ’ તરીકે ઓળખાતાં વિવિધ સ્થાનો ઓળખવા માટે નામકરણપદ્ધતિ (labelling method) વપરાય છે. ઉકેલ મેળવવા માટે મહત્તમ પ્રવાહ, ન્યૂનતમ કાપ(maximum flow – minimum cut)નો સિદ્ધાંત વપરાય છે. શ્રેણિક ઉકેલની પદ્ધતિ (matrix solution method) વપરાય છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નોનાં વિવિધ સ્વરૂપો છે; જેમ કે, પરિવહનની સમસ્યા, મુસાફરી કરતા સેલ્સમૅનની સમસ્યા વગેરે.

જાલીય પૃથક્કરણની સમસ્યાના સિદ્ધાંત માટે આલેખનો સિદ્ધાંત (theory of graphs) વપરાય છે. આવી સમસ્યાઓના વિશિષ્ટ પ્રકાર તરીકે કટોકટીના માર્ગની પદ્ધતિ (critical path method) અને કાર્યક્રમ મૂલ્યાંકન ચકાસણી પદ્ધતિ (programme evaluation review technique – PERT)નો ઉલ્લેખ કરી શકાય. આ માટે પુન:પ્રવેશ (forward-pass) અને પશ્ચાત્-પ્રવેશ(backward pass)ની રીત વપરાય છે.

ઉદાહરણ : એક કંપની તેના એક મોટા પ્રોજેક્ટ માટે વિવિધ પ્રવૃત્તિઓ હાથ ધરવા માગે છે. આ માટેની PERT જાલાકૃતિ માટે ત્રણ પ્રકારના સમય (દિવસોમાં) જે તે પ્રવૃત્તિ પૂરી થાય તે માટેનો ગાળો દર્શાવે છે :

સમયનું આગણન

પ્રવૃત્તિ	આશાસ્પદ સમય (a)	સામાન્ય સમય (m)	નિરાશાત્મક સમય (b)	*સરેરાશ સમય (T)
10-20 10-30 20-30 20-40 30-40 30-50 40-60 50-60	2 4 2 2 0 3 6 1	6 8 4 3 0 6 10 3	10 12 6 4 0 9 14 5	6 3 4 3 0 6 10 3
* સૂત્ર : સરેરાશ સમય =

આવી PERT પ્રકારની જાલીય આકૃતિ નીચે દર્શાવી છે. અહીં એ નોંધીએ કે આ માટેનું સૈદ્ધાન્તિક વિતરણ બીટા વિતરણ છે. આ માહિતી માટે યોગ્ય જાલ-આકૃતિ દોરવાની છે અને તે પરથી CPM દ્વારા આખોયે પ્રોજેક્ટ વધુમાં વધુ કેટલા સમયમાં પૂરો થાય તે નક્કી કરવાનું છે. આનો ઉકેલ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

ઉપરની આકૃતિ પરથી જણાશે કે કટોકટીનો માર્ગ નીચે મુજબ છે :

10 — 20 — 30 — 40 — 60 અને આ સમગ્ર પ્રોજેકટ વધુમાં વધુ કુલ 20 દિવસમાં પૂરો થશે.

નિર્ણય–સિદ્ધાન્ત (decision theory) : વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં ઘણી વાર કોઈ એક ક્રિયાગણ (action space) Aમાંથી કોઈ એક ક્રિયા a ∈ A પસંદ કરવાની હોય છે. દરેક ક્રિયાને ભવિષ્યમાં બનનારી કોઈ એક ઘટના θ સાથે સાંકળી શકાય. શક્ય તેટલી બધી જ ઘટનાઓના ગણને H વડે દર્શાવાય છે. હવે ઘટના ભવિષ્યકાળમાં બનવાની છે; પરંતુ ક્રિયા તો તે અગાઉ પસંદ કરવાની હોય છે. કોઈ પણ ક્રિયા a ∈ A પસંદ કરવામાં આવે અને તે પછી ભવિષ્યની ઘટના θ ε બને તો તેને લીધે કાં તો આવક P (a, θ) થાય અથવા નુકસાન R (a, θ) થાય. દરેક a ∈ A અને θ ε માટે P (a, θ) અથવા R (a, θ)નું મૂલ્ય જ્ઞાત હોય છે. આ પ્રશ્નમાં ભવિષ્યમાં થનારી ઘટનાના સંદર્ભમાં હાલ કઈ ક્રિયા પસંદ કરવી તે બાબતમાં નિર્ણયના સિદ્ધાન્તો મદદરૂપ થઈ પડે છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નના ઉકેલ માટે ગુરુ-લઘુ (maxi-min.) અથવા લઘુ-ગુરુ (mini-max), બેઇ(Baye)નો, લાપ્લા, સાલ્વેજનો લઘુ-ગુરુ સિદ્ધાન્ત (Salvage’s mini-max principle) વગેરેનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ : એક બહુરાષ્ટ્રીય કંપનીને તેના વિવિધ વિસ્તરણ પ્રોજેક્ટ માટેનાં રોકાણ અંગે નિર્ણયો લેવાના છે. આવાં રોકાણ ભવિષ્ય માટે કરવાનાં છે અને તે માટેની પ્રાકૃતિક પરિસ્થિતિઓ (states of nature) માટેની અટકળ કરવામાં આવે છે. નીચેના કોઠામાં જે તે પ્રકારના નિર્ણયો, વિવિધ પ્રાકૃતિક પરિસ્થિતિઓ અને પ્રત્યેક નિર્ણય તેમજ પ્રાકૃતિક પરિસ્થિતિની સાથે સંકળાયેલ વળતરનો દર (rate of return) આપેલાં છે :

પ્રાકૃતિક પરિસ્થિતિઓ
નિર્ણય	m1	m2	m3
d1 d2 d3 d4	17 18 21 19	15 16 14 12	8 9 9 10
(સંખ્યા ટકાવારીમાં છે.)

આ કંપનીને પ્રાકૃતિક પરિસ્થિતિઓ અંગેની સંભાવના માટે કોઈ માહિતી નથી. કંપની કયા પ્રકારનો નિર્ણય લઈ શકે ?

આ પ્રકારના અનેક જાતના પ્રશ્નોનો ઉત્તર નિર્ણયના સિદ્ધાન્તોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

ભરત ભીખાલાલ જાની

યશવંત શાહ