કક્ષીય યાંત્રિકી

કક્ષીય યાંત્રિકી (orbital mechanics) : અવકાશી કક્ષામાં તરતા મૂકેલા પદાર્થની શક્ય તમામ ગતિઓનું સર્વેક્ષણ કરીને એ ઉપરથી સંશોધન માટેના અપેક્ષિત તંત્રના ભાવિ પ્રવર્તન પરત્વે જાણકારી આપતો ગતિવાદ.

ગ્રહોની ગતિના કૅપ્લરના નિયમો, કોપરનિકસ, ટાઇકોબ્રાહે અને ગેલિલિયોનું અવકાશી યાંત્રિકી અંગેનું પ્રદાન વગેરે ન્યૂટનના નિયમોનાં પરિણામોનાં વિશિષ્ટ સ્વરૂપો છે. ન્યૂટને આ બધા કાર્યને સંકલિત કરી અમૂર્ત સૂત્રો આપ્યાં. ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ગતિવાદના પ્રશ્નોમાં ઉપયોગ કરી, કલનગણિતની મદદથી અવકાશી પદાર્થોના વર્તન અંગેની વૈજ્ઞાનિક ચર્ચા થઈ શકે છે. તેની મદદથી અવકાશયાનની કક્ષાની ગણતરી શક્ય બને છે. પ્રાકૃતિક આકાશી પદાર્થોનાં અવલોકનો અને અવકાશયાન વિમોચનની કેટલીક જરૂરી શરતોનો ઉપયોગ કરી, વિકલ સમીકરણો રચીને તેને ઉકેલવામાં આવે છે. આને પરિણામે કોઈ ઉપગ્રહના સ્થાનનો સમય, અવકાશયાન મોકલવાની પ્રારંભિક શરતો, ધૂમકેતુની કક્ષાની આગાહી વગેરે માહિતી મેળવી શકાય છે.

પ્રાચીન બૅબિલોનિયન જ્યોતિષીઓ, ધર્મગુરુઓ મુખ્યત્વે નરી આંખે ગ્રહોની ગતિનું અવલોકન કરતા. (સૂર્ય, ચંદ્ર તે વખતે ગ્રહો ગણાતા.) તેમણે રાશિચક્ર ચિહનો (signs of zodiac) શોધ્યા અને વસંતસંપાતનું વિષુવાયન (vernal equinox) પણ નિશ્ચિત કર્યુ. પરંતુ ત્યારે ગ્રહોની ગતિના નિરૂપણ સંબંધી પ્લૅટોના પ્રશ્નના બે તાત્વિક ઉકેલ હતા. એક ઉકેલ ઍરિસ્ટૉટલના 55 ગોલકોમાં અને બીજો ટૉલેમિક તંત્રમાં. આજે પ્લૅટોનો પ્રશ્ન ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢીને આસાદન (approximation) તરીકે લેતાં ફુરીઅર વિશ્લેષણના એક પ્રશ્ન તરીકે વિચારી શકાય. ઍરિસ્ટૉટલની કલ્પના અનુસાર પૃથ્વી(કેન્દ્રસ્થાન)ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા ગ્રહો અને તારાઓ ગતિ કરે છે, એમ માનવામાં આવતું. ગતિશાસ્ત્રના ખ્યાલ વગરનું ટૉલેમિક તંત્ર તે વિષય માટેની ગતિચિત્રવિષયક સૈદ્ધાંતિક રીત માત્ર હતી, જે પછીથી ભૂલભરેલું ગણાયું. પ્રાચીન ગ્રીક ખગોળવેત્તાઓ ખાસ કરીને ઍરિસ્ટાકસે સૂર્યમાળામાં સૂર્યને કેન્દ્ર ગણતી વ્યવસ્થાને અનુમોદન આપ્યું (લગભગ ઈ. પૂ. 270). સૂર્યમાળામાં સૂર્યને કેન્દ્ર ગણતો સુસંગતતાવાદ સોળમી સદીમાં નિકોલસ કોપરનિકસે સિદ્ધ કર્યો.

પૃથ્વીને કેન્દ્રમાં રાખેલા વર્તુળ ઉપર સૂર્ય અને ચંદ્ર ગતિ કરે છે અને બીજા ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે એવો ખ્યાલ ટાઇકોબ્રાહેએ રજૂ કર્યો. આ પરથી કૅપ્લરે ઈ. સ. 1618માં કૅપ્લરના ત્રણ નિયમો આપ્યા. કૅપ્લરનો સમકાલીન ગૅલિલિયો તેનાં અવલોકનો (જેમાં ગુરુના ઉપગ્રહોમાંના ચારની શોધનો સમાવેશ થાય છે) માટે વિખ્યાત હતો. આધુનિક ગતિશાસ્ત્રના ખ્યાલો એ તેનું મુખ્ય પ્રદાન હતું. ન્યૂટનના બે નિયમો વિશે ન્યૂટન પહેલાં ગૅલિલિયોએ આગાહી કરેલી એવું તેનાં અવલોકનો પરથી પ્રતીત થાય છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રણ નિયમો અને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમથી અવકાશી યાંત્રિકીના વિષયને નવો વેગ મળ્યો.

ગતિશાસ્ત્રમાં ન્યૂટોનીય પદ્ધતિથી ગતિનાં સમીકરણ ઉકેલવા માટે પદાર્થની સ્થિતિને સમયના વિધેય (function) તરીકે લઈ સ્પષ્ટ પદાવલીઓ (expressions) શોધવાની હોય છે. અવકાશી યાંત્રિકીના સરળતમ પ્રશ્નો માટે જ આ શક્ય છે. વ્યવહારમાં તો ક્રમિક આસાદન અને શ્રેઢીના ઉકેલનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. શ્રેઢી ઉકેલ કાં તો ટૂંકા ગાળા માટે મળે અથવા વ્યાપક ઉકેલના ગુણધર્મ ન મળે. ગતિશાસ્ત્રના વિકાસના બીજા તબક્કે ગુણાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો. એચ. પોંઈકેર તેમાં નિષ્ણાત હતા. ગુણાત્મક રીતોમાં ગતિનું આંકડાકીય નિરૂપણ મળતું નથી. આમ પોંઈકેર અને તેના અનુગામીઓનાં પ્રદાન વ્યાવહારિક કરતાં સૈદ્ધાંતિક વધારે હતાં.

આધુનિક પદ્ધતિ : અવકાશી યાંત્રિકીના વિષયમાં ગુણાત્મક (qualitative), માત્રાત્મક (quantitative) અને ઔપચારિક (formalistic) પદ્ધતિઓની અગત્ય સ્વીકારાઈ છે. ગુણાત્મક પદ્ધતિમાં ઘનિષ્ઠ ગણિતીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. શ્રેઢી વિસ્તરણ, શ્રેઢીઓના ગુણાકાર વગેરેમાં કમ્પ્યૂટરોની ક્ષમતાને કારણે આ પદ્ધતિ હવે આકર્ષક બની છે. તુલનાત્મક પદ્ધતિમાં કમ્પ્યૂટરનો ઉપયોગ થતો હોવાથી ખગોળવેત્તાઓ, અવકાશી ઇજનેરો વગેરેને કેટલાક પ્રશ્નોના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં (જેમ કે ગ્રહોમાં પંચાંગ, ખગોળશાસ્ત્રના n-પદાર્થોના પ્રશ્નનો વિશિષ્ટ ઉકેલ, ચંદ્ર પરના પ્રક્ષેપકનો માર્ગ વગેરે) ઉપયોગી છે.

અવકાશી યાંત્રિકીની આધુનિક પ્રસિદ્ધિ અને પ્રભાવ એ ઇલેક્ટ્રિક કમ્પ્યૂટરના વિકાસ ઉપરાંત અવકાશમાં ખોજશલાકા (probes) અને ઉપગ્રહોના સફળ પ્રમોચનને આભારી છે. અગાઉ ભૌતિક પ્રયોગપદ્ધતિમાં વિશ્વનું માત્ર અવલોકન થઈ શકતું હતું. હવે ઉપગ્રહોને યોગ્ય કક્ષામાં મૂકી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષીય ક્ષેત્રની માહિતી મેળવી શકાય છે. કમ્પ્યૂટરો વડે સંખ્યાત્મક પ્રયોગો પણ શક્ય બન્યા છે. આમ આકાશી યાંત્રિકીની ર્દષ્ટિએ શક્ય તેવી તમામ ગતિઓનું સમગ્રપણે સર્વેક્ષણ કરી તે પરથી સંશોધનના ભાવિ પ્રવર્તન અંગે માહિતી નક્કી થઈ શકે છે. જુદા જુદા પ્રારંભિક વેગ સાથે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની કક્ષાઓ જુદી જુદી હોય છે. અમુક દિશામાં અમુક ઝડપથી ફેંકેલા પદાર્થની કક્ષાની આગાહી કરી શકાય તો પરિણામની ગતિઓનું સર્વેક્ષણ થઈ શકે. જેમ કે ઍપૉલો અવકાશયાનની કક્ષા એવી યોજેલી કે જેથી અવકાશયાત્રીઓ ચંદ્ર પર ઊતરી સહીસલામત પૃથ્વી પર પાછા આવી શકે. આમ નક્કી કરેલ યોજનાની જરૂરિયાત મુજબ વિવિધ કક્ષાઓ શક્ય છે, જેનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરી લઘુતમ સમય કે લઘુતમ બળતણનો વપરાશ થઈ શકે તેવો અનુકૂળ માર્ગ પસંદ થાય છે. કમ્પ્યૂટર વડે આ શક્ય છે. પૃથ્વી, ચંદ્ર અને અવકાશયાનની ત્રિ-પિંડ સમસ્યા (three body problem) વણઊકલી છે. અવકાશયાનની કક્ષાનું નિરૂપણ કરતાં અંતરૂપસૂત્રો (closed forms) ઉપલબ્ધ નથી, પણ કમ્પ્યૂટર દ્વારા સંખ્યાત્મક ઉકેલો અને શક્ય એવી સર્વ કક્ષાઓની માહિતી મળે છે. ઍપૉલો ઉડ્ડયનમાં ગતિતંત્રના ત્રણ પદાર્થોમાંના બે પૃથ્વી અને ચંદ્રની કક્ષા પ્રથમથી કમ્પ્યૂટર ગણિત પંચાંગો(emphemerides)થી ઉપલબ્ધ હતી. યાન છોડવાની તારીખ, સ્થળ અને તેના પ્રારંભવેગનાં માન અને દિશા જેવી પ્રારંભિક શરતોની વિગતો જાણીને અવકાશયાનની ગતિનું સંખ્યાત્મક રીતે સંકલન થઈ શકે એટલે કે વિકલ સમીકરણો છોડી શકાય. આવા અનેક પ્રક્ષિપ્ત માર્ગો કમ્પ્યૂટર દ્વારા ત્વરાથી ગણી શકાય છે અને તેમાંનો ઉત્તમ માર્ગ પસંદ કરી શકાય છે. કયા ગ્રહ અથવા ઉપગ્રહની કક્ષા સ્થિર છે, કઈ પ્રારંભિક શરતોથી પુન: એ જ આલેખન કરતી કક્ષાઓ મેળવી શકાય અને તારકત્રય પદ્ધતિ કઈ શરતો નીચે દ્વિતારક અને ભાગતા (escaping) તારકમાં પરિવર્તિત થશે વગેરે બાબતો પરત્વે સંખ્યાત્મક પ્રયોગો કરવાનું શક્ય બન્યું છે.

નવી સમસ્યાઓ ઉકેલવાના પ્રયત્ન દરમિયાન ઉદભવતી ક્રિયાત્મક જરૂરિયાતો (operational requirements) સંતોષવા માટે ગણતરીની યુક્તિઓમાં ઉત્તરોત્તર વિકાસ થવો આવશ્યક છે. અવકાશખોજશલાકાની પ્રવૃત્તિમાંથી ઉદભવતી અગત્યની સમસ્યાઓ અંતરૂપ ધરાવતી રીતો દ્વારા હલ થાય છે અને કક્ષાઓની ચોક્કસ ગણતરી મળે છે. અવકાશયાન નિશાન કરેલા ગ્રહ કે ઉપગ્રહની નજીક હોય ત્યારે કક્ષાની આગાહી અંગે અત્યંત ચોકસાઈની જરૂર પડે છે, પણ જ્યારે યાન ગુરુત્વાકર્ષણનાં કેન્દ્રો વચ્ચે ગતિ કરતું હોય ત્યારે એટલી ચોકસાઈની જરૂર રહેતી નથી. લઘુગ્રહો (asteroids) કે ધૂમકેતુ સાથે કેટલીક વાર અંતરૂપ ઉકેલ પ્રાપ્ત થાય છે. ચોક્કસ કક્ષાગણતરીની મૂળ પદ્ધતિઓમાં યોગ્ય સુધારા કરવામાં આવે છે. હેન્સેનની આંશિક કોણીય પદ્ધતિ આ પ્રકારની છે. એમાં કક્ષાને ખંડોમાં વિભાજિત કરીને પ્રત્યેક ખંડ પર જુદા જુદા ચલ વડે ગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સૂર્યમાળામાં પદાર્થો વચ્ચેના સાપેક્ષ અંતરમાં થતો ફેરફાર અવકાશયાનના પ્રકારમાં હોય તેટલો મોટો હોતો નથી. બે પદાર્થો નજીક આવે ત્યારે ન્યૂટોનીયન બળક્ષેત્ર ઘણું મોટું થઈ જાય છે, સાપેક્ષ વેગ અને પ્રવેગ પણ મોટા થાય છે. પરિણામે ગણતરીની નજીવી ભૂલો મોટી થઈ જાય છે. આથી ગણતરીમાં ચોકસાઈ રહેતી નથી. ગતિનું નિરૂપણ કરતા ચલની યોગ્ય પસંદગીથી આવી વિચિત્રતા નિવારી શકાય છે. ટી. લેવી, સીવીટા, એચ. પોંઈકેર અને કે. એફ. સુંડમને તે શોધી હતી. આ પદ્ધતિથી ગણતરીની ક્રિયાઓને સ્થિરતા પ્રાપ્ત થાય છે, કમ્પ્યૂટર ઉકેલમાં ઝડપ આવે છે અને ગણતરીમાં ભૂલો ઓછી થાય છે. આ પદ્ધતિ અમુક અંશે કૅપ્લરને જ્ઞાત હતી. સ્પષ્ટ કોણ ∠ GSP = f, કક્ષા પરના રેડિયનમાં દર્શાવેલા સમયનું કોણીય માપ દર્શાવતો મધ્યમ કોણ ∠ FSP, આ બે કોણની સાથે તેણે ઉત્કેન્દ્રકોણ ∠ GCS = uનો ઉપયોગ કર્યો. (સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ એક કક્ષા પૂર્ણ કરે ત્યારે તેનો મધ્યમ કોણ 2π જેટલો વધે છે.)

ચંદ્ર ઉપરના પ્રક્ષિપ્તમાર્ગની ગણતરીમાં અને આધુનિક અવકાશ ગતિવાદના બીજા પ્રશ્નોની ગણતરીઓમાં ઉત્કેન્દ્રકોણનો ચલ તરીકે ઉપયોગ સફળતાપૂર્વક થાય છે.

બે પદાર્થોનો પ્રશ્ન અને વિક્ષોભ (perturbation) : બે પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષીય આકર્ષણ કરતા પદાર્થોની કક્ષા ગતિની પ્રારંભિક શરતો ઉપર આધાર રાખે છે અને તે મુજબ કક્ષા ઉપવલય, અતિવલય કે પરવલય હોય છે. ઉપવલયી કક્ષામાંથી વિચલન(deviation)માં પરિણમતી અસરને વિક્ષોભ કહે છે. પ્રાકૃતિક અને કૃત્રિમ ઉપગ્રહોની કક્ષાઓ પર જો વિક્ષોભની અસર ન હોય તો કક્ષા ઉપવલય હોય છે. દા.ત., સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની ગતિમાં ગુરુની ગુરુત્વાકર્ષીય અસર તે વિક્ષોભ છે. ત્રીજા પદાર્થ સિવાયની બીજી અસરોથી પણ ઉપવલયી કક્ષામાં વિચલન પેદા થાય છે. પૃથ્વી સમરૂપ, સમકેન્દ્રીય, ગોલીય કવચની બનેલી નથી અને તેનું દ્રવ્ય અસમમિત છે તેથી પૃથ્વીની નજીકના ઉપગ્રહોની કક્ષા વિક્ષોભિત ઉપવલય ગણાય. પૃથ્વીની નજીકના ઉપગ્રહોની કક્ષાના બીજા વિક્ષોભ વાતાવરણથી પેદા થાય છે. વાતાવરણીય અસરો ઉપવલયી કક્ષાને વર્તુળાકાર કરવા પ્રયત્ન કરે છે અને જ્યાં સુધી ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીને અડકે નહિ અથવા વાતાવરણમાં પ્રવેશી ગરમીથી નાશ પામે નહિ ત્યાં સુધી તેની ઊંચાઈ ઘટાડવા પ્રયત્ન કરે છે. સૂર્યવિકિરણનું દબાણ પણ વિક્ષોભકારી હોય છે. આ દબાણ મોટા, હલકા બલૂન પ્રકારના ઉપગ્રહો માટે અગત્યનું છે. જ્યાં સુધી ઉપગ્રહ વિનાશ ન પામે ત્યાં સુધી વિકિરણની અસરથી તેની મૂળ વર્તુળાકાર કક્ષા ઘટતા જતા ભૂમિનીચ અંતરવાળા ઉપવલયમાં વિકૃતિ પામે છે.

વિક્ષોભની ગણતરી : વિક્ષોભની અસરનું નિરૂપણ કરવા માટે અવકાશમાં ઉપગ્રહી કક્ષાનું નિરૂપણ કરતા નિશ્ચિત પ્રચલો દાખલ કરવા જરૂરી છે. [જુઓ આકૃતિ (2)]. કક્ષીય ઘટકો એટલે કે અર્ધમુખ્ય અક્ષ (a) અને ઉત્કેન્દ્રતા (e) ઉપવલયી કક્ષાનો આકાર અને તેનું કદ નક્કી કરે છે. વિષુવીય તલ સાથે કક્ષીય સમતલનો ખૂણો (i) અને વિષુવીય તલ પરના આરોહિત પાત Ωનું સ્થાન કક્ષાના સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. કક્ષીય ઘટક ω આકર્ષણકેન્દ્રની સૌથી નજીકની કક્ષાના બિન્દુ(નીચકેન્દ્ર)ના સ્થાન દ્વારા તેના સમતલમાં ઉપવલયનું સ્થાન નિર્ણીત કરે છે. સૂર્યનિમ્નમાર્ગના સમય T વડે પદાર્થનું સ્થાન તેની કક્ષામાં નિર્ણીત કરે છે. આમ છ રાશિઓ a, e, i, Ω, ω અને T સૂર્યની આસપાસ ગ્રહની અથવા ગ્રહની આસપાસ ઉપગ્રહની અવક્ષોભિત કક્ષાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.  વિક્ષોભને કારણે કક્ષીય પ્રચલોમાં ફેરફાર થાય છે. પરિણામે પદાર્થ વિશિષ્ટ ચલિત ઉપવલય પર ગતિ કરે છે. જો વિક્ષોભ ઓચિંતો અટકી જાય તો પદાર્થ એના એ જ ઉપવલય પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. સમય સાથે એક જ દિશામાં આગળ વધતા બે પદાર્થોની કક્ષાના આકાર અને સ્થાનમાં થતા ફેરફાર દીર્ઘકાલીન (secular) હોય છે, જે સમય સાથે સંચિત થાય છે. જ્યારે તીવ્રતા અને દિશામાં થતા ફેરફાર આવર્તી (periodic) કહેવાય છે. ઉપગ્રહોની ગતિ ઉપર ગ્રહની વિચિત્રતાની મુખ્ય અસર પાત (node) Ωની પશ્ચાદગતિ અને નીચોચ્ચ રેખા (apsidal line) ωની ગતિ છે. આમ ઉપગ્રહોની કક્ષાને કાળજીપૂર્વક માપીને ગ્રહનું ગુરુત્વાકર્ષીય ક્ષેત્ર નિર્ણીત થઈ શકે. પૃથ્વીના અંતર્દ્રવ્ય વિતરણ અંગે માહિતી મેળવવા માટે વિશિષ્ટ રીતે બનાવેલા ઉપગ્રહનું જ્યામિતિક (geodesic) અવલોક્ધા કરવામાં આવે છે. ઉપગ્રહને વિષુવવૃત્તના તલમાં સમકાલીન કક્ષામાં મૂકવામાં આવે તે વિશિષ્ટ પ્રકારનો રસપ્રદ કિસ્સો બને છે, કેમ કે આવર્તકાળ 24 કલાક છે, પરિણામે વિક્ષોભ સિવાય ઉપગ્રહ પરિભ્રમણ કરતી પૃથ્વીના મુકાબલે સ્થિર છે. પણ વિષુવવૃત્તની અલ્પ ઉપવલયતા પૃથ્વી અને ઉપગ્રહ વચ્ચે અનુનાદની અસર ઉત્પન્ન કરે છે અને આને લઈને અમુક શરતોને અધીન ઉપગ્રહની કક્ષામાં અસ્થિરતા આવે છે. વિષુવવૃત્તના ગૌણ અક્ષને લંબાવતાં મળતી રેખા પર ઉપગ્રહને મૂકવામાં આવે તો તે સ્થિર રહે છે. બીજાં સ્થાનો પર તેની નિશ્ચલ સ્થિતિમાંથી તે દૂર તણાઈ જાય છે. મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા મપાતી વિષુવવૃત્તની ઉપવલયતા 63.98 મીટર છે. ઉપવલયનો મુખ્ય અક્ષ પશ્ચિમ તરફ લગભગ 36^oના ખૂણે રહેલો હોય છે.

સૂર્યમાળાની સ્થિરતા : વિક્ષોભ આકાશી પદાર્થોની ગતિના કક્ષીય ઘટકોમાં ફેરફાર કરે છે. લાગ્રાન્જનાં સમીકરણોથી સમયને સાપેક્ષ કક્ષીય ઘટકોના ફેરફારના દરને દર્શાવીને, ફેરફારની ગણતરી પણ કરી શકાય. ક્રમિક આસાદન(successive approximation)થી આ સમીકરણો કમ્પ્યૂટરથી સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે. સમીકરણો ચોક્કસ છે. પરંતુ તેના સંખ્યાત્મક અને વૈશ્લેષિક ઉકેલ અંદાજી હોય છે. તે સૂર્યમાળાના લાંબા સમય માટેના ભવિષ્ય સંબંધી મહત્વની વણઉકલી દ્વિધાઓ રજૂ કરે છે. પૃથ્વીની કક્ષાની ઉત્કેન્દ્રતા સમયના પ્રમાણમાં વધતી બતાવીએ તો આસાદિત ગણતરી એવું ભવિષ્યકથન કરે છે કે છેવટે પૃથ્વીની કક્ષા એટલી બધી બદલાઈ જશે કે પૃથ્વી સૂર્યમાળાથી છૂટી પડી જશે અથવા સૂર્યમાં જઈ પડશે. ઉચ્ચ કક્ષાનાં આસાદનોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમતોલન કરતું વલણ જણાય છે. આમ લાંબા સમયની અસરોનું મૂલ્યાંકન કરવાનું હોય ત્યારે વૈશ્લેષણિક રીતોની મર્યાદાઓ અને કમ્પ્યૂટરની મર્યાદિત ઉપયોગિતાનો ખ્યાલ હોવો જરૂરી છે. ઉપવલયી કક્ષા લાંબા સમય સુધી ચાલુ રહેતાં નજીવા વિક્ષોભ સહી શકે કે કેમ એ વણઉકલ્યો પ્રશ્ન છે. આધુનિક ગણિતીય સંશોધન સ્થિરતા અંગે જુદો અભિગમ અપનાવે છે. સૂર્યમાળાની અર્ધઆવર્તીય સ્થિતિ ચાલુ રહેશે એમ તે દર્શાવે છે. જો સૂર્યમાળામાં અનુનાદ સિવાયની અમુક શરતોનું સમાધાન થાય તો અતિ અલ્પ વિક્ષોભ તેની સ્થિરતાને ખલેલ કરશે નહિ. આ સિદ્ધાંતના પ્રયોગમાં બે ગંભીર મુશ્કેલીઓ રહેલી છે. આ વાદમાં અમુક ધારણાઓ રહેલી છે તેની યથાર્થતા સૂર્યમાળા માટે સંશયાત્મક છે. વળી સૂર્યમાળાના સભ્યોની કક્ષાને ન્યૂટોનીય ગુરુત્વાકર્ષીય બળ ઉપરાંત વાતાવરણનું ખેંચાણ, વિકિરણ દબાણ, સાપેક્ષવાદની અસરો વગેરે પરિબળો પ્રભાવિત કરે તેને પણ ગણતરીમાં લેવાં જોઈએ.

ત્રણ પદાર્થનો પ્રશિષ્ટ (classical) પ્રશ્ન : ઐતિહાસિક, ગતિકીય, ખગોળશાસ્ત્રીય, અવકાશયાંત્રિકીય ર્દષ્ટિએ ત્રણ પદાર્થની સમસ્યા મહત્વની બને છે. ત્રણ પદાર્થો ન્યૂટોનીય ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ પ્રમાણે પરસ્પરને આકર્ષે છે. પદાર્થોને બિંદુવત્ દ્રવ્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે. પદાર્થો અવકાશમાં ગતિ કરવા સ્વતંત્ર છે. તેમનાં ગુરુત્વાકર્ષીય ક્ષેત્રો સમકેન્દ્ર, સમરૂપ ગોલકને અનુરૂપ છે. આવા પદાર્થોની ઉત્તરાવર્તી (subsequent) ગતિ નિર્ણીત કરવાની છે. પણ ગણિતીય રીતે પરિમિત સ્વરૂપમાં તેનો ઉકેલ પ્રાપ્ત થયો નથી. ન્યૂટનથી શરૂ કરીને આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓનાં પ્રદાન અને 1000થી વધુ સંશોધનપત્રો અને લેખોથી પણ ઉકેલ મળ્યો નથી. સૂર્ય અને પૃથ્વીના ક્ષેત્રમાં ચંદ્રની ગતિ, સૂર્યની આસપાસ પરિક્રમણ કરતા ગ્રહ પર ગુરુનો વિક્ષોભ, ગ્રહના ઉપગ્રહોની ગતિમાં સૂર્યથી થતો વિક્ષોભ, ચંદ્ર પરનાં અવકાશયાનો પર ચંદ્ર અને પૃથ્વીની અસર વગેરે ત્રિપિંડ સમસ્યાનાં ઉદાહરણો છે. ત્રણ પદાર્થોમાંના એકનું દ્રવ્ય બીજા બે કરતાં ઘણું ઓછું હોય. જેમ કે સૂર્ય, પૃથ્વી અને ચંદ્રના દ્રવ્યનો ગુણોત્તર 3,00,000 : 1 : 0.01 છે. પૃથ્વી, ચંદ્ર અને અવકાશયાનના દ્રવ્યનો ગુણોત્તર 100 : 1 : 10^–9 છે. ત્યારે બીજા બે મોટા પદાર્થો ઉપર તેની અસર નહિવત્ ગણી શકાય. આમ ત્રિપિંડ સમસ્યા હવે બે પદાર્થનો પ્રશ્ન (જેનો ઉકેલ શક્ય છે) અને ત્રીજા પદાર્થની ગતિ નિર્ણીત કરવામાં વિભાજિત થાય છે. બે મોટા પદાર્થો(મૂળ પદાર્થો)નો પ્રશ્ન ઉકેલાય ત્યારપછી તેમનાં જ્ઞાત અને ચલિત ગુરુત્વાકર્ષીય ક્ષેત્રોમાં ત્રીજા પદાર્થને પ્રવેશ આપવામાં આવે છે અને નાના પદાર્થની ગતિ નિર્ણીત કરવાનો પ્રયત્ન કરવામાં આવે છે. મોટા પદાર્થોની ગતિ પર નાના પદાર્થની ખાસ અસર પડતી નથી. માત્ર મૂળ પદાર્થો વડે નાના પદાર્થની ગતિ નિયંત્રિત થાય છે. આ પ્રશ્ન અઢારમી સદીમાં એચ. ઓયલરે રજૂ કર્યો હતો, જે મર્યાદિત ત્રણ પદાર્થોના પ્રશ્ન તરીકે જાણીતો છે. આવા સરળ પ્રશ્નનો પણ ઉકેલ મળ્યો નથી. વણઉકલ્યા ગતિકીય પ્રશ્નોની કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ છે, જેને લઈને સંપૂર્ણ ઉકેલ મળતો ન હોવા છતાં તંત્રના પ્રવર્તનની સમજ પ્રાપ્ત થાય છે. દા.ત., પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષીય પ્રશ્નમાં ઊર્જાસંરક્ષણના નિયમ મુજબ ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી. ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો અચળ હોય છે. સ્થિતિઊર્જા પદાર્થોનાં સાપેક્ષ સ્થાનો સાથે સંબંધિત હોય છે, ગતિઊર્જા પદાર્થોનાં દ્રવ્ય અને તેમના વેગના વર્ગને સમપ્રમાણ હોય છે. આથી ઊર્જાસંરક્ષણનો નિયમ કોઈ પણ ક્ષણે ભાગ લેતા પદાર્થોના સ્થાનને વેગ સાથે સાંકળતા સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. આ સમીકરણ પ્રશ્નનો ઉકેલ આપતું નથી, પણ પદાર્થના પ્રવર્તન વિશે માહિતી આપે છે. ત્રણ પદાર્થોના મર્યાદિત પ્રશ્નોની સ્વીકૃતિઓ યથાર્થ (પ્રમાણભૂત) હોય તો જી. હીલ એવા નિર્ણય પર આવ્યા કે ચંદ્ર પૃથ્વીથી કદી જુદો પડશે નહિ. આમ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવ્યા સિવાય પદાર્થોના શક્ય ગતિકીય સંબંધો સ્થાપિત કરી શકાય છે. ત્રણ પદાર્થોના પ્રશ્નનો રસપ્રદ ઉપયોગ ટ્રોજન ગ્રહોના અસ્તિત્વ અને સ્થાન વિશેની લાગ્રાન્જની આગાહી હતી (1772). આ ગ્રહો 134 વર્ષ પછી ખરેખર દેખાયા. આ લઘુગ્રહો ત્રણ પદાર્થોના તંત્રના ત્રિકોણીય શિરોબિંદુઓની આસપાસ જણાય છે. ગુરુ અને સૂર્ય સમભુજ ત્રિકોણનાં બીજાં બે શિરોબિંદુઓ આગળ રહેલા છે. શિરોબિંદુઓ આગળ રહેલા લઘુગ્રહો ઉપર પ્રભાવક બળો નહિ હોવાને કારણે તે સંસ્થિતિ(equilibrium)માં છે. આકૃતિ (3)માં આ સ્થિતિનું નિરૂપણ કર્યું છે. સુરેખા L₁L₃ મૂળ પદાર્થો(m₁ = સૂર્ય અને m₂ = ગુરુ)ને જોડે છે. દ્રવ્યબિંદુ cની આસપાસ સૂર્ય અને ગુરુ લગભગ વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરે છે. તેના પરિણામે ર્દઢ (rigid) ત્રિકોણો m₁ L₄ m₂ અને m₁ L₅ m₂ પણ પરિભ્રમણ કરે છે અને L₄ અને L₅ પણ વર્તુળો આલેખે છે. L₄ અને L₅ની આસપાસ નાના ગ્રહો સ્થિર કક્ષામાં પરિક્રમણ (oscillate) કરે છે. લાગ્રાન્જે બતાવ્યું કે જો ત્રણ સમરેખ બિંદુઓ L₁, L₂, L₃માંના કોઈ એક બિંદુએ ત્રીજો કણ મૂકવામાં આવે તો શાશ્વત પ્રવર્તમાન વિક્ષોભ તેને ફેંકી દેશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો આ બિંદુઓ અસ્થિર ઉકેલ દર્શાવે છે. જ્યારે m₁ = પૃથ્વી અને m₂ = ચંદ્ર હોય ત્યારે L₄ અને L₅ની સ્થિરતા નવા વિક્ષોભમાં સૂર્યની અસર થાય છે. ત્રણ પદાર્થોના પ્રશ્નમાં બીજા  વિશિષ્ટ ઉકેલ એ આવર્તી (periodic) ઉકેલો છે, જેમાં ત્રણ પદાર્થો આવર્તિત રીતે તેમનાં મૂળ સ્થાનો પર તેમના મૂળ વેગ સાથે પાછા ફરે છે અને તેમની ગતિનું પુન: આલેખન કરે છે. આકાશી યાંત્રિકીનું પોંઈકેરનું પુરવાર નહિ થયેલું અનુમાન દર્શાવે છે કે બધા ઉકેલોનું આવર્તી ઉકેલ વડે આસાદન કરી શકાય છે. આથી આવર્તી કક્ષાના સંખ્યાકીય અને વૈશ્લેષિક સંશોધનનું મહત્વ ધ્યાનપાત્ર બને છે.

બીજો અગત્યનો પ્રશ્ન પ્રગ્રહણ (capture) અંગેનો છે. તેનો વ્યાવહારિક ઉપયોગ પૃથ્વી-ચંદ્ર તંત્રના ઊગમને સ્પષ્ટ કરે છે. મર્યાદિત પ્રશ્નના શક્ય ઉકેલોનું વ્યવસ્થિત સંખ્યાત્મક સર્વેક્ષણ કોપનહેગન વેધશાળામાં ઇ. સ્ટ્રોમ્ગ્રેને 1917માં કર્યું. વ્યાપક રીતે જોઈએ તો ત્રણ પદાર્થોના પ્રશ્નમાં શક્ય ગતિઓના અનેકવિધ પ્રકારો માટે અનુરૂપ સર્વેક્ષણ માત્ર ઉચ્ચ ઝડપવાળા ઇલેક્ટ્રૉનિક કમ્પ્યૂટરના ઉપયોગથી શક્ય બન્યું છે. હાલમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે.

n-પદાર્થોનો પ્રશ્ન : ત્રણ પદાર્થોના પ્રશ્નનું આ સાધારણીકરણ (generalisation) છે. ભાગ લેતા બધા પદાર્થો ન્યૂટોનીય નિયમ પ્રમાણે પરસ્પર આકર્ષે છે અને અવકાશમાં ગતિ કરવા સ્વતંત્ર હોય છે. આરંભમાં તેમને સ્વૈર સ્થાન અને વેગ હોય છે. તેમની ક્રમશ: ગતિ શોધવાની રહે છે. વૈશ્લેષણિક રીતે સ્પષ્ટ ઉકેલો મેળવવાની શક્યતા અહીં મર્યાદિત બને છે. સંખ્યાત્મક ઉકેલો ઉપયોગી થાય છે. n = 10, 25, 50 કે અમુક 100 હોય ત્યારે ઇલેક્ટ્રૉનિક કમ્પ્યૂટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. n = 100 માટે પ્રથમ કક્ષાનાં 600 જેટલાં વિકલ સમીકરણોના યુગપત્ ઉકેલની જરૂર પડે છે, જે પ્રશ્નની જટિલતા દર્શાવે છે. ગણતરીમાં લગભગ 5000 પરસ્પર અંતરો અને અનુરૂપ વ્યસ્ત વર્ગોની જરૂર પડે છે. આ ગણતરીઓ ઇલેક્ટ્રૉનિક કમ્પ્યૂટરથી થઈ શકે છે. n-પદાર્થોનો પ્રશ્ન જુદી જુદી ભૌતિક વ્યવસ્થાઓને લગતો હોય છે. જેમ કે સૂર્યમાળાની પ્રતિકૃતિ તૈયાર કરી, હજારો વર્ષ માટેનાં ગ્રહનાં પંચાંગો તૈયાર કરવામાં આવે છે. વળી ગુચ્છમાં તારાઓની ગતિ અંગેનો પ્રશ્ન હોય તો ગણતરી દ્વિતારક રચના અને ખરતા તારાની ઘટના દર્શાવે છે.

હિંમતલાલ ચૂનીલાલ શુક્લ

શિવપ્રસાદ મ. જાની