અસમતા

અસમતા (inequality) : બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા બૈજિક અભિવ્યક્તિઓ પૈકીની એક બીજીથી નાની કે મોટી છે તે દર્શાવતા સંબંધ અંગેનું વિધાન. અસમતાઓનું ગણિતમાં આગવું મહત્વ છે. ગણિતનાં મૂળભૂત પરિણામો ઘણી વાર સમતાઓને બદલે અસમતાઓના સ્વરૂપમાં હોય છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન અને ઇજનેરી શાખાનાં વિવિધ ક્ષેત્રોમાં અસમતાઓના અસરકારક ઉપયોગથી તેના ફાળાનું મહત્વ નિર્ણીત થાય છે.

માનવસ્વભાવ માટે એ સહજ છે કે તે વિવિધ પરિસ્થિતિઓની તુલના કરે છે; જેમ કે ‘અ’ કરતાં ‘બ’ પાસે અમુક ચીજ વધારે છે કે ઓછી છે? વ્યક્તિને પોતાની પાસે ચીજ સરખી હોવા કરતાં વધારે છે કે ઓછી તેમાં વિશેષ રસ રહે છે અને જીવનભર વધારે-ઓછાની સરખામણીની પ્રક્રિયામાં જ તે રાચ્યા કરે છે. સાથે સાથે વધારે મેળવવા સતત પ્રયત્નશીલ રહે છે. આમ જીવનઘડતરમાં અસમતા મહત્વનો ભાગ ભજવે છે. આ જ રીતે ગણિત અને તેનો ઉપયોગ કરતાં વિવિધ ક્ષેત્રોના ઘડતરમાં અસમતાઓનો બહુમૂલ્ય ફાળો છે.

અસમતાના પાયામાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો ક્રમસંબંધ રહેલો છે. એ તો સુવિદિત છે કે કોઈ પણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b કાં તો સમાન હોય કે a કરતાં b વધુ (a < b) કે a કરતાં b ઓછી (a > b) હોય. વળી અસમતાની બંને બાજુ એકસરખી વાસ્તવિક સંખ્યા ઉમેરવાથી (કે બાદ કરવાથી) અસમતા બદલાતી નથી તેમજ અસમતાની બંને બાજુએ એકસરખી ધન વાસ્તવિક સંખ્યા વડે ગુણવાથી (કે ભાગવાથી) પણ અસમતા બદલાશે નહિ. આ પ્રકારનો સંબંધ સંકર સંખ્યાઓ વચ્ચે શક્ય નથી. વાસ્તવમાં સંકર સંખ્યાઓ વચ્ચે ક્રમસંબંધનો ગુણધર્મ નથી. તેથી અસમતાઓની વાત માત્ર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં જ થઈ શકે છે.

ગણિતમાં અસમતાઓ વિવિધ સ્વરૂપે જોવા મળે છે.

(1) કેટલીક અસમતાઓ નિત્યસમ પ્રકારની છે, જેને આપણે ‘પ્રમાણિત અસમતાઓ’ (standard inequalities) કહીશું; જેમ કે (a + b)/2 >

જે a અને bની કોઈ પણ ભિન્ન અનૃણ (non-negative) કિંમતો માટે સત્ય છે.

(2) કેટલીક અસમતાઓ એવા સ્વરૂપે જોવા મળે છે, જે ચલોની અમુક મર્યાદિત કિંમતો માટે જ સત્ય છે; જેમ કે x + y ≤ 10. સ્પષ્ટ છે કે આ અસમતા x = 1, y = 2 માટે સત્ય છે. પરંતુ x = 8, y = 4 માટે તે સત્ય નથી.

કોઈ પ્રદેશની સીમાઓ દર્શાવવા માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે. ખાસ કરીને ‘સુરેખ આયોજન(linear programming)ના પ્રશ્નો’ના અભ્યાસમાં તેનો બહોળો ઉપયોગ થાય છે.

(3) અસમતા દ્વારા કેટલીક અજ્ઞાત સંખ્યાઓનો પણ જ્ઞાત સંખ્યાઓ દ્વારા સુંદર પરિચય મેળવાય છે. અસંમેય સંખ્યાઓનું સન્નિકટ મૂલ્ય સંમેય સંખ્યાઓ દ્વારા મેળવાય છે; જેમ કે π અસંમેય સંખ્યા છે. સંમેય સંખ્યાના સ્વરૂપમાં તેની ચોક્કસ કિંમત નથી. પરંતુ એમ જરૂર કહી શકાય કે તેનું મૂલ્ય 3 અને 4ની વચ્ચે છે. વધુ ચોક્કસપણે કહીએ તો 3.14 < π < 3.15. તે જ રીતે  માટે 1 <  < 2 અને e માટે 2 < e < 3 કહેવાય. આ એક પ્રકારનો અસમતાનો ઉપયોગ છે.

ઉપર દર્શાવેલી હકીકતનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં તો વ્યાપક પ્રમાણમાં જોવા મળે છે; જેમ કે કોઈ સ્થળનું તાપમાન માપવું હોય કે પછી કોઈ ચીજની લંબાઈ માપવી હોય તો માપવા માટેનું સાધન ગમે તેટલી ઊંચી ગુણવત્તા ધરાવતું હોય તોપણ પૂર્ણ ચોકસાઈથી તેનું માપ નક્કી કરવામાં મુશ્કેલી પડે છે. તેથી અસમતા દ્વારા તેની નજીક અને નજીક પહોંચવાનો પ્રયત્ન કરવામાં આવતો હોય છે. કેટલીક વ્યાપકપણે જાણીતી પ્રમાણિત અસમતાઓ તપાસીએ.

(1) A ≥ G ≥ H (non-negative)

જો a અને  b બે અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તો ને અને bનો સમાંતર (arithmetic) મધ્યક A કહેવાય છે. જ્યારે ને તેનો ગુણોત્તર geometric મધ્યક G કહેવાય છે. 2ab/(a+b)ને તેનો સ્વરિત (harmonic) મધ્યક H કહેવાય છે. એ તો જાણીતું છે કે,

(a + b) / 2 ≥ ≥ 2ab / (a + b)

પ્રાથમિક (elementary) ગણિતશાસ્ત્રની આ એક જાણીતી અસમતા છે. આંકડાશાસ્ત્રમાં તેનો બહોળો ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય સંજોગોમાં ઘરગથ્થુ સરેરાશ માટે સમાંતર મધ્યકનો ઉપયોગ થાય છે. પરંતુ સરકાર મોંઘવારી ભથ્થાના આંકની સરેરાશ લેતી વખતે સમાંતર મધ્યકને બદલે ગુણોત્તર મધ્યકનો ઉપયોગ કરે છે. આના મૂળમાં (a + b) / 2 ≥  અસમતા રહેલી છે, જેથી સરકારી તિજોરી પર ખર્ચનું ભારણ ઓછું આવે.

આ સમતાનું વ્યાપક સ્વરૂપ

જ્યાં a_i ≥ ૦ (i = 1, 2 ….. n)

(2) ત્રિકોણીય અસમતા : કોઈ પણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ x અને y માટે । x + y । ≤ । x । + । y ।

આ અસમતાને ત્રિકોણીય અસમતા કહેવાય છે. તેના આ નામ પાછળ ત્રિકોણનો નીચેનો ભૌમિતિક ગુણધર્મ સંકળાયેલો છે.

સમતલમાં આવેલા કોઈ પણ ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુની લંબાઈ તેની બાકીની બે બાજુઓની લંબાઈઓના સરવાળા કરતાં નાની હોય છે.

ત્રિકોણીય અમસતા એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની પાયાની અસમતા છે. તેનું વ્યાપક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a₁, a₂, ….., a_n અને b₁, b₂, ….., b_n માટે {(a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)² + ….. + ≥ (a₁² + a₂² +… +  + (b₁² + b₂² +….. +

(3) મિન્કૉવસ્કી(Minkowski)ની અસમતા :

જો a₁, a₂, ….., a_n, b₁, b₁, ….., b_n ≥ ૦

અને p ≥ 1 હોય તો

{(a₁ + b₁)^p + ….. + (a_n + b_n)^p}^1/p

≤ (a₁^p + ….. + a_n^p) ^1/p + (b₁^p + ….. + b_n^p) ^1/p

એ તો સ્પષ્ટ છે કે p = 2 માટે આપણને ત્રિકોણીય અસમતા મળે છે. તેથી મિન્કોવસ્કીની અસમતા એ ત્રિકોણીય અસમતાનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે.

આ અસમતા અનંત અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે પણ સત્ય છે.

(4) કોશીની અસમતા : જો a₁, a₁, ….., an અને b₁, b₂, ….., bnએ આપેલી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તો,

(a₁b₁ + a₂b₂ + ….. + a_nb_n)²

(a₁² + a₂² + ….. + a_n²) (b₁² + b₂² + ….. + b_n²)

ઉચ્ચ ગણિતની આ ખૂબ પ્રખ્યાત તથા ઉપયોગી અસમતા છે. ઘણી વાર આ અસમતા કોશી-શ્વાર્ઝની અસમતા તરીકે પણ ઓળખાય છે.

(5) હોલ્ડરની અસમતા : જો a_i, b_i અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (i = 1, 2, ….., n) હોય, p > 1 અને 1/p + 1/q = 1 હોય તો (a₁b₁ + a₂b₂ + ….. + a_nb_n) ≤ (a₁^p + a₂^p + …..+a_n^p)^1/p(b₁^q + b₂^q + ….. + b_n^q)^1/q

સ્પષ્ટ છે કે p = 2, q = 2 માટે આ અસમતા ઉપર બતાવેલી કોશીની અસમતા આપશે. તેથી હોલ્ડરની અસમતા એ કોશીની અસમતાનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે. મિન્કૉવસ્કીની અસમતાની માફક આ અસમતા પણ અનંત અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સત્ય છે. હોલ્ડર અને મિન્કૉવસ્કીની અસમતાઓ એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની મહત્વની અસમતાઓ છે.

વ્યવહારુ ગણિતના અધિકતમ અને ન્યૂનતમ અંગેના પ્રશ્નોના અભ્યાસમાં પણ ઉપર દર્શાવેલી અસમતાઓનો ઉપયોગ વ્યાપકપણે જોવા મળે છે.

નટુભાઈ પટેલ