અર્થમિતિશાસ્ત્ર

(Econometrics) 

1. પ્રાસ્તાવિક : અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોની વાસ્તવિકતા ચકાસવા માટેનું શાસ્ત્ર. ભૂમિતિ ભૂ(જમીન)ના માપનનું શાસ્ત્ર, ત્રિકોણમિતિ ત્રિકોણના માપનનું શાસ્ત્ર તે રીતે અર્થમિતિશાસ્ત્ર એ અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોના માપનનું શાસ્ત્ર છે. આ માપન એટલે આંકડાઓ વડે આર્થિક ચલરાશિઓને માપવી (measurement) અને આંકડાશાસ્ત્રની પદ્ધતિઓ વડે અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોની વાસ્તવિકતા અને યથાર્થતા ચકાસવી.

અર્થશાસ્ત્ર અને બીજાં અનેક વિજ્ઞાનોમાંના સિદ્ધાંતો મહદંશે પરિબળો વચ્ચે કાર્ય-કારણનો સંબંધ (causal relationship) દર્શાવે છે. દા.ત., માંગનો સિદ્ધાંત એ વસ્તુની માંગને અસર કરતાં પરિબળો અને માંગ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. આ રીતે વસ્તુ xની કિંમત (P_x), ગ્રાહકની આવક (y), અને અન્ય સંબંધિત વસ્તુઓની કિંમત (P_y) માંગ(D_x)ને અસર કરતાં પરિબળો છે. આ સિદ્ધાંત ચકાસવા અને આંકડાશાસ્ત્રની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવો પડે. ધારો કે વસ્તુ xની માંગ D_x છે, તો માંગ D_xને ચલો P_x, P_y અને yનાં વિધેયાત્મક સ્વરૂપોમાં વ્યક્ત કરી શકાય.

D_x = F(P_x, P_y, y)

D_x = β₀ + β₁ P_x + β₂ P_y + β₃y

પહેલું સમીકરણ એ માંગ વિધેયનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે અને બીજું સમીકરણ એ તેનું સુરેખ(Linear) સ્વરૂપ છે. માંગના આ સિદ્ધાંતને ચકાસવા માંગ, વસ્તુની કિંમત, ગ્રાહકોની આવક વગેરેના આંકડા એકત્રિત કરવા પડે. અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોના ગાણિતિક સ્વરૂપને ગણિતબદ્ધ અર્થશાસ્ત્ર અથવા ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્ર (mathematical economics) કહે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં જેમ તર્કનો ઉપયોગ થાય છે તેમ ગણિતબદ્ધ અર્થશાસ્ત્રમાં ગણિતનો ઉપયોગ થાય છે.

અર્થશાસ્ત્રના ગણિતબદ્ધ મૉડેલમાં અને અર્થમિતિશાસ્ત્રના મૉડેલમાં એક મહત્વનો ફરક છે. ઉપરના બીજા સમીકરણમાં માંગ અને તેનાં પરિબળો વચ્ચે સંપૂર્ણ સુરેખ (linear) સંબંધ છે એવી ધારણા છે. વાસ્તવિક જગતમાં આ શક્ય નથી. માનવીય વ્યવહાર ગણિતના સમીકરણ મુજબ થઈ શકતો નથી. આ વ્યવહારમાં અલબત્ત સ્થિરતા હોઈ શકે અને તેને સામાન્ય રીતે દર્શાવવા સમીકરણનો ઉપયોગ થઈ શકે. સમીકરણમાં દર્શાવેલી માંગને  વડે અને વાસ્તવિક જગતની માંગને  વડે દર્શાવવામાં આવે છે. બંને વચ્ચેના તફાવતને ત્રુટિ (error) કહે છે. ત્રુટિ e = Dx –  થશે. ઉપરનું સમીકરણ ગણિતબદ્ધ અર્થશાસ્ત્રનું છે. અર્થમિતિશાસ્ત્રનું મૉડેલ નીચે મુજબ થશે :

D_x = β₀ + β₁ P_x + β₂ P_y + β₃y + u

અર્થમિતિશાસ્ત્રની અનેક પદ્ધતિઓ આવા (ત્રુટિ પદ) u પરની ધારણાઓને લગતી હોય છે. માપનમાં ક્ષતિ થાય, કેટલીક ચલ રાશિઓનો સમાવેશ ન થાય અથવા વિધેયનું સ્વરૂપ જુદું હોય તો ત્રુટિ ઉપસ્થિત થાય. સામાન્ય મૉડેલમાં ધારણા એવી હોય છે કે ત્રુટિપદ uની સરેરાશ કિંમત શૂન્ય છે અર્થાત્, E(u) = 0. આવી અને બીજી અનેક ધારણાઓ ન સંતોષાતાં ઉપસ્થિત થતા પ્રશ્નો ઉકેલવા ખાસ પદ્ધતિઓનો વિકાસ થયો છે. અર્થશાસ્ત્રની અને આર્થિક આંકડાઓની ખાસ પ્રકારની મુશ્કેલી હોવાને લીધે કેટલીક આંકડાશાસ્ત્રની પદ્ધતિઓમાં ફેરફાર કરવાની જરૂર પડી. તેમાંથી જે નવું શાસ્ત્ર જન્મ્યું તે છે અર્થમિતિશાસ્ત્ર. અર્થમિતિશાસ્ત્ર આર્થિક સિદ્ધાંતો અને આર્થિક સ્થિતિને સમજાવતું વિજ્ઞાન છે. ઉપરના દૃષ્ટાંતમાં માત્ર વસ્તુની માંગની સ્થિતિ સમજાવી છે. વધુ વિસ્તૃત સ્વરૂપે સમગ્ર બજારની સ્થિતિ સમજાવી શકાય, તેમજ સમગ્ર અર્થતંત્રની સ્થિતિનું વિશ્લેષણ પણ રજૂ કરી શકાય. આને સમગ્રલક્ષી અર્થશાસ્ત્ર (macroeconomics) કહેવાય. તેની ગાણિતિક રજૂઆત કરવા માટે અનેક સમીકરણો જોઈએ. આ ગાણિતિક મૉડેલમાં ત્રુટિપદો ઉમેરી અર્થમિતિશાસ્ત્રીય રૂપ આપી શકાય અને તેની યથાર્થતા વાસ્તવિક આંકડાઓ વડે ચકાસી શકાય. તેમાં મુશ્કેલ ગણતરીઓ આવતી હોવાથી કમ્પ્યૂટરની જરૂરિયાત અનિવાર્ય બને છે. અમેરિકામાં બ્રુકિંગ્ઝ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ, ફેડરલ રિઝર્વ સીસ્ટિમ અને એમ.આઇ.ટી.નાં મૉડેલ જાણીતાં છે. વૅસિલી લીયોન્ટિફ નામના અમેરિકન અર્થશાસ્ત્રીએ ઉત્પાદનના સંબંધો દર્શાવતું સાધન ઉત્પાદન મૉડેલ (Input-output model) રજૂ કર્યું છે.

આમ, અર્થમિતિશાસ્ત્રની મદદથી આર્થિક નીતિવિષયક મૉડેલનો વિકાસ થયો. આર્થિક પૂર્વાનુમાન (economic forecasting) માટે પણ આવાં મૉડેલ ઉપયોગી છે. કૃષિક્ષેત્રમાં કે કંપનીઓની નીતિ કે તેની આગાહી માટે અને દેશની આર્થિક નીતિ અને તેની આગાહી માટે આ શાસ્ત્રનો ઉપયોગ થાય છે.

આ સમગ્ર વિષયની પદ્ધતિઓનું સર્વગ્રાહી પરંતુ સંક્ષેપમાં વિહંગાવલોકન કરીએ.

2. એક-સમીકરણીય સુરેખ નિયત સંબંધ મૉડેલ : આર્થિક ચલો જેવા કે વસ્તુની માંગ, કિંમત, આવક, કુલ વપરાશ, ખર્ચ વગેરેમાં થતા ફેરફારોનાં માપ સામાન્ય રીતે સમયના આધારે કરવામાં આવે છે. સમયના એકમ તરીકે વર્ષ, મહિનો, અઠવાડિયું કે દિવસ લેવાનું પ્રચલિત છે. સમયના એકમની પસંદગી આર્થિક ચલમાં થતા ફેરફારની દીર્ઘકાલીન કે અલ્પકાલીન અસરના સંદર્ભમાં થઈ શકે. અર્થમિતશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં સમયના એકમ તરીકે વર્ષ લેવાનો ઉપક્રમ છે. વર્ષના આધારે આર્થિક ચલો વિશે એકત્રિત કરેલ માહિતીને સમય-શ્રેણી (Time Series) કહે છે.

સમયશ્રેણી પર આધારિત એક-સમીકરણીય સુરેખ નિયત સંબંધ મૉડેલની ચર્ચા કરીએ. આ પ્રકારના મૉડેલમાં બે કે બેથી વધુ આર્થિક ચલો વચ્ચે પ્રવર્તતો કોઈ એક ગાણિતિક સંબંધ લઈએ. ધારો કે Y એક સાપેક્ષ આર્થિક ચલ છે; ધારો કે ચલ Yમાં થતું ચલન અન્ય આર્થિક ચલો x₁, x₂,…., x_p પર અવલંબે છે. ધારો કે Y અને x₁, x₂,…, x_p વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ છે. તો આપણે આ સુરેખ સંબંધને નીચે પ્રમાણે પરિભાષિત કરી શકીએ.

Y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + … + β_px_p …………..(2.1)

અર્થમિતિશાસ્ત્રમાં ચલો x₁, x₂…, x_pને જ્ઞાત ચલો (explanatory variables) અથવા બાહ્ય ચલો (exogenous) કહે છે. સાપેક્ષ ચલ Yને આંતરિક (endogenous) ચલ કહે છે. આંતરિક ચલ Y અને બાહ્ય ચલો x₁, x₂…, x_p ની પસંદગી અભ્યાસ હેઠળની આર્થિક પરિસ્થિતિના સંદર્ભમાં થઈ શકે. આર્થિક ચલોનું આંતરિક અને બાહ્ય ચલોમાં વિભાજન કરવા માટે કોઈ ચોક્કસ નિયમ નથી. અર્થતંત્રમાં થતા નીતિવિષયક નિર્ણયોની જે આર્થિક ચલો પર અસર થાય છે તેવા આર્થિક ચલો સામાન્ય રીતે આંતરિક ચલો કહેવાય. કુદરતી પરિબળો જેવાં કે વરસાદ, તાપમાન, ભેજ વગેરે ચલો દેશના અર્થતંત્ર પર અસર કરે છે. પરંતુ આ ચલો અર્થતંત્રના નીતિવિષયક નિર્ણયોથી સંપૂર્ણ રીતે મુક્ત છે. આ પ્રકારના ચલોને બાહ્ય ચલો કહે છે. જો આંતરિક ચલોની કિંમત અગાઉથી નિશ્ચિત કરવામાં આવે તો આ પ્રકારના ચલોને પણ બાહ્ય ચલો તરીકે લઈ શકાય. અર્થાત્ વર્તમાન સમયના આર્થિક ચલની કિંમત ભવિષ્ય માટેના અભ્યાસ માટે બાહ્ય ચલ બની શકે. આમ આંતરિક અને બાહ્ય ચલોની પસંદગી અભ્યાસ હેઠળની આર્થિક પરિસ્થિતિ પર અવલંબે છે.

સમીકરણ(2.1)માં દર્શાવેલ સંબંધ ગાણિતિક છે અને β₀, β₁, …, β_p અજ્ઞાત પ્રાચલો છે. વ્યવહારમાં ચલ Y અને ચલો x₁, …, x_p વચ્ચે સંપૂર્ણ ગાણિતિક સંબંધ શક્ય નથી, કારણ કે ચલ Y માં થતા ફેરફારો અર્થતંત્રમાં થતા અન્ય ફેરફારોને અધીન હોય છે. અર્થાત્ ‘x₁, x₂ નિયત હોય તોપણ Yમાં ફેરફાર થઈ શકે. આમ Y અને x₁, … x_p વચ્ચેનો ગાણિતિક સંબંધ નિશ્ચયાત્મક (deterministic) નહિ પરંતુ યાર્દચ્છિક (stochastic) હોય છે.

આ યાદૃચ્છિક સંબંધને

y = β₀ + β₁ x₁ + β₂ x2 +…β_px_p + u ………..(2.2)

વડે દર્શાવી શકાય. અહીં u ત્રુટિપદ દર્શાવે છે.

મુખ્ય પ્રશ્ન અજ્ઞાત પ્રાચલો β₀, β₁ …, β_p નું Y અને x₁ …, x_p પરનાં અવલોકનો કે માહિતીને આધારે આગણન કરવાનો છે. ધારો કે આપણી પાસે Y અને x₁…, x_p ચલોની માહિતી સમયશ્રેણીના સ્વરૂપમાં n વર્ષ માટે ઉપલબ્ધ છે. તો સમીકરણ(2.2)ને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :

Y = β₀ + β₁ X₁₁ + β₂ X₂₁ + … β_px_pt + u_t t = 1, 2 …, n ………..(2.3)

(2.3) પરથી નીચેનાં n સમીકરણોની સંહતિ મળશે :

Y₁ = β₀ + β₁ x₁₁ + β₂ x₂₁ + … + β_pxP₁ + u₁

Y₂ = β₀ + β₁ x₁₂ + β₂ x₂₂ + … + β_pxP₂ + u₂

Y₃ = β₀ + β₁ x₁₃ + β₂ x₂₃ + … + β_pxP₃ + u₃

……………………………………………………….

Y_n = β₀ + β₁ X_1n + β₂ X_2n + … + β_pxp_n + u_n

આ સમીકરણોને શ્રેણિક સંકેતમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય :

Y = Xβ + u …………….(2.4)

અહીં,

શ્રેણિક સમીકરણ(2.4)ને એક-સમીકરણીય સામાન્ય સુરેખ મૉડેલ (general linear model) કહે છે. આ મૉડેલમાં સદિશ βના ઘટકો β₀, β₁, …, β_p અજ્ઞાત છે, જ્યારે સદિશ Y અને માહિતી શ્રેણિક X જ્ઞાત છે. (2.4)માં દર્શાવેલ સુરેખ મૉડેલના માળખા હેઠળ ત્રુટિપદ સદિશ uના ઘટકો નીચેની ધારણાઓનું સમાધાન કરે છે :

(i) E(u_t) = 0, t = 1, 2, …, n અર્થાત્ E(u) = 0

(ii)  = σ², t = 1, 2, … n અને E (u_tu_t´) = 0, t = t´ = 1,…

n અર્થાત્ E(uu) = σ²1_n

(iii) શ્રેણિક Xની કોટિ (rank) k = p + 1 છે.

અહીં સંકેત E ગાણિતિક અપેક્ષા દર્શાવે છે, પ્રાચલ σ² પ્રત્યેક ત્રુટિપદ u_tનું વિચરણ દર્શાવે છે અને પ્રાચલ σ² અજ્ઞાત છે. Eu_t = 0નો અર્થ પ્રત્યેક ત્રુટિપદ u_tનો મધ્યક શૂન્ય છે એમ કરીશું.

સામાન્ય સુરેખ મૉડેલમાં અજ્ઞાત પ્રાચલો β₀, β₁, …, β_pનું ઇષ્ટતમ આગણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિને ન્યૂનતમ કે લઘુતમ વર્ગોની પદ્ધતિ (method of least squares) કહે છે. આ પદ્ધતિ હેઠળ ત્રુટિપદોના વર્ગોના સરવાળાની કિંમત

……………………………..(2.5)

ન્યૂનતમ બનાવીને, β₀, β₁, …, β_pના ઇષ્ટતમ આગણનકારો મેળવવામાં આવે છે. આ રીતે મળતા આગણનકારોને સામાન્ય લઘુતમ આગણનકારો (ordinary least squares estimators) અથવા સંક્ષેપ્તમાં OLS estimators કહે છે. β₀, β₁, …, β_pના OLS આગણનકારો નીચેનાં શ્રેણિક સૂત્રો દ્વારા મળે છે :

……………………………..(2.6)

અહીં x´ n x k કક્ષાના શ્રેણિક Xનો પરિવર્ત અને (x´x)^–1 k કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક x´xનો વ્યસ્ત શ્રેણિક દર્શાવે છે. વળી ₀, …, …1, અજ્ઞાત પ્રાચલો , , …, 1 ના આગણનકારોના સંકેતો છે.

સદિશ β ના ઘટકોના આગણનકારોના વિચરણસહવિચરણ શ્રેણિક(variancecovariance matrix)નું સૂત્ર છે :

V( ) = (x´x)^–1 σ² ………………..(2.7)

શ્રેણિક સૂત્ર (2.6) દ્વારા મળતા પ્રાચલો β₀, β₁, ….., β_pના આગણનકારો , , …, 1   શ્રેષ્ઠ સુરેખ આગણનકારો (Best Linear Unibiased Estimators, સંક્ષેપમાં BLUE) છે તેમ ગૉસ માર્કોવે સાબિત કરેલ છે. ત્રુટિપદોના સમાન વિચરણ σ²નો અનભિનત આગણનકાર S² નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે :

…………………(2.8)

અહીં e = y – x અવલોકિત ત્રુટિપદ સદિશ દર્શાવે છે અને e_j ત્રુટિપદ સદિશનું i-મું ઘટક છે. સ્પષ્ટ છે કે e મૉડેલ(2.4)ના સદિશ uનો આગણનકાર છે.

જો મૉડેલ(2.4)ના ત્રુટિપદ સદિશ yનું વિતરણ પ્રમાણ્ય હોય તો પરિણામો (2.6), (2.7) અને (2.8)નો ઉપયોગ કરી આપણે અજ્ઞાત પ્રાચલો β₀, β₁, …… β_p વિશેની વિવિધ પરિકલ્પનાઓનું પરીક્ષણ કરી શકીએ અને મળતાં પરીક્ષણો દ્વારા આ અજ્ઞાત પ્રાચલોના વિશ્વસનીય અંતરાલો મેળવી શકીએ.

એક-સમીકરણીય સુરેખ મૉડેલના અજ્ઞાત પ્રાચલોના OLS આગણનકારો માહિતીના આધારે કેવી રીતે મેળવી શકાય તે માટેનું એક ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : નીચેના કોષ્ટકમાં 1971થી 1982ના સમયગાળા માટે અમેરિકામાં થયેલ કુલ વપરાશખર્ચ (Y) અને પ્રાપ્ય આવક (I) સંબંધી માહિતી આપવામાં આવી છે Y અને I પરનાં અવલોકનો સો કરોડ ડૉલરમાં દર્શાવ્યાં છે.

કોષ્ટક 1

વર્ષ :	1971	1972	1973	1974	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982
Y	102	106	108	110	122	124	128	130	142	148	150	154
I	114	118	126	130	136	140	148	156	160	164	170	178

કોષ્ટક 1માં આપેલ માહિતી પરથી સુરેખ મૉડેલ Y_t = β₀, + β₁, 1_t + u_t ના અજ્ઞાત પ્રાચલો β₀ અને β₁ ના OLS આગણનકારો અને તેમનાં વિચરણો અને સહવિચરણ સૂત્રો (2.5) અને (2.6)નો ઉપયોગ કરી મેળવી શકાય.

આપેલા સુરેખ મૉડેલને શ્રેણિક સૂત્ર y = X β + u માં લખીએ તો n = 12, p = 1, k = 2

હવે સૂત્ર (2.6) અનુસાર β સદિશનો OLS આગણનકાર

 થશે.

સૂત્ર (2.7) મુજબ નો વિચરણ-સહવિચરણ શ્રેણિક

થશે.

(2.8) અનુસાર σ²નો અનભિનત આગણનકાર

થશે.

 અને  નાં વિચરણોના આગણકો અનુક્રમે

 થશે.

સુરેખ મૉડેલના પ્રાચલ β₁ વિશે પરિકલ્પના H₀ : β₁ = 0 વિરુદ્ધ H₁ : β₁ ≠ 0નું પરીક્ષણ કરવું હોય તો t-પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને નિરાકરણીય પરિકલ્પના H₀નું પરીક્ષણ કરી શકાય. હવે t-આગણકની H₀ હેઠળ કિંમત

સ્વાતંત્ર્યની માત્રા n–2 = 10 અને α = .05 સાર્થકતાની કક્ષાએ t-કોષ્ટકમાંની કિંમત કરતાં મેળવેલ tની કિંમત વધુ છે. અર્થાત્ નિરાકરણીય પરિકલ્પના H₀ : β₁ = 0નો અસ્વીકાર થાય છે. અર્થાત્ સુરેખ મૉડેલમાં β₁ની કિંમત શૂન્ય નથી તે કથનને માહિતીના આધારે સમર્થન મળે છે.

એક-સમીકરણીય સુરેખ મૉડેલના ત્રુટિપદ સદિશ u ના ઘટકો વિશે (2.5)માં આપેલી ધારણાઓ પૈકી ગમે તે એક કે તેથી વધુમાં ફેરફાર થાય કે તેનું સમાધાન ન થાય તો મૉડેલના અજ્ઞાત પ્રાચલોના OLS આગણનકારોના ગુણધર્મોમાં ફેરફાર થાય છે. જો આ ધારણાઓ પૈકી ગમે તે એક કે વધુમાં ફેરફાર થાય તો તેને પરિણામે મૉડેલના સ્વરૂપમાં તેમજ અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનમાં જે મુશ્કેલી કે અડચણો ઊભી થાય તેના ઉકેલ માટે અર્થમિતિશાસ્ત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાતી આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓનો વિચાર કરાય.

બહુ-સમરેખતા (multicollinearity) : પરિચ્છેદ 2 માં આપેલ સુરેખ મૉડેલ y = Xβ + uનો વિચાર કરીએ. જો આ મૉડેલના બે કે તેથી વધુ બાહ્ય ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ પ્રગાઢ હોય તો બાહ્ય ચલોમાં બહુ-સમરેખતા પ્રવર્તે છે એમ કહેવાય. ધારો કે આપેલ સુરેખ મૉડેલમાં બે બાહ્ય ચલો x₁ = 2x₂ અથવા x₁ = 5 – 2x₂ પ્રકારનો સંબધ ધરાવતા હોય તો બાહ્ય ચલો x₁ અને x₂ વચ્ચે સંપૂર્ણ સહસંબંધ પ્રવર્તે છે અથવા ચલો x₁ અને x₂ વચ્ચે સંપૂર્ણ સહસંબંધ પ્રવર્તે છે એમ કહેવાય. આ પરિસ્થિતિમાં સુરેખ મૉડેલના અજ્ઞાત પ્રાચલોના સદિશ β ના OLS આગણનકારોની ગણતરી કરવાનું કાર્ય અઘરું અથવા અશક્ય બને છે. આ સંજોગોમાં સુરેખ મૉડેલના ત્રુટિપદ સદિશ uના ઘટકોની (2.5)માં કરેલી ધારણાઓ પૈકીની એક ધારણા જેવી કે માહિતી શ્રેણિક Xની કોટિ k છે તેનું સમાધાન થતું નથી. જો બાહ્ય ચલો પૈકી બે કે તેથી વધુ ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ 0.9થી વધુ હોય તો શ્રેણિક Xની કોટી kથી ઓછી થશે. પરિણામે k કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક x´xનો વ્યસ્ત (x´x)^–1 થી અનન્ય રીતે અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી તેથી સૂત્ર (xx)^–1x¹ દ્વારા મળતા અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણકારોને અનન્ય રીતે મેળવવામાં મુશ્કેલી ઊભી થાય છે, અને આ આગણનકારોનાં વિચરણો અનિશ્ચિત બને છે. જો બાહ્ય ચલો વચ્ચેના સહસંબંધાંકની કિંમત 0.7થી 1.0 વચ્ચે હોય તો પ્રાચલોના OLS આગણનકારો મેળવી શકાય ખરા, પરંતુ તેમનાં વિચરણો કે પ્રમાણિત દોષ(standard errors)ની કિંમત સંખ્યાત્મક રીતે ઘણી મોટી હોવાથી આ આગણનકારોના આધારે મેળવેલ પરીક્ષણો અને વિશ્વસનીય સીમાઓ યથાર્થ હોતાં નથી.

બહુસમરેખતાની આ પરિસ્થિતિનો તાગ બાહ્ય ચલો વચ્ચેના સહસંબંધકોના માપ પરથી આવી શકે. જો બાહ્ય ચલો વચ્ચેના સહસંબંધાંકોની કિંમત ઘણી મોટી હોય તો સુરેખ મૉડેલમાં બહુ-સમરેખતા અસ્તિત્વ ધરાવે છે તેમ કહી શકાય. સુરેખ મૉડેલમાં બહુ-સમરેખતાના અસ્તિત્વના નિદાન માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ છે. સુરેખ મૉડેલમાં બહુ-સમરેખતા હોવા છતાં અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનકારો મેળવવા એકથી વધુ પદ્ધતિઓ સૂચવવામાં આવી છે. આ પદ્ધતિઓના ઉપયોગથી બહુ-સમરેખતાની અસરની પ્રબળતા કંઈક અંશે હળવી બનાવી અજ્ઞાત પ્રાચલોનું સરળતાથી આગણન કરી શકાય. બહુ સમરેખતાની અસર હળવી કરવા માટેના કેટલાક ઉપાયો નીચે પ્રમાણે છે :

(1) સૌપ્રથમ અમુક અજ્ઞાત પ્રાચલનું આગણન સમયશ્રેણીના સ્વરૂપમાં મળતી માહિતીને બદલે આડછેદ (cross-section) માહિતીના આધારે કરી શકાય અથવા કોઈક એક અજ્ઞાત પ્રાચલ કે પ્રાચલોની કિંમત અન્ય રીતે જાણી શકાય.

(2) જે કોઈ એક બાહ્ય ચલ અન્ય ચલો સાથે પ્રગાઢ સહસંબંધ ધરાવતો હોય તેને સુરેખ મૉડેલમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

3) રિજ (Ridge) નિયત સંબંધની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી અજ્ઞાત પ્રાચલોનું આગણન કરી શકાય. આ પદ્ધતિ દ્વારા અજ્ઞાત સદિશ ચલ β નો રિજ આગણનકાર  = (x´x + cl)^–1 X´Y સૂત્ર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. અહીં C એક અચલ છે, જેની પસંદગી

સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય. અહીં λ₁ અને λ_n શ્રેણિક x₁xનાં અનુક્રમે લઘુતમ અને મહત્તમ લાક્ષણિક બીજ (characteristic roots) દર્શાવે છે. આગણનકાર  ના વિચરણસહવિચરણ શ્રેણિકનું સૂત્ર V( ) = σ² (x¹x + cl)^–1 x´x (x¹x + cl)^—1 છે. બહુ સમરેખતાનો ખ્યાલ સમજવા આપણે એક ઉદાહરણ લઈશું.

ઉદાહરણ 2 : કોષ્ટક 2માં 15 કુટુમ્બોના નિદર્શ માટે વપરાશ ખર્ચ (C), પ્રાપ્ય આવક (Y) અને સંપત્તિ (W) વિશે માહિતી આપવામાં આવી છે. C, Y અને Wનાં અવલોકનો કરોડ ડૉલરમાં વ્યક્ત કરવામાં આવ્યાં છે.

કોષ્ટક 2

કુટુંબ :	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	32	11	15	17	16	13	18	20	14	17	41	17	33	20	18
Y	36	12	16	18	17	14	20	23	15	18	50	19	37	22	19
W	144	47	63	70	67	52	79	90	58	70	204	76	149	86	76

કોષ્ટક 2માં આપેલ માહિતી પરથી Cને સાપેક્ષ ચલ તરીકે લઈ અને Cના Y અને W પર નિયત સંબંધરેખા મેળવીએ તો C = 1.54 + 1.41y – 0.15w મળશે. C નો Y અને W સાથેનો બહુચલીય સહસંબંધાંક (co-efficient of multiple correlation) R² = 0.994 અને Y અને W વચ્ચેનો સહસંબંધાંક 0.995 છે. Y અને W વચ્ચેના સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય ઘણું મોટું હોવાથી સુરેખ મૉડેલમાં બહુસમરેખતા પ્રવર્તે છે એમ કહી શકાય. આવક સંપત્તિનું સર્જન કરે તે હકીકતને ધ્યાનમાં લઈએ તો સુરેખ મૉડેલમાં Y અને W નો એકીસાથે સમાવેશ કરવાથી બહુસમરેખતાની પરિસ્થિતિ ઉદભવે છે.

4. વિષમાંગતા (heteroscedasticity) : જો સુરેખ મૉડેલ Y = Xβ + uના ત્રુટિપદ સદિશ uનાં ઘટકો u_tના વિચરણ V(u_t) ≠ σ², t = 1, 2, … n હોય તો (2.5)માં કરેલી ધારણાઓ પૈકીની એક ધારણા જેવી કે E(u_t²) = σ², t = 1, 2, …, nનું ઉલ્લંઘન થાય છે. અર્થાત્ સુરેખ મૉડેલમાં ત્રુટિપદ utનાં વિચરણો સમાન ન હોય તો સુરેખ મૉડેલ વિષમાંગ (heteroscedastic) છે તેમ કહેવાય. આ પ્રકારની પરિસ્થિતિ સામાન્યત: આડ-છેદ (cross-section) માહિતીમાં ઉદભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે ઓછી આવક ધરાવતાં કુટુંબોમાં થતા વપરાશખર્ચ સાથે સંકળાયેલ ત્રુટિપદનું વિચરણ ઊંચી આવક ધરાવતાં કુટુંબોમાં થતા વપરાશખર્ચ સાથે સંકળાયેલ ત્રુટિપદના વિચરણથી ઓછું હોય છે, કારણ કે ઓછી આવક ધરાવતાં કુટુંબોનો મોટાભાગનો વપરાશખર્ચ આવશ્યક ચીજવસ્તુઓ પાછળ થતો હોય છે. પરિણામે મોજશોખ જેવી વસ્તુઓ પાછળ ખર્ચ કરવાનો અવકાશ નહિવત્ રહે છે.

જો આપણે બે ચલો Y અને X વચ્ચેનું સુરેખ મૉડેલ y_t = β₀ + β₁ x_t + ut, t = 1, 1, …, n લઈએ તો મૉડેલમાં વિષમાંગતા છે કે કેમ તેની જાણકારી આકૃતિ 1 પરથી મેળવી શકાય.

વિકીર્ણ આકૃતિ (ક) સુરેખ મૉડેલમાં વિષમાંગતા નથી તેનો નિર્દેશ કરે છે; આકૃતિ (ખ) વિષમાંગતા છે તેનો નિર્દેશ કરે છે. વધુમાં ત્રુટિપદ uનું વિચરણ ચલ xની વધતી કિંમત સાથે વધે છે તેમ અભિપ્રેત થાય છે. આકૃતિ (ગ) xની વધતી કિંમત સાથે ત્રુટિપદનું વિચરણ ઘટે છે તે હકીકતનો નિર્દેશ કરે છે. આકૃતિ (ઘ)માં વિષમાંગતાની વધઘટનો નિર્દેશ કરે છે. અર્થમિતિશાસ્ત્રમાં ઘણું કરીને આકૃતિ (ખ)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણેની વિષમાંગતા જોવા મળે છે.

સુરેખ મૉડેલમાં વિષમાંગતા હોય તોપણ અજ્ઞાત પ્રાચલોના OLS આગણનકારો અનભિનત અને સંગત (consistent) રહે છે. પરંતુ તેમની દક્ષતા (efficiency) ઓછી હોય છે. વળી અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનકારોનાં વિચરણોના આગણકો અભિન્ન હોવાથી પ્રાચલો વિશેનાં આંકડાશાસ્ત્રીય પરીક્ષણો અને વિશ્વસનીય અંતરાલો ચોક્કસ હોતાં નથી.

આપેલ સુરેખ મૉડેલ વિષમાંગ છે કે કેમ તેની ચકાસણી ગોલ્ડફેલ્ડ ક્વૉન્ટ પરીક્ષણ દ્વારા થઈ શકે છે. આ પરીક્ષણમાં નિરપેક્ષ ચલ X_tની કિંમતોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. વચ્ચેના એક પંચમાંશ ભાગનાં અવલોકનો બાકાત રાખી xtની ઓછી કિંમતવાળાં અવલોકનો અને વધુ કિંમતવાળાં અવલોકનો માટે અલગ નિયત સંબંધ સુરેખાઓ મેળવવામાં આવે છે. બંને નિયત સંબંધ સુરેખાઓનાં અવલોકિત ત્રુટિપદોના વર્ગોના સરવાળાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરી F–પરીક્ષણ દ્વારા વિષમાંગતાની ઉપસ્થિતિ વિશેનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે.

જો સુરેખ મૉડેલ y_t = β₀ + β₁ x_t + u_tના ત્રુટિપદનું વિચરણ V(u_t) = Cx_t² હોય અને C કોઈ શૂન્યેતર ધન અચલ હોય તો સુરેખ મૉડેલમાં રહેલી વિષમાંગતાને મૉડેલના સમીકરણના દરેક પદને x_t વડે ભાગીને દૂર કરી શકાય. અર્થાત્ આપણે  પ્રકારનું સુરેખ મૉડેલ લઈ શકીએ. આ મૉડેલમાં ત્રુટિપદ –નું વિચરણ  થશે. આમ ત્રુટિપદ  નું વિચરણ સમાન બનાવી શકાય.

5. સ્વસહસંબંધ (autocorrelation) : સુરેખ મૉડેલમાં ત્રુટિપદો માટે કરેલી મહત્વની ધારણા એ છે કે u_t અને u_s (t ≠ s) વચ્ચેનું સહવિચરણ શૂન્ય છે. અર્થાત્ ત્રુટિપદો પરસ્પર અસહસંબંધિત છે. જો આ ધારણાનું સમાધાન ન થતું હોય તો મૉડેલના અજ્ઞાત પ્રાચલોનું આગણન કરવા માટે અલગ પદ્ધતિ પ્રયોજી શકાય. જો સુરેખ મૉડેલનાં ત્રુટિપદો પરસ્પર સહસંબંધિત હોય તો ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસહસંબંધ (autocorrelation) પ્રવર્તે છે એમ કહેવાય. જો ત્રુટિપદો ut અને u_t-1 માટે Eu_t = 0 = Eu_t-1 અને E(u_t u_t-1) ≠ 0 હોય તો ત્રુટિપદો વચ્ચે પ્રથમ કક્ષાનો સ્વસંબંધ પ્રવર્તે છે એમ કહેવાય. અર્થમિતિશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં ઘણું કરીને પ્રથમ કક્ષાનો સ્વસંબંધ ઉદભવે છે. જો માહિતી સમયશ્રેણીના સ્વરૂપમાં હોય તો ત્રુટિપદો વચ્ચેનો પ્રથમ યા દ્વિતીય કક્ષાનો સ્વસંબંધ વધુ સંભવિત છે. ત્રુટિપદો વચ્ચેનો સ્વસંબંધ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે. સમયશ્રેણીના સ્વરૂપમાં આપેલી માહિતીના આધારે સુરેખ મૉડેલનું સમીકરણ અન્વાયોજિત કરીએ તો અવલોકિત ત્રુટિપદો e_t, t = 1, 2,…, n મળશે. આ ત્રુટિપદોનો આલેખ દોરીને મૉડેલમાં ધન અથવા ઋણ સ્વસહસંબંધ પ્રવર્તે છે કે કેમ તે નક્કી કરી શકાય. આ માટે e_t વિરુદ્ધ tના નીચેના આલેખો તપાસીએ :

આલેખ (ક) ધન – સ્વસંબંધનો અને આલેખ (ખ) ઋણ સ્વસંબંધનો નિર્દેશ કરે છે.

ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસંબંધ પ્રવર્તતો હોય તેવા સંજોગોમાં સુરેખ મૉડેલ y = Xβ + uના અજ્ઞાત પ્રાચલો βનું આગણન કરવા માટે સામાન્ય ન્યૂનતમ વર્ગોની (OLS) પદ્ધતિને બદલે એટકિન દ્વારા સૂચિત વ્યાપક ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ(method of generalised least squares)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનાં મૉડેલ અને ધારણાઓ નીચે પ્રમાણે છે :

મૉડેલ : y = Xβ + u ……………………………………….(5.1)

y, x અને β શ્રેણિકોની કક્ષા અનુક્રમે n×1, n×k અને k×1 છે. ધારણાઓ :

(i) E (u) = 0

(ii) E (uu´) = σ² Ω = V,

(iii) શ્રેણિક Xનો કોટિ (rank) = k (< n) …….(5.2)

(iv) શ્રેણિક vનો કોટિ = n

જો Ω =I_n n લઈએ તો V = σ²In મળશે. પરિણામે પરિચ્છેદ 2માં આપેલા સામાન્ય સુરેખ મૉડેલ અને ધારણાઓ વિશિષ્ટ કિસ્સા તરીકે મેળવી શકાય.

વ્યાપક ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ દ્વારા સુરેખ મૉડેલ (5.1)ના અજ્ઞાત પ્રાચલ સદિશ b નો GLS (generalised least squares) આગણનકાર તથા તેનો વિચરણ-સહવિચરણ શ્રેણિક નીચેનાં સૂત્રો દ્વારા મળશે :

g = (X^1‘V^–1X)^–1 X´V^–1 y ………….(5.3)

V(βg) = (X¹V^–1 X)^–1 = (X´Ω^–1 X)^–1 σ² …………(5.4)

અહીં g પ્રાચલ સદિશ βનો GLS આગણનકાર છે. વળી શ્રેણિક V જ્ઞાત છે તેમ ધારેલું છે, જે વ્યવહારમાં શક્ય નથી. એટલે V વિશેની જાણકારી મેળવવા માટે અન્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે.

OLS પદ્ધતિ વડે આગણન કરીએ તો β ના આગણનકારો અનભિનત રહે છે ખરા, પરંતુ દક્ષ હોતા નથી. તેથી આ આગણનકારોના આધારે મેળવેલ પ્રાચલો વિશેનાં વિવિધ પરીક્ષણો તેમજ વિશ્વસનીય અંતરાલો પરથી મેળવેલ તારણો ચોક્કસ હોતાં નથી. વળી શ્રેણિક x´xની કોટિ પૂર્ણ ન હોય (એટલે કે x´x ની કોટિની કિંમત k બરાબર ન હોય) તો સી. આર. રાવ સૂચિત એકીકૃત ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ(method of unified least squares)નો ઉપયોગ કરી bનો આગણનકાર મેળવી શકાય.

હવે આપણે સુરેખ મૉડેલ y = Xβ + uનાં ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસહસંબંધ પ્રવર્તે છે કે કેમ તે જાણવા માટેની કસોટી વિશે ચર્ચા કરીએ. ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસહસંબંધ છે કે કેમ તેની કસોટી ડર્બિનવૉટસન (Durbin–Watson) પરીક્ષણ દ્વારા થઈ શકે. ધારો કે સદિશ βનો OLS આગણનકાર છે. આનો ઉપયોગ કરી આપણે ત્રુટિપદનો અવલોકિત સદિશ e = y – X મેળવી શકીએ. ડર્બિન-વૉટસન આગણક નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે :

dની કિંમત 0 અને 4 વચ્ચે હોય છે તે સૈદ્ધાંતિક રીતે સાબિત કરી શકાય. જો dની કિંમત 2ની સમીપ હોય તો ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસહસંબંધ નથી તેવું તારણ કરી શકાય. ડર્બિન-વૉટસને સાર્થકતાની 5 % અને 1 % કક્ષા માટે અને n(≥ .15) તથા p(બાહ્ય ચલોની સંખ્યા)ની વિવિધ કિંમતો માટે કોષ્ટક રચ્યાં છે. આ કોષ્ટકમાં d_L અને d_u(d_L = dની અધ:સીમા, du = dની ઊર્ધ્વ સીમા)ની કિંમતો કક્ષા α, n અને k માટે આપેલ છે. (5.5)માં આપેલ સૂત્રો દ્વારા dની ગણતરી કરેલ કિંમતને d_L અને d_u સાથે સરખાવી ત્રુટિપદો વચ્ચે સ્વસંબંધ પ્રવર્તે છે કે કેમ તે પરિકલ્પનાની કસોટી કરી શકાય. જો d < d_L હોય તો પ્રથમ કક્ષાનો સ્વસંબંધ છે તે પરિકલ્પનાનો સ્વીકાર થાય છે અને જો d > d_u હોય તો આ પરિકલ્પનાનો અસ્વીકાર થશે. જો d_L<d< d_u હોય તો પરિકલ્પના વિશે કોઈ નિર્ણય થઈ શકે નહિ. સૂત્ર (5.5) દ્વારા મળતી dની કિંમત આકૃતિ 2માં દર્શાવેલ અંતરાલમાં ક્યાં આવેલી છે તેના આધારે સ્વસંબંધ વિશેની પરિકલ્પનાની ચકાસણી કરી શકાય.

ઉદાહરણ 3 : કોષ્ટક 3માં ઉત્પાદિત માલના સંગ્રહ (Y) અને વેચાણ (X)ને લગતી 1959થી 1978ના સમયગાળા દરમ્યાનની માહિતી આપવામાં આવી છે. Y અને X પરનાં અવલોકનો લાખ રૂપિયામાં દર્શાવ્યાં છે.

કોષ્ટક 3

વર્ષ	1959	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968
Y	52.9	53.8	54.9	58.2	60.0	63.4	68.2	78.0	84.7	90.6
X	30.3	30.9	30.9	33.4	35.1	37.3	41.0	44.9	46.5	50.3

વર્ષ	1969	1970	1971	1972	1973	1974	1975	1976	1977	1978
Y	98.2	101.7	102.7	108.3	124.7	157.9	158.2	170.2	180.0	198.0
X	53.5	52.8	55.9	63.0	73.0	84.8	86.6	98.8	110.8	124.7

કોષ્ટક 3માં આપેલ માહિતીનો ઉપયોગ કરી સુરેખ મૉડેલ y_t = β₀ + β₁x_t + u_t માં સ્વસહસંબંધ પ્રવર્તે છે કે કેમ તેની કસોટી ડર્બિનવૉટસન આગણક dના આધારે કરી શકાય. સૌપ્રથમ અજ્ઞાત અપ્રાચલો β₀ અને β₁ના OLS આગણનકાર 0 = 6.61 અને 1 = 1.63 થશે. આમ y_tની આગણિત કિંમત  = 6.61 + 1.63 X_t થશે. હવે, y_t –  = e_t લેતાં ડર્બિન-વૉટસન આગણક d = 0.70 થશે. ડર્બિન-વૉટસને આપેલા કોષ્ટકમાંથી n = 20, p = 1 (કારણ કે મૉડેલમાં એક બાહ્ય ચલ છે) અને α = .05 લેતાં d_L = 1.20 અને d_u = 1.41 થશે. d = 0.72 < d_L = 1.20 હોવાથી મૉડેલમાં સ્વસહસંબંધનું અસ્તિત્વ છે તેવું તારણ કાઢી શકાય.

સ્વસહસંબંધના અનુસંધાનમાં અન્ય પરીક્ષણો પૈકી થેઈલ-નાગર (Theil-Nagar) પરીક્ષણ, વૉન-ન્યૂમૅન ગુણોત્તર પરીક્ષણ, થેઈલની BLUS પદ્ધતિ તથા બ્રુશ-ગૉડફ્રે પરીક્ષણ મુખ્ય છે.

6. ત્રુટિ–અધીન બાહ્ય ચલો : એક-સમીકરણીય સુરેખ મૉડેલ. y_t = β₀ + β₁x1_t + β₂x2_t + … + β_p X_pt + u_t. t = 1, 2, 3, …, n માટે બાહ્ય ચલો x₁, x₂, …, x_p પરનાં અવલોકનોના માપનમાં કોઈ પણ પ્રકારની ત્રુટિ ઉદભવતી નથી તેમ અભિપ્રેત છે. જ્યારે સાપેક્ષ ચલ yના માપનમાં ત્રુટિ સંભવી શકે અને આ ત્રુટિનો ત્રુટિપદ utમાં સમાવેશ થઈ શકે. જો x₁, x₂, …, x_pના માપનમાં કોઈ ત્રુટિ હોય તો આપેલ સુરેખ મૉડેલના ચલો ત્રુટિઅધીન છે તેમ કહેવાય. અર્થવિષયક માહિતીમાં ચલોનું માપન ત્રુટિ-અધીન હોય તેવું ઘણી વાર બને છે. જો બાહ્ય ચલો ત્રુટિ-અધીન હોય તો અજ્ઞાત પ્રાચલો β₀, β₁, …, β_pનાં OLS આગણનકારો અભિનત અને અસંગત હોય છે. બાહ્ય ચલો ત્રુટિ-અધીન હોય તો અજ્ઞાત પ્રાચલોના સંગત આગણનકારો મેળવવા માટે મૉડેલમાં આપેલા બાહ્ય ચલોની સાથે અન્ય સાધનભૂત ચલો (instrumental variables) x₁´, x₂´, …, x_p´ લેવામાં આવે છે. આ સાધનભૂત ચલો બાહ્ય ચલો સાથે ગાઢ સહસંબંધ ધરાવે છે. પરંતુ સાધનભૂત ચલો મૉડેલનાં ત્રુટિપદ utથી નિરપેક્ષ હોવા જોઈએ. વાસ્તવિક જગતમાં ત્રુટિપદ utથી નિરપેક્ષ હોય તેવા સાધનભૂત ચલો મેળવવા મુશ્કેલ છે, સામાન્ય રીતે બાહ્ય ચલોની પશ્ચાત્ કિંમતો(lagged values)ને સાધનભૂત ચલો તરીકે લેવામાં આવે છે. કેટલીક વાર બાહ્ય ચલોની કિંમતોને સ્થાને આ કિંમતોના ક્રમાંકો(ranks)ને પણ સાધનભૂત ચલો તરીકે લેવામાં આવે છે. (સાધનભૂત ચલોની પદ્ધતિ વડે સુરેખ મૉડેલના અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનકારો કેવી રીતે મેળવી શકાય તેની વિસ્તૃત જાણકારી જ્હૉન્સ્ટનના ‘ઇકોનૉમેટ્રિક મેથડ્ઝ’ પુસ્તકમાંથી મેળવી શકાય). સાધનભૂત ચલો માટેની પદ્ધતિ યદૃચ્છ નિયત સંબંધકારો (random regressors or random exogenous variables) ધરાવતાં સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલોના પૃથક્કરણ માટે પણ ઉપયોગી છે.

7. યદૃચ્છ નિયત સંબંધકારોવાળાં નિયતસંબંધ મૉડેલો (regression models with stochastic regressors) : શરૂઆતમાં આપણે સંબંધકારો (regressors) નિયત (fixed) છે તેવું વિધાન કરેલું હતું, જેના પરિણામે માહિતી શ્રેણિક X પૂર્વનિશ્ચિત છે એવી ધારણા કરી હતી. હવે આ પ્રતિબંધ દૂર કરવામાં આવે તો નવા પ્રકારનો અભ્યાસ યદૃચ્છ નિયત સંબંધકારો (stochastic regressors) તરીકે ઓળખાય છે. જ્યારે પ્રાયોગિક અવલોકનો(experimental data)ને લક્ષમાં લેવાનાં હોય ત્યારે અયાદૃચ્છિકતા(non-randomness)નું વિધાન યોગ્ય બની શકે; પરંતુ પ્રાયોગિક ના હોય એવાં અવલોકનો માટે તેમાં રહેલી યદૃચ્છતાને લક્ષમાં લેતાં નિયતસંબંધ મૉડેલમાં તદનુરૂપ ફેરફાર થવા જોઈએ. ધારો કે સામયિક શ્રેણીના આડછેદ (cross-section) લઈને અમુક વર્ગની વ્યક્તિઓની આવકને તેમની ઉંમર, શિક્ષણ, જાતિ અને અન્ય વસ્તીશાસ્ત્રવિષયક ચલો (demographic variables) સાથે સાંકળતું વિધેય દર્શાવવામાં આવે તો આ વિધેયના સાપેક્ષ ચલો વચ્ચે પરસ્પર યદૃચ્છતાનો સંબંધ છે, જેને પરિણામે માહિતી શ્રેણિક X પણ યદૃચ્છ બની શકે. નિયતસંબંધકારોના આપેલા ગણ માટે ન્યૂનતમ વર્ગ, આગણનકારોના ગુણધર્મો આવા નિયતસંબંધકારો અને ત્રુટિપદ વચ્ચેના સંબંધને અધીન હોય તે આશ્ચર્યજનક નથી. તાર્કિક રીતે જોતાં નિયત સંબંધકારો ત્રુટિપદોથી નિરપેક્ષ છે તેવી ધારણા ચલોની બાહ્યતા અને એક જ દિશામાં પરિણમતા આકસ્મિક ફેરફારોના ખ્યાલો સાથે સંકળાયેલ છે તેમ કહી શકાય. દેખીતી રીતે નિયતસંબંધ સમીકરણનું સ્વરૂપ આપેલું હોય ત્યારે નિયતસંબંધકાર ઉપર થતી કોઈ યદૃચ્છ અસર સાપેક્ષ ચલ ઉપર પણ જણાવી જોઈએ. તેમ છતાં નિયતસંબંધકારો અને ત્રુટિપદો વચ્ચેની નિરપેક્ષતાની ધારણા પરથી એમ ફલિત થાય છે કે તેથી ઊલટું સાચું ઠરતું નથી એટલે કે સાપેક્ષ ચલ પર ત્રુટિપદોની ગ્રાહ્યતાને કારણે થતી અસર નિયતસંબંધકારો ઉપર પડતી નથી. આ કથનને વધુ સ્પષ્ટ રીતે મૂકવા માટેના પ્રયત્નો થયા છે, પરંતુ તે સંપૂર્ણ રીતે સફળ થયા નથી, કેમ કે આકસ્મિકતા(casuality)ની વ્યાખ્યા માટેની સર્વસંમતિ સાધવી મુશ્કેલ છે. આ માટેના બુદ્ધિગમ્ય પ્રયત્નો ગ્રેન્જર અને સીમ્સ દ્વારા થયા છે. હાલના તબક્કે તો જ્ઞાત ચલો (explanatory variables) માટે બાહ્ય ચલો એવો શબ્દ વાપરવો પર્યાપ્ત થશે, જેમાં આવા જ્ઞાત ચલો ત્રુટિચલોની સાથે નિરપેક્ષ હોય છે. બાહ્ય ચલો, મૉડેલ દ્વારા નિરૂપણ કરાતી પરિસ્થિતિથી અલગ રીતે નક્કી થતા હોય છે. આમ આવક માટેના વિધેયમાં કેળવણીને નિરપેક્ષ ચલ ગણીને તેને બાહ્ય ચલ તરીકે દર્શાવી શકાય, જોકે વસ્તુત: વધુ આવકવાળી વ્યક્તિઓને સારી કેળવણી માટે તકો ઉપલબ્ધ થતી હોય તે સંજોગોમાં આવો સંદર્ભ બદલાઈ પણ શકે છે.

જો નિયત સંબંધકારકોમાંનાં એક કે તેથી વધુ અવલોકનો તેમને અનુવર્તી ત્રુટિપદોની સાથે નિરપેક્ષ હોય તેમ છતાં તેઓ બધાં ત્રુટિપદોની સાથે નિરપેક્ષ ના પણ હોય તેવી પરિસ્થિતિનો અભ્યાસ પણ આવકાર્ય છે. આવી પરિસ્થિતિ સામયિક શ્રેણીના સંદર્ભમાં ઉદભવે છે કે જેમાં એક કે વધુ નિયતસંબંધકારકો સાપેક્ષ ચલોની પશ્ચાત્ કિંમત તરીકે આવતા હોય. આવી પરિસ્થિતિનો અભ્યાસ સૌપ્રથમ માન અને વૉલ્ડે કર્યો હતો.

સામયિક શ્રેણીના સ્વરૂપમાં મળતી માહિતીમાં પશ્ચાત્ આંતરિક ચલો(lagged endogenous variables)ને નિયત સંબંધકારો તરીકે લેવામાં આવતાં મૉડેલો વધુ પ્રચલિત છે. આવી પરિસ્થિતિ સામૂહિક અર્થવિષયક માહિતી માટે મહદ્અંશે પ્રસ્તુત હોય છે. માન અને વૉલ્ડ દ્વારા રજૂ થયેલાં મૉડેલોનું અગાઉ આવા પ્રકારના અભ્યાસ માટે પરંપરાગત ન્યૂનતમ વર્ગની પદ્ધતિ વડે અન્વાયોજન (fitting) કરી શકાતું હતું, તેમજ તે પરથી આર્થિક અનુમાન પણ કરવામાં આવતું હતું. માન અને વૉલ્ડનો આ અભ્યાસ અર્થમિતિશાસ્ત્રમાં ઘણો મહત્વનો બન્યો છે, કેમ કે તેમાં સામાન્ય સુરેખ મૉડેલની ધારણાઓનો લોપ કરીને આવા પ્રકારની સમસ્યાનો ઉકેલ સૂચવવામાં આવ્યો છે.

યદૃચ્છ નિયત સંબંધકારકોના સંદર્ભમાં એવાં નવાં મૉડેલો પ્રસ્તુત થયાં છે, જેમાં નિયત સંબંધકારકોનાં અનુવર્તી અવલોકનો અને ત્રુટિપદો વચ્ચે સહસંબંધ હોય. આવી સમસ્યા ઘણી ગંભીર છે, કેમ કે તેને કારણે ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકારો અભિનત તેમજ  અસંગત બને છે; તેને લીધે પ્રચલિત પરીક્ષણો અર્થહીન બને છે. આવી પરિસ્થિતિના અભ્યાસ માટેની સામાન્ય પદ્ધતિમાં સંગત આગણનકારો મેળવવાની પદ્ધતિને સાધનભૂત ચલોની પદ્ધતિ (instrumental variables) કહે છે.

નિયત સંબંધકારકો અને ત્રુટિપદો વચ્ચેનો સહસંબંધ ઘણાં કારણોને લીધે સંભવી શકે છે. આમાંનું એક કારણ એ છે કે નિયત સંબંધકારકો અને સાપેક્ષ ચલ વચ્ચે પરસ્પર અસર (feedback) છે. બીજું કારણ એ છે કે મૉડેલમાં નિયત સંબંધકારકોમાં પશ્ચાત્ સાપેક્ષ ચલ અને શ્રેણીગત રીતે સહસંબંધિત ત્રુટિપદ આવતું હોય. જો શ્રેણીગત સહસંબંધાંક એવા પ્રકારનો હોય કે જેથી પ્રચલિત અથવા છેવટનું ત્રુટિપદ એ પશ્ચાત્ સાપેક્ષ ચલવાળા નિયત સંબંધકારક સાથે સંબંધિત હોય ત્યારે ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકારો અભિનત અને અર્થહીન બને છે.

પશ્ચાત્ સાપેક્ષ ચલો અને સ્વસહસંબંધિત ક્ષતિઓ (auto-regressive errors) વચ્ચેના સંગઠનને કારણે અન્ય મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે જે ઉલ્લેખનીય છે. સ્વસહસંબંધાંક માટેનાં પ્રચલિત પરીક્ષણો (જેવાં કે ડર્બિન-વૉટ્સન પરીક્ષણ વગેરે) નિયત સંબંધકારકોમાંના પશ્ચાત્ સાપેક્ષ ચલોને કારણે અર્થહીન બને છે. આ માટે ડર્બિને અનંતલક્ષી (asymptotic) પરીક્ષણો આપેલાં છે. સાર્થકતાનાં પરીક્ષણોને સંબંધિત પ્રશ્નો માટે ત્રુટિપદોના શ્રેણીગત સહસંબંધાંકોના આગણનકારોનો અંદાજ અસંગત (inconsistent) બને છે. ત્રુટિપદોની ભાતવાળા શ્રેણીગત સહસંબંધાંકના સ્થાયી આગણનકારો અવશેષ પદ માટેના સાધનચલોની મદદ વડે મળી શકે છે. આ માટે અન્ય નિયત સંબંધકારોની પશ્ચાત્ કિંમતોને પશ્ચાત્ સાપેક્ષ  ચલોના યોગ્ય સાધનચલો તરીકે ગણાવી શકાય. વળી આ પરિસ્થિતિમાં ત્રુટિપદના સહવિચરણ શ્રેણિકનો સ્થાયી આગણનકાર વ્યાપક ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકાર છે અને તે અનંતલક્ષી રીતે દક્ષ (asymptotically efficient) નથી. આ માટે હટાનિકા દ્વારા અનંતલક્ષી અને દક્ષ તબક્કાવાળો આગણનકાર [two step (stage) regressor] આપવામાં આવ્યો છે.

નિયત સંબંધકારકોના માપમાં થતી ક્ષતિઓ(measurement error)ને કારણે પણ નિયત સંબંધકારકો અને ત્રુટિપદો વચ્ચેનો સહસંબંધ ઉદભવી શકે છે. દા.ત., દ્વિચલ સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલ-(bivariate linear regression model)માં y_i = α + β x_i + m_i. જેમાં સુરેખ મૉડેલની અન્ય ધારણાઓ સંતોષાય છે, પરંતુ વધુમાં આપણે એમ ધારીએ કે x_i પરનું અવલોકન પ્રાપ્ત થતું નથી, એટલે કે x_i ને બદલે x_i^* જેવું અવલોકન મળે છે, જ્યાં x_i^* = x_i + v_i અને v_i એ માપકરણની ક્ષતિ છે. તેના કારણે પ્રાપ્ત અવલોકનના સંદર્ભમાં ઉપરનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય : y_i = α + β x_i^* + (mi – βv_i).

અહીં x_i^* અને v_i વચ્ચે સહસંબંધ હોવાથી OLS આગણનકાર અસંગત થશે. આ માટેનો કોઈ સરળ ઉકેલ નથી, કેમ કે રિયરસોલના મત અનુસાર જો u અને v બેઉ પ્રમાણ્ય રીતે વિતરિત થયેલા હોય તો bની ઓળખ મળી શકતી નથી. βના કોઈ પણ સંગત આગણનકાર મેળવવા માટે u અથવા vનાં અપ્રમાણ્ય વિતરણો(non-normal distributions)નો ઉપયોગ કરવો પડે છે, જે માહિતીના સમૂહીકરણ (grouping of data) પરથી ઉદભવતા કેટલાક સંગત આગણનકારો માટે જરૂરી નથી. આ પ્રમાણેની માપકરણની ક્ષતિઓ માટેનો વિશિષ્ટ અભ્યાસ અર્થમિતિશાસ્ત્રના પ્રચલિત પુસ્તકોમાં કરવામાં આવે છે.

8. યુગપત્ સમીકરણો ધરાવતું સુરેખ મૉડેલ : એક-સમીકરણીય સુરેખ મૉડેલની રચનામાં જ્ઞાત કે બાહ્ય ચલ અથવા ચલો નિયત કિંમતો ધારણ કરે છે તેવી સ્પષ્ટ ધારણા કરવામાં આવે છે. વિવિધ આર્થિક પ્રક્રિયાઓ પરસ્પર આયત્ત કે આધારિત હોવાથી આ ધારણાનું સમાધાન કે સમર્થન થવું વ્યવહારમાં કે વાસ્તવિક જગતમાં શક્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે કાપડ-વપરાશના માંગવિધેયમાં કાપડ-વપરાશ(y)ને કાપડની કિંમતના ભાવાંક(x)ના સુરેખ વિધેય તરીકે લેવામાં આવે છે. આ વિધેયમાં કાપડની કિંમતના ભાવાંક(x)ને જ્ઞાત કે નિયત ચલ તરીકે લેવામાં આવે છે. હકીકતમાં કાપડની કિંમતનો ભાવાંક કાપડની વપરાશ પર પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ રીતે આધાર રાખે છે. તે જ પ્રમાણે કાપડ-વપરાશની પણ કાપડની કિંમતના ભાવાંક પર અસર પડે છે. વળી કાપડના ઉત્પાદન અને કાપડની આયાત-નિકાસ નીતિની પણ કાપડ-વપરાશ અને કાપડની કિંમતના ભાવાંક પર અસર પડે છે. આમ આર્થિક આંતરિક અને બાહ્ય ચલોની પરસ્પર નિર્ભરતાનો પ્રશ્ન અર્થતંત્રના નીતિવિષયક નિર્ણયોને અને આંતરરાષ્ટ્રીય બજારમાં રહેલી વ્યાપારસમતુલાને અધીન રહીને વિવિધ સમીકરણોમાં સ્થાન પામે છે. યુગપત્ સમીકરણો ધરાવતા મૉડેલમાં આવતા આંતરિક કે બાહ્ય ચલો સામાન્ય રીતે સમગ્રલક્ષી ચલો (macro-variables) હોય છે. યુગપત્ સમીકરણો ધરાવતા સુરેખ મૉડેલ વિશે સમજ કેળવવા આપણે એક સાદું ઉદાહરણ લઈશું. સમગ્રલક્ષી મૉડેલનાં નીચેનાં બે સમીકરણોનો આપણે વિચાર કરીએ.

M_t = α₀ + α₁ y_t + u_t ……………………………(8.1)

Y_t = β₀ + β₁ M_t + β₂ l_t + v_t

અહીં M_t સમય t માટે નાણાંનો પુરવઠો દર્શાવે છે. તે જ પ્રમાણે y_t અને l_t સમય t માટે અનુક્રમે આવક અને રોકાણ દર્શાવે છે. જ્યારે u_t અને v_t સમય t માટેનાં ત્રુટિપદો દર્શાવે છે. અહીં l_t બાહ્ય ચલ છે અને M_t અને y_t આંતરિક ચલો છે. (8.1)ના પ્રથમ સમીકરણમાં M_t આંતરિક ચલ સાપેક્ષ છે અને આંતરિક ચલ y_t બાહ્ય ચલ તરીકે લેવામાં આવ્યો છે અને બીજા સમીકરણમાં Y_t સાપેક્ષ ચલ છે અને M_t બાહ્ય ચલ છે. પ્રથમ સમીકરણના ત્રુટિપદ u_tમાં થતા ફેરફારની અસર બીજા સમીકરણમાં Y_t પર પડે છે. આમ Y_t અને u_t પરસ્પર સહસંબંધિત બને છે. આનું સીધું પરિણામ એ છે કે પ્રથમ સમીકરણ કે બીજા સમીકરણના અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનકારો અભિનત અને અસંગત બને છે. યુગપત્ સમીકરણો ધરાવતા મૉડેલના અજ્ઞાત ચલોને સામાન્ય રીતે માળખાગત પ્રાચલો (structural parameters) કહે છે.

યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલમાં આપેલાં સમીકરણોમાં આવતા પ્રત્યેક આંતરિક ચલને બાહ્ય ચલ કે ચલોના રૂપમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ રીતે મળતાં સમીકરણોને સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણો (reduced form equations) કહે છે. યુગપત્ સમીકરણોના મૉડેલ (8.1)માં કુલ ત્રણ ચલો M_t, Y_t અને l_t છે. આ પૈકી M_t અને Y_t આંતરિક ચલો છે જ્યારે l_t બાહ્ય ચલ છે. (8.1)ના પ્રથમ સમીકરણમાં બીજા સમીકરણમાં આપેલ Y_tની કિંમત મૂકતાં

M_t = α₀ + α₁ (β₀ + β₁M_t + β₂l_t + v_t) + u_t સમીકરણ મળશે. અર્થાત્

અને

લેતાં

M_t = π₀ + π₁ l_t + W_t ………………..(8.2)

મળશે. (8.1)ના પ્રથમ સમીકરણમાંથી Mtની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતાં

Y_t = π₂ + π₃ l_t + z_t ……………………(8.3)

મળશે.

અહીં,

સમીકરણો (8.2) અને (8.3)ને સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણો કહે છે. હવે યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલનાં એક યા તેથી વધુ સમીકરણોની અભિજ્ઞેયતા (identification) વિશે વિચાર કરીએ. યુગપત્ સમીકરણોની આંતરિક સુસંગતતાના સિદ્ધાંતના આધારે એમ કહી શકાય કે મૉડેલમાં જેટલા આંતરિક ચલો હોય તેટલાં સમીકરણો હોવાં જોઈએ. સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણોના ઉકેલ પરથી પ્રત્યેક આંતરિક ચલનો ઉકેલ બાહ્ય ચલ કે ચલો અને ત્રુટિપદોના રૂપમાં મેળવી શકાય. યુગપત્ સમીકરણો પૈકી જે સમીકરણોમાં આંતરિક ચલો બાહ્ય ચલો તરીકે આવતા હોય તેવાં સમીકરણોના અજ્ઞાત પ્રાચલોના આગણનકારો અભિનત અને અસંગત હોય છે. આ હકીકતનું નિરૂપણ હાવેલ્મોએ કર્યું. આનો સીધો અર્થ એ થયો કે માળખાગત પ્રાચલોના અનભિનત અને સંગત આગણન માટે ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ (OLS) યથાર્થ નથી. તેમ છતાં સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણોના પ્રાચલોનું સંગત રીતે આગણન કરવા માટે OLS પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય, કારણ કે સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણોમાં ચલો બાહ્ય ચલો છે. જો સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણો પરથી યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલના માળખાગત પ્રાચલોનું આગણન થઈ શકતું હોય તો યુગપત્ સમીકરણો ધરાવતું મૉડેલ અભિજ્ઞેય (identifiable) છે એમ કહેવાય. જો યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલમાં કોઈ એક સમીકરણના માળખાગત પ્રાચલોનું સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણો પરથી આગણન થઈ શકતું હોય તો મૉડેલનું તે સમીકરણ અભિજ્ઞેય છે એમ કહેવાય. અહીં આપેલા સમીકરણની અભિજ્ઞેયતાના પણ ત્રણ પ્રકાર છે : (i) સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતા (exact identification), (ii) અધિક અભિજ્ઞેયતા (over-identification), (iii) અપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતા (under-identification).

યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલનું કોઈ પણ સમીકરણ સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતા કે અધિક અભિજ્ઞેયતા કે અપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતા ધરાવે તેની શરતો વિશે વિચાર કરીએ.

(ક) જો આપેલા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન થયેલા બાહ્ય ચલોની સંખ્યા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ આંતરિક ચલોની સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યાની બરાબર હોય તો તે સમીકરણ સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય છે એમ કહેવાય.

(ખ) જો આપેલા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન થયેલા બાહ્ય ચલોની સંખ્યા સમાવિષ્ટ આંતરિક ચલોની સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યાથી વધુ હોય તો તે સમીકરણ અધિક અભિજ્ઞેય છે એમ કહેવાય.

(ગ) જો આપેલા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન થયેલા બાહ્ય ચલોની સંખ્યા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ આંતરિક ચલોની સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા કરતાં નાની હોય તો તે સમીકરણ અપૂર્ણ અભિજ્ઞેય છે એમ કહેવાય.

(ક), (ખ) અને (ગ)માં આપેલી શરતોને ક્રમિક શરતો (order conditions) કહે છે. આ શરતો અભિજ્ઞેયતા માટે જરૂરી છે પરંતુ પર્યાપ્ત નથી. આ શરતો ઘણાખરા પ્રશ્નોમાં સાચાં પરિણામો આપે છે. સમીકરણની અભિજ્ઞેયતા માટેની પર્યાપ્ત શરતને કોટિ-શરત (rank condition) કહે છે. આ શરત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :

ધારો કે યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલમાં કુલ સમીકરણોની સંખ્યા G છે. જે સમીકરણની અભિજ્ઞેયતા ચકાસવી છે તે સમીકરણમાંથી બાકાત રહેતા પરંતુ મૉડેલનાં અન્ય સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ થયેલા ચલોના સહગુણકો પરથી જો G–1 કક્ષાનો ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યેતર નિશ્ચાયક મેળવવો શક્ય હોય તો અને તો જ આપેલ સમીકરણ અભિજ્ઞેય કહેવાય.

જો આ કોટિ શરતનું સમાધાન થતું હોય તો સ્વાભાવિક રીતે જ ક્રમિક શરતનું પાલન થશે. તેમ છતાં આ વિધાનનું પ્રતીપ વિધાન સાચું હોઈ શકે નહિ.

હવે અભિજ્ઞેયતાની ઉપર આપેલી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરી (8.1)માં આપેલાં સમીકરણો અભિજ્ઞેય છે કે કેમ તેની ચકાસણી કરીએ. (8.1)ના પ્રથમ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન થયેલા બાહ્ય ચલની સંખ્યા 1 છે અને આ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ આંતરિક ચલોની સંખ્યા 2 છે. આ સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં 1 મળશે. આમ (ક)માં આપેલી સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતાની શરતનું પાલન થાય છે. તેથી યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલ(8.1)નું પ્રથમ સમીકરણ સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય છે.

હવે (8.1)માં આપેલ બીજા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન થયેલા બાહ્ય ચલની સંખ્યા શૂન્ય છે, અને આ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ આંતરિક ચલોની સંખ્યા 2 છે. આ સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં આપણને 1 મળશે. આમ (ગ)માં આપેલી અપૂર્ણ અભિજ્ઞેયતાની શરતનું પાલન થાય છે. તેથી બીજું સમીકરણ અપૂર્ણ અભિજ્ઞેય છે.

હવે યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલનાં જે સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય હોય તેવાં સમીકરણોના માળખાગત પ્રાચલોના આગણનકારો મેળવી શકાય. આ આગણનકારો મેળવવાની પદ્ધતિને પરોક્ષ ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ (method of indirect least squares, ILS) કહે છે. પરોક્ષ ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિમાં સંક્ષેપિત સ્વરૂપનાં સમીકરણોના અજ્ઞાત પ્રાચલોનું આગણન OLS પદ્ધતિથી કરી આગણનકારોની મદદથી મૉડેલના સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય સમીકરણના માળખાગત પ્રાચલોના આગણનકારો મેળવવામાં આવે છે.

(8.1)માં આપેલ મૉડેલનું પ્રથમ સમીકરણ M_t = α₀ + α₁ y_t + u_t સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય છે. હવે આ સમીકરણના પ્રાચલો α₀ અને α₁નું આગણન કરવું છે. આ માટે (8.2) અને (8.3)માં આપેલાં સંક્ષેપિત સમીકરણો પરથી OLS પદ્ધતિ દ્વારા π₀, π₁, π₂ અને π₃ના આગણનકારો મેળવી શકીએ. ધારો કે આગણનકારો , ,  અને  છે. હવે

અને 

હોવાથી  મળશે.

આમ પ્રાચલો α₀ અને α₁ના આગણનકાર પરોક્ષ રીતે મેળવ્યા. અર્થાત્ સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય સમીકરણ M_t = α₀ + α₁ y_t + u_tના માળખાગત પ્રાચલો α₀ અને α₁ના આગણનકારોને ILS આગણનકારો કહે છે. યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલના સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય હોય તેવા સમીકરણ માટે જ ILS પદ્ધતિ દ્વારા તે સમીકરણના માળખાગત પ્રાચલોના આગણનકાર મેળવી શકાય.

યુગપત્ સમીકરણોવાળા મૉડેલના અધિક અભિજ્ઞેય હોય તેવા સમીકરણના માળખાગત પ્રાચલોના આગણનકારો મેળવવા માટે વપરાતી આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિને દ્વિ-તબક્કા ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ (method of two-stage least squares- 2–SLS) કહે છે. સમીકરણ સંપૂર્ણ અભિજ્ઞેય હોય તો તેના માળખાગત પ્રાચલોના ILS કે 2–SLS પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ આગણનકારો સમાન હોય છે. 2-SLS પદ્ધતિ દ્વારા મળતા આગણનકારો સંગત હોય છે.

જો વિવિધ સમીકરણો વચ્ચેનાં ત્રુટિપદો પરસ્પર સહસંબંધિત હોય તો દ્વિ-તબક્કા ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકાર કરતાં વધુ દક્ષ આગણનકાર ત્રિ-તબક્કા ન્યૂનતમ વર્ગ પદ્ધતિ (three-stage least squares અથવા 3–SLS) દ્વારા મેળવી શકાય. (આ પદ્ધતિના વિવરણ માટે Johnston J.ના પુસ્તકનો સંદર્ભ લઈ શકાય). બીજી એક ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિને સંપૂર્ણ માહિતી મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર પદ્ધતિ (full information maximum likelihood mehtod) કહેવાય છે, જેમાં તમામ માળખાગત પ્રાચલોના સંદર્ભમાં સમગ્ર સંહતિ (system) માટેના સંભાવના વિધેય(likelihood function)ને મહત્તમ બનાવીને આવા આગણનકારો મેળવવામાં આવે છે. આવી પદ્ધતિ માત્ર નાની સંહતિઓ માટે ઉપયોગી છે. પ્રાચલોનું આગણન ક્રમિક પદ્ધતિ (iterative procedure) વડે કરવામાં આવે છે.

યુગપત્ સમીકરણોવાળાં મૉડેલોની આ બધી પદ્ધતિઓને સામાન્ય રીતે મોટાભાગના અર્થશાસ્ત્રીઓએ અધિકૃત રીતે સ્વીકારેલી છે. તેમ છતાં વૉલ્ડના કાર્ય પછી કેટલાક ચર્ચાસ્પદ મુદ્દાઓ ઊભા થયા છે. જોકે ઘણેભાગે પ્રાયોગિક અર્થમિતિશાસ્ત્રીઓ યુગપત્ સમીકરણોનાં મૉડેલોનો ઉપયોગ કરે છે – તેમ છતાં વૉલ્ડના અભ્યાસ પછી અનુવર્તી મૉડેલ(recursive models)નો ઉપયોગ પણ પ્રચલિત થયો છે. માળખાગત સમીકરણોમાં એક ચર્ચાસ્પદ બાબત એ છે કે તેઓ અભિજ્ઞેયતા માટે સૈદ્ધાંતિક પ્રતિબંધો પર આધારિત છે. આવા પ્રતિબંધો માટેનું સૈદ્ધાંતિક સમર્થન ભાગ્યે જ મળે છે, જેને કારણે એમ કહેવામાં આવે છે કે અભિજ્ઞેયતા માત્ર ઔપચારિક બાબત છે. આને કારણે અપ્રતિબંધિત (unrestricted) મૉડેલોનો ઉપયોગ થાય છે. આ માટે સાર્જન્ટ અને સીમ્સ, લૉરેન્સ ક્લેઇન વગેરેનાં મહત્વપૂર્ણ પ્રદાનો છે.

9. અન્ય સામાજિક વિજ્ઞાનો સાથેનો સંબંધ : સમાજશાસ્ત્રીઓ યુગપત્ સમીકરણોનો અભ્યાસ અલગ રીતે કરે છે અને આવી સમસ્યાઓને પથ-પૃથક્કરણ (path analysis) તરીકે વર્ણવે છે. અર્થમિતિશાસ્ત્રીઓ અને સમાજશાસ્ત્રીઓ વડે તૈયાર કરાતાં મૉડેલો વચ્ચે પરસ્પર સંબંધ હવે સ્પષ્ટ થવા લાગ્યો છે, જેને કારણે સમાન પ્રકારની સમસ્યાઓ માટે તેઓ લગભગ એકમત તરફ ઢળી રહ્યા છે. આ માટે અગાઉ ચર્ચેલા માપકરણની ક્ષતિઓના પરિચ્છેદના અભ્યાસને ધ્યાનમાં લઈ શકાય. એક સમીકરણવાળા મૉડેલમાં માપકરણની ક્ષતિ વિશે વધુ વિચાર કરવો શક્ય નથી; કેમ કે જ્ઞાત ચલના માપકરણની ક્ષતિને કારણે મૉડેલ અનભિજ્ઞેય (unidentifiable) બને છે.

ગોલ્ડ બર્જરે આવા પ્રકારના બહુસૂચક–બહુકારણલક્ષી મૉડેલ(multiple indicator – multiple cause, MIMC Model)નો અભ્યાસ કર્યો હતો. આવાં MIMC મૉડેલો અવયવ-પૃથક્કરણ (factor analysis) સાથે સંબંધિત છે, જેનો મનોવિજ્ઞાનીઓ ઘણો બહોળો ઉપયોગ કરે છે. અવયવ-પૃથક્કરણ પર અર્થમિતિશાસ્ત્રીઓએ વિશેષ લક્ષ આપેલું જણાતું નથી. આ બધી વિગતોના સંદર્ભમાં એઇગ્નર અને ગોલ્ડ બર્જરનું પ્રદાન વિશદ અને મહત્વપૂર્ણ છે.

10.  Jસામયિક શ્રેણીનાં મૉડેલો : સામયિક શ્રેણીનાં મૉડેલો માટે ઘણા લાંબા સમય સુધી અર્થમિતિશાસ્ત્રીઓ દ્વારા પ્રતિભાવ સાંપડ્યો નહોતો. મોટેભાગે તો સ્વસહસંબંધાંકની સુધારણા, પ્રથમ કક્ષાની સ્વનિયતસંબંધ (autoregressive) પદ્ધતિ માટે જ તેનો ઉપયોગ કરાતો હતો. સામયિક શ્રેણી-આધારિત માહિતી માટે માળખાગત સંહતિના ઉપયોગનો 1940માં નિર્દેશ કરાયો હોવા છતાં છેક 1960ના ગાળામાં આવી સંહતિઓ માટે સ્વસહસંબંધાંકની સુધારણા માટેની પદ્ધતિઓનો વિકાસ કરવામાં આવ્યો.

છેલ્લા લગભગ ત્રણ દાયકા દરમ્યાન સામયિક શ્રેણીની માહિતી માટેની પદ્ધતિઓનો અર્થમિતિશાસ્ત્રમાં સવિશેષ ઉપયોગ જોવા મળે છે. આનું કારણ બૉક્સ અને જેન્કિન્સનના કાર્યની અસર પણ હોઈ શકે. તેમનાં ARIMA મૉડેલો(Auto Regressive Integrated Moving Average Models-સ્વનિયતસંબંધ માટેના સંકલિત ચલિત સરેરાશનાં મૉડેલો)નું અર્થમિતિશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં મહત્વપૂર્ણ પ્રદાન અને ઉપયોગ છે. આ મૉડેલોનો ઉપયોગ કરીને કુલ રાષ્ટ્રીય ઉત્પાદન (Gross National Product – GNP) સંબંધી સામયિક શ્રેણી માટેનાં પૂર્વાનુમાન ઘણી જ સરળતાથી માળખાગત મૉડેલની જેમ કરી શકાય છે. પશ્ચાદ્ ચલોવાળાં મૉડેલોના ઉપયોગની સરખામણીએ આવાં મૉડેલોનો ઉપયોગ થતાં સામયિક શ્રેણીનાં મૉડેલોનું મહત્વ વધવા પામ્યું છે. જોકે કેટલાક લોકો આવાં ARIMA મૉડેલોને યંત્રવત્ ગણીને તેમની ટીકા કરે છે, અને અર્થવિષયક સિદ્ધાંતો માટે તેમનો ઉપયોગ બિનજરૂરી પણ ગણે છે.

વાસ્તવમાં માળખાગત મૉડેલો અને ARIMA મૉડેલો એમ બંનેનું બુદ્ધિગમ્ય સંમિશ્રણ થાય તે જરૂરી છે. આ માટેનું દિશાસૂચન ઝેલનર અને પામે કર્યું છે.

11. ગુણાત્મક અને મર્યાદિત ચલોવાળાં મૉડેલો : સામયિક શ્રેણીના આડછેદ માટેની ઘણી વિશાળ માહિતી ઉપલબ્ધ થતી હોવાને કારણે એવા ચલો કે જે સ્પષ્ટ રીતે સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલની ધારણાઓ સાથે સુસંગત ન રહેતા હોય તેમના પૃથક્કરણનું કાર્ય વધુ રસપ્રદ બનતું જાય છે. દા.ત., વસ્તીવિષયક (demographic) ચલોમાંના ઘણા ચલો સતત હોવાને બદલે અસતત હોય છે. તેથી ત્રુટિપદ સતત આવતો હોય તેવા સુરેખ મૉડેલ માટે તે સુસંગત રહેતા નથી.

કેટલાક ચલો ગુણાત્મક હોય છે. આવા ચલોની શક્ય તેવી સીમિત કિંમતો હોય છે અને તેમને સતત સ્કેલ વડે માપી શકાતા નથી. દા.ત., કોઈ વ્યક્તિ યુનિયનનો સભ્ય છે કે નહિ તે દર્શાવવું હોય તો તે બે કિંમતો વડે કરી શકાય. જો તેમની કિંમત 1 હોય તો તે યુનિયનનો સભ્ય છે, અને જો કિંમત 0 હોય તો તે યુનિયનનો સભ્ય નથી. આ પ્રમાણે આ માટેના ચલને મૂક ચલ (dummy variable) તરીકે લઈ શકાય. જેને 01 મૂક ચલ પણ કહેવામાં આવે છે. જોકે આવી પસંદગી સંપૂર્ણ સ્વૈચ્છિક હોય છે.

ધારો કે આવા ચલને સુરેખ મૉડેલમાં મૂકીએ તો આપણે એમ સ્વીકારીએ કે ચલ y એ ગણ{0, 1}માંની કિંમત ધારણ કરતો મૂક ચલ છે. અને ચલ X એ જ્ઞાત ચલોનો સદિશ છે, જે સતત અથવા ગુણાત્મક હોઈ શકે છે. આ માટેનું નિયત સંબંધ મૉડેલ આ પ્રમાણે થશે :

Y = β´X + e

અહીં જો Y = 0 હોય તો ε = β´X

અને Y = 1 હોય તો ε = 1 β´X

હવે જો E(ε) = 0 મૂકીએ તો,

β´ X = P(Y=1) = P

અને V (ε) = P(1–P)

તેથી ε એ પ્રમાણ્ય નથી. અને તે વિષમાંગચલનવાળો ચલ છે. વળી પ્રત્યેક અવલોકન માટે Pની કિંમત [0, 1] અંતરાલમાં આવે તેની કોઈ ખાતરી નથી. આને કારણે સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલને આવા ગુણાત્મક ચલોના પૃથક્કરણ માટે યથાર્થ ગણી શકાય નહિ.

ઉપરના સાદા ઉદાહરણને વધુ વિશદ રીતે એકથી વધુ ગુણાત્મક ચલોવાળા મૂક ચલરાશિઓના મૉડેલના સંદર્ભમાં મૂકી શકાય અને તેના પરથી આગણન, પૂર્વાનુમાન વગેરે થઈ શકે.

માત્ર બે કિંમતો ધરાવતા ચલો માટેના યોગ્ય મૉડેલની પસંદગીમાં લૉજિટ અને પ્રૉબિટ મૉડેલોને ગણાવી શકાય. લોજિટ મૉડેલ માટે નીચેનું સમીકરણ મૂકી શકાય.

જેમાં અંતરાલ [0, 1] માટેની મર્યાદા હોવાનો લાભ મળી શકે છે. આ સ્વરૂપ P (Y = 1) = G (β´ X) જેવું છે. અહીં G એ લૉજિસ્ટિક વિતરણ વિધેય (Logistic distribution function) દર્શાવે છે.

આના જેવું અન્ય મૉડેલ પ્રૉબિટ મૉડેલ છે જે નીચે પ્રમાણે આપી શકાય :

Y^* = β´ X + ε જેમાં ε ~ N (0, 1) છે. અને ધારો કે Y^*નું અવલોકન મળતું નથી અને Yની કિંમત નીચે પ્રમાણે લેવાશે.

જો Y^* > 0 તો Y = 1

જો Y^* < 0 તો Y = 0

આ ઉપરથી P(Y = 1) = F(β´ X), જ્યાં F એ પ્રમાણિત પ્રમાણ્ય ચલનું વિતરણ વિધેય છે, અને તે માટેનો અંતરાલ પણ [0, 1] છે. લૉજિસ્ટિક અને પ્રમાણ્ય વિતરણ વિધેયો ઘણાં સમરૂપ હોવાથી લૉજિટ અને પ્રૉબિટ મૉડેલ પર મોટાભાગના દ્વિઅંકી (binary) ચલો લગભગ સામ્ય ધરાવતાં પરિણામો આપે છે. બંને મૉડેલોમાં મહત્તમ વિસંભાવના આગણન વડે આગણનકારો મળી શકે છે. દા.ત., જો ગુણાત્મક ચલોના વિશિષ્ટ પ્રકારમાં ચલોને ક્રમશ: મહત્વ આપવાનું થાય તો તે સંદર્ભમાં આવા અભ્યાસો વધુ જટિલ બને છે; જેમ કે કોઈ વ્યક્તિ ગરીબ, મધ્યમ વર્ગની કે ધનિક હોય તેવી માહિતીનું નિરૂપણ મૉડેલમાં કરવું હોય તો ચલની કિંમત 0, 1, 2 મૂકી શકાય, પરંતુ અહીં આવક કે સંપત્તિના આધારે આવા ગુણાત્મક ચલો વચ્ચેનો ભેદ લૉજિટ મૉડેલમાં પરખાતો નથી. જ્યારે પ્રૉબિટ મૉડેલમાં ચલ Y ની કિંમત એવી રીતે દર્શાવી શકાય કે જેથી તદનુરૂપ સંભાવનાનું મહત્વ મૉડેલ દર્શાવી શકે. આ માટેનો રસપ્રદ અભ્યાસ અમેમિયોએ કર્યો છે.

તે જ પ્રમાણે જો ચલો તેમના શક્ય વિસ્તારમાં માત્ર મર્યાદિત કિંમતો ધરાવતા હોય તેવા અભ્યાસોનો પણ વિચાર કરી શકાય. અહીં બે પ્રકારના અભ્યાસો છે : સૌપ્રથમ તો વિચ્છિન્ન ચલ(truncated variable)વાળી પરિસ્થિતિ છે. દા.ત., અમુક ચીજવસ્તુઓ પાછળ કરાતો ખર્ચ અઋણ છે. આ માટેનું સૌથી લોકપ્રિય મૉડેલ ટૉબિન મૉડેલ તરીકે ઓળખાય છે, જેનો અભ્યાસ ટૉબીન દ્વારા કરાયો હતો. આવા મૉડેલમાં પ્રચલિત સુરેખ મૉડેલનું સ્વરૂપ,

Y* = β´ x + ε

જેમાં Y ની કિંમત મળતી નથી. (અવ્યક્ત) અને Yની અવલોકિત કિંમત Y = max (0, y^*) દ્વારા મળે છે.

ટૉબિન મૉડેલ એમ સ્વીકારી લે છે કે વ્યક્તિઓ માટેનો યદૃચ્છ નિદર્શ લેવામાં આવ્યો છે અને અહીં એવી વ્યક્તિઓ માટેની માહિતી એકત્ર કરી છે, જેમના માટે Y > 0 અને  Y = 0 હોય. આ માટેનો ખાસ અભ્યાસ Y > 0 માટે થયો છે, જે દર્શાવે છે કે Y > 0 વાળી વ્યક્તિઓ માટેનો સરળ યદૃચ્છ નિદર્શ (simple random sample) લેવાયો છે. અહીં આપણે પ્રશિષ્ટ સુરેખ મૉડેલ (classical linear model) નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે લઈએ :

Y = β´x + ε

જ્યાં εની કિંમત ε ≥ β´ X વડે પ્રતિબંધિત કરાય છે. આવા પ્રકારનો અભ્યાસ હોઝમન અને વાઇઝે કરેલો છે.

12. યુગપત્ સમીકરણોનાં મૉડેલોનો વિકાસ કરીને તેમનો ઉપયોગ-અર્થવિષયક શ્રેણીમાંથી જુદાં જુદાં ક્ષેત્રો માટે પૂર્વાનુમાન કરવાનું પ્રારંભિક કાર્ય એ અર્થમિતિશાસ્ત્રના અભ્યાસનું ઐતિહાસિક મહત્વ સૂચવે છે. આજે પણ અર્થમિતિશાસ્ત્રના અભ્યાસનો આ એક અત્યંત મહત્વનો ભાગ ગણાય છે. તેમ છતાં આ વિષયને અપાયેલો આધુનિક ઝોક વધુ સ્પષ્ટ ન હોય તેવી અર્થમિતિશાસ્ત્રની પદ્ધતિઓની દિશામાં જઈ રહ્યો હોય એમ લાગે છે. આનું એક કારણ એ હોઈ શકે કે નિયંત્રણ અને પૂર્વાનુમાનની સમસ્યાઓમાં સામયિક શ્રેણીની પદ્ધતિઓની આ વિષય પરની પકડ સંભવી શકે છે, અને તે ઉપરાંત બીજું કારણ એમ પણ આપી શકાય કે સામયિક શ્રેણીના આડછેદથી મળતી વિપુલ માહિતીને કારણે અન્ય સામાજિક વિજ્ઞાનોની સાથે આવા બધા અભ્યાસો સંકળાયેલા છે. આ રીતે વિશાળ પ્રમાણમાં વિકસતો જતો અર્થમિતિશાસ્ત્રનો સમગ્ર કાર્યપ્રદેશ નિરંતર વિસ્તૃત બની રહ્યો છે. વળી ગણિતશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રની અવનવી સંશોધનપદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થવાને કારણે અર્થમિતિશાસ્ત્રની તદનુરૂપ પદ્ધતિઓ પણ વધુ ને વધુ વિકસતી જાય છે. આ વિષય પર અન્ય વિજ્ઞાનોની પણ સારી એવી પ્રબળ અસર જોવા મળે છે. આ વિષયના અભ્યાસ માટે પ્રાથમિક તૈયારી રૂપે કલનશાસ્ત્ર, બીજગણિત, શ્રેણિકોનું ગણિત, આંકડાશાસ્ત્ર વગેરેનો અભ્યાસ જરૂરી બને છે, જેના આધારે આ વિષય સમજવામાં સરળતા રહે છે. વળી આની સાથે અર્થશાસ્ત્રના મૂળભૂત ખ્યાલો આપતા અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોનો પણ ઉપયોગ મહત્વનો બની રહે છે. કમ્પ્યૂટરના આગમન બાદ અર્થમિતિશાસ્ત્રની વિવિધ પદ્ધતિઓ અર્થશાસ્ત્રીય પ્રશ્નોના ઝડપી ઉકેલ માટે વધુ પ્રસ્તુત ને અર્થપૂર્ણ બની છે.

રઘુવીર મોદી

ભરત જાની