અનંત ગુણાકાર

અનંત ગુણાકાર (infinite product) : (1 + a₁) (1 + a₂) (1 + a₃) … (1 + a_n ) … સ્વરૂપની અનંત અવયવો ધરાવતી અભિવ્યક્તિ (expression). તેને સંકેતમાં  (1 + a_n) લખાય છે. અસ્પષ્ટતાને અવકાશ ન હોય તે સંજોગોમાં તેને સંક્ષેપમાં એ રીતે પણ લખવામાં આવે છે. [અનંત ગુણાકાર માં કોઈ પણ a_n , – 1 હોય નહિ એમ માની લેવામાં આવે છે. અન્યથા તે શૂન્યમાં પરિણમે.]

અભિસરણ (convergence) : (1 + a_n)  અનંત ગુણાકારના સંદર્ભમાં તેના પ્રથમ n અવયવોનો ગુણાકાર P_n તેનો આંશિક ગુણાકાર કહેવાય છે, જ્યાં

જોp.

શૂન્યેતર નિશ્ચિત સંખ્યા હોય તો તે અનંત ગુણાકાર અભિસારી (convergent) છે એમ કહેવાય; pને તેનું મૂલ્ય કહેવાય.

ઉદાહરણ રૂપે, અનંત ગુણાકાર અભિસારી છે.

જો અનંત ગુણાકાર અભિસારી ન હોય તો તે અપસારી (divergent) છે એમ કહેવાય. જો  હોય તો તે અનંત ગુણાકાર 0 પ્રતિ અપસારી છે એમ કહેવાય.

જો અનંત ગુણાકાર અભિસારી હોય તો  .

અનંત ગુણાકાર અને અનંતશ્રેઢી (series) : અમુક અનંત શ્રેઢીઓનાં અભિસરણ સાથે તેમને અનુરૂપ અનંત ગુણાકારોનાં અભિસરણ સંકળાયેલાં હોય છે. જો nની પ્રત્યેક કિંમત માટે a_n અનૃણ (non-negative) હોય તો અનંત ગુણાકાર અને અનંત શ્રેઢી  બંને એકસાથે અભિસારી હોય છે અને એકસાથે અપસારી હોય છે. નીચેનું સરળ પરિણામ તારવી શકાય છે.

જો nની પ્રત્યેક કિંમત માટે તો લખતાં

અને થાય જેમાં ≠ 1

જો અભિસારી શ્રેઢી હોય તો અનંત ગુણાકાર અભિસારી છે. પરંતુ જો અપસારી શ્રેઢી હોય તો  (1 – b_n) શૂન્ય પ્રતિ અપસારી ગુણાકાર છે.

જો  ગુણાકાર અને શ્રેઢી બંને એકસાથે અભિસારી કે અપસારી હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે,     અભિસારી છે કારણ કે  અભિસારી શ્રેઢી છે.

નિરપેક્ષ (absolute) અભિસરણ : જો  (1 + a_n) ગુણાકાર અભિસારી હોય તો  (1 + a_n) ગુણાકાર નિરપેક્ષ અભિસારી છે એમ કહેવાય.

 (1 + a_n)ના નિરપેક્ષ અભિસરણ માટે a_n શ્રેઢી નિરપેક્ષ અભિસારી હોય એ શરત આવશ્યક અને પર્યાપ્ત (necessary and sufficient) છે.

ઉદાહરણ તરીકે,   નિરપેક્ષ અભિસારી ગુણાકાર છે. કારણ કે  નિરપેક્ષ અભિસારી શ્રેઢી છે.

નિરપેક્ષ અભિસારી અનંત ગુણાકારના અવયવોનો ક્રમ તેનું મૂલ્ય બદલ્યા સિવાય ગમે તે રીતે ફેરવી શકાય છે.

અનંત ગુણાકારનો લઘુગણક : જો તમામ a_n વાસ્તવિક અને ધન હોય તો જ્યારે  (1 + a_n) = p હોય ત્યારે  log (1 + a_n) = log p છે.

વ્યાપક પરિસ્થિતિમાં, જ્યારે  (1 + a_n) = p હોય ત્યારે  log (1 + a_n) = log p + 2k i, અહીં k પૂર્ણાંક છે.

કેટલાંક ઉપયોગી પરિણામો :

(1) 

આ સૂત્રમાં x = π/2 મૂકતાં વાલી(Wallis)નું વિખ્યાત સૂત્ર  પ્રાપ્ત થાય છે.

(2)  

(3) જો a_n,  a_n², …, a_n^k-1, ।a_n।^k એ તમામ શ્રેઢીઓ અભિસારી હોય તો (1 + a_n) ગુણાકાર અભિસારી હોય છે.

(4) જો a_n વાસ્તવિક હોય અને a_n અભિસારી શ્રેઢી હોય તો a_n² અભિસારી કે અપસારી હોય તદનુસાર (1 + a_n) ગુણાકાર અભિસારી કે શૂન્ય પ્રતિ અપસારી હોય છે.

(5) જો  ।u_n²। અભિસારી હોય તો (1–u_n) e^un પણ અભિસારી હોય છે.

(6) જો  ।u_n³। અભિસારી હોય તો  પણ અભિસારી હોય છે.

અનંત ગુણાકારનું એકરૂપ અભિસરણ :  અનંત [1 + u_n(z)] માં પ્રત્યેક અવયવ વાસ્તવિક કે કાલ્પનિક ચલ zનું વિધેય છે. તેના પ્રથમ n અવયવોનો આંશિક ગુણાકાર Pn (z) = [1+u(z)] છે.

જો zના કોઈ મૂલ્યપ્રદેશમાં pn(z) શૂન્યેતર p(z)માં અભિસારી હોય તો  [1 + u_n(z)] ગુણાકાર એકરૂપ અભિસારી છે એમ કહેવાય.

એકરૂપ અભિસરણની સરળ કસોટી : જો  |u_n(z)| શ્રેઢી પ્રદેશ R પર સીમિત સરવાળા પ્રતિ એકરૂપ અભિસારી હોય તો [1+u_n(z)] ગુણાકાર પણ R પર એકરૂપ અભિસારી હોય છે.

હાર્ડીએ નિર્દેશેલો અને લિટલવુડે ઉકેલેલો કૂટપ્રશ્ન :

ગુણાકાર  ની કોઈ પણ સંમેય (rational) કિંમત માટે અભિસારી નથી પણ તે ની સંમેય ન હોય એવી બૈજિક (algebraic) કિંમત માટે અભિસારી છે.

મોહનભાઈ ડા. સુથાર