અંકીય પરિપથ

(digital circuits)

વિભિન્ન (discrete) મૂલ્યોના આદાન વોલ્ટેજને અનુરૂપ વિભિન્ન મૂલ્યોના પ્રદાન વોલ્ટેજ-સ્તર પેદા કરતાં પરિપથ.

ગણતરી કરવા માટે માણસ પહેલાં આંગળીઓનો ઉપયોગ કરતો હતો. આમાંથી 1, 2, …,9 એમ અંકો મળ્યા. શૂન્ય પાછળથી ઉમેરાયેલું છે. જે ક્રિયામાં સ્વતંત્ર (discrete) એકમોનો ઉપયોગ થાય તેને અંકીય પ્રવિધિ (digital process) કહે છે. જે ક્રિયામાં વોલ્ટેજ અને વીજપ્રવાહ જેવી સતત બદલાતી રાશિઓનો ઉપયોગ થાય તેને અનુરૂપ (analog) પ્રવિધિ કહે છે. આ ઉપરથી અંકીય પરિપથ અને અનુરૂપ પરિપથ એ શબ્દો યોજ્યા છે. વ્યવહારમાં વ્યાપક રીતે  વપરાતાં  – અંકીય ઘડિયાળ, કૅલક્યુલેટર, કમ્પ્યૂટર જેવાં સાધનોમાં આવા અંકીય પરિપથો વપરાય છે.

સંકલિત પરિપથ(integrated circuit)ને ટૂંકામાં આઇસી (IC) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મોટા પાયા પર અંકીય પ્રણાલી (system) બનાવવાની ટેક્નૉલોજીને IC ટેક્નૉલૉજી કહે છે. સિલિકોનની એક અતિ પાતળી પતરી (chip) પર ડાયોડ, ટ્રાન્ઝિસ્ટર, અવરોધ, કૅપેસિટર ઇત્યાદિ અનેક ઘટકો(components)ને સંકલિત કરીને IC બનાવવામાં આવે છે. આવી એક પતરી પર થતા સંકલિત ઘટકોની સંખ્યા પ્રમાણે સંકલન(integration)નું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ થાય :

(i) નાના કદનું સંકલન (small scale integration — SSI)

(ii) મધ્યમ કદનું સંકલન (medium scale integration  – MSI)

(iii) વિશાળ કદનું સંકલન (large scale integration – LSI)

(iv) અતિવિશાળ કદનું સંકલન (very large scale integration  — VLSI)

સિલિકોનની આવી એક પતરીનું ક્ષેત્રફળ 25૦૦ mil² (5૦ mil × 5૦ mil; 1 mil = ૦.૦૦૦1 ઇંચ) હોય છે. આ સૂક્ષ્મ પતરીની ક્ષમતા તથા સંકલિત પરિપથ IC (Integrated Circuit) ટૅકનૉલોજીના વિકાસનો ખ્યાલ કોષ્ટક 1 જોવાથી આવશે :

કોષ્ટક 1

ICનું વર્ગીકરણ	દરેકમાં પ્રાથમિક ઘટકની સંખ્યા
SSI	12 કરતાં ઓછા
MSI	12થી વધુ પણ 1૦૦થી ઓછા
LSI	1૦૦થી વધુ પણ 1૦૦૦થી ઓછા
VLSI	1૦૦૦થી વધુ

કોઈ પણ અંકીય પ્રણાલીમાં એકસાથે અમુક જ મૂળભૂત સંક્રિયા થઈ શકે. ખરેખર તો આ સંક્રિયા વારંવાર કરવામાં આવે છે. આ અંકીય પ્રણાલીના પાયાના એકમો તરીકે ચાર પ્રકારનાં તાર્કિક દ્વાર (logic gates) અથવા તાર્કિક પરિપથ ગણાવી શકાય : અથવા  OR; અને  AND; નથી  NOT અને ઊલટ-સૂલટ – FLIP-FLOP. દરેક પરિપથનો ઉપયોગ બૂલીય બીજગણિત(Boolean algebra)નાં સમીકરણોને વ્યવહારમાં મૂકવા માટે થાય છે. પાયાની બૂલીય સર્વસમિકાઓ (identities) અને ડી-માર્ગનના નિયમો તાર્કિક પરિપથ સમજવા માટે ઉપયોગી છે.

અંકીય પ્રણાલી દ્વિઅંકી રીતે કાર્ય કરે છે, આથી આ પ્રણાલી બનાવવા માટે એવી પ્રયુક્તિ(device)નો ઉપયોગ કરી શકાય, જે બે શક્ય અવસ્થા (states) સૂચવતી હોય; જેમ કે :

(i) ઉચ્ચ અથવા નિમ્ન (high or low)

(ii) સાચું અથવા ખોટું (true or false)

(iii) ૦ અથવા 1 ઇત્યાદિ.

આ બધાંમાંથી જેની બે અવસ્થા ૦ અને 1 હોય એવી પ્રયુક્તિઓનો દ્વિઅંકી બીજગણિતમાં બહોળા પ્રમાણમાં ઉપયોગ થાય છે. એમ કહી શકાય કે કોઈ પણ અંકીય પ્રણાલીનું દ્વિવિધ કાર્ય હોય છે, જેમ કે :

(i) દ્વિઅંકી અંકો ૦ અને 1 ઉપર અથવા  OR, અને AND, નથી – NOT જેવી તાર્કિક સંક્રિયા કરે.

(ii) ઊલટસૂલટ(FLIP-FLOP)નો ઉપયોગ કરીને દ્વિઅંકી 0 અને 1ને સંઘરવાનું (store) એટલે કે યાદ (memorize) રાખવાનું કાર્ય કરે.

દ્વિઅંકી પ્રણાલી (binary system) : દશાંશ પ્રણાલીનો આધાર (base) 1૦ છે. એમાં કોઈ પણ સંખ્યાને ૦, 1, 2, ……9 એમ દસ અંકોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. તેમાં જુદા જુદા અંકના સ્થાનને નિશ્ચિત મૂલ્ય અપાય છે; જેમ કે, એકમ, દશક, શતક વગેરે.

દ્વિઅંકી પ્રણાલી બે અંક પર રચાયેલી છે. આ પદ્ધતિમાં કોઈ પણ સંખ્યાને માત્ર બે જ અંકો ૦ અને 1નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે; દા.ત., દ્વિઅંકી સંખ્યા 11૦1૦1નો અર્થ નીચે પ્રમાણે છે :

11૦1૦1₂ = 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + ૦ × 2³ + 1 × 2² + ૦ × 2¹ + 1 × 2^૦

11૦1૦1₂ = 32 + 16 + ૦ + 4 + ૦ + 1

11૦1૦1₂ = 53_1૦

કેટલીક દશાંશ સંખ્યા અને તેને અનુવર્તી દ્વિઅંકી સંખ્યા કોષ્ટક 2માં આપેલી છે :

કોષ્ટક ૨

દશાંશ સંખ્યા	દ્વિઅંકી સંખ્યા
00	0 0 0 0 0
01	0 0 0 0 1
02	0 0 0 1 0
03	0 0 0 1 1
04	0 0 1 0 0
:	:
:	:
10	0 1 0 1 0
11	0 1 0 1 1
:	:
:	:
20	1 0 1 0 0
21 :	1 0 1 0 1 :
:	:
30	1 1 1 1 0
31	1 1 1 1 1

૦ અને 1 એ બંને અંકોને ‘બિટ’ (binary digit  bit) કહે છે. 8 બિટના સમૂહને ‘બાઇટ’ (byte) કહે છે. તેને શબ્દ (word) પણ કહે છે. ચાર બિટના સમૂહને નિબલ કહે છે. n બિટ હોય તેવા શબ્દની અધિકતમ સંખ્યા ૨n હોય છે; દા.ત., કોષ્ટક 2માં દરેક શબ્દમાં પાંચ બિટ છે. આથી શબ્દની અધિકતમ સંખ્યા 25 = 32 છે અને તેને ૦થી 31 સુધીની દશાંશ સંખ્યાઓ વડે દર્શાવી શકાય છે.

દ્વિઅંકી સાંકેતિક દશાંશ પ્રણાલી (binary coded decimal – BCD) : કોઈ પણ દ્વિઅંકી પરિપથ માત્ર બે જ દ્વિઅંકી અંકો સમજી શકે છે. મનુષ્યના વ્યવહારમાં દશાંશ પ્રણાલીનો ઉપયોગ થાય છે. આથી જરૂરી માહિતી (information) દ્વિઅંકી પ્રણાલીને આપવા માટે દશાંશ સંખ્યાનું દ્વિઅંકી શબ્દમાં સંકેતન (coding) કરવું પડે છે. દ્વિઅંકી સાંકેતિક દશાંશ પ્રણાલી (binary coded decimal  — BCD system) દ્વારા આવું શક્ય બને છે. એને 8421 સંકેત (code) પણ કહે છે, કારણ કે A₃, A₂, A₁, A_૦ જેવા કોઈ દ્વિઅંકી શબ્દમાં A_૩, A₂, A₁, A_૦નાં સ્થાનમૂલ્યો (place values) અનુક્રમે 8, 4, 2, 1 છે. કોષ્ટક ૨માં દશાંશ ૦, 1, 2, ….., 31 માટેના દ્વિઅંકી શબ્દો ૦૦૦૦૦, ૦૦૦૦1, ૦૦૦1૦, …., 11111 લખ્યા છે. તેવી રીતે દશાંશ ૦, 1, 2, …., 15 માટેના ચાર બિટ શબ્દો ૦૦૦૦, ૦૦૦1, ૦૦1૦, ….., 1111 લખી શકાય.

દા.ત., ૩,456 જેવી દશાંશ સંખ્યા BCD સંકેતમાં લખાય. 3, 4, 5, 6ના દ્વિઅંકી સ્વરૂપ ૦૦11, ૦1૦૦, ૦1૦1, ૦11૦ છે. આથી

૩,456_1૦ = ૦૦11૦1૦૦૦1૦1૦11૦_BCD

આ અંક સોળ બિટ શબ્દ છે.

ધન અને ઋણ તાર્કિક પ્રણાલી :

(A) ડીસી તર્ક (DC  logic) – સ્તરીય તર્ક (level logic) : અંકીય પદ્ધતિ માત્ર બે જ અંકો ૦ અને 1ના ઉપયોગ ઉપર રચાયેલી હોવાથી તેમાં એવી પ્રયુક્તિઓ વપરાય છે, જે માત્ર બે જ અવસ્થામાં હોઈ શકે. આ પ્રણાલીને સ્તરીય તર્ક-પ્રણાલી (logic level system) અથવા ડીસી તર્ક-પ્રણાલી કહે છે. આમાં બે શક્યતાઓ છે :

(a) ધન તાર્કિક પ્રણાલી : ઉચ્ચસ્તરીય વોલ્ટેજ એટલે કે વધુ ધન વોલ્ટેજ અંક 1 દર્શાવે છે અને નિમ્નસ્તરીય વોલ્ટેજ એટલે કે ઓછું ધન વોલ્ટેજ અંક ૦ દર્શાવે છે. (જુઓ : આકૃતિ 1.)

(b) ઋણ તાર્કિક પ્રણાલી : આમાં ઉચ્ચસ્તરીય વોલ્ટેજ અંક ૦ દર્શાવે અને નિમ્નસ્તરીય વોલ્ટેજ અંક 1 દર્શાવે છે. (જુઓ : આકૃતિ ૨.)

(B) સ્પંદ તર્ક અથવા ગતિક તર્ક-પ્રણાલી (pulse logic or dynamic logic system) :

(a) ધન તર્ક-પ્રણાલી – ધન સ્પંદ (pulse) હોય તો તે અંક 1 દર્શાવે છે અને ન હોય તો તેને અંક ૦ વડે દર્શાવાય છે.

(b) ઋણ તર્ક-પ્રણાલી – ઋણ સ્પંદ હોય તો તે અંક 1 વડે દર્શાવાય છે અને ન હોય તો તેને અંક ૦ વડે દર્શાવાય છે.

તાર્કિક દ્વાર (logic gates) : અંકીય પ્રણાલીમાં વપરાતા આ તાર્કિક પરિપથો છે. સામાન્ય રીતે વપરાતા તાર્કિક પરિપથો અથવા – OR; અને – AND; નથી – NOT; (ઊલટસૂલટ FLIP-FLOP સિવાય) છે. બીજાં અગત્યનાં દ્વાર NOR; NAND; EXCLUSIVE-OR વગેરે. સામાન્ય રીતે દ્વાર પરિપથના ઘણા આદાન આસંધિ (input nodes) હોય છે. સરળતા ખાતર બે આદાનવાળાં દ્વારોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

(1) અથવા (OR) દ્વાર : આ એક એવો પરિપથ છે, જેને માટે એક કે વધુ આદાન અવસ્થા 1માં હોય તો જ પ્રદાન(output) અવસ્થા 1માં આવે. આનો અર્થ એમ પણ થાય કે આપેલ ધન ડીસી તાર્કિક પરિપથ માટે ઓછામાં ઓછો એક આદાન (input) જો ઉચ્ચસ્તરીય વોલ્ટેજ હોય તો પ્રદાન પણ ઉચ્ચસ્તરીય વોલ્ટેજ હશે.

અહીં આકૃતિમાં A તથા B આદાન છે અને Y પ્રદાન છે.

બૂલીય પદાવલી (Boolean expression) : Y = A + B. અહીં ચિહ્ન + અથવા (OR) સંક્રિયા દર્શાવે છે (સરવાળો નહિ).

આ પદાવલી આ રીતે વંચાય છે : “Y બરાબર A અથવા (OR) B.”

અહીં D ડાયોડ છે. ટ્રૂથ ટેબલ દર્શાવે છે કે જ્યારે ફક્ત A, અથવા ફક્ત B, અથવા બંને, અવસ્થા 1માં હોય ત્યારે Y અવસ્થા 1માં હશે.

અથવા (OR) સંક્રિયાને લગતી કેટલીક બૂલીય સર્વસમિકા :

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

A + B = B + A

A + A = A

A + 1 = 1

A + ૦ = ૦

(2) અને (AND) દ્વાર (gate) : આ એક એવો પરિપથ છે, જેને માટે જો બધાં જ આદાનો અવસ્થા 1માં હોય તો જ પ્રદાન અવસ્થા 1માં હોય.

બૂલીય પદાવલી : Y = AB અથવા Y = AB

A અને B વચ્ચેનું ટપકું અને (AND) સંક્રિયા સૂચવે છે. બંને વચ્ચે ટપકું ન હોય તોપણ અને (AND) સંક્રિયા સૂચવાય છે. આ પદાવલી આ પ્રમાણ વંચાય છે :

“Y બરાબર A અને (AND) B.”

બૂલીય સર્વસમિકા (identities)

ABC = (AB) C = A (BC)

AB = BA

AA = A

A1 = A

A૦ = ૦

A (B + C) = AB + AC

આ સમીકરણ આવી રીતે વંચાશે : “A AND ‘B OR C’ બરાબર ‘A અને (AND) B’ અથવા (OR) ‘A અને (AND) C’.”

અહીં એ બાબતની નોંધ લેવી ઘટે કે :

(i) ઋણ તર્ક અથવા (OR) દ્વાર અને ધન તર્ક અને (AND) દ્વાર એ બંને પરિપથ સમાન છે.

(ii) ધન તર્ક અથવા (OR) દ્વાર અને ઋણ તર્ક અને (AND) દ્વાર એ બંને પરિપથ સમાન છે.

(૩) નથી (NOT) દ્વાર અથવા ઊલટસૂલટ (inverter) : આ એક એવો પરિપથ છે, જેનું પ્રદાન (output) તેના આદાન(input)નું પ્રતીપન એટલે કે વ્યસ્ત (inversion) છે. આ દ્વારને એક જ આદાન હોય છે. જો આદાન 1 હોય તો પ્રદાન ૦ હશે, અને જો પ્રદાન 1 હોય તો આદાન ૦ હશે.

સામાન્ય રીતે એક વર્તુળ (૦) નથી (NOT) સંક્રિયા દર્શાવવા વપરાય છે. (NOR અને NAND દ્વારની સંજ્ઞાઓ જોવાથી આનો ખ્યાલ આવશે.)

બૂલીય પદાવલી : Y = . આ પદાવલી નીચે પ્રમાણે વંચાશે : “Y બરાબર નથી (NOT) A” અથવા “Y બરાબર પ્રતીપન (inversion) A.”

આ પરિપથમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ થાય છે. આકૃતિમાં B, E અને C ટ્રાન્ઝિસ્ટરના અનુક્રમે આધાર (base), ઉત્સર્જક (emitter) અને સંગ્રાહક (collector) છે.

બૂલીય સર્વસમિકા :

(4) અનન્ય (exclusive) અથવા (OR) દ્વાર (EX OR અથવા X OR) :

આ એક એવો પરિપથ છે, જેનું કોઈ એક જ આદાન 1 હોય તો જ તેનું પ્રદાન 1 હોય છે. આમ, EX OR દ્વાર એટલે એવું દ્વાર જેમાં ‘‘જો A = 1 હોય અને B = 1 હોય તો Y = 1’’ એ શક્યતા નથી. OR તથા EX OR દ્વારોનાં ટ્રુથ ટેબલ સરખાવતાં આનો ખ્યાલ આવશે.

બૂલીય પદાવલી : આ પદાવલી નીચે પ્રમાણે વંચાશે : “Y બરાબર A Exclusive OR B.”

ટ્રૂથ ટેબલ :

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

પરિપથ : નીચેનાં ચારમાંથી કોઈ પણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને EX OR સંક્રિયા મેળવી શકાય છે.

આમ, EX OR સંક્રિયા મેળવવા માટે OR, AND, NOT દ્વારોનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે પહેલા સમીકરણ પરથી આપણે EX OR માટેની તાર્કિક રેખાકૃતિ (logic block diagram) દોરીએ.

આ સમીકરણ EX OR સંક્રિયા આપે છે તે નીચેના ટ્રુથ ટેબલ પરથી સમજાશે :

A	B	A + B	AB
0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1
1	1	1	1	0	0

(5) NOR દ્વાર : આ પરિપથ, અથવા (OR) દ્વાર અને NOT દ્વારના પરિપથોના સંયોજનથી મળે છે. OR દ્વારનું પ્રદાન, NOT દ્વારનું આદાન બનતું હોવાથી A અને B માટેના દરેક સંયોજન માટેનું OR દ્વારનું પ્રદાન NOT દ્વાર વડે ઊલટું થાય છે, આમ NOR દ્વારનું પ્રદાન Y બને છે.

બૂલીય પદાવલી : આ પદાવલી નીચે પ્રમાણે વંચાશે. ‘‘Y બરોબર NOT ‘A OR B’ ’’ અથવા ‘‘Y બરાબર વ્યુત્ક્રમ (પ્રતીપન – inversion) ‘A OR B’.’’

ટ્રૂથ ટેબલ :

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

(6) NAND દ્વાર : આ પરિપથ AND અને NOT દ્વારના પરિપથોના સંયોજનથી મળે છે.

બૂલીય પદાવલી : આ પદાવલી નીચે પ્રમાણે વંચાશે. “Y બરાબર NOT ‘A AND B’ “, અથવા “Y બરાબર વ્યુત્ક્રમ/પ્રતીપન (inversion) ‘A AND B’. “

ટ્રૂથ ટેબલ :

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

પરિપથ : AND પરિપથના પ્રદાનને NOT પરિપથના આદાન તરીકે લેવામાં આવે તો NAND પરિપથ મળે છે.

અંકીય પરિપથોની આટલી ચર્ચા કર્યા પછી એક અગત્યની નોંધ કરવી ઘટે. માત્ર NOR દ્વારો કે માત્ર NAND દ્વારોનો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂળભૂત તાર્કિક સંક્રિયાઓ OR, AND, NOT કરી શકીએ, આથી NOR અને NAND દ્વારોને સર્વમાન્ય સાર્વત્રિક (universal) દ્વારો કહે છે. NAND દ્વાર જેવા એક જ પ્રકારના પરિપથના ઉપયોગથી બધી તાર્કિક સંક્રિયાઓ કરી શકાય છે. આ હકીકત અત્યંત ઉપયોગી છે, તે જ રીતે NAND દ્વારો અને ઊલટસૂલટ(FLIP-FLOP)ના સંયોજનથી કોઈ પણ અંકીય પ્રણાલી બનાવી શકાય. આવી પ્રણાલીમાં ઊલટસૂલટ(FLIP-FLOP)નું કાર્ય બિટ (bit) ૦ અને 1 સંઘરવાનું અને NAND દ્વારોનું કાર્ય આ સંગ્રહેલી બિટ પર તાર્કિક સંક્રિયાઓ કરવાનું છે.

આગળ જોયું તે પ્રમાણે કોઈ તાર્કિક પરિપથ ડાયોડ, ટ્રાન્ઝિસ્ટર વગેરે જેવી સક્રિય પ્રયુક્તિઓ (active devices) તથા રેઝિસ્ટર, કૅપેસિટર વગેરે જેવી નિષ્ક્રિય (passive) પ્રયુક્તિઓ વાપરીને મેળવી શકાય છે. આ પરિપથોને જુદાં જુદાં તાર્કિક કુળો(families)માં વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા છે, જેમ કે :

(i) ડાયોડ તર્ક (diode logic – DL)

(ii) ડાયોડ ટ્રાન્ઝિસ્ટર તર્ક (diode transister logic – DTL)

(iii) ટ્રાન્ઝિસ્ટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર તર્ક (TTL)

(iv) રેઝિસ્ટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર તર્ક (RTL)

(v) સીધો યુગ્મિત (direct coupled) ટ્રાન્ઝિસ્ટર તર્ક (DCTL)

(vi) ઉત્સર્જક યુગ્મિત (emitter coupled) તર્ક (ECL) વગેરે.

પરિપથ બનાવવાની ટૅકનૉલૉજી અનુસાર પણ કેટલાંક તાર્કિક કુળો મળે છે, જેમ કે :

(vii) મેટલ-ઑક્સાઇડ અર્ધવાહકો (semi conductor – MOS)

(viii) પૂરક (complimentary) MOS, (CMOS)

(ix) સંકલિત (integrated) ઇન્જેક્શન તર્ક (IIL અથવા I²L) વગેરે.

કેટલીક સંયુક્ત અંકીય પ્રણાલીઓ (combinational digital system) પણ આગળ ચર્ચેલા તર્ક-દ્વારની મદદથી મેળવી શકાય.

સંયુક્ત અંકીય પ્રણાલી : કોઈ એક સમયે અંકીય પ્રણાલીમાં થયેલું  પ્રદાન તે જ સમયે આદાનના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. તેને સંયુક્ત અંકીય પ્રણાલી કહે છે. આવી કેટલીક પ્રણાલીઓ જોઈએ :

દ્વિઅંકી ઉમેરકો (adder) : ધારો કે A_૩; A₂; A₁; A_૦ અને અંક 4બિટ દ્વિઅંકી શબ્દ છે. આ ચાર બિટ શબ્દ ૦૦૦૦, ૦૦૦1, ૦૦1૦, …. 1111 જેવાં 15 શબ્દોમાંથી કોઈ એક હોઈ શકે. આ શબ્દોમાં A_૩, A₂, A₁, A_૦નાં સ્થાનમૂલ્યો અનુક્રમે 8, 4, 2, 1 છે. આથી A_૩ને અતિમહત્વનો બિટ (most significant bit  MSB) તથા A_૦ને અલ્પ મહત્વનો બિટ (least significant bit  LSB) કહે છે. બે દ્વિઅંકી શબ્દોના સરવાળાની વાત કરતી વખતે બે પ્રકારના ઉમેરકો  (adder) વિશે જાણવું જોઈએ :

(i) અર્ધ ઉમેરક (Half AdderHA) : ધારો કે બે 4-બિટ શબ્દો A_૩,A₂,A₁,A_૦ તથા B_૩,B₂,B₁,B_૦નો સરવાળો કરવો છે. બે દશાંશના સંખ્યાના સરવાળાની માફક જ અહીં પણ બે LSB, A_૦ અને B_૦ના સરવાળાની વાત કરીએ. આ સરવાળો કરતી વખતે carry બિટ C હોતાં નથી. સરવાળાને પરિણામે carry બિટ મળી શકે. આથી અર્ધ ઉમેરક-HA પરિપથનાં બે જ આદાનો A_૦ અને B_૦ તથા બે પ્રદાનો S તથા C છે. અત્રે S બિટ સરવાળો (sum bit) દર્શાવે છે.

ટ્રૂથ ટેબલ :

A૦	B૦	સરવાળો	S	C
૦	૦	૦૦	૦	૦
૦	1	૦1	1	૦
1	૦	૦1	1	૦
1	1	1૦	૦	1

બૂલીય પદાવલી : ટ્રૂથ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે કે A_૦ અને B_૦ વચ્ચે Ex OR સંક્રિયા કરવાથી S મળે છે. વળી, A_૦ અને B_૦ વચ્ચે AND સંક્રિયા કરવાથી C મળે છે.

C = A_૦B_૦

આમ, EX OR તથા AND દ્વારોના સંયોજનથી અર્ધઉમેરક  HA પરિપથ મળે છે.

(ii) પૂર્ણ ઉમેરક (Full Adder  FA) : A_૩,A₂,A₁,A_૦ તથા B_૩,B₂,B₁,B_૦ જેવા બે શબ્દોનો સરવાળો કરતી વખતે અલ્પ મહત્વના બિટ  (LSB) સિવાયના કોઈ પણ બે અનુવર્તી બિટના સરવાળાની વાત કરીએ છીએ. અહીં આપણે ત્રણેય બિટનો સરવાળો કરીએ છીએ. આપેલાં બે બિટ ઉપરાંત એક કૅરી (carry) બિટ પછીના નિમ્નસ્થાન બિટના સરવાળાને પરિણામે મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે; A₂ અને B₂નો સરવાળો કરતી વખતે A₁ અને B₁ના સરવાળાને પરિણામે મળતો કૅરી બિટ C₁ પણ ધ્યાનમાં લેવો પડે છે, એટલે કે આપણે A₂ વત્તા B₂ વત્તા C₁ કરીએ છીએ. આ સરવાળાને પરિણામે કૅરી બિટ C₂ મળે છે, જે A₃ અને B_૩ના સરવાળા માટે જરૂરી છે. આમ બે શબ્દોનાં nમાં બિટો A_n તથા B_n ઉમેરતી વખતે આપણે A_nB_n અને C_n-1^– – એ ત્રણ બિટોનો સરવાળો કરીએ છીએ. અહીં C_n-1 એ એ આગળ ખેંચાતો કૅરી બિટ છે, જે A_n-1 અને B_n-1ના સરવાળાને પરિણામે મળે છે.

An	Bn	Cn-1	Sn	Cn
૦	૦	૦	૦	૦
૦	૦	1	1	૦
૦	1	૦	1	૦
૦	1	1	૦	1
1	૦	૦	1	૦
1	૦	1	૦	1
1	1	૦	૦	1
1	1	1	1	1

બૂલીય પદાવલી :

કોઈ પણ બે બિટના સરવાળા માટેની જ આ તાર્કિક રેખાકૃતિ (logic diagram) છે. બે શબ્દોનો સરવાળો કરવા માટે આવા પૂર્ણ ઉમેરક(FA)નું યોગ્ય સંયોજન કરવું પડે છે. બે 4-બિટ શબ્દોનો સરવાળો 5-બિટ શબ્દ C_૩S_૩S₂S₁S_૦ હોઈ શકે છે. અહીં C_૩ એ A_૩ તથા B_૩ના સરવાળાને પરિણામે મળતો કૅરી બિટ (carry bit) છે.

દ્વિઅંકી બાદબાકી (Binary Subtraction) : ધારો કે Aને Bમાંથી બાદ કરવો છે. અહીં A તથા B 4-બિટ શબ્દો A_૩A₂A₁A_૦ તથા B_૩B₂B₁B_૦ છે. આવી બાદબાકી મેળવવા માટે નીચેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય :

B ઓછા A = (B વત્તા A વત્તા ૦૦૦1) ઓછા 1૦,૦૦૦.

અહીં 1૦,૦૦૦ એ 5-બિટ દ્વિઅંકી શબ્દ છે. કૌંસમાં આપેલો સરવાળો 5-બિટ શબ્દ C_૩S_૩S₂S₁S_૦ હોય તો કૅરી બિટ C_૩ નહિ રહે તે માટે ઓછા (minus) 1૦,૦૦૦ જરૂરી છે. આનું કારણ પણ સરળ છે : બે 4-બિટ શબ્દોની બાદબાકીને પરિણામે 5-બિટ શબ્દ મળી શકે જ નહિ. ધારો કે B = 11૦1; A = 1૦૦1 તો A = ૦11૦; Aના દરેક બિટનો (compliment) inversion લેતાં A મળે છે, તો

B ઓછા A = (11૦1 વત્તા ૦11૦ વત્તા ૦૦૦1) ઓછા 1૦,૦૦૦

= (1૦,1૦૦) ઓછા10,૦૦૦

= ૦1૦૦

આને બાદબાકી માટેની 1_S પૂરક (complement) રીત કહે છે.

ગુણાકાર એટલે વારંવાર કરવામાં આવતો સરવાળો અને ભાગાકાર એટલે વારંવાર કરવામાં આવતી બાદબાકી. સંયોજન (combination) પ્રણાલી વિશે હવે જોઈએ :

અંકીય તુલક (comparator) : A અને B જેવા બે દ્વિઅંકી શબ્દોની  તુલના કરવા માટે આવું તુલક/તુલનિત્ર વપરાય છે. તેની મદદથી ચકાસી શકાય. A > B કે A < B કે A = B.

સમતા ચકાસક (parity checker) : ફરી એક વાર દ્વિઅંકી શબ્દો અંગે થોડો વધુ વિચાર : 1111 અને 1૦11 એ બે શબ્દો લઈએ. પહેલા શબ્દમાં 4 વખત 1 બિટ આવેલ છે તેથી તેને બેકી સમતા (even parity) શબ્દ કહે છે. બીજા શબ્દમાં બિટનો સરવાળો ૩ છે તેથી તેને એકી (odd) સમતા કહે છે. શબ્દની સમતા એકી છે કે બેકી તે ચકાસવા માટે સમતા ચકાસક (parity checker) વપરાય છે. એ જ પરિપથ વડે સમતા બિટ (parity bit) મેળવી શકાય છે તેથી તેને પૅરિટી બિટ જનરેટર (parity bit generator) પણ કહે છે.

A_૩,A₂,A₁,A_૦ શબ્દ માટે આ પરિપથ માટેની રેખાકૃતિ (block diagram) નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવી છે :

બિટ A_૩,A₂ તથા A₂,A_1૦ બે EX OR દ્વારોનાં આદાનો છે. જો P = ૦ મળે તો A_૩,A₂,A₁,A_૦ એ એકી સમતા શબ્દ હશે. જો P=1 મળે તો બેકી સમતા શબ્દ હશે.

અવસંકેતક (decoder) : BCD સંખ્યાનો સાંકેતિક ઉકેલ કરીને તેને અનુવર્તી દ્વિઅંકી સંખ્યા મેળવવા માટે અવસંકેતક(decoder)નો ઉપયોગ થાય છે. એને BCD to Decimal અવસંકેતક કહે છે. વ્યાપક રીતે કહીએ તો અવસંકેતક એક એવી પ્રણાલી છે; જેનો આદાન M-બિટ શબ્દ છે અને પ્રદાન 2^m રેખાઓ છે. આમાંથી એક જ પ્રદાન-રેખા અવસ્થા 1માં હોય છે.

એક સરળ ઉદાહરણ લઈએ. ધારો કે આપણે BCD શબ્દ 1૦૦1ને  તેના દશાંશ સ્વરૂપ 9માં અવસંકેતન કરવું છે, એટલે કે A_૩,A₂,A₁,A_૦ = 1૦૦1. અહીં A₂ = ૦, A₁ = ૦ આથી . જો A_૩,,A_૦(પ્રત્યેક અવસ્થા 1માં હશે)ને AND દ્વારનાં આદાનો તરીકે આપીએ તો તે દ્વારનો પ્રદાન 1 હશે, એટલે કે પ્રદાન-રેખા (જે રેખા-9 કહેવાય છે) પ્રદીપ્ત (ઉત્તેજિત, સક્રિય–excite) થશે.

4 to 1૦ રેખા અવસંકેતકમાં આદાન 4-બિટ શબ્દ A_૩,A₂,A₁,A_૦ હોય છે અને તેને 1૦ પ્રદાન-રેખાઓ હોય છે, જે રેખા-૦, રેખા-1, રેખા-2, …., રેખા-9 કહેવાય છે. કોઈ એક સમયે એક જ રેખા પ્રદીપ્ત થાય છે.

અવસંકેત પરિપથમાં ફેરફાર કરવાથી ડીમલ્ટિપ્લેક્સર (Demultiplexer) મળે છે. N-રેખાઓમાંથી કોઈ પણ એક રેખા પર દ્વિઅંકી સંકેતને પ્રેષિત (transmit) કરવા માટે વપરાય છે.

મલ્ટિપ્લેક્સર (Multiplexer) : ડીમલ્ટિપ્લેક્સર કરતાં ઊલટી પ્રક્રિયા કરવા માટે મલ્ટિપ્લેક્સર વપરાય છે. તે N આદાન ઉપલબ્ધ સામગ્રી(data source)માંથી કોઈ એક પસંદ કરે છે. આ પસંદ કરેલી સામગ્રી એક જ ચૅનલમાંથી પ્રસારિત થાય છે. આથી આને સામગ્રી-વરણકારી (data selector) પ્રણાલી પણ કહે છે.

PQને પસંદ કરેલો સંકેત (select code) કહે છે. શક્ય PQ સંકેત આ પ્રમાણે છે : ૦૦, ૦1, 1૦, 11. દરેકને અનુવર્તી એક એક ડેટા પ્રદાન (અનુક્રમે A_૦,A₁,A₂,A_૩) Y તરીકે મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે પસંદ સંકેત PQ = 1૦ હોય તો Y = A₂ મળશે. આમ PQ સંકેત પર આધારિત ચાર આદાન બિટોનું એક પછી એક, એક જ પ્રદાન-રેખા પર સંચારણ કરી શકાય. (ક્રમિક સંચારણ – Serial transmission).

સંકેતક (Encoder) : અવસંકેતક (decoder) કરતાં ઊલટી ક્રિયા કરવા માટે સંકેતક વપરાય છે. તેમાં ઘણાં આદાનો હાય છે, જેમાંથી આપેલા સમયે કોઈ એક જ આદાન અવસ્થા 1માં હોય છે. તેનો પ્રદાન N-બિટ શબ્દ છે, એટલે કે N-બિટ સંકેત મળે છે.

રીડ-ઓનલી-મેમરી (ROM) : અવસંકેત(decoder)ના સંયોજનથી આવું સ્મૃતિતંત્ર (ROM) મળે છે. આમ આવા સ્મૃતિતંત્રના આદાન M-બિટ સંકેત છે અને તેનો પ્રદાન N-બિટ સંકેત છે. આમ એક સંકેતનું બીજા સંકેતમાં પરિવર્તન કરવા માટે ROM વપરાય છે. (અત્રે M < N, M = N અથવા M > N હોઈ શકે.)

ROM માટે આદાન એ M-બિટ શબ્દ Am, ….A₂,A₁,A_૦ છે, જ્યારે પ્રદાન એ N-બિટ શબ્દ YN, …..Y₂,Y₁,Y_૦ છે.

અનુક્રમિક અંકીય પ્રણાલી (sequential digital system) : સંયુક્ત (combination) અંકીય પ્રણાલી કરતાં આ પ્રણાલી એક અગત્યની રીતે જુદી છે.

આવી પ્રણાલીમાં કોઈ એક સમયે પ્રદાનનો આધાર તેની આગળના સમયે (at previous instant of time) જે આદાન હતાં તેના પર પણ છે. આ અર્થમાં આવી પ્રણાલીને સ્મૃતિતંત્ર (memory) હોય છે, કારણ કે આગળના સમયે જે માહિતી બિટ (bit of information) તેની પાસે હતી તે તેણે સ્મૃતિમાં રાખી છે. આના ઉદાહરણ તરીકે કેટલીક ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) જોઈ શકાય.

અમુક અનુક્રમિક અંકીય પરિપથના અંક તરીકે કાલક સ્પંદ (clock pulses) પણ આપવામાં આવે છે. તેને સમક્રમિક (synchronous) અંકીય પરિપથ કહે છે. કાલક સંકેત(clock signal)નો ઉપયોગ નહિ થતો હોય તેવા અનુક્રમિક પરિપથને અસમક્રમિક (asynchronous) અંકીય પરિપથ કહે છે.

કાલક સંકેત (clock signal–CK) : ઘણી અંકીય પ્રણાલીઓનું સ્પંદ શ્રેણી(pulse train)ના સમક્રમણમાં નિયોજન અને પુનર્નિયોજન (set અને reset) થાય છે. આ સ્પંદ શ્રેણી પણ પરિપથનું એક આદાન બને છે. આવા સ્પંદોને કાલકસ્પંદો (clock pulsh) કહે છે. (આકૃતિ 23). આવી અંકીય પ્રણાલીને કાલાંકિત પ્રણાલી કહે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દરેક સ્પંદનો આવર્તકાળ T છે અને સ્પંદની પહોળાઈ t_p છે, એટલે કે t_p સમય માટે સ્પંદ આપવામાં આવે છે. (આ સમય માઇક્રોસેકંડ – ms કે નેનો સેકંડ ns જેટલો હોય છે. અત્રે ms એટલે 1૦^-6 સેકંડ અને ns એટલે 1૦^-9 સેકંડ.) આ સ્પંદો એવા હોય છે, જેથી t_p << T બે પાસેપાસેના સમયગાળાને બિટ-સમય (bit-time) કહે છે. આકૃતિમાં બિટસમય n અને બિટસમય n + 1 બતાવ્યા છે. આ બંને  બિટસમયને અનુરૂપ પ્રદાન Yn અને Y_n+1 બતાવ્યા છે.

S-R ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) : ચાર NAND દ્વારના સંયોજનથી આ સ્મૃતિરચના (device) મેળવી શકાય છે. સામાન્ય રીતે ઊલટ-સૂલટ(flip-flop)ને બે પ્રદાનો હોય છે : Y તથા .

N₁ અને N₂ દ્વારોથી બનતા પરિપથને લૅચ (latch) કહે છે. N_૩ અને N₄ને નિયંત્રણ(control)-દ્વારો કહે છે. S અને R સંજ્ઞા નિયોજન (set) અને પુનર્નિયોજન (reset) સૂચવે છે.

S_n અને R_n, બિટસમય n દરમિયાન આદાનો છે તથા Y_n અને Y_n + 1 અનુક્રમે n તથા n + 1 દરમ્યાન પ્રદાનો છે, જ્યારે S_n = ૦ અને R_n=૦ હોય ત્યારે, Y_n+1 = Y_n હોય છે, જે સૂચવે છે કે સ્મૃતિ પરિપથ છે. જ્યારે S_n = 1 અને R_n = 1 હોય ત્યારે Y_n+1 અનિર્ધારિત  (indeterminate) હોવાથી આવી સ્થિતિ માન્ય ન બને. J-K ઊલટ-સૂલટ(flipflop)માં આ મુશ્કેલી દૂર થાય છે.

J-K ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) : S-R ઊલટ-સૂલટ સાથે બે AND દ્વારોનું સંયોજન કરીને આ સ્મૃતિરચના મેળવી શકાય છે. અંકીય પ્રણાલીમાં વપરાતી સ્મૃતિરચનાઓમાં આ એક ખૂબ જ અગત્યની રચના છે.

ટ્રૂથ ટેબલ

Pr = 1, Cr = 1, Ck = 1 માટે

In	Kn	Yn + 1
o	o	Yn
o	1	O
1	O	1
1	1	Yn

અહીં P_r પૂર્વનિયોજિત સિગ્નલ (present signal) છે અને C_r એ સ્પષ્ટ (clear) સિગ્નલ દર્શાવે છે; જ્યારે Ck=૦ હોય (એટલે કે બે C_k સ્પંદ – pulsesની વચ્ચેના સમયમાં) ત્યારે,

(i) Pr = ૦, Cr = 1 હોય તો Y = 1 મળે જેને પૂર્વનિર્ધારિત સ્થિતિ કહે છે. (ii) Pr = 1, Cr = ૦ હોય તો Y = ૦ મળે છે એટલે કે ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) સ્પષ્ટ (clear) સ્થિતિમાં છે.

માત્ર ચાર NAND દ્વારોનો ઉપયોગ કરીને પણ આ ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) રચના કરી શકાય છે.

D-પ્રકારની ઊલટ-સૂલટ : D-પ્રકારની ઊલટસૂલટમાં K=^– મેળવીને એટલે કે K આદાન પર ^– સિગ્નલ આપીને ઊલટ-સૂલટ મેળવી શકાય છે. અહીં સંજ્ઞા D વિલંબન (delay) સૂચવે છે.

ટ્રુથ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે કે Y_n+1 = Dn, એટલે કે n+1માં પ્રદાન, બિટ-સમય nમાં આદાન જેટલો જ હોય છે; બંને સરખા હોવા છતાં બંને વચ્ચે એક બિટ-સમય જેટલો વિલંબ (delay) થાય છે.

T-પ્રકારની ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) : J-K ઊલટસૂલટમાં K=J મેળવીને T-ઊલટ-સૂલટ (flip-flop) મેળવી શકાય છે. અહીં સંજ્ઞા T ટૉગલ સંક્રિયા (toggle operation) સૂચવે છે. Y_n+1 = Y_n ટૉગલ સ્થિતિ કહે છે.

                Tn             Yn+1

                ૦              Yn

                1               Yn

                ટ્રૂથ ટેબલ

S-R ઊલટ-સૂલટ તથા J-K ઊલટ-સૂલટ સંયોજન દ્વારા માલિક-નોકર (Master-slave) ઊલટ-સૂલટ મળે છે.

ઊલટ-સૂલટ અને દ્વારોના સંયોજનથી બીજી પણ કેટલીક અગત્યની પ્રણાલીઓ મેળવી શકાય છે; જેમ કે સ્થાનાંતર નોંધવહી (Shift-Register), કાઉન્ટર ઇત્યાદિ.

અરુણ રમણલાલ વામદત્ત