અંકગણિત : સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સંખ્યાઓનો અભ્યાસ અને તેની વ્યાવહારિક ઉપયોગિતાની વિદ્યા. માપપદ્ધતિ, ગણતરી, પ્રાથમિક સંખ્યાપદ્ધતિ, કેટલીક ભૌમિતિક આકૃતિ સંબંધી ક્ષેત્ર, કદ વગેરેની ગણતરી તથા ગણશાસ્ત્ર(set theory)ના કેટલાક અભિગમો સાથે સંબંધ ધરાવે છે. ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો, અવયવ, સામાન્ય અવયવ, અવયવી, વાસ્તવિક સંખ્યા; દશાંકી, દ્વિઅંકી, ત્રિઅંકી વગેરે સંખ્યાસંહતિ; કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક n માટે n-અંકી પદ્ધતિ અને દશાંકી પદ્ધતિનો સંબંધ, ઘાતાંક (indices), કરણી (surds), લઘુગણક(logarithm) વગેરેનો અંકગણિતના પાયાના એકમોમાં સમાવેશ થાય છે. અંકગણિતના પાયાની મૂળભૂત દ્વિક્રિયાઓ (binary operation) બે છે — સરવાળો અને ગુણાકાર. સરવાળા પરથી બાદબાકી અને ગુણાકાર પરથી ભાગાકારની દ્વિક્રિયાઓ ઉદભવી. આ દ્વિક્રિયાઓ માટે સ્વીકાર્ય સંકેતો +, x, –, %¸ છે. ગુણાકાર માટે . (ટપકું) તથા ભાગાકાર માટે / સંકેત પણ વપરાય છે. આ દ્વિક્રિયાઓનો પ્રાથમિક ખ્યાલ સાદી સમજથી ઉદાહરણોના પુનરાવર્તિત પ્રયાસો દ્વારા જ કરાવાય છે. આ દ્વિક્રિયાઓના કેટલાક પાયાના ગુણધર્મો છે; જેવા કે, (1) ક્રમનો (commutative) નિયમ : a + b = b + a. (2) જૂથનો (asscociative) નિયમ : a + (b + c) = (a + b) + c. (૩) વિભાજનનો (distributive) નિયમ : a (b + c) = a.b + a.c. (4) એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ : સરવાળા માટેનો એકમ ઘટક ૦ છે અને ગુણાકાર માટેનો એકમ ઘટક -1 છે. (5) ઘટકના વ્યસ્ત(inverse / reciprocal)નું અસ્તિત્વ : સરવાળાની ક્રિયા વિશે aનો વ્યસ્ત –a છે, જેને aનો વિરોધી પણ કહે છે. ગુણાકારની ક્રિયા વિશે aનો વ્યસ્ત a– અથવા a+ છે, જે શૂન્યેતર સંખ્યા માટે જ શક્ય છે. કોઈ દ્વિક્રિયા આમાંથી કયો ગુણધર્મ ધરાવે છે તે એ દ્વિક્રિયા જે ગણ ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલી હોય તે ગણ ઉપર આધાર રાખે છે.
‘સંખ્યાગણનમાં પારંગતતા’ – એ મતલબનો અર્થ ગ્રીક શબ્દ arithmeticનો થાય છે, જેને ગુજરાતીમાં અંકગણિત નામ અપાયું છે. પુરાતન ગ્રીક લોકોએ અંકગણિતને બે ભાગમાં વહેંચ્યું; જેમાંનો એક ‘પ્રાથમિક અંકગણિત’ (elementary arithmetic) તરીકે ઓળખાયો. તેમાં ગાણિતિક સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ તથા પ્રાયોગિક ધોરણે તેના અમલને મહત્વ આપવામાં આવ્યું. ગણતરી કરવાની વ્યવહારુ કળા તેમજ સંખ્યાને 1૦ના આધારમાં દર્શાવી તેના આંકડાના સ્થાન પ્રમાણે આંકડાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત કરતી પદ્ધતિ વગેરેનો પણ તેમાં સમાવેશ થયો. આ શાખા અતિપુરાણી છે, પણ આજે પણ એ પ્રચલિત છે. બીજો ભાગ તે ‘ઉચ્ચ અંકગણિત’ (higher arithmetic). તેમાં સિદ્ધાંતોનું વિશ્લેષણ અને તેની તાર્કિક સાબિતી, સંખ્યાઓને સાંકળતા સંબંધોનો અરૂપ ખ્યાલ તથા સંખ્યાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ વગેરેનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે. સંખ્યાના ખ્યાલને વ્યાપક બનાવતા ગૉસ, હૅમિલ્ટન વગેરેના કાર્યની સાથે આધુનિક ઉચ્ચ અંકગણિતનો વિકાસ શરૂ થયો. આ વિકાસ ઉપર, સંખ્યાસંહતિના તાર્કિક આધાર અને અનંત સંખ્યાઓના શાસ્ત્ર પરના જ્યૉર્જ કૅન્ટોર, ડેડેકિન્ડ અને વાયરસ્ટ્રાસનાં આધુનિક કાર્યોનો પ્રભાવ રહ્યો છે.
સંખ્યાપદ્ધતિના ઘટકોનો ઉદભવ ખાસ કરીને ગણતરી અને માપણીના કામમાં આવશ્યકતા ઊભી થઈ તે મુજબ થતો ગયો. પ્રાથમિક વ્યવહારુ ગણતરીમાં શૂન્યની જરૂર ઊભી થતી નહોતી. આથી, શૂન્ય સિવાયની સંખ્યાઓથી જ જૂના વખતમાં કામ ચાલતું હતું. શૂન્ય એ વિશિષ્ટ સંખ્યા છે, જે મોડેથી અસ્તિત્વમાં આવી. મોટી સંખ્યા દર્શાવવામાં આંકડાઓની સ્થાનકિંમત તેના સ્થાન ઉપર આધારિત હોય છે, પરંતુ પુરાણી શૂન્ય વિનાની પદ્ધતિમાં આંકડાની સ્થાનકિંમત નક્કી કરવામાં ઘણી મુશ્કેલી તથા ગેરસમજ પેદા થતી હતી. આ તકલીફ શૂન્યના ઉદભવથી નિવારી શકાઈ; દા.ત., 105માં ૫ની સ્થાનકિંમત 5 અને 1ની સ્થાનકિંમત 1૦૦ છે. અહીં દશકનું સ્થાન ખાલી હોવાથી તેને ૦ વડે દર્શાવાય છે. શૂન્યના ઉદભવથી મોટી મોટી સંખ્યાઓને સરળતાથી લખવાની એક અજોડ સુગમતા પ્રાપ્ત થઈ.
અંકગણિતમાં સામાન્યત: પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો અભ્યાસ પ્રાથમિક કક્ષાએ થાય છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ખ્યાલ મનુષ્યના બુદ્ધિવિકાસ સાથે કુદરતી રીતે જ આવતો જાય છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાના હાલ જે સંકેતો પ્રચલિત છે તેની શોધ હિન્દુઓ દ્વારા થઈ અને તેની પશ્ચિમ યુરોપમાં અરબોએ ઓળખ કરાવી. હિન્દુઓએ શૂન્યનો ખ્યાલ આપતાં ધીમે ધીમે ઋણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ખ્યાલ અસ્તિત્વમાં આવ્યો અને એ રીતે પૂર્ણાંક, સંમેય (rational), અસંમેય (irrational), વાસ્તવિક (real) તથા સંકર (complex) સંખ્યા સુધી સંખ્યા-સંહતિનું વિસ્તરણ થતું જ ગયું. આધુનિક અંકગણિતમાં પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક અને દશાંશ અપૂર્ણાંકની હિન્દુ-અરબી પદ્ધતિ અપનાવવામાં આવી છે. જોકે, પ્રાચીનકાળથી વિવિધ પ્રકારની સંખ્યાપદ્ધતિઓ અસ્તિત્વ ધરાવતી આવી હતી, તેમાં ઇજિપ્શિયન, ગ્રીક અને રોમન પદ્ધતિ વધુ પ્રચલિત બની હતી. હિન્દુ-અરબી પદ્ધતિ લખવામાં સરળ, ઉપયોગમાં સહેલી અને એટલી બધી અનુકૂળ બની છે કે આજે સમગ્ર વિશ્વમાં અલગ અલગ ભાષાઓમાં વ્યવહાર ચાલતો હોવા છતાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સર્વમાન્ય બન્યો છે. પરિણામે પુરાણી પદ્ધતિઓ લુપ્ત થતી ગઈ. જોકે, રોમન આંકડાઓનો ઉપયોગ હજુ પણ ક્રમાંક દર્શાવવા થાય છે. ઘડિયાળના ચંદા ઉપર 1થી 12 કલાકના આંકડા દર્શાવવા માટે એનો ઉપયોગ વિશેષ થાય છે.
જ્યારે આરબ રાજ્યોનું વિસ્તરણ થતું ગયું અને અરબોનો હિન્દુસ્તાન સાથેનો સંપર્ક વધવા માંડ્યો ત્યારે અરબોએ હિન્દુ સંખ્યાપદ્ધતિ અપનાવી. અલ ખ્વારીઝમી નામના અરબે ઈ. સ. 825માં પ્રથમ અંકગણિતનું પાઠ્યપુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું, જેમાં હિન્દુ સંખ્યાપદ્ધતિનો બહોળો ઉપયોગ કર્યો અને તેની સમજ પણ આપી. આ પાઠ્યપુસ્તકનો પાછળથી લૅટિન અનુવાદ થયો, તેને લીધે પશ્ચિમ યુરોપમાં એનો પ્રસાર થયો. સાથે સાથે અલ ખ્વારીઝમીના નામનો અપભ્રંશ થઈ હિન્દમાં એનો અલગોરિઝમ તરીકે ઉચ્ચાર થવા માંડ્યો અને એ ઉચ્ચારે ગ્રીક શબ્દ એરિથ્મોઝ (arithmos) સાથે ગેરસમજ ઊભી કરતાં અંતે આલ્ગોરિથમ (algorithm) શબ્દનો ઉદભવ થયો. હાલ આ શબ્દપ્રયોગ ગણનપદ્ધતિને વર્ણવતી ક્રમબદ્ધ સૂચનાઓની યાદી માટે થાય છે. હિન્દુ-અરબી અંકગણિતને પશ્ચિમ યુરોપમાં પ્રચલિત કરવામાં લિયૉનાર્દો ફિબોનાકી દ્વારા 12૦2માં રચાયેલા પુસ્તક ‘લેબર અબાકી’એ મહત્વનો ભાગ ભજવ્યો હતો.
ગાણિતિક ક્રિયાઓ માટેના હાલ પ્રચલિત સંકેતો =, +, –, x, %, √ સોળમી સદીથી સત્તરમી સદી દરમિયાન અસ્તિત્વમાં આવ્યા. દશાંશ-અપૂર્ણાંકોની શોધ 1585માં સિમન સ્ટેવિનને આભારી છે. જૉન નેપિયરે લઘુગણકની શોધ 1614માં કરી. ગણતરીમાં વધુ સુગમતા તથા સમયના બચાવ માટે વિવિધ ગણનયંત્રો (calculating machines) અસ્તિત્વમાં આવવા માંડ્યાં. સરળ સ્લાઇડ રૂલની શોધ 1622માં વિલિયમ ઑટ્રેડે કરી. બ્લેઇઝ પાસ્કલે 1642માં સરવાળા કરતું પ્રથમ યંત્ર બનાવ્યું અને ત્યારથી ગણનયંત્રોમાં ઉત્તરોત્તર સુધારા થતા ગયા. ઇલેક્ટ્રૉનિક પદ્ધતિઓના વિકાસ સાથે વિવિધ પ્રકારનાં ગણકો (calculators) અસ્તિત્વમાં આવ્યાં અને 195૦ની સાલમાં કમ્પ્યૂટર-યુગનાં મંડાણ થયાં. તે મુજબ અંકગણિતની નવીન પદ્ધતિઓ દ્વારા વિકાસ પામેલ રીતોના અમલ તરફ શિક્ષણમાં ઝોક આવ્યો.
ધનેશ ભાવસાર