અનંતી (infinity) ∞ : મર્યાદિત સંખ્યાની વિરુદ્ધ અર્થ દર્શાવતી અને અમર્યાદિત રીતે વધતી જતી સંખ્યા. સંજ્ઞા : ∞. અનંતી, અનંત ગણો (sets) અને અનંત પ્રક્રિયાઓ (operations) ગણિતના અધ્યયનમાં અને વિકાસમાં ઘણા મહત્વના ખ્યાલો છે. પ્રખર ગણિતશાસ્ત્રી ડેવિડ હિલ્બર્ટે આધુનિક ગણિતને અનંતીનું વિજ્ઞાન ગણાવ્યું છે. તેમના મતે અનંતીનો ખ્યાલ માનવીની સૌથી વધુ ગહન કલ્પના છે. 1900માં, પૅરિસમાં યોજાયેલા ગણિતના આંતરરાષ્ટ્રીય અધિવેશનમાં તેમણે રજૂ કરેલા મહત્વના પ્રશ્ર્નોમાં સૌપ્રથમ પ્રશ્ન અનંતી વિશે હતો.

અનંતી શું છે અને તેની જરૂર ક્યાં પડે છે તે સમજવા કેટલાંક ઉદાહરણો લઈએ :

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ R, તેના પરની બૈજિક પ્રક્રિયાઓ અને ક્રમ વિશે આપણે જાણીએ છીએ. Rના કેટલાક વિશિષ્ટ પ્રકારના ઉપગણો(sub-sets)ને અંતરાલ કહેવાય છે, Rના ઉપગણ A માટે જ્યારે જ્યારે x અને y, Aના ઘટકો હોય, x, y કરતાં નાનો હોય અને z, x અને y વચ્ચેની કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય ત્યારે z, Aનો ઘટક થાય, તો Aને અંતરાલ (interval) કહેવાય. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b માટે a < b હોય તો a અને b વચ્ચેની બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ અંતરાલ બનશે, જેને (a, b) વડે દર્શાવી શકાય. આવા અંતરાલનું માપ કેટલું ? અથવા તેની લંબાઈ કેટલી ? સ્વાભાવિક છે કે તેનું માપ (b – a) હોવું જોઈએ. હવે બધી જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ E પણ અંતરાલ બને છે. તેનું માપ કેટલું ? અંતરાલનું માપ ઋણ સંખ્યા ન જ હોય. કોઈ પણ અનૃણ સંખ્યા d માટે Eનું માપ d ન હોય, કેમ કે (0, d + 1) એ Eમાં સમાયેલો અંતરાલ છે, જેનું માપ (d + 1 છે તે) d કરતાં વધુ છે. આમ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા Eનું માપ દર્શાવી ન શકે. Eના માપ માટે બધી ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ કરતાં મોટી સંખ્યા (!) જોઈએ. આવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા તો નથી જ. Eના માપ માટે એક નવી સંજ્ઞા વાપરીએ. તેને અનંતી કહીએ અને તેને + ∞ વડે દર્શાવીએ. આમ અનંતી એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી. Eનું માપ દરેક (ધન) વાસ્તવિક સંખ્યા કરતાં વધુ હોવું જોઈએ તેથી સ્વાભાવિક રીતે જ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા + ∞ કરતાં નાની ગણાય. વાસ્તવિક રેખા પર + ∞ ને સૌથી જમણી તરફ (!) મૂકવી પડે. સૌથી ડાબી તરફ – ∞ જેવી સંજ્ઞા મૂકી શકાય. Rના ઘટકો સાથે આ સંજ્ઞાઓના સરવાળા, બાદબાકી અને (કેટલાક સંજોગોમાં) ગુણાકાર, ભાગાકાર વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો એક નવો ગણ R* મળે, જેમાં Rની કેટલીક ક્ષતિઓ નિવારી શકાય. અલબત્ત Rના અન્ય કેટલાક ગુણધર્મો R*માં ન મળે. ગણિતના વિદ્યાર્થી માટે R વિશે ડેડકિન્ડનું નિરંતરતા પ્રમેય મહત્વનું છે, તે R*ને સરળતાથી લાગુ પડે.

સંસ્થિતિવિદ્યા(topology)ના અભ્યાસમાં સુબદ્ધ અવકાશો (compact spaces) મહત્વના છે. R સુબદ્ધ અવકાશ નથી પણ Rને એક સુબદ્ધ અવકાશમાં સમાવિષ્ટ કરી શકાય, જેમાં R ગીચ હોય. આ પ્રક્રિયામાં Rની સાથે એક ઘટક જોડવામાં આવે છે, જે +∞ અને – ∞ ને એક જ ઘટક તરીકે ગણવાથી મળે. આવી પ્રક્રિયા સમતલ (plane) R2 માટે પણ જરૂરી બને છે; આમ સંકર (complex) સંખ્યાઓના વિશ્ર્લેષણ માટે સમતલનો ઉપયોગ કરીએ ત્યારે અનંતીનો ખ્યાલ ઉચિત બને છે.

સમતલમાં યૂક્લિડીય ભૂમિતિની ચર્ચામાં અનંતીનું મહત્વ સમજી શકાય છે. બિંદુ અને સુરેખા આ ભૂમિતિના મૂળ ઘટકો છે. બંને વચ્ચેના સંબંધોને આધારે ભૂમિતિનાં પરિણામો મેળવાય છે. ‘કોઈ પણ બે ભિન્ન સુરેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે’ – આ વિધાનને એક અપવાદ નડે છે : બે સુરેખાઓ સમાંતર હોય તો શું ? અનંતીના ખ્યાલથી આ અપવાદ નિવારી શકાય. સમતલમાં એકબીજાને છેદતી બે ભિન્ન સુરેખાઓ લો; તેમાંની એક સુરેખા ‘L’ને તેની સ્થિતિમાં જ રાખી, બીજી સુરેખા ‘M’ને ‘L’ને સમાંતર દિશા તરફ ઘુમાવીએ તો છેદનબિંદુ કેવી રીતે બદલાય છે ? છેદનબિંદુ ‘L’ પર જ ‘દૂર ને દૂર’ જાય છે. ‘L’ પર એક આદર્શબિંદુ અનંતી છે એમ સ્વીકારીએ તો ‘M’ જ્યારે ‘L’ને સમાંતર થાય ત્યારે આ બિંદુ તેમના છેદનબિંદુ તરીકે ગણી શકાય. સ્વાભાવિક રીતે જ ‘M’ પર પણ આ જ બિંદુ હોય. આમ, ‘L’ને સમાંતર બધી જ સુરેખાઓ પર એક જ આદર્શબિંદુ-અનંતીને સ્વીકારવાથી, આવી ભિન્ન સમાંતર સુરેખાઓ એક માત્ર બિંદુમાં છેદશે. દરેક દિશા માટે એક એક અનંતી છે અને આ બધી અનંતીઓ એક આદર્શ સુરેખા પર છે : ‘અનંત રેખા’ (line at infinity). આવી વ્યવસ્થા વિચારતાં ભૂમિતિનાં ઘણાં પરિણામો સરળતાથી દર્શાવી શકીએ, જેથી અપવાદોનો ઉલ્લેખ અવારનવાર કરવો ન પડે.

કલનશાસ્ત્રમાં લક્ષ, વિકલન, સંકલન વગેરે ખ્યાલો સમજવા અનંતી અને અનંત પ્રક્રિયાઓ ખૂબ જરૂરી છે. ગ્રીક ગણિતજ્ઞો અનંત પ્રક્રિયાઓની મદદથી જ વક્રની લંબાઈ અને સમતલ પ્રદેશનાં ક્ષેત્રફળ શોધતા. અનંત પ્રક્રિયાઓની સહાયથી ઘણા પ્રશ્ર્નોના ઉકેલ મળે છે. સરળ ઉદાહરણ તરીકે ઝીનોનો પૅરેડૉક્સ (paradox) વિચારીએ. એક સસલું અને એક કાચબો એક સુરેખ દિશામાં દોડવાની શરત લગાવે છે. કાચબો સસલા કરતાં ઘણો ધીમો દોડતો હોવાથી કાચબાને થોડી રાહત રૂપે સસલું અમુક અંતરનો લાભ આપે છે. ઝીનોની દલીલ એવી છે કે આમ કરતાં સસલું કાચબાને ક્યારેય આંબી ન શકે. કારણ કે, કાચબાએ શરૂઆત કરી તે બિંદુ પર સસલું પહોંચે ત્યારે કાચબો તેનાથી આગળ નીકળી ગયો હશે. હવે સસલું આ નવા બિંદુ પર પહોંચે ત્યારે પણ કાચબો ફરી તે બિંદુથી આગળ નીકળી જ ગયો હશે. આમ કાચબો હમેશાં સસલાથી આગળ જ રહે. ઝીનોની દલીલ રોજબરોજના અનુભવે, ગળે ઊતરે તેવી નથી. અનંતશ્રેઢીના અભિસરણ(convergence)નો ખ્યાલ હોય તો આ પ્રશ્ન ઉકેલી શકાય.

સત્તરમી સદીમાં ગૅલિલિયોએ અનંતી વિશે વિચાર કર્યો હતો. તેણે સૂચવ્યું કે, દરેક ધન પૂર્ણાંક સાથે તેનો ઘન (ત્રિઘાત) સાંકળીએ, એટલે કે 1ની સાથે 13, 2ની 23, 3ની 33 અને 4ની સાથે 43 વગેરે, તો કોઈ એક ચોક્કસ અર્થમાં ધન પૂર્ણાંકો અને તેમના ઘનની સંખ્યા સરખી છે. આ શું વિરોધાભાસ છે ? ગૅલિલિયોને શંકા ગઈ કે આ તો વિચિત્ર છે અને તેણે અનંત ગણ વિશે આગળ વિચાર્યું નહિ. ગૌસ અને કોશીએ લક્ષ(limit)ની વાત કરી, વિકલન વિશે વિચાર્યું, પરંતુ કોઈ અજ્ઞાત કારણોસર અનંતી કે અનંત પ્રક્રિયાઓ વિશે વિગતવાર છણાવટ ન કરી. આવી વિગતો પર સંતોષકારક પ્રકાશ ફેંકનાર ગણિતજ્ઞ હતો – ઓગણીસમી સદીનો જ્યૉર્જ ફર્ડિનાન્ડ લુડવિગ ફિલિપ કૅન્ટર. ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢીઓ વિશે સંશોધન કરતાં તેને અનંત ગણનો ખ્યાલ ર્દઢ થયો ત્યારથી અનંતી અને અનંત ગણો તેના સંશોધનના મુખ્ય વિચારો બન્યા. કૅન્ટરના સંશોધન અગાઉ અનંતીના અને અનંત ગણોના પ્રકારોની સમજ છીછરી હતી. અનંતીને ગાણિતિક રાક્ષસ તરીકે જ માનવામાં આવતી, અને શક્ય હોય ત્યારે તેને વિશેની ચર્ચાથી સૌ દૂર રહેતા. કૅન્ટરની સૌપ્રથમ આશ્ર્ચર્યજનક શોધ એ હતી કે, સમતલનાં અને સુરેખા પરનાં બિંદુઓ એકસરખી જ ‘સંખ્યાનાં’ છે. ગૅલિલિયોને કંઈક આવો વિચાર આવ્યો હતો ને ? કૅન્ટરની વિચારધારા આ મુજબ હતી : ધારો કે A અને B બે ગણ આપ્યા છે. Aના દરેક ઘટક સાથે Bનો એક માત્ર ઘટક સાંકળી શકાય, Aના ભિન્ન ઘટકો સાથે Bના ભિન્ન ઘટકો સંકળાય અને આમ કરતાં Bના બધા ઘટકો વપરાઈ જાય તો A અને Bમાં સરખી સંખ્યામાં ઘટકો છે અથવા A અને Bની ગણનીયતા (cardinality) સરખી છે એમ કહી શકીએ. સરખી ગણનીયતાવાળા બધા ગણોને આપણે એક ગણાંક (cardinal number) આપીએ. બધા ધન પૂર્ણાંકો આવા ગણાંક જ છે. દા.ત., એક ઘટક ધરાવતા બધા ગણોનો ગણાંક, સંખ્યા 1 વડે દર્શાવીએ છીએ. 1 માત્ર સંજ્ઞા છે; એનો અર્થ એ કે ભાવ ખાસ પ્રકારના ગણોનો વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે. તે જ રીતે 25 સંજ્ઞા છે, તે અમુક પ્રકારના ગણોનો ગણાંક છે, આવા ગણના ઘટકો તરીકે માણસો, ખુરશીઓ, પશુઓ કે સંખ્યાઓ હોઈ શકે. હવે N(બધા ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ)નો ગણાંક શું હશે ? ગૅલિલિયોના ઉદાહરણમાં જ જોયું કે N અને A = {13, 23, 33, 43…} બંને ગણોનો ગણાંક સરખો જ હોવો જોઈએ. હવે A તો Nનો ઉચિત (proper) ઉપગણ છે, છતાં બંનેનો ગણાંક સરખો છે. આવા ગણને અનંત ગણ કહે છે. ઓગણીસમી સદીના ગણિતજ્ઞ ડેડિકિન્ડે, અનંત ગણની વ્યાખ્યા જ ઉપર મુજબ આપી.

આવા અનંત ગણના ગણાંકનો અનંતી કહીશું, કૅન્ટરના સંશોધનમાં Nનો ગણાંક , આલેફ નલ વડે દર્શાવાયો છે. એ હીબ્રૂ ભાષાનો પ્રથમ અક્ષર છે. એ નાનામાં નાની અનંતી છે. બધા પૂર્ણાંકો અને બધી સંમેય સંખ્યાઓના ગણનો ગણાંક થાય છે, જ્યારે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાના ગણ Rનો ગણાંક નથી. (R પણ અનંત ગણ તો છે જ.) આ વિધાન કૅન્ટરે સાબિત કર્યું હતું, જેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું દશાંશપદ્ધતિમાં નિરૂપણ અને કૅન્ટરની ખાસ પ્રકારની રીત – diagonalization – વપરાય છે. Rનો ગણાંક C વડે દર્શાવાયો છે, કૅન્ટરે નોંધ્યું કે ગણિતમાં સામાન્ય રીતે વપરાતા અનંત ગણોના ગણાંક અને C છે. હવે, આપેલ કોઈ ગણ Aના બધા ઉપગણોનો ગણ P(A) લઈએ. Aમાં બે ઘટકો હોય તો P(A)માં 4 = 22 ઘટકો મળે; Aમાં ત્રણ ઘટકો હોય તો P(A)માં 8 = 23 ઘટકો મળે; Aમાં n ઘટકો હોય તો P(A)માં 2n ઘટકો મળે. આમ, Aનો ગણાંક n હોય તો P(A)નો ગણાંક 2n થાય. હમેશાં P(A)નો ગણાંક A કરતાં મોટો થાય. A = N હોય તો, P(A)નો ગણાંક કહેવાય. પરંતુ A = N હોય તો A અને Rની ગણનીયતા સરખી છે તેમ બતાવી શકાય. આથી C = (). આમ કરતાં મોટી અનંતી મેળવવા Rનો ગણાંક લઈએ. પ્રશ્ન થાય કે, અને (=C)ની વચ્ચે કોઈ ગણાંક ખરો? એટલે કે, R પર એવો ગણ મળે જેની ગણનીયતા N અને R હોય ? કૅન્ટરની માન્યતા હતી કે આવો ગણ ન મળે. પણ તે સાબિત ન થઈ શક્યું. આ વિધાન સાતત્યક અભિકલ્પના (continuum hypothesis) તરીકે જાણીતું થયું. ગોડેલ અને કોહેનનાં પરિણામોને આધારે એવું સાબિત થયું છે કે આ વિધાન સાચું છે કે ખોટું તે પ્રચલિત ગણ-સિદ્ધાંતોની મદદથી પુરવાર ન થાય,  એક અનંતી મળી જે કરતાં ‘મોટી’ છે, અલગ છે. આ જ પ્રકારે, () કરતાં ‘મોટી’ અનંતી મેળવી શકાય, જેથી અનંત પ્રકારની અનંતીઓ મળે ! કૅન્ટરે આ પ્રકારની અનંતીઓનું અંકગણિત વિકસાવ્યું.

અનંતી અને અનંત ગણો, અનંત પ્રક્રિયાઓ વગેરે ગણિતના અભ્યાસ માટે અનિવાર્ય છે; એમ લાગે છે કે ‘અનંત’ કાળ સુધી તેની અનિવાર્યતા રહેશે.

નરેન્દ્ર લાધાવાલા