બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણા : દરેક વાસ્તવિક x > 1 માટે x અને 2x વચ્ચે કોક અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક હોય જ છે એવું બર્ટ્રાન્ડે 1840માં કરેલું અનુમાન સાચું હોય તો તેમાંથી અનેક સારાં પરિણામો ફલિત થઈ શકે; પણ બર્ટ્રાન્ડનું અનુમાન સાબિત કરવું કઠિન લાગતું હતું. તે અનુમાન બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણા (postulate) તરીકે ઓળખાયું. 1852માં રશિયન ગણિતજ્ઞ ચેબિશેવે તેની સાબિતી આપી. આમ છતાં તે પરિણામ હજી બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણા તરીકે જ ઓળખાય છે. એની અન્ય સાબિતીઓ પાછળથી રામાનુજન અને ઍરદૉશે પણ આપી છે. 1895માં સાબિત થયેલ અવિભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેયમાંથી પણ આ ‘પૂર્વધારણા’ પરિણામરૂપ ફલિત થાય છે.
બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણામાંથી જે કેટલાંક સારાં તારણો મળે છે તે આ પ્રમાણે છે : (1) જો n ક્રમે આવતી અવિભાજ્ય સંખ્યા pn હોય તો pn < 2n (n > 1); (2) પોતાથી નાની પ્રત્યેક વિભાજ્ય સંખ્યા સાથે જેને 1થી મોટો સામાન્ય અવયવ હોય તેવી મોટામાં મોટી સંખ્યા 30 છે; (3) દરેક r ≥ 1 માટે r આંકડાવાળી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે જ (આ પરિણામ માત્ર દશાંશપદ્ધતિ જ નહિ, પરંતુ કોઈ પણ પાયા પર લખાયેલ સંખ્યાઓ માટે સાચું છે.) (4) જો 1નો સમાવેશ અવિભાજ્ય સંખ્યામાં કરવામાં આવે તો પ્રત્યેક ધનપૂર્ણાંકને ભિન્ન ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે લખી શકાય.
આ ઉપરાંત સ્વરિત શ્રેઢી 
…….નાં પ્રથમ n પદો (n > 1)નો સરવાળો કદી પૂર્ણાંક ન હોય તેની પણ એક સાબિતી બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણાના ઉપયોગથી મળી શકે છે.
અરુણ વૈદ્ય