ત્રુટિ (error) : ભૌતિક રાશિનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય પ્રયોગની મદદથી નક્કી કરતી વખતે માપનની અચોકસાઈને કારણે ભૌતિક રાશિના મૂલ્યમાં આવતી અચોકસાઈ. માન(magnitude)ની નિરપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત લગભગ ચોથી સદીમાં પ્લેટોની અકાદમીના સભ્ય ઍક્ઝોડસે તેમજ ‘રેગ્યુલર પોલિહડ્રો’ પુસ્તકના લેખક થીટેટસે વિકસાવ્યો. અસંમેય (irrational) માન અને અસંમેય સંખ્યાઓની સમજૂતી અંગે માત્ર સૈદ્ધાંતિક હેતુસર આ વિકાસ સધાયો હતો એવા ઐતિહાસિક પુરાવા મળે છે. સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક એમ માપનની બંને પ્રકારની સમસ્યાઓ પર પ્રાચીન કાળમાં અને મધ્યયુગમાં સતત ચર્ચા કરવામાં આવતી હતી. માપન અને માન અંગેનાં યુક્લિડનાં મંતવ્યો આધુનિક યુગમાં 18મી સદીના સર આઇઝેક ન્યૂટનના વિખ્યાત ગ્રંથ ‘ઍરિથમેટિકા યુનિવર્સાલિસ’ સુધી સુસંગત ગણાતાં હતાં તેમ જણાય છે. મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને સ્વયંસિદ્ધ સત્યોમાંથી ઉદભવેલો તેનો આધુનિક તાર્કિક વિકાસ હર્મન હેલ્મહોલ્ટ્ઝના ‘કાઉન્ટિંગ ઍન્ડ મેઝરિંગ’ અને જર્મન ગણિતજ્ઞ લુડવિગ ઑટો હોલ્ડરના ‘ઍક્સિઅમ્સ ઑવ્ ક્વૉન્ટિટી ઍન્ડ થિયરી ઑવ્ મેઝર’ નામની કૃતિઓમાં પણ જોવા મળે છે.
વ્યવહારમાં માપન કરવામાં આવે ત્યારે એક યા બીજા સ્વરૂપમાં ત્રુટિ જોવા મળે છે. ખરેખર હોવું જોઈએ તે માપન અને પ્રયોગ દ્વારા પ્રત્યક્ષ નિરીક્ષણ કરતાં જે પરિણામ મળે તે બે વચ્ચેના તફાવતને ત્રુટિ કહે છે; દા. ત., કોઈ એક વર્ષે ઘઉંના પાકનું ઉત્પાદન x હજાર મેટ્રિક ટન થવાની ધારણા હોય પણ વાસ્તવમાં ઉત્પાદન x´ હજાર મેટ્રિક ટન થાય તો તે બે વચ્ચેનો તફાવત (x–x’) કે (x’–x) તે ઘઉંના પાકનું ધારેલું ઉત્પાદન અને પાકનું ખરેખરું ઉત્પાદન એ બે વચ્ચેની ત્રુટિ ગણી શકાય. આ તફાવતને (x–x’) કે (x’–x) લખવાને બદલે |x – x’| એટલે કે નિરપેક્ષ તફાવત તરીકે લેવામાં આવે તો તે પણ ત્રુટિનું એક માપ જ થશે.
અવલોકનમાંની ત્રુટિના વિવિધ પ્રકારો નીચે પ્રમાણે છે :
(1) સાધનોની ત્રુટિ (instrumental error) : પ્રયોગ-સાધનમાં રહેલી ખામીને કારણે અવલોકનમાં ત્રુટિ જોવા મળે છે. ખગોળશાસ્ત્રના અભ્યાસ માટે વાપરવામાં આવતા ટેલિસ્કોપમાં સાધનની ખામીને કારણે અવકાશી પદાર્થોનું અંતર, કદ વગેરે માપવામાં આવે ત્યારે અવલોકનમાં ત્રુટિ જોવા મળે છે. આવી ત્રુટિને ઘટાડવી હોય કે નિવારવી હોય તો પ્રયોગના જે તે સાધનને ખામીરહિત બનાવવું પડે. સાધનની ખામીને કારણે મળતી આવી ત્રુટિને ન્યૂનતમ બનાવી શકાય છે. માઇક્રોમીટર સ્ક્રૂ, સ્ફેરોમીટર, વર્નિયર સ્કેલ વગેરેમાં પણ ત્રુટિનું નિવારણ થઈ શકે છે.
(2) વ્યક્તિગત ત્રુટિ (personal error) : કોઈ પણ પ્રકારની ગણતરી કરતી વખતે માપનમાં કે અવલોકનમાં વ્યક્તિગત મર્યાદાને કારણે ત્રુટિ જોવા મળે છે તેને વ્યક્તિગત ત્રુટિ કહેવાય. નેવીલ મેસ્કેલાઇન નામના વિખ્યાત ખગોળશાસ્ત્રીએ તારાઓ અને ગ્રહોના અવલોકન બાબતમાં તેના મદદનીશે કરેલી અડધી સેકન્ડ જેટલી ભૂલ માટે તેને ફરજમાંથી તત્કાળ છૂટો કર્યો હતો. આ પ્રકારની ત્રુટિને ગંભીર ભૂલ ગણી શકાય, કારણ કે તેમાં માપન માટે આવશ્યક ચોકસાઈનો અભાવ, બેકાળજી વગેરેનો સમાવેશ થયેલો હોય છે.
(3) વ્યવસ્થિત ત્રુટિ (systematic error) : અમુક પ્રકારની ભૂલ થઈ હોય તેને સમયસર સુધારી લેવામાં ન આવે તો ક્રમશ: પુનરાવર્તિત થવાને કારણે આ ત્રુટિ વ્યવસ્થિત રીતે વધતી રહે છે અને લાંબા ગાળે હાનિકારક બની શકે છે; દા. ત., ખગોળશાસ્ત્રના અભ્યાસ માટે રાખવામાં આવેલા કોઈ એક સ્ટેશનની દરિયાની સપાટીથી ઊંચાઈ અંગે બરાબર ખ્યાલ રખાયો ન હોય તો તે સ્ટેશન પરથી લીધેલા હવામાનના દબાણના માપમાં ત્રુટિ જોવા મળે છે. આ રીતે થયેલી ત્રુટિ હવામાનના દબાણના પ્રત્યેક માપનમાં અવારનવાર પુનરાવર્તિત થતી જોવા મળે છે, જે ઘણી વાર અવિશ્વસનીય પરિણામો સર્જી શકે છે. આ બધી અવલોકનની ત્રુટિઓ છે.
(4) યર્દચ્છ ત્રુટિ (random error) : ત્રુટિ થવામાં કોઈ સુનિશ્ચિત કારણ હોય છે જેને દર્શનીય કારણ કહે છે. યર્દચ્છ ત્રુટિ થવા માટે કોઈ ખાસ ચોક્કસ કારણ આપી શકાતું નથી. અવલોકનકાર પોતે અવલોકનો લેવાનું અવારનવાર પુનરાવર્તન કરતો હોય ત્યારે સાધનો ગમે તેટલાં ચોક્કસ હોય, માપ લેવાની પદ્ધતિ ચોક્કસ હોય તોપણ આવાં અવલોકનોમાં તફાવત જોવા મળે છે. એક જથ્થાના પ્રાપ્તાંકોને પુનરાવર્તન દ્વારા મળતા અન્ય જથ્થાના પ્રાપ્તાંકો સાથે સરખાવતાં આવું ચલન (variation) જોવા મળે છે. આવા ચલનનું કારણ યર્દચ્છ ત્રુટિ છે. એક ખેતરમાં આવેલા સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે પ્લૉટમાં એકસરખું પાણી અને ખાતર આપવામાં આવે તોપણ બંને પ્લૉટમાં થતું પાકનું ઉત્પાદન એકસરખું રહેતું નથી. આવો તફાવત યર્દચ્છ ત્રુટિને કારણે છે.
(5) ગણિતીય ત્રુટિ (mathematical error) : સાંખ્યિકીય પૃથક્કરણ(numerical analysis)માં ગણતરી કરતી વખતે માપનની ખરેખરી કિંમત લેવાને બદલે લગભગ કિંમત લેવામાં આવે છે. આમ કરવામાં કેટલી હદ સુધી ચોકસાઈનું માપ આપણે ચલાવી લેવાના છીએ તેની પૂર્વધારણા કરેલી હોય છે; દા. ત., પાંચ દશાંશ સ્થળ સુધીની કિંમતનું માપ ચોકસાઈ ભરેલું છે તેમ સ્વીકારી લઈએ તો પાંચથી વધુ દશાંશસ્થળ સુધીની કિંમતવાળા માપને બદલે માત્ર દશાંશના પાંચ સ્થળ સુધીની સન્નિકટ (approximate) કિંમત લેવામાં આવે છે જે એક પ્રકારની ત્રુટિ સર્જે છે. આ સંનિકટન ત્રુટિ (round off error) છે. આવાં માપના સરવાળા કે ગુણાકાર થવાથી આવી ત્રુટિનો વ્યાપ વધે છે અને લાંબે ગાળે ઊભી થતી સંચયી ત્રુટિ (cumulative error) ઘણી મોટી થાય છે, જેની ગંભીર અનુવર્તી અસરો થાય છે. સંનિકટન(approximation)માં ચોકસાઈની જરૂરી મર્યાદા સાથે સંકળાયેલી ત્રુટિ તે ‘વિચ્છિન્ન’ ત્રુટિ (truncated error) છે. આ પ્રકારની ત્રુટિ અંતર્વેશન(interpolation)ના સૂત્રના પ્રકાર પર આધારિત હોય છે. ટેલરના વિસ્તરણમાં વિચ્છિન્ન શ્રેણી લઈએ ત્યારે પણ આવી ત્રુટિ ઉદભવે છે.
આંકડાશાસ્ત્રમાં ત્રુટિનો અભ્યાસ મહત્ત્વનો છે. ત્રુટિમાપનો પ્રામાણ્ય વક્ર (normal law or curve of error) અને તે પરથી ત્રુટિ જાણવા માટેનાં પરિરૂપ(models)નો અભ્યાસ પણ શક્ય બને છે. સમાજશાસ્ત્ર, માનસશાસ્ત્ર, શિક્ષણશાસ્ત્ર વગેરેમાં આવો અભ્યાસ ઉપયોગી થાય છે. અવરોધક પદ (disturbance term), ત્રુટિપદ (error term) જેવી આંકડાશાસ્ત્રીય રાશિઓનો અર્થમિતિશાસ્ત્ર(econometrics)માં વ્યાપક પ્રમાણમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ અભ્યાસમાં માપનની ત્રુટિઓ અંગે જાણવું જરૂરી બને છે. માપનની ત્રુટિઓને કારણે સમષ્ટિના પ્રાચલોના મેળવાતા આગણનકારો (estimators) પક્ષપાતી (biased) તેમજ અસંગત (inconsistent) બને છે, જેના લીધે આગણનકારો પરથી મેળવાતાં અનુમાનો વિવાદાસ્પદ બને છે. અહીં કેટલાંક વિશિષ્ટ પ્રકારનાં માપન દર્શાવ્યાં છે. તેનો અભ્યાસ આંકડાશાસ્ત્રમાં અગત્યનો છે.
નીચેની ત્રણ શ્રેણીઓના પ્રાપ્તાંકો (scores) જોઈએ :
| શ્રેણી ‘અ’ | શ્રેણી ‘બ’ | શ્રેણી ‘ક’ |
| 15 | 10 | 37 |
| 15 | 20 | 23 |
| 15 | 25 | 11 |
| 15 | 18 | 3 |
| 15 | 2 | 1 |
| કુલ 75 | 75 | |
| સરેરાશ : 15 | 15 | 15 |
આ ત્રણેય શ્રેણીમાં સરેરાશ સમાન છે પરંતુ ત્રણે શ્રેણી અલગ અલગ તરી આવે છે. પ્રથમ શ્રેણીના તમામ પ્રાપ્તાંકો સમાન છે. બીજી શ્રેણીના પ્રાપ્તાંકમાં શરૂઆતમાં વધારો અને પછી ઘટાડો જોવા મળે છે. ત્રીજી શ્રેણીમાં સતત ઘટાડો જોવા મળે છે. આવા ફેરફારને કારણે શ્રેણીના પ્રાપ્તાંકોમાં ચલન જોવા મળે છે. ચલનને કારણે માત્ર સરેરાશને આધારે તમામ શ્રેણીઓ એકસરખી છે એમ ન કહી શકાય.
શ્રેણીના પ્રાપ્તાંકોમાં થતી વધઘટનો અભ્યાસ કરવા માટે આંકડાશાસ્ત્રમાં વિવિધ પ્રકારના વિચલનનાં માપ છે, જેવાં કે, સરેરાશ વિચલન, પ્રમાણિત વિચલન, વિચરણ, ચલનાંક વગેરે. તે દર્શાવતાં સૂત્રો અહીં આપ્યાં છે :
(1) સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) :
(2) પ્રમાણિત વિચલન (standard Deviation) :
પ્રમાણિત વિચલન એટલે શ્રેણીના પ્રાપ્તાંકોના તેના મધ્યકમાંથી લીધેલાં વિચલનોના સરવાળા પરથી મેળવેલ સરેરાશનું ધન વર્ગમૂળ.
(3) વિચરણ : (Variance) :
(4) ચલનાંક (Coefficient of Variation) :
સૂત્ર : ચલનાંક = 
(ચલનાંકનું માપ ટકાવારીમાં દર્શાવાય છે.)
તેથી ઉપર દર્શાવેલ ઉદાહરણમાંની ત્રણેય શ્રેણીઓ અ, બ અને ક ની સરખામણી કરવા માટે ચલનાંકનું માપ વધુ પ્રચલિત છે. જે શ્રેણીનું ચલનાંક ઓછું હોય તે શ્રેણી વધુ સ્થિરતાવાળી છે તેમ કહી શકાય.
આમ પ્રમાણિત વિચલન પરથી મેળવેલ ચલનાંકની કિંમત શ્રેણીઓની સરખામણી કરવા માટે ઉપયોગી થાય છે.
સમષ્ટિના પ્રાચલ (parameter) માટેની પ્રમાણિત ત્રુટિ તે સમષ્ટિમાંથી લીધેલાં નિદર્શના વિચરણનું ધન વર્ગમૂળ છે. પ્રમાણિત ત્રુટિના આધારે સમષ્ટિના પ્રાચલ માટેનાં પરીક્ષણો તેમજ સમષ્ટિના પ્રાચલ માટેની વિશ્વસનીય સીમાઓ મેળવી શકાય છે.
દા. ત., 
આ શ્રેણિક સમીકરણ K ચલવાળું રેખીય પરિરૂપ (Linear Model) છે. અહીં 
ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકારની પદ્ધતિ વડે આ પરિરૂપ માટેના પ્રાચલો 
નો OLS આગણનકાર નીચેના સૂત્ર વડે મળે છે :
જ્યાં σ2 અવરોધક પદ (disturbance term)નું વિચરણ છે. σ2 ના અનભિનત (unbiased) આગણનક K નીચેના સૂત્ર વડે મળે છે :
આ સૂત્રોના આધારે માટેની પરિકલ્પનાનાં પરીક્ષણો જે તે શરતો અનુસાર મેળવી શકાય છે તેમજ માટેની 95 % કે 99 % (વ્યાપક રીતે 100(1–α) %) વિશ્વસનીય સીમાઓ પણ મેળવી શકાય છે.
એ સ્પષ્ટ છે કે પ્રમાણિત ત્રુટિનું આગણન જેટલું યથાયોગ્ય થયું હોય તેટલી વિશ્વસનીય સીમાઓ મળી શકે છે.
પ્રામાણ્ય-વિતરણને આધારે નિદર્શ પરથી મળતા એક માપને સંભવિત ત્રુટિ કહે છે. સહસંબંધાંક (coefficient of correlation) r માટે આવી ત્રુટિના માપનું સૂત્ર 
,
(જ્યાં n = નિદર્શનું કદ). સંભવિત ત્રુટિનું એ પણ એક અગત્યનું માપ છે. સહસંબંધાંક માટેની સંભવિત ત્રુટિની કિંમત પરથી બે ચલો X અને Y વચ્ચેના સહસંબંધ વિશે અનુમાન બાંધી શકાય છે, અને આવું અનુમાન સંભવિત ત્રુટિની કિંમતની યથાર્થતા પર આધારિત છે. પ્રમાણિત વિચલનની અગત્યની ર્દષ્ટિએ ત્રુટિનું આ માપ અત્યંત ઉપયોગી છે. પ્રમાણિત વિતરણને આધારે (મધ્યક) ± 3 (પ્ર.વિ.)ની સીમાઓ વચ્ચે લગભગ 99.73 % કિંમતો સમાઈ જાય છે એટલે બાકીની માત્ર 0.27 % કિંમતો જ આ સીમાની બહાર પડે છે. આ પરિણામના ઉપયોગ પરથી આવી સીમાઓને 3σ નિયંત્રણ સીમાઓ (control limits) કહેવામાં આવે છે. આ સીમાઓનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્રીય ગુણવત્તા નિયંત્રણમાં પદ્ધતિના નિયંત્રણ માટે થાય છે. આના આધારે ડૉ. શુઅર્ટના નિયંત્રણ–આલેખો તૈયાર થયા છે. હાલમાં તદ્દન આધુનિક પ્રકારના સંચયી (cumulative) સરવાળા માટેના નિયંત્રણ આલેખોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
નિદર્શનપદ્ધતિઓ(sampling methods)ના અભ્યાસમાં પણ જે તે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હોય ત્યારે પુન:સ્થાપન વગર અને પુન: સ્થાપન સાથેના અભ્યાસમાં મેળવેલા આગણનકારનો વિચરણ અને તેનું પ્ર.વિ. મેળવાય છે. તેના પરથી પ્રમાણિત ત્રુટિ પણ મળે છે. આ પરિણામોનો ઉપયોગ કરી વાપરેલી નિદર્શનપદ્ધતિ માટે સમષ્ટિના મહત્વના અંદાજો મળે છે. ટૂંકમાં ત્રુટિના ખ્યાલ વિશેનો અંદાજ જેટલો વધુ સચોટ અને સૂક્ષ્મ હોય તેટલું આંકડાકીય અનુમાન (statistical inference) વધુ વ્યાપક અને વિશ્વસનીય બને છે.
ભરત ભીખાલાલ જાની
યશવંત શાહ