ટેન્સર

ટેન્સર : એક યામપદ્ધતિના  યામગણો (set of co-ordinates)નું બીજી યામપદ્ધતિના યામગણોમાં રૂપાંતર કરવામાં આવે ત્યારે રૂપાંતર સાથે સંકળાયેલી અમૂર્ત વિભાવના તે પ્રદિશ.

Rⁿ એ n-પરિમાણી અવકાશ છે અને R બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. x¹, x², …., xⁿ એ Rⁿ બિંદુના યામ છે.

n સમીકરણ = Φⁱ (x¹, x², …, xⁿ), i = 1, 2, …, n …(1) લઈએ. Φⁱ એ યામોના સતત અને વિકલનીય વિધેયો છે. સમીકરણો (1) યામપરિવર્તન (change of co-ordinates) વ્યાખ્યાયિત કરે છે, યામપરિવર્તન (1)નું વ્યસ્ત પરિવર્તન (inverse transformation)

પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(i) સાંકેતિક પદ્ધતિ : જ્યારે અનુગ (suffix) કોઈ પદમાં એક વખત આવે ત્યારે પ્રચલિત પદ્ધતિ અનુસાર તે અનુગ શક્ય તેટલી બધી જ કિંમતો લે છે.

n સમીકરણો (1) ને  વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(ii) સરવાળા-પદ્ધતિ : જો કોઈ એક અનુગ કોઈ પણ પદમાં, એક વાર નિમ્નાંક (subscript) તરીકે અને એક વાર ઊર્ધ્વાંક (superscript) તરીકે આવે તો તે અનુગની બધી જ કિંમતો માટે તે સરવાળો દર્શાવે છે. આ પ્રકારની પદ્ધતિને સરવાળા-પદ્ધતિ કહેવાય છે. દા.ત.,  એમ પણ લખાય છે. સરવાળો દર્શાવતા અનુગને મૂક અનુગ (silent suffix) કહે છે.

ક્રોનેકર–ડેલ્ટા : ક્રોનેકર-ડેલ્ટા, δ_i^j (અથવા δ_ij)ની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે :

δ_i^j = 1 જો i = j અને dij  = 0 જો i દ j. સ્પષ્ટ છે કે

δ_i^j  A^j = Aⁱ, δⁱ_i  = n જો i = 1, 2, …, n.

પ્રતિચલ (Contravariant) અને સહચલ (Covariant) સદિશો :

જો n યામો xⁱ ના n-વિધેયો Aⁱ યામપરિવર્તનનો નિયમ  પ્રમાણે પરિવર્તન પામતા હોય તો તેમને પ્રતિચલ સદિશના સંઘટકો(components) કહે છે. અહીં Aⁱ એ યામ  ના સંદર્ભમાં સંઘટકો છે.

સહચલ સદિશો : જો n ­ યામો xⁱ ના n વિધેયો B_j યામ પરિવર્તનના નિયમ  નિયમ પ્રમાણે પરિવર્તન પામતા હોય તો તેમને સહચલ સદિશના સંઘટકો કહે છે. અહીં   એ યામ  ના સંદર્ભમાં સંઘટકો છે.

નિશ્ચલ (invariant) : જો n યામો xⁱનું ગમે તે વિધેય I એવું હોય કે જેથી I =  થાય તો તેને નિશ્ચલ કહે છે જ્યાં  એ I નું નવા યામ માં મૂલ્ય દર્શાવે છે; દા.ત., જો Aⁱ પ્રતિચલ સદિશના સંઘટકો હોય અને B_i સહચલ સદિશના સંઘટકો હોય તો Aⁱ B_i નિશ્ચલ છે.

2­કક્ષાના ટેન્સર : જો n ­ યામો xⁱ ના n² વિધેયો A^ij યામ પરિવર્તનના

પ્રમાણે પરિવર્તન પામતા હોય, તો તેમને  2­કક્ષાના પ્રતિચલ ટેન્સરના સંઘટકો કહેવાય છે. અહીંસંદર્ભમાં સંઘટકો છે. તેવી જ રીતે જો  n-યામો xⁱના n² વિધેયો B_ij યામ પરિવર્તનના નિયમ પાલન કરતા હોય તો તેમને 2­કક્ષાના સહચલ-ટેન્સરના સંઘટકો કહેવાય છે. વધુમાં, જો n યામો xⁱના n² વિધેયો Cⁱ_j યામ પરિવર્તનના નિયમ  નું પાલન કરતા હોય, તો તેમને 2­કક્ષાના મિશ્ર- ટેન્સરના સંઘટકો કહેવાય છે.

ઉચ્ચ કક્ષાના ટેન્સર  : જો n યામો xⁱ ના n^{s + p} વિધેયો  યામ પરિવર્તન

પ્રમાણે પરિવર્તન પામતાં હોય તો તેમને (s + p) કક્ષાના મિશ્ર ટેન્સરના સંઘટકો કહેવાય છે. અહીં  એ યામ  ના સંદર્ભમાં સંઘટકો છે. આ ટેન્સરને (s, p) પ્રકારનો ટેન્સર પણ કહે છે.

બે ટેન્સરનો સરવાળો અને બાદબાકી : એક જ પ્રકારના બે ટેન્સરોનો સરવાળો કે બાદ્બાકી થઈ શકે છે, જેને પરિણામે તે જ પ્રકારનો ટેન્સર મળે છે. એક જ પ્રકારના એક કરતાં વધારે ટેન્સરના સરવાળાના સંઘટકો દરેક ટેન્સરના અનુરૂપ સંઘટકોનો સરવાળો કરવાથી મળે છે. બે-ત્રણ કક્ષાના મિશ્ર ટેન્સર છે.

સ્પષ્ટ છે કે  પણ ત્રણ-કક્ષાના મિશ્ર ટેન્સર છે.

બે ટેન્સરનું બહિર્ગુણન (external product) :

એ અનુક્રમે (r, s) અને (r’, s’) પ્રકારના ટેન્સર છે. તેમના બહિર્ગુણનથી (r + r’, s + s’) પ્રકારનો ટેન્સર મળે છે, જેના સંઘટકો છે.

ટેન્સરની સંમિતતા (symmetry) અને વિસંમિતતા (anti-symmetry) : 2­કક્ષાના સહચલ ટેન્સરના સંઘટકો A_ij છે, જો A_ij = A_ji થાય તો આ ટેન્સરને સંમિત કહેવાય છે અને જો A_ij = ­ A_ji થાય તો આ ટેન્સરને વિસંમિત કહેવાય છે. જો 2-કક્ષાના પ્રતિચલ ટેન્સરના સંઘટકો B^ij હોય તેમજ B^ij = B^ji હોય તો તેમને સંમિત ટેન્સર કહે છે, પરંતુ B^ij = ­ B^ji હોય તો તેમને વિસંમિત ટેન્સર કહે છે. આ જ રીતે વ્યાપક પ્રકારના ટેન્સર માટે સંમિતતા અને વિસંમિતતાના ખ્યાલો પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ ખ્યાલો મિશ્રટેન્સરને પણ લાગુ પડે છે. પરંતુ સંમિતતા કે વિસંમિતતા એક પ્રકારના (સહચલ કે પ્રતિચલ) અનુગોના સંદર્ભમાં જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સંકોચન (contraction) : સંકોચન એ મૂળ ટેન્સરની કક્ષા 2 ઓછી કરવાની એક પ્રક્રિયા છે. ધારો કે એ (2, 3) પ્રકારનો મિશ્ર-ટેન્સર છે જેની સહચલ કક્ષા 3 અને પ્રતિચલ કક્ષા 2 છે. તેમાં જો એક પ્રતિચલ અનુગ અને એક સહચલ  અનુગને સરખા મૂકીએ તો જે પરિણામ મળે તે આપેલા ટેન્સરનું સંકોચન છે; દા.ત.,વગેરે (1, 2) પ્રકારના ટેન્સર છે.

ટેન્સરોનું અંતર્ગુણન (inner product) : બે ટેન્સરોના બહિર્ગુણનના કોઈ પણ સંકોચનને તેમનું અંતર્ગુણન કહે છે. એ અનુક્રમે (1, 2) અને (2, 2) પ્રકારના મિશ્રટેન્સરો છે.  વગેરે આ ટેન્સરોનાં અંતર્ગુણનો છે. બે ટેન્સરોનું અંતર્ગુણન પણ એક ટેન્સર છે તેમ બતાવી શકાય છે.

અનુબદ્ધ ટેન્સર (conjugate tensor) : g_ij એક સંમિત ટેન્સર છે અને તેનો નિશ્ચાયક g = | g_ij | ≠ 0 છે. જો  હોય તો સરળતાથી જોઈ શકાય છે કે g^ij 2–કક્ષાનો પ્રતિચલ સંમિત ટેન્સર છે અને  છે. ટેન્સર g^ijને ટેન્સર g_ijનો અનુબદ્ધ ટેન્સર કહે છે.

છેદ નિયમ : જો કોઈ એક અંકિત રાશિ અને ગમે તે એક ટેન્સરનું અંતર્ગુણન ટેન્સર હોય તો તે રાશિ પણ ટેન્સર છે. આ નિયમ સાબિત કરી શકાય છે.

માન-ટેન્સર (metric tensor) : જો બે નજીકનાં બિંદુઓના યામ xⁱ અને xⁱ + dxⁱ હોય તો તેમની વચ્ચેના અંતર ds ને સૂત્ર

ds² = g_ij dxⁱ dx^j વડે દર્શાવવામાં આવે છે. g_ij એ સંમિત ટેન્સર છે અને |g_ij| ≠ 0 છે. અહીં dxⁱ એ પ્રતિચલ સદિશના સંઘટકો છે. અંતર સહિતના આવા અવકાશને રીમાનીય અવકાશ કહે છે. ટેન્સર g_ij ને માન-ટેન્સર કહે છે. માન-ટેન્સરનો ખ્યાલ ભૂમિતિમાં મહત્વનો ભાગ ભજવે છે. ds² ધન જ હોય તેવું જરૂરી નથી; દા.ત., વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદમાં આવતા અંતરસૂત્રમાં ds² ધન, ઋણ કે શૂન્ય હોઈ શકે છે તેથી ds²ને હંમેશાં ધન રાખવા માટે ds² = e g_ij dxⁱdx^j લખવામાં આવે છે. અહીં e દર્શક છે અને તેની કિંમત +1 અથવા –1 થઈ શકે છે. જેથી ds² ધન જ થાય.

સદિશનું માન (dimension of vector) : પ્રતિચલ સદિશ Aⁱનું માન A છે. Aની વ્યાખ્યા A² = eg_ijAⁱA^j વડે આપવામાં આવે છે. e =  ± 1 એવી રીતે લેવું કે જેથી A વાસ્તવિક રહે. તેવી જ રીતે સૂત્ર B² = eg^ijB_iB_j વડે સહચલ સદિશ B_iનું માન B વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જે સદિશનું માન એક હોય તેને એકમ સદિશ કહે છે અને જે સદિશનું માન શૂન્ય હોય તેને શૂન્ય સદિશ કહે છે.

જો λⁱ પ્રતિચલ સદિશના સંઘટકો હોય તો λ_i = g_ijλⁱ વડે વ્યાખ્યાયિત λ_i સહચલ સદિશના સંઘટકો છે. ઉપરના પરિણામમાંથી λ^k = g^kiλ_i પરિણામ પણ મેળવી શકાય છે, આમ λⁱ માંથી λ_i અને λ_i માંથી λⁱ મેળવવાની પદ્ધતિઓ પરસ્પર વ્યસ્ત છે. λ_i અને λⁱ સંઘટકોવાળા સદિશો માન-ટેન્સર g_ij પ્રત્યેના એકબીજાના સહચારી ટેન્સર કહેવાય છે. λⁱમાંથી λ_i અને λ_i માંથી λⁱ મેળવવાની પદ્ધતિઓને અનુક્રમે અનુગોનું અધ:કરણ અને ઊર્ધ્વીકરણ કહે છે. આ પ્રક્રિયા ટેન્સરને પણ લાગુ પાડી શકાય છે;

દા. ત.,  વગેરે.

ક્રિસ્ટોફેલ સંજ્ઞાઓ : કોઈ પણ ટેન્સરનું વિકલનફળ ટેન્સર જ થાય એવું ન પણ હોય. ટેન્સરના એવા વિકલનની વ્યાખ્યા જોઈએ, જેમાં મળતું વિકલનફળ ટેન્સર થાય. તે માટે ક્રિસ્ટોફેલ સંજ્ઞાઓ અગત્યનો ભાગ ભજવે છે. પ્રથમ પ્રકારની ક્રિસ્ટોફેલ સંજ્ઞાઓ [ij, k].

અને

બીજા પ્રકારની ક્રિસ્ટોફેલ સંખ્યા 

આ સંજ્ઞાઓ ટેન્સરના સંઘટકો નથી તે સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે. આ બંને સંજ્ઞાઓ i અને jમાં સંમિત છે. વળી

સહચલ વિકલન (covariant differentiation) : λⁱ કોઈ પ્રતિચલ સદિશના સંઘટકો છે. λⁱના સહચલ વિકલન λⁱ;

વડે વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. λⁱ;k એ (1,1) પ્રકારના મિશ્ર ટેન્સરના સંઘટકો છે તે ચકાસી શકાય છે. આમ λⁱનું આંશિક વિકલનફળ ટેન્સર નથી પણ તેનું સહચલ-વિકલન ટેન્સર છે.

વળી કોઈ સહચલ સદિશના સંઘટકો μ_i માટે સહચલ વિકલન μ_i;kની વ્યાખ્યા વડે આપવામાં આવે છે. μ_i; k એ 2–કક્ષાના સહચલ ટેન્સરના સંઘટકો છે એ સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે. ઉપર દર્શાવેલી વ્યાખ્યાઓ કોઈ પણ ટેન્સર માટે વિસ્તારી શકાય છે.

દા. ત.,  એ (2, 1) પ્રકારનો એક ટેન્સર છે. સ્પષ્ટ છે કે

આ જ રીતે કોઈ પણ ટેન્સરનું સહચલ વિકલન થઈ શકે છે. આંશિક વિકલન જે નિયમોનું પાલન કરે છે તે જ નિયમોનું પાલન બે ટેન્સરોના સરવાળા,  બહિર્ગુણન કે અંતર્ગુણનનું સહચલ વિકલન પણ કરે છે.

રીમાન–ક્રિસ્ટોફેલ વક્રતા ટેન્સર (Riemann–Christofel curvature tensor) : ક્રિસ્ટોફેલ સંજ્ઞાઓની મદદથી રીમાન-વક્રતા ટેન્સર

થી આપવામાં આવે છે. અહીં એ 4–કક્ષાનો એટલે કે (1, 3) પ્રકારનો ટેન્સર છે. ઉપરની વ્યાખ્યામાંથી ફલિત થાય છે કે ના કેટલાક ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે :

(i) R_rjnp = – R_jrnp (ii) R_rjnp = – R_rjpn

(iii) R_rjnp = R_nprj  (iv) R_rjnp + R_rnpj + R_rpjn = 0.

વક્રતા ટેન્સર

નિત્યસમનું પાલન કરે છે. આ નિત્યસમને બિયાનકી-નિત્યસમ (Bianchi-Identity) કહે છે.

રિકી (Ricci) ટેન્સર, વક્રતા–નિશ્ચલ અને આઇન્સ્ટાઇન ટેન્સર : ઉપરની વ્યાખ્યામાંથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આ ટેન્સરનાં ત્રણ જુદાં જુદાં સંકોચનો છે. પરંતુ ઉપર દર્શાવેલા ગુણધર્મોના ઉપયોગથી જોઈ શકાશે કે ફક્ત એક જ સંકોચન  લેવું પૂરતું છે.

રિકી ટેન્સરની વ્યાખ્યા

ક્રિસ્ટોફેલ સંજ્ઞાઓમાં રિકી ટેન્સરને અભિવ્યક્ત કરી શકાય છે.

એ પરિણામમાંથી જોઈ શકાશે કે R_jn = R_nj છે. આમ રિકી ટેન્સર સંમિત છે. વક્રતા-નિશ્ચલ Rની વ્યાખ્યા R = g^jn R_jn છે. જે અવકાશનાં બધાં બિંદુઓએ R_jl = Ig_ik હોય, તેવા અવકાશને આઇન્સ્ટાઇન-અવકાશ કહે છે. અહીં I એક-નિશ્ચલ છે.

આઇન્સ્ટાઇન ટેન્સર વડે આપવામાં આવે છે. આ ટેન્સર આઇન્સ્ટાઇનના વ્યાપક સાપેક્ષતાવાદમાં મહત્વપૂર્ણ ભાગ ભજવે છે. બિયાનકી–નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને છે એમ સાબિત કરી શકાય છે. આ પરિણામ સાપેક્ષતાવાદમાં ખૂબ જ અગત્યનું છે. ટેન્સરનો ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં તેમજ વિજ્ઞાનની કેટલીક શાખાઓમાં પણ ઉપયોગ થાય છે.

લીલાધર ખેસાભાઈ પટેલ