ચતુષ્કોણ (quadrilateral) : યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર સમતલમાં દોરેલી ચાર બાજુથી બંધાયેલી આકૃતિ.
વ્યાખ્યા : A, B, C અને D ચાર ભિન્ન બિંદુઓ છે. તે પૈકી કોઈ પણ ત્રણ એક જ રેખામાં નથી. વળી AB, BC, CD અને DA રેખાખંડો માત્ર તેમનાં અન્ત્ય બિંદુએ છેદે છે. રેખાખંડોના આવા યોગને ચતુષ્કોણ ABCD કહે છે. સંકેતમાં તેને ABCD વડે નિર્દેશવામાં આવે છે.
આકૃતિ 1 આકૃતિ 2
આકૃતિ (1) અને (2) ચતુષ્કોણ છે તેથી તે એક બિંદુગણ છે. એટલે રેખાખંડોના આવા યોગને ચતુષ્કોણ કહે છે; પરંતુ તેમનાથી ઘેરાયેલો સમતલનો ભાગ ચતુષ્કોણ નથી. વાસ્તવમાં ચતુષ્કોણ સમતલને પરસ્પર અલગ એવા ત્રણ ગણોમાં વિભાજિત કરે છે : (1) ચતુષ્કોણ, (2) ચતુષ્કોણનો અંદરનો ભાગ અને (3) ચતુષ્કોણનો બહારનો ભાગ. ABCDના સંદર્ભમાં (i) A, B, C અને D બિંદુઓ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ (vertices), (ii) રેખાખંડો AB, BC, CD અને DA તેની બાજુઓ (sides), (iii) ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, અને ∠CDA તેના ખૂણાઓ કહેવાય છે. ચતુષ્કોણનાં સામસામેનાં શિરોબિંદુઓને જોડતો ચતુષ્કોણોનો રેખાખંડ તે ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ કહેવાય છે. આકૃતિ (1) અને (2)માં AC અને BD રેખાખંડો ABCDના વિકર્ણો છે.
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ (convex quadrilateral) : જે ચતુષ્કોણની પ્રત્યેક બાજુ તેની સામેની બાજુને સમાવતી રેખાને છેદતી ના હોય તે ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
આકૃતિ 3 : બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ આકૃતિ 4 : અંતર્મુખ ચતુષ્કોણ
આકૃતિ (3)માં ABCD બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે બાજુ AB તેની સામેની બાજુને સમાવતી રેખા CDને છેદતી નથી અને એ જ પ્રમાણે અન્ય બાજુઓ વિશે છે. આકૃતિ (4)માં ABCD બહિર્મુખ નથી. બાજુ AB સામેની બાજુને સમાવતી રેખા CDને છેદે છે. આ પ્રકારનો ચતુષ્કોણ અંતર્મુખ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ : (i) બહિર્મુખ ચતુષ્કોણનું પ્રત્યેક શિરોબિંદુ તેની સામેના ખૂણાની અંદરના ભાગમાં હોય છે. (ii) તેના વિકર્ણો પરસ્પર છેદતા હોય છે અને (iii) તેના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 360° હોય છે. ઉપર્યુક્ત (i) અને (ii)નાં પ્રતીપ પણ સાચાં છે. તદુપરાંત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય તો તે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે પણ તેનું પ્રતીપ સાચું નથી. ચતુષ્કોણની સામાન્ય અન્ત્ય બિંદુઓવાળી બાજુઓની પ્રત્યેક જોડ તેની ક્રમિક (consecutive) બાજુઓ કહેવાય છે; પરંતુ સામાન્ય અન્ત્ય બિંદુઓ નહિ ધરાવતી બાજુઓની દરેક જોડ તેની સામસામેની બાજુઓ તરીકે ઓળખાય છે.
ચતુષ્કોણોના પ્રકાર : (ક) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (paral- lelogram) : સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોય તેવો ચતુષ્કોણ. આકૃતિ (5)માં ABCD માટે બાજુઓ AB અને DC સમાંતર છે તથા બાજુઓ AD અને BC સમાંતર છે તેથી ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ તથા સામસામેના ખૂણાઓ સરખા માપનાં હોય છે. આનાથી ઊલટું પણ દરેક માટે સાચું છે. તેના વિકર્ણો (diagonals) પરસ્પર દુભાગે છે. આનો પ્રતિસિદ્ધાંત (converse) પણ સાચો છે.
આકૃતિ 5 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ આકૃતિ 6 : સમબાજુ ચતુષ્કોણ
(ખ) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus) : જેની ચારેય બાજુઓ એકરૂપ (સમાન લંબાઈની) હોય એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (જુઓ આકૃતિ 6). સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે એટલું જ નહિ પણ પ્રત્યેક વિકર્ણ તેના અન્ત્ય બિંદુઓ આગળના ખૂણાઓને દુભાગે છે.
આકૃતિ 7 : લંબચોરસ આકૃતિ 8 : ચોરસ
(ગ) લંબચોરસ (rectangle) : જેના બધાય ખૂણા કાટખૂણા હોય એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (જુઓ આકૃતિ 7). લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર અને એકરૂપ હોય છે. તેના બધાય ખૂણા સરખા માપના હોય છે. તેના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે અને પરસ્પર દુભાગતા હોય છે.
(ઘ) ચોરસ (square) : જેની બધી બાજુઓ એકરૂપ હોય એવા લંબચોરસને ચોરસ કહે છે. આકૃતિ 8માં ABCD ચોરસ છે. લંબચોરસના બધા ગુણધર્મો ચોરસ પણ ધરાવે છે. વધારામાં તેના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ (perpendicular) હોય છે અને તેમાંનો દરેક પોતાના અન્ત્ય બિંદુઓ આગળના ખૂણાઓને દુભાગે છે.
આકૃતિ 9 : સમલંબ ચતુષ્કોણ
(ચ) સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium) : જેની સામસામેની બાજુઓની એક જ જોડ સમાંતર હોય એવો ચતુષ્કોણ. આકૃતિ 9માં દર્શાવેલા ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જ જોડ AB અને DC સમાંતર છે. આમ ABCD સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
આકૃતિ 10 : પતંગ
(છ) પતંગ (kite) પાસપાસેની બે બાજુઓ એકરૂપ હોય એવી બે જોડ ધરાવતો ચતુષ્કોણ છે.
આકૃતિ 10માં ABCD પતંગ છે. તેમાં AB = BC અને AD = CD છે. પતંગનો એક વિકર્ણ બીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
આકૃતિ 10માં વિકર્ણ BD વિકર્ણ ACને કાટખૂણે દુભાગે છે. વળી તે વિકર્ણ તેનાં અન્ત્યબિંદુઓએ આવેલા ખૂણાઓને પણ દુભાગે છે.
આકૃતિ 11 : ચક્રીય ચતુષ્કોણ
ચક્રીય ચતુષ્કોણ (cyclic quadrilateral) : જેનાં ચારેય શિરોબિંદુઓ વર્તુળ ઉપર હોય એવો ચતુષ્કોણ તે ચક્રીય ચતુષ્કોણ. આ ચતુષ્કોણ વર્તુળમાં અંતર્ગત (inscribed) છે અથવા તો વર્તુળ ચતુષ્કોણને પરિગત (circumscribed) છે એમ પણ કહી શકાય (જુઓ આકૃતિ 11). ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા પૂરક હોય છે. જો ABCD ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોય તો AC•BD = AB•CD + AD•BC છે, જે ભૂમિતિનું ખૂબ જાણીતું પરિણામ છે. જો કોઈ વર્તુળ ચતુષ્કોણમાં અંતર્ગત હોય તો તેની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા સરખા થાય છે. આકૃતિ 12માં ABCDમાં એક વર્તુળ અંતર્ગત છે તેમાં AB + CD = AD + BC છે.
આકૃતિ 12 : અંતર્ગત વર્તુળવાળા ચતુષ્કોણ
મોહનભાઈ ડા. સુથાર