ગણસિદ્ધાંત

ગણસિદ્ધાંત (set theory) : ગણોના ઘટકો, ગણો વચ્ચેના સંબંધો (relations) અને ગણોમાં વપરાતા ઔપચારિક નિયમો અંગે ખ્યાલ આપતું ગણિત. આમ ગણસિદ્ધાંત એટલે ગણ અને તેના પર વ્યાખ્યાયિત પૂર્વધારણાઓ(postulates)યુક્ત ગણિત.

જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કૅન્ટૉરે (1845-1918) સૌપ્રથમ ગણસિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કર્યો. ગણ એટલે સુનિશ્ચિત ઘટકોનો સંગ્રહ (collection). આ વ્યાખ્યામાં આવેલા શબ્દોની પણ વ્યાખ્યા આપવાની જરૂરિયાત ઊભી થઈ. આ પરિસ્થિતિ ટાળવા ગણસિદ્ધાંતમાં ‘ગણ’ તથા ‘ગણના ઘટક (member) હોવું’ – આ બે ખ્યાલોને અવ્યાખ્યાયિત પદો (undefined terms) તરીકે સ્વીકારી લેવામાં આવ્યા છે.

ગણને દર્શાવવા A, B, C, X, Y, Z જેવા મોટા (capital) મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ગણના ઘટકો દર્શાવવા માટે a, b, c, x, y, z જેવા નાના (small) મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો ઘટક a, આપેલા ગણ Aનો સભ્ય હોય તો તેને a A સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે; પરંતુ a, ગણ Aનો સભ્ય ન હોય તો તેને a A સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે; દા.ત., ગણ A એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ(odd natural numbers)નો ગણ હોય તો 21 A છે પરંતુ 50 A.

ગણનું નિરૂપણ બે રીતે કરવામાં આવે છે :

(i) ગણમાં આવેલા બધા સભ્યોની યાદી બનાવીને, (ii) ગણના બધા સભ્યોમાં રહેલા સામાન્ય ગુણધર્મને આધારે સાંકેતિક સ્વરૂપમાં દર્શાવીને; દા.ત., ગણ B, 1થી 21 સુધીમાં આવેલી બેકી સંખ્યાઓનો ગણ હોય તો યાદીના સ્વરૂપમાં –

ગણ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}થી દર્શાવી શકાય અને B = {x / x એ 1 અને 21 વચ્ચે આવેલી બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે}થી સાંકેતિક સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય. (સાંકેતિક નિરૂપણમાં સભ્ય માટે સંકેત x લઈ તેની જમણી બાજુ ત્રાંસી લીટી મૂકી વિશિષ્ટ ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે.) જો આપેલા ગણો A તથા Bમાં એકના એક જ ઘટકો હોય તો A અને Bને સમાન ગણો (સંકેત A = B) કહેવામાં આવે છે. જો ગણ Aનો પ્રત્યેક ઘટક, ગણ Bનો પણ ઘટક હોય તો A, Bનો ઉપગણ (subset) છે એમ કહેવાય. સંકેતમાં A B અથવા B, Aને સમાવે છે. (સંકેતમાં B A છે.) સ્પષ્ટ છે કે A A છે. આપેલ ગણો A તથા B માટે A B અને B A થાય તો અને તો જ A = B છે. A B અને A ≠ B હોય તો Aને Bનો ઉચિત ઉપગણ (proper subset) કહેવામાં આવે છે; દા.ત., યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ(even natural numbers)નો ગણ Ne, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ Nનો ઉચિત ઉપગણ થશે. સંકેતમાં Ne N છે. ગણસિદ્ધાંતમાં બે વિશિષ્ટ ગણો – ખાલી ગણ (null set) તથા સાર્વત્રિક ગણ(universal set)ના ખ્યાલ ખૂબ જ અગત્યના છે. જો ગણમાં એક પણ ઘટક ન હોય તો તે ગણને ખાલી ગણ (સંકેત Φ) કહેવામાં આવે છે; દા.ત., 1 તથા 2 વચ્ચે આવેલી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ, 2થી ભાજ્ય એકી પૂર્ણાંકોનો ગણ, 1947થી 1992 સુધીનાં ભારતનાં સ્ત્રી-પ્રમુખોનો ગણ ખાલીગણનાં ઉદાહરણો છે. કોઈ પણ આપેલ ગણ A માટે Φ A થશે. (કારણ કે જો Φ, Aનો ઉપગણ ન હોય તો Φમાં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક એવો હોવો જોઈએ કે જે Aનો ઘટક ન હોય; પરંતુ Φમાં એક પણ ઘટક ન હોવાથી આ શક્ય નથી. માટે Φ A છે.)

કૅન્ટૉરે આપેલ ગણસિદ્ધાંતમાં રહેલ તાર્કિક ઊણપોને લીધે વિરોધાભાસી (paradoxical) પરિણામો મળવા લાગ્યાં. મહાન તત્વવેત્તા તથા ગણિતજ્ઞ બર્ટ્રાન્ડ રસેલે આ દિશામાં ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કર્યો છે. આ તાર્કિક ઊણપો નિવારવા સાર્વત્રિક ગણના ખ્યાલની ઉત્પત્તિ થઈ. આપેલા પ્રશ્નના સંદર્ભમાં જે ગણોનો વિચાર કરવામાં આવ્યો હોય તે બધા ગણોને સમાવતા ગણની રચના કરી શકાય. આ રીતે મળેલા ગણને આપેલા પ્રશ્નના સંદર્ભમાં સાર્વત્રિક ગણ (universal set U) કહેવામાં આવે છે. સમતલ ભૂમિતિ(plane geometry)માં રેખા, ત્રિકોણ, વર્તુળ, સમાંતરબાજુ-ચતુષ્કોણ વગેરે જેવા સમતલના વિવિધ ઉપગણોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, આથી શાળાની સમતલ ભૂમિતિના અભ્યાસ માટે સમતલ સાર્વત્રિક ગણ થશે. ગણસિદ્ધાંતના અભ્યાસમાં આવતા ગણો સાર્વત્રિક ગણના ઉપગણો છે એમ સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા અનુસાર ગણનું સાન્ત (finite) ગણ તથા અનંત (infinite) ગણમાં વર્ગીકરણ કરી શકાય. ગણ Aમાં ઘટકોની સંખ્યા સાન્ત (ધારો કે n) હોય તો Aમાં n ઘટકો છે. આથી A સાન્ત ગણ છે એમ કહેવામાં આવે છે. સાન્ત ન હોય તેવા ગણને અનન્ત ગણ કહે છે; દા.ત., ગણ A = {લાલ, પીળો, α, β, 1, 2, 3} સાત ઘટકોનો બનેલો છે તેથી સાન્ત ગણ છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N = {1, 2, 3, 4, 5, …….} અનંત ગણ છે. આપેલા ગણો A તથા B પરથી Aમાં અથવા Bમાં હોય તેવા બધા જ ઘટકો લઈ નવો ગણ રચી શકાય. અહીં શબ્દ ‘અથવા’ના અર્થઘટનની ત્રણ શક્યતાઓ છે : (i) ઘટક ગણ Aમાં છે, (ii) ઘટક ગણ Bમાં છે, (iii) ઘટક ગણ A તથા ગણ B બંનેમાં છે. આ રીતે મળતા ગણને A તથા Bનો યોગ(union)ગણ (સંકેત A B) કહેવામાં આવે છે.

આમ A B = {x/x A અથવા x B}. આ જ રીતે A અને B બંનેમાં હોય તેવા ઘટકો લેતાં મળેલ નવરચિત ગણને A તથા Bનો છેદ (intersection) ગણ (સંકેત A B) કહેવામાં આવે છે, જ્યાં A B = {x / x A અને xB}.

બધી યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ……} છે.

ત્રણથી ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …..} છે.

A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} {3, 6, 9, 12, 15, 18, …} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ….}

તેમજ A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ……} {3, 6, 9, 12, …..} = {6, 12, 18, 24, ……} થશે.

બધી અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ C હોય તો

A C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …..} {1, 3, 5, 7, 9, …..}       = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}       = N =  પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. અને

A  C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….} {1, 3, 5, 7, 9, …..}  A C = Φ = ખાલી ગણ છે. અહીં ગણો A તથા Cને અલગ ગણો (disjoint sets) કહેવામાં આવે છે.

ગણક્રિયાઓ (set operations) યોગ તથા છેદ – નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે. આપેલ ગણો A, B, C માટે

(i) A B = B A, A B = B A

(ii) A B  C = (A B)  C,

    A (B  C) = (A B)  C

(iii) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C)

(iv) A Φ = A, A Φ = Φ

(v) A U = U, A U = A.

ગણસિદ્ધાંતમાં પૂરક (complement) ગણનો ખ્યાલ પણ ખૂબ જ ઉપયોગી છે. ગણ A સાર્વત્રિક ગણ Uનો ઉપગણ છે. Aમાં ન હોય તેવા Uના ઘટકો લઈ નવા ગણની રચના કરી શકાય. આ નવરચિત ગણને સાર્વત્રિક ગણ Uને સાપેક્ષ Aનો પૂરક ગણ (સંકેત _NA = A’) કહેવામાં આવે છે. આમ

A = {x  x U  અને x A}.

જો બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ (N)ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લેવામાં આવે તો U = N = {1, 2, 3, ….} આ ગણને સાપેક્ષ બધી યુગ્મ (even) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ Ne = {2, 4, 6, 8, ….}ના ગણનો પૂરક ગણ, બધી અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ થશે. U-N_e = (N_e)’ = N_o પૂરક ગણની ક્રિયા નીચેના અગત્યના ગુણધર્મો ધરાવે છે.

(i) U’ = Φ (ii) (A’)’ = A (iii) (A B)’ = A’ B’ (iv) (A B)’ = A’ B’. (iii) તથા (iv) આપવામાં આવેલાં પરિણામોને  દ’ મૉર્ગન(De’ Morgan)ના પૂરક ગણ માટેના નિયમો કહેવામાં આવે છે.

અંગ્રેજ તર્કશાસ્ત્રી વેને (Venn) આકૃતિ દ્વારા ગણનિરૂપણની શરૂઆત કરી હોવાથી ગણનિરૂપણ માટેની આકૃતિઓને વેન આકૃતિઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગણની ચિત્રમય રજૂઆત કરવા સાર્વત્રિક ગણ Uને બંધ લંબચોરસ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં લંબચોરસની અંદરનાં બિંદુઓને સાર્વત્રિક ગણ Uના ઘટકો ગણવામાં આવે છે :

હવે આ લંબચોરસની અંદર સામાન્ય રીતે કોઈ પણ ગણને બંધ ચકરડાથી દર્શાવવામાં આવે છે. વર્તુળને આપેલ ગણનો પ્રદેશ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળની અંદરનું પ્રત્યેક બિંદુ આપેલ ગણનો ઘટક છે એમ સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. આ રસમ મુજબ આકૃતિ 2માં ગણો A, B તથા C દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ગણ A, ગણ Bનો ઉપગણ છે. A Bને આકૃતિ 3માં બતાવ્યા પ્રમાણે તથા ગણક્રિયાઓ – યોગ ગણ તથા છેદ ગણની વિભિન્ન શક્યતાઓ આકૃતિ 4માં દર્શાવવામાં આવી છે. આકૃતિ 5માં પૂરક ગણ માટેની વેન આકૃતિ આપવામાં આવેલ છે. સામાન્ય રીતે વેન આકૃતિઓનો ઉપયોગ ગાણિતિક સાબિતી આપવામાં સરળતા લાવવામાં કરવામાં આવે છે. આપેલ ગણના બધા જ ઉપગણોના ગણની રચના કરી શકાય. આ રીતે રચેલા ગણને, ગણ Aનો ઘાતગણ (power set) કહેવામાં આવે છે. (સંકેત P (A) છે). આમ P (A) = {B/B A} છે. જો A = {1, 2, 3} હોય તો P (A) = {Φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, A} આપેલ અરિક્ત ગણો A તથા B માટે Aના ઘટક aને પ્રથમ ક્રમ તથા Bના ઘટક bને દ્વિતીય ક્રમ આપી બનાવેલ જોડ (a, b)ને ક્રમયુક્ત જોડ (ordered pair) કહેવામાં આવે છે. આવી બધી ક્રમયુક્ત જોડોના ગણને A તથા Bનો કાર્તેઝીય (Cartesian) ગુણાકાર ગણ કહેવામાં આવે છે. તેને સંકેતમાં A ત્ Bથી દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ A X B = {(a, b) / a A તથા b B} થશે.

આગળ ઉલ્લેખ કર્યા પ્રમાણે કૅન્ટૉરે ઊભા કરેલા ગણશાસ્ત્રની ઊણપોનો અભ્યાસ રસેલે કર્યો હતો. આ ઊણપો દર્શાવવા માટે રસેલે ગણશાસ્ત્રનાં કેટલાંક એવાં વિધાનો શોધી બતાવ્યાં કે જે વિરોધાભાસ ઊભો કરે. આવાં વિધાનોમાં સૌથી જાણીતું વિધાન આ પ્રમાણે છે : ધારો કે જે ગણ પોતે પોતાનો સભ્ય ન હોય તેને સામાન્ય ગણ કહીએ (અત્યાર સુધી આ અધિકરણમાં જે ગણોનો ઉલ્લેખ કર્યો છે તે તમામ સામાન્ય છે.) અને જે ગણ પોતે પોતાનો સભ્ય હોય તેને અસામાન્ય ગણ કહીએ; દા.ત., તમામ ગણોનો ગણ દેખીતી રીતે અસામાન્ય છે.

હવે બધા જ સામાન્ય ગણોનો ગણ A લઈએ તો A પોતે સામાન્ય હશે કે અસામાન્ય ? જો A સામાન્ય હોય તો A બધા જ સામાન્ય ગણોનો ગણ હોવાથી A ∈ A, પણ તો તો અસામાન્ય ગણની વ્યાખ્યા પ્રમાણે A અસામાન્ય હોવો જોઈએ. બીજી તરફ જો A અસામાન્ય હોય તો અસામાન્ય ગણની વ્યાખ્યા પ્રમાણે પણ A બધા સામાન્ય ગણનો ગણ હોવાથી A ∈ Aનો અર્થ એવો થાય કે A સામાન્ય છે. આમ, A સામાન્ય છે કે અસામાન્ય એ નિશ્ચિત થઈ શકતું નથી.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ