ક્વૉટરનિયન

ક્વૉટરનિયન : a + bi + cj + dkથી દર્શાવાતી સંખ્યા. તેમાં ચાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થયેલો છે. એમાં a, b, c, d, ε R અને i, j, k કાલ્પનિક એકમો છે. (ε = belongs to). 1831માં ગણિતશાસ્ત્રી ગૉસે સંકર સંખ્યા Zનું સમતલમાં સદિશ (vector) a + bi, a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ તથા i કાલ્પનિક એકમના સ્વરૂપમાં ભૌમિતિક નિરૂપણ મેળવી સંકર સંખ્યાઓના બીજગણિતની રચના

કરી. 1835માં સર વિલિયમ રોવાન હૅમિલ્ટને ક્રમિક યુગ્મ (a, b), (અહીં a, b, εR) દ્વારા સંકર સંખ્યાઓના બીજગણિતની રચના કરી (જુઓ આકૃતિ 1). સર હૅમિલ્ટને પોતાનું શેષ જીવન સંકર સંખ્યાઓના બીજગણિતથી વધારે વ્યાપક બીજગણિતની રચના પાછળ ગાળ્યું હતું. સૌપ્રથમ વ્યાપક સ્વરૂપ ક્રમિક ત્રિપુટીઓ (a, b, c) દ્વારા મળ્યું. અહીં a, b, c,εR છે. આપેલ ત્રિપુટી(a, b, c)ને સદિશ ai + bj + ck દ્વારા દર્શાવી શકાય. અહીં a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે તથા i, j, k કાલ્પનિક એકમો છે. તેનું ભૌમિતિક નિરૂપણ મેળવી શકાય છે. (જુઓ આકૃતિ 2.)

આ પ્રકારના સદિશોના સરવાળા તથા બાદબાકી માટેના નિયમો સરળતાથી મેળવી શકાય છે, પણ તેનું બીજગણિત મેળવવા માટે બે સદિશોના ગુણાકારની વ્યાખ્યા આપવા માટે સર હૅમિલ્ટને દસ વર્ષ સુધી પ્રયત્ન કર્યા પણ સફળ થયા નહિ.

એક દિવસ અચાનક તેમના મગજમાં એક વિચાર સ્ફુર્યો અને બે સદિશોના ગુણાકારના પાયાનાં સૂત્રો મળ્યાં, જે

i² = j² = k² = ijk = -1 છે.

આ રીતે જેમને સંખ્યા તરીકે ઓળખી શકાય તેવી ખૂબ જ વ્યાપક ગણિતીય રચનાનો જન્મ થયો. તેમણે આ નવા પ્રકારની સંખ્યાઓને a + bi + cj + dk દ્વારા દર્શાવી. એમાં a, b, c, d વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને i, j, k કાલ્પનિક એકમો છે. અહીં ચાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થયો હોવાથી આ સંખ્યાઓને ‘ક્વૉટરનિયન’ નામ આપ્યું. આ વિશ્વ ત્રિપરિમાણી હોવાથી ક્વૉટરનિયનનું ભૌમિતિક નિરૂપણ શક્ય નથી. વ્યાખ્યા અનુસાર  ક્વૉટરનિયન થશે.

સર હૅમિલ્ટને બે ક્વૉટરનિયનની સમાનતા, સરવાળા તથા ગુણાકારની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી :

આપેલ બે ક્વૉટરનિયન  વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.) માટે

સરવાળાની વ્યાખ્યા પ્રમાણમાં સહેલી છે. ગુણાકારની વ્યાખ્યામાં નીચે પ્રમાણે સરળતા લાવી શકાય :

પ્રથમ તથા  માં આવેલ બધા સંકેતોનો સામાન્ય ગુણાકારની જેમ ગુણાકાર કરીએ, મેળવેલ ગુણાકારમાં

i² = j² = k² = -1………….……….(1)

ij = k, jk = i, ki = j………..……..(2)

ji = – k, kj = -i, ik = -j…………(3)

મૂકીએ પછી સમાન ચિહનોવાળાં પદનો સરવાળો કરતાં જોઈતો ગુણાકાર મળે છે

ઉપર (2) તથા (3)માં આપેલ i, j, kના ગુણાકારના નિયમો વર્તુળ આકૃતિ(3) પરથી સરળતાથી યાદ રાખી શકાય.

[વર્તુળના પરિઘ પર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં જતાં i તથા j પછી k આવે છે માટે ij = k ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં જતાં j તથા i પછી k આવે છે. માટે ji = – k. આ રસમ પ્રમાણે

jk = i, ki = j, kj = -i, ik = – j]

બધા ક્વૉટરનિયનના ગણને સંકેત Q વડે દર્શાવીએ તો

Q = {a + bi + cj + dk । a, b, c, d વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.}

અહીં b = c = d = 0 લેતાં Q વાસ્તવિક સંખ્યા સંહતિ (real number system), c = d = 0 લેતાં Q સંકર (complex) સંખ્યા સંહતિ તથા a = 0 લેતાં Q ત્રિપરિમાણી અવકાશ TR³ બને છે. આ રીતે સર હૅમિલ્ટનની ઇચ્છા મુજબનું વ્યાપક પ્રકારનું બીજગણિત બને છે.

આપેલ બે ક્વૉટરનિયનનો સરવાળો તથા ગુણાકાર પણ ક્વૉટરનિયન થવાથી સરવાળો તથા ગુણાકાર, ગણ Qમાં દ્વિક-ક્રિયાઓ (binary operations) થશે.

આ દ્વિક-ક્રિયાઓ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે :

I. સરવાળા માટેના Q સમક્રમી સમૂહ છે.

II. ગુણાકાર માટે Q – {0} અસમક્રમી સમૂહ બને છે.

III. સરવાળા તથા ગુણાકારના સંયુક્ત ગુણધર્મો :

એટલે કે સરવાળો, ગુણાકાર પર વિભાજનના નિયમનું પાલન કરે છે. આ ગુણધર્મોને આધારે Qને ક્વૉટરનિયનનું મંડળ (ring) કહેવામાં આવે છે.

આ મંડળની રચના કરવા ઉપરાંત સર હૅમિલ્ટને ગોલીય ત્રિકોણમિતિ (spherical trigonometry) તેમજ ગોલક (sphere) અને ત્રિપરિમાણી વસ્તુઓના પરિભ્રમણના પ્રશ્નોમાં તેનો ઉપયોગ કઈ રીતે થઈ શકે તે બતાવ્યું. આઇન્સ્ટાઇનના સિદ્ધાંતમાં અવકાશ અને સમયના સમન્વય માટેના ખૂબ જ ઉપયોગી લૉરેન્ઝ ટ્રાન્સફૉર્મેશનમાં, ઇલેક્ટ્રૉમૅગ્નેટિક મોજાંના પ્રસરણ માટેના મૅક્સવેલનાં સમીકરણોમાં તેમજ ઇલેકટ્રૉન માટેના ડીરાકના સમીકરણમાં ક્વૉટરનિયન ઉપયોગી નીવડ્યા છે. ઓગણીસમી સદીના અંતમાં ક્વૉટરનિયન બીજાં ક્ષેત્રોમાં ખૂબ જ ઉપયોગી નીવડશે તેની આશા બંધાઈ હતી પણ આ આશા ઠગારી નીવડી. આઇન્સ્ટાઇને આપેલ સાપેક્ષતાના વ્યાપક સિદ્ધાંત (general theory of relativity) માટે ક્વૉટરનિયન કરતાં પણ વ્યાપક ખ્યાલ પ્રદિશ(tensor)ની જરૂર પડી. આ વ્યાપક ખ્યાલ પ્રયોજવાથી ક્વૉટરનિયનનો ઉપયોગ ઓછો થવા લાગ્યો છે. એક ગાણિતિક રચના તરીકે અરૂપ બીજગણિતમાં તેનો સુંદર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ