પ્રકાશ-ક્રિસ્ટલશાસ્ત્ર

(optical  crystallography)

પ્રકાશ તથા દ્રવ્ય વચ્ચેની આંતરક્રિયા(interaction)ના દરેકેદરેક પાસાનો અભ્યાસ. પ્રકાશનું કિરણ જ્યારે ક્રિસ્ટલાઇન ઘન-પદાર્થમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેનો વેગ, કંપન-દિશા (vibration direction) વગેરે જેવી લાક્ષણિકતાઓ મુખ્યત્વે બે બાબતો પર આધાર રાખે છે : ઘન-પદાર્થનો પ્રકાર તથા પ્રકાશની પ્રસારણ-દિશા (direction of propagation). વળી, સામાન્ય રીતે પ્રકાશની તીવ્રતામાં ઘટાડો થતો હોય છે. આથી જ ક્રિસ્ટલના બે પ્રકારો વચ્ચે ભેદ પાડવો જોઈએ :

(i) પારદર્શક ક્રિસ્ટલ, જેમાં પ્રકાશનું અવશોષણ (absorption) નહિવત્ હોય છે.

(ii) અપારદર્શક ક્રિસ્ટલ, જેમાંથી પ્રકાશનું પારગમન (transmission) નહિવત્ હોય છે.

ઘણાખરા ખડકો ક્રિસ્ટલાઇન સ્વરૂપમાં મળી આવે છે. આથી જ, ખડકશાસ્ત્ર(petrology)ના વિજ્ઞાનનો આધાર મુખ્યત્વે ક્રિસ્ટલ-પ્રકાશશાસ્ત્ર છે. ખડકની પાતળી તકતી(thin slice)ના અભ્યાસ માટે ધ્રુવીકર્તા સૂક્ષ્મદર્શક (polarizing microscope) નામનું ખાસ સાધન વિકસાવવામાં આવ્યું છે. ખડકશાસ્ત્રના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં આ સાધને મહત્ત્વનો ફાળો આપ્યો છે. ખનિજવિદ્યાના નિષ્ણાતો (minerologist), રસાયણશાસ્ત્રી, ધાતુવિજ્ઞાની (metallurgist) તથા ચિનાઈ માટીના કારીગર (ceramist) માટે પણ ધ્રુવીકર્તા સૂક્ષ્મદર્શક એક અગત્યનું સાધન છે.

તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો(optical properties)ને આધારે ક્રિસ્ટલને ત્રણ મુખ્ય વિભાગોમાં વહેંચી શકાય :

(i) પ્રકાશીય સમદિક્ (isotropic) ક્રિસ્ટલ,

(ii) પ્રકાશીય વિષમદિક્ એકાક્ષી (anisotropic uniaxial) ક્રિસ્ટલ,

(iii) પ્રકાશીય વિષમદિક્ દ્વિઅક્ષી (anisotropic biaxial) ક્રિસ્ટલ.

જરા વધારે વિગતવાર જોઈએ તો, ક્રિસ્ટલોને સારણી 1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે કુલ પાંચ વિભાગોમાં વહેંચી શકાય.

સમદિક્ ક્રિસ્ટલ (isotropic crystal) : આવા ક્રિસ્ટલમાં પ્રકાશની ઝડપ બધી દિશાઓમાં (બધી કંપન-દિશાઓમાં) એકસરખી હોય છે. કાચ જેવા અસ્ફટિકી (amorphous) ઘન-પદાર્થમાં આ ગુણધર્મ જોવા મળે છે. ક્રિસ્ટલાઇન ઘન-પદાર્થોમાં માત્ર ઘન-સંમિતિ (cubic symmetry) ધરાવતા પદાર્થો જ સમદિકતાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે. પરાવર્તન, વક્રીભવન વગેરેના સામાન્ય નિયમો સમદિક્ પદાર્થો માટે યથાર્થ છે. આપેલા રંગના (તરંગલંબાઈના) પ્રકાશ માટે આવા પદાર્થને એક જ વક્રીભવનાંક હોય છે, એટલે કે પદાર્થમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનું દ્વિવક્રીભવન (double refraction) થતું નથી. વળી ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પર પણ સમદિક્ ક્રિસ્ટલ સામાન્ય રીતે કોઈ અસર કરતા નથી.

પારદર્શક પદાર્થમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો અભ્યાસ કરવા માટે સામાન્ય રીતે એમ ધારી લેવામાં આવે છે કે તે પદાર્થ સમદિક્ છે; જેમ કે એક સમદિક્ માધ્યમમાંથી બીજા સમદિક્ માધ્યમમાં પ્રકાશનું કિરણ જતું હોય ત્યારે થતું પ્રકાશનું વક્રીભવન હ્યુજિન્સની રચના (Huygens’s construction) દ્વારા આકૃતિ 1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સમજાવી શકાય.

પ્રકાશના વક્રીભવનનો આધાર બંને માધ્યમમાંના પ્રકાશના સાપેક્ષ વેગ (relative velocity) પર છે; વેગોના આ ગુણોત્તરને પદાર્થના (માધ્યમના) દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક n કહે છે :

જ્યાં v₁ અને v₂ પ્રકાશનો અનુક્રમે પહેલા અને બીજા માધ્યમમાં વેગ છે; i અને r અનુક્રમે આપાત અને વક્રીભૂત કોણ છે.

આ સંબંધ સ્નેલના નિયમ (Snell’s law) તરીકે જાણીતો છે. પહેલું માધ્યમ હવા (શૂન્યાવકાશ) હોય, એટલે કે પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી પારદર્શક માધ્યમમાં આવતું હોય તો

જ્યાં C = હવામાં (શૂન્યાવકાશમાં) પ્રકાશનો વેગ,

v₂ < c = હોવાથી માધ્યમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક n > 1 હોય છે.

વિષમદિક્ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ (anisotropic uniaxial crystal) : ઘણા ઓછા ક્રિસ્ટલ ઘન-સંમિતિ(cubic symmetry)વાળા, અને તેથી સમદિક્ હોય છે; બાકીના બધા જ ક્રિસ્ટલ પ્રકાશીય રીતે વિષમદિક્ (optically anisotropic) હોય છે. વિષમદિક્ માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો (optical properties) તેમાંથી પસાર થતાં, આપેલા રંગના પ્રકાશના પ્રસારણની દિશા પર આધાર રાખે છે. એટલે કે આવા માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો જુદી જુદી દિશાઓમાં, સામાન્ય રીતે, જુદા જુદા હોય છે.

સમદિક્ પારદર્શક પદાર્થમાંથી જો કોઈ ટપકાને જોવામાં આવે તો તે ટપકાનું એક જ પ્રતિબિંબ (image) દેખાશે; માધ્યમમાં થતા પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે ટપકાની આભાસી ઊંડાઈ તેની સાચી ઊંડાઈ કરતાં ઓછી હશે.

એ જ ટપકાને વિષમદિક્ પારદર્શક (એકાક્ષી) પદાર્થમાંથી જોઈએ તો ટપકાનાં બે પ્રતિબિંબો દેખાશે; બંને પ્રતિબિંબોની આભાસી ઊંડાઈ જુદી જુદી  હશે. માધ્યમમાં થતા પ્રકાશના દ્વિવક્રીભવનને કારણે ટપકાનાં બે પ્રતિબિંબો મળે છે. વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલને ટપકા પર રાખી ક્રિસ્ટલને ફેરવવામાં આવે (rotate) તો બેમાંથી એક પ્રતિબિંબ સ્થિર રહેશે, જ્યારે બીજું પ્રતિબિંબ પહેલા મુજબ પ્રતિબિંબને સાપેક્ષ ફરતું રહેશે. આકૃતિ 2 મુજબ

બંને પ્રતિબિંબ માટે જવાબદાર બંને વક્રીભૂત પ્રકાશ-કિરણો એ રીતે રેખીય ધ્રુવીભૂત (linearly polarized) હોય છે, જેથી તેમની કંપન-દિશા (vibration direction) પરસ્પર લંબ હોય. જોકે ક્રિસ્ટલમાં એક દિશા એવી પણ હોય છે, જેને માટે એક ટપકાનાં બે નહિ, પરંતુ તેનું એક જ પ્રતિબિંબ મળે છે. આ દિશાને પ્રકાશ-અક્ષ (optic axis) કહે છે.

સ્થિર રહેતા પ્રતિબિંબને અનુવર્તી પ્રકાશ-કિરણની પ્રસરણ-ઝડપ (speed of travel) બધી દિશાઓમાં અચળ હોય છે; તે કિરણનાં કંપન ક્રિસ્ટલના મુખ્ય તલ(principal plane)ને લંબ દિશામાં હોય છે અને તેને સામાન્ય કિરણ (ordinary ray) – O-કિરણ – કહે છે. બીજા, ખસતા પ્રતિબિંબને અનુવર્તી પ્રકાશ-કિરણની પ્રસરણ-ઝડપ તેના પ્રસરણની દિશા પર આધાર રાખે છે. તે કિરણનાં કંપન મુખ્ય તલને સમાંતર હોય છે અને તેને અસામાન્ય કિરણ (extraordinary ray) E-કિરણ – કહે છે. ક્રિસ્ટલમાં આ બંને કિરણોની પ્રસરણ-ઝડપ અલગ અલગ હોવાને કારણે ક્રિસ્ટલમાંથી પસાર થતાં O-કિરણ તથા E-કિરણનું વક્રીભવન પણ જુદું જુદું હોય છે, જે વક્રીભવનાંકો અનુક્રમે n_o તથા n_e તરીકે દર્શાવાય છે. આપેલા ક્રિસ્ટલમાંથી પસાર થતા કોઈ એક તરંગલંબાઈ(કે રંગ)ના પ્રકાશ માટે n_oનું મૂલ્ય અચળ હોય છે, જ્યારે neનું મૂલ્ય દિશાઆધારિત છે, જેમ કે, કૅલ્સાઇટ (calcite; CaCO₃ સ્ફટિકનો એક પ્રકાર) વિષમદિક્ (એકાક્ષી) ક્રિસ્ટલ છે અને તેમાંથી પસાર થતા સોડિયમના પીળા પ્રકાશ (sodium yellow light) માટે

n_o = 1.66

n_e = 1.48થી 1.66

(કંપન-દિશા ॥ પ્રકાશ-અક્ષ હોય ત્યારે n_e = 1.48

કંપન-દિશા  પ્રકાશ-અક્ષ હોય ત્યારે n_e = 1.66).

માધ્યમના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય પ્રકાશ-કિરણના વેગ પરથી નક્કી થતું હોવાથી, O-કિરણ માધ્યમમાં (ક્રિસ્ટલમાં) બધી દિશાઓમાં એકસમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે. જ્યારે E—કિરણનો વેગ દિશા પ્રમાણે બદલાય છે. n_o તથા n_eને ક્રિસ્ટલના મુખ્ય વક્રીભવનાંકો (principal refractive indices) કહે છે. અહીં એ નોંધીએ કે પ્રકાશ-અક્ષની દિશામાં દ્વિવક્રીભવન થતું નથી, એટલે કે એ દિશામાં બે અલગ અલગ વક્રીભવનાંકો નહિ પરંતુ એક જ વક્રીભવનાંક (n_e = n_o) હોય છે. આ અર્થમાં એક મર્યાદિત દિશામાં એટલે કે પ્રકાશ-અક્ષની દિશામાં વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ પણ સમદિક્ ક્રિસ્ટલ તરીકે વર્તે છે. કૅલ્સાઇટ જેવા જે ક્રિસ્ટલમાં એક જ પ્રકાશ-અક્ષ હોય છે તેને એકાક્ષી વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ કહે છે. ક્વાર્ટ્ઝ પણ એકાક્ષી વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ છે.

વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલમાં E-કિરણની ઝડપ O-કિરણની ઝડપ કરતાં વધારે કે ઓછી હોઈ શકે, એટલે કે v_e < v_o અથવા v_e > v_o અર્થાત્ n_e > n_o અથવા n_e < n_o

આના પરથી ધન તથા ઋણ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ સારણી 2માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઓળખી શકાય.

સારણી 2 : ધન તથા ઋણ વિષમદિક્ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ

ધન એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ	ઋણ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ
ve > vo, ne > no	ve > vo, ne < no
ઉ.ત., ક્વાર્ટ્ઝ (Sio2) જેને માટે સોડિયમ પીળા પ્રકાશ માટે	કૅલ્સાઇટ (CaCo3)
no = 1.5 442	no = 1.6585
ne = 1.5 533	no = 1.4863
ne – no = 0.0091	no – ne = 0.0278
પ્રમાણમાં ઓછું દ્વિવક્રીભવન	પ્રમાણમાં વધારે દ્વિવક્રીભવન

એકાક્ષી ક્રિસ્ટલને બે તિર્યક્ ધ્રુવકો (crossed polaroid) વચ્ચે રાખીને જો ધ્રુવીકર્તા સૂક્ષ્મદર્શકમાંથી જોવામાં આવે તો ક્રિસ્ટલની અમુક સ્થિતિમાં તે ક્રિસ્ટલ ગાઢ પાર્શ્વભૂ(dark background)માં ચમકતો દેખાય છે. જો આ ક્રિસ્ટલની પાતળી તકતી(thin slice)ને તપાસવામાં આવે તો વિશ્લેષક(analyzer)માં થતા વ્યતિકરણ(interference)ને કારણે સુંદર રંગબેરંગી પ્રકાશ જોવા મળે છે. ક્રિસ્ટલની આવી વર્તણૂકનો ઉપયોગ તે ધન છે કે ઋણ તે ચકાસવા માટે પણ કરવામાં આવે છે; જેમ કે, કેટલાક જેમસ્ટોન :

ઝિરકોન, ફેનાસાઇટ પ્રકાશીય રીતે ધન ક્રિસ્ટલ છે.

રૂબી, સેફાયર, બેરિલ ઋણ ક્રિસ્ટલ છે.

સમદિક્ ક્રિસ્ટલ તથા એકાક્ષી વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ વચ્ચેનો તફાવત સરળ રીતે નીચે પ્રમાણે સમજાવી શકાય :

સમદિક્ ક્રિસ્ટલ : ધારો કે આવા ક્રિસ્ટલની અંદર પ્રકાશનું એક ઉદગમસ્થાન (light source) છે, જેને અતિસૂક્ષ્મ (infinitesimally) નાના સમયગાળા માટે ચાલુ કરીએ. ઉદગમમાંથી નીકળતાં તથા ક્રિસ્ટલમાં વિવિધ દિશાઓમાં પ્રસરતાં કિરણોના બિંદુપથ(locus)નો ફોટોગ્રાફ લેવામાં આવે તો આ બિંદુપથ એક ગોળીય સપાટી (spherical surface) હશે, કારણ કે સમદિક્ માધ્યમમાં પ્રકાશ-કિરણ બધી દિશાઓમાં એકસરખી ઝડપથી પ્રસરણ પામે છે.

એકાક્ષી વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ : ઉપરનો જ પ્રયોગ આવા ક્રિસ્ટલ સાથે કરવામાં આવે તો, એક નહિ, પરંતુ બે સપાટીઓ મળશે જેમાંથી એક ગોળીય હશે જ્યારે બીજી સપાટી દીર્ઘવૃત્તીય (ellipsoidal) હશે; O-કિરણને કારણે દીર્ઘવૃત્તીય સપાટી મળે છે. પ્રકાશ-અક્ષની દિશામાં બંને સપાટીઓ એકબીજીને સ્પર્શે છે, કારણ કે આ દિશામાં બંને કિરણોની ઝડપ સમાન હોય છે (આકૃતિ 3, 4).

આ સપાટીઓને વેગ-સપાટી (velocity surface) અથવા તરંગ-સપાટી (wave surface) કહે છે.

વિષમદિક્ દ્વિઅક્ષી ક્રિસ્ટલ (anisotropic biaxial crystal) : આવા ક્રિસ્ટલમાં બે પ્રકાશ-અક્ષ હોવાથી તેને દ્વિઅક્ષીય ક્રિસ્ટલ કહે છે, અર્થાત્ આવા ક્રિસ્ટલમાં (એક નહિ પરંતુ) બે દિશાઓ એવી હોય છે, જેમાં પ્રકાશ-કિરણનું દ્વિવક્રીભવન થતું નથી. વળી, વિષમદિક્ દ્વિઅક્ષી ક્રિસ્ટલના દ્રવ્યના (બે નહિ પરંતુ) ત્રણ મુખ્ય વક્રીભવનાંકો હોય છે, જેને n_α , n_β તથા n_γ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં n_α < n_β < n_γ સારણી 3માં જણાવ્યા પ્રમાણે, આવા ક્રિસ્ટલને પણ ધન તથા ઋણ ક્રિસ્ટલ તરીકે વિભાજિત કરી શકાય.

ક્રિસ્ટલ માટેનો પ્રકાશ-અક્ષીય કોણ (optic axial angle) 2v_γ આકૃતિ 7, 8માં દર્શાવ્યો છે.

સારણી 3 : ધન તથા ઋણ વિષમદિક્ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ

ધન એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ	ઋણ એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ
nγ – nβ > nβ – nα	nγ – nβ < nβ – nα
vγ < 45°	vγ > 45°
દા.ત. ઍનહાઇડ્રાઇટ, જેને માટે	ઑર્થોક્લેઝ જેને માટે vγ = 52°
vγ = 21° (સોડિયમ પીળા પ્રકાશ માટે)
ટોપાઝ માટે	ઑર્થોક્લેઝ માટે
nα = 1.6120	nα = 1.5190
nβ  = 0.6150	nβ  = 1.5237
nγ  = 1.6224	nγ  = 1.5260

સારણી 4 : ક્રિસ્ટલાઇન પદાર્થોના કેટલાક ગુણધર્મો
સમદિક્ ક્રિસ્ટલ	વિષમદ્કિ ક્રિસ્ટલ
	એકાક્ષી ક્રિસ્ટલ	દ્વિઅક્ષી ક્રિસ્ટલ
પ્રકાશનું દ્વિવક્રીભવન થતું નથી. ક્રિસ્ટલ પર આપાત થતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ ક્રિસ્ટલ- માંથી બધી દિશાઓમાં કોઈ પણ જાતના ફેરફાર વિના પારગમિત થાય છે.	સામાન્ય દિશાઓમાં (પ્રકાશ-અક્ષ સિવાયની દિશાઓમાં) દ્વિવક્રીભવન થાય છે. ક્રિસ્ટલ પર આપાત થતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ ક્રિસ્ટલમાંથી બધી સામાન્ય દિશાઓમાં બે તલ- ધ્રુવીભૂત તરંગો પારગમિત થાય છે; બંનેની કંપન- દિશા પરસ્પર લંબ હોય છે.
	બેમાંથી એક તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર(optics)ના સામાન્ય નિયમોને અનુસરે છે, જેને O- કિરણ કહે છે. બીજું કિરણ આ નિયમોને અનુસરતું નથી અને તેને E-કિરણ કહે છે.	બેમાંથી એક પણ કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રના સામાન્ય નિયમોને અનુસરતું નથી. (આથી બંને કિરણોને E-કિરણ કહી શકાય.)
ક્રિસ્ટલમાં પ્રકાશ-અક્ષ હોતી નથી.	ક્રિસ્ટલમાં એક પ્રકાશ- અક્ષ હોય છે.	ક્રિસ્ટલમાં બે પ્રકાશ-અક્ષ હોય છે.
ક્રિસ્ટલના દ્રવ્યનો એક જ વક્રીભવનાંક, n હોય છે.	ક્રિસ્ટલ દ્રવ્યના બે મુખ્ય વક્રીભવનાંકો, no તથા ne હોય છે.	ક્રિસ્ટલના દ્રવ્યના ત્રણ મુખ્ય વક્રીભવનાંકો nµ, nβ તથા nγ હોય છે.
ઘન સંમિતિવાળા ક્રિસ્ટલો	ચતુષ્કોણીય, ષટ્કોણીય તથા ત્રિકોણીય તંત્રવાળા ક્રિસ્ટલ.	પ્રમાણમાં ઓછી સંમિતિ-(symmetry)વાળા એવા લંબ ચતુર્ભુજ, એકનત તથા ત્રિનત અક્ષીય તંત્રવાળા ક્રિસ્ટલ.

વક્રીભવનાંકો n_γ તથા n_α વચ્ચેના તફાવત, n_γ ~ n_αનું મૂલ્ય ક્રિસ્ટલમાં થતા દ્વિવક્રીભવનની માત્રા દર્શાવે છે; જેમ કે, ટોપાઝ માટે n_γ – n_α = 0.0104 જ્યારે ઑર્થોક્લેઝ માટે n_γ – n_α = 0.0070. આથી, ઑર્થોક્લેઝની સરખામણીમાં ટોપાઝમાં પ્રકાશનું દ્વિવક્રીભવનનું પ્રમાણ વધારે હોય છે.

સમદિક્ તથા વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલોના મુખ્ય ગુણધર્મો સારણી-4માં આપ્યા છે.

પ્રકાશીય નિર્દેશિકા (optical indicatrix) : વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલમાં E-કિરણ માટેનો વક્રીભવનાંક, પ્રકાશની કંપન-દિશા પર આધારિત, અમુક મર્યાદામાં બદલાતો રહે છે; જેમ કે, કૅલ્સાઇટ માટે n_eનું મૂલ્ય 1.57થી 1.66 સુધીનું હોય છે. વક્રીભવનના આ વિચરણ(variation)ને ધ્યાનમાં રાખીને ફ્લેચરે સૂચવ્યું કે વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલના વક્રીભવનાંક્ધો જો કંપન-દિશાના વિધેય તરીકે રજૂ કરવામાં આવે તો તે સ્વરૂપમાં વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલના પ્રકાશીય ગુણધર્મો(optical properties)નું શ્રેષ્ઠ નિર્દેશન કરી શકાય. પ્રકાશની કંપન-દિશાના વિધેય તરીકે વક્રીભવનાંકનું વિચરણ લેવાથી મળતી સપાટીને પ્રકાશીય નિર્દેશિકા અથવા ફ્લેચર નિર્દેશિકા (Fletcher indicatrix) કહે છે.

આમ પ્રકાશીય નિર્દેશિકા એ એક ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતીય આકૃતિ છે; વિષમદિક્ ક્રિસ્ટલ માટે તે દીર્ઘવૃત્તીય (ellipsoid of revolution) હોય છે. તેનો પ્રત્યેક ત્રિજ્યા-સદિશ (radius vector) એવી કંપન-દિશા દર્શાવે છે; જેની લંબાઈ, તે દિશામાં કંપિત થતા પ્રકાશ-કિરણ માટેનો વક્રીભવનાંક દર્શાવે છે. એ નોંધનીય છે કે જો સમદિક્ ક્રિસ્ટલ માટે પ્રકાશીય નિર્દેશિકા દોરવામાં આવે તો ગોળીય આકૃતિ મળશે, કારણ કે આવા ક્રિસ્ટલમાં વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય બધી દિશામાં એકસરખું હોય છે.

વિષમદ્કિ ક્રિસ્ટલ એકાક્ષી છે કે દ્વિઅક્ષી, તથા તે ધન છે કે ઋણ તે પ્રમાણે જુદી જુદી નિર્દેશિકા મળે છે, જે આકૃતિ 5, 6 તથા 7, 8માં  દર્શાવી છે. વળી, વક્રીભવનાંકનો આધાર પ્રકાશની તરંગલંબાઈ માટે પણ હોવાથી, આપેલા ક્રિસ્ટલ માટે જુદી જુદી તરંગલંબાઈના પ્રકાશ માટે જુદી જુદી નિર્દેશિકા દોરી શકાય.

અરુણ રમણલાલ વામદત્ત