เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ (probability)

เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเชถเซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‡เชฎ เชคเซ‡ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชชเซ‚เชฐเซเชฃเชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพเชจเซเช‚ เชฎเชพเชช.

1. เชฎเชพเชจเชตเชœเซ€เชตเชจ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพเชฅเซ€ เชญเชฐเชชเซ‚เชฐ เช›เซ‡. เชœเซ€เชตเชจเชฎเชพเช‚ เชกเช—เชฒเซ‡ เชจเซ‡ เชชเช—เชฒเซ‡ เชฌเชจเชคเซ€ เชฐเซ‹เชœเชฌเชฐเซ‹เชœเชจเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“เชฎเชพเช‚ เชชเชฃ เช†เชตเซ€ เชฌเชพเชฌเชค เชœเซ‹เชตเชพ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชฐเชพเชคเชจเชพ 11-30 เชตเชพเช—เซเชฏเซ‡ เชฐเซ‡เชฒเชตเซ‡เชธเซเชŸเซ‡เชถเชจเซ‡ เช—เชพเชกเซ€เชจเซ€ เช†เชตเชตเชพเชจเซ€ เชฐเชพเชน เชœเซ‹เชคเชพเช‚ เชฒเซ‹เช•เซ‹ เชŠเชญเชพ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเชพเชนเซ‡เชฐเชพเชค เชฅเชพเชฏ เช•เซ‡ เช† เช—เชพเชกเซ€ 2 เช•เชฒเชพเช• เชฎเซ‹เชกเซ€ เช†เชตเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช›เซ‡. เช†เชตเซ€ เช…เชจเซ‡เช• เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเช“เชฎเชพเช‚ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพเชจเซ‹ เชตเชฐเชคเชพเชฐเซ‹ เชœเซ‹เชตเชพ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชจเซเชค เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเชถเซ‡ เช•เซ‡ เชจเชนเชฟ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชœเชพเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช†เชฎ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพ เช…เช‚เช—เซ‡เชจเซ€ เชชเซ‚เชฐเซเชตเชคเซˆเชฏเชพเชฐเซ€ เชฐเซ‚เชชเซ‡ เชเช• เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชธเชฎเชœ เชœเซ‡ เชคเซ‡ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเซ‡ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ‹ เชตเซเชฏเชตเชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชœเซ‡ เชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชจเซ‹ เช…เช—เชพเช‰เชฅเซ€ เชคเชพเช— เช†เชชเซ€ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเซ‹ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชฅเซ€ เชถเชฐเซ‚ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เช•เชนเซ‡เชตเซเช‚ เช…เชธเซเชฅเชพเชจเซ‡ เชจเชฅเซ€. เช† เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช•เซ‹เชˆ เชฆเซ‡เชถเชจเซ€ เช†เชฐเซเชฅเชฟเช• เช•เซ‡ เชฐเชพเชœเช•เซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชฅเชคเชพ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชœเชพเชฃ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพเชจเชพ เชฎเชพเชช เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเซ€ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡. เช•เซ‹เชˆ เช•เช‚เชชเชจเซ€เชจเชพ เชถเซ…เชฐเซ‹เชจเชพ เชญเชพเชตเชฎเชพเช‚ เชฅเชคเชพ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐเซ‹เชจเซเช‚ เชฎเชพเชช เชœเชพเชฃเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡. เชตเชณเซ€ เชงเซ‹เชฐเซ€ เชฎเชพเชฐเซเช— เชชเชฐ เชฅเชคเชพ เช…เช•เชธเซเชฎเชพเชคเซ‹เชจเชพ เช…เชญเซเชฏเชพเชธเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เชฅเชฏเซ‡เชฒเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเชฐเชฅเซ€ เชญเชตเชฟเชทเซเชฏเชจเซเช‚ เชชเซ‚เชฐเซเชตเช•เชฅเชจ เชธเชพเชตเชšเซ‡เชคเซ€ เชฐเซ‚เชชเซ‡ เชฎเชณเซ€ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡. เช•เซ…เชจเซเชธเชฐ, เชกเชพเชฏเชพเชฌเชฟเชŸเซ€เชธ เช•เซ‡ เชนเซƒเชฆเชฏเชฐเซ‹เช—เชจเชพ เชนเซเชฎเชฒเชพเชฎเชพเช‚ เช…เช—เชพเช‰เชจเซ€ เชชเซเชฐเชพเชชเซเชฏ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเชฐเซ‚เชชเซ€ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชชเชฐเชฅเซ€ เชญเชตเชฟเชทเซเชฏเชฎเชพเช‚ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเชพเชตเชšเซ‡เชคเซ€ เช…เช‚เช—เซ‡เชจเซเช‚ เช†เชฏเซ‹เชœเชจ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡. เช†เชตเชพเช‚ เช…เชจเซ‡เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹ เช†เชชเซ€ เชถเช•เชพเชฏ, เชœเซ‡เชจเชพ เช‰เชชเชฐเชฅเซ€ เชเชตเซเช‚ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช•เซ‡ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพเชจเซ‡ เชฒเช•เซเชทเชฎเชพเช‚ เชฐเชพเช–เซ€เชจเซ‡ เช•เซเชฐเชฎเชถ: เชฐเซ‹เชœเชฟเช‚เชฆเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชญเชตเชฟเชทเซเชฏเชฎเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพ เชฎเชณเซ€ เชถเช•เซ‡ เชคเซ‡เชจเซ‹ เชชเซ‚เชฐเซเชต เช…เช‚เชฆเชพเชœ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เช†เชชเซ€ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡. เช† เชœ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซเช‚ เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเซ‹ เชฎเซเช–เซเชฏ เชชเชพเชฏเซ‹ เช›เซ‡.

2. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเช“ : เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชจเซเชค เชธเชฎเชœเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชชเซเชฐเชšเชฒเชฟเชค เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเช“ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

(2.1) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (Mathematical definition of Probability) : เช•เซ‹เชˆ เชเช• เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เชฎเชพเช‚ เชฎเชณเชคเชพเช‚ n เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช•, เชธเชฎเชธเช‚เชญเชพเชตเซ€ เช…เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชจเชพเช‚ m เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เชธเชพเชจเซเช•เซ‚เชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ m เช…เชจเซ‡ nเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐเชฅเซ€ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡.

เชธเชฎเชœเซ‚เชคเซ€ : (เช…) เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช— : เช•เซ‹เชˆ เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช— เชเชตเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชจ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชชเซเชจเชฐเชพเชตเชฐเซเชคเชจ เชฅเชˆ เชถเช•เชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชตเชฟเชถเซ‡ เช…เช—เชพเช‰เชฅเซ€ เชœเชพเชฃเซ€ เชจ เชถเช•เชพเชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เชจเซ‡ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช— เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡; เชฆเชพ.เชค., เชธเชฟเช•เซเช•เซ‹ เช‰เช›เชพเชณเชตเซ‹, เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชตเซ‹, เชชเชคเซเชคเชพเช‚เชจเซ€ เชœเซ‹เชกเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชชเชคเซเชคเซเช‚ เช–เซ‡เช‚เชšเชตเซเช‚, เชฆเชกเชพเช“เชจเชพ เชขเช—เชฒเชพเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชเช• เชฆเชกเซ‹ เช–เซ‡เช‚เชšเชตเซ‹ เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡.

(เช†) เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ (outcome) : เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เชฎเชพเช‚ เชฐเชนเซ‡เชฒเซ€ เชคเชฎเชพเชฎ เชถเช•เซเชฏเชคเชพเช“เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡; เชฆเชพ.เชค., เชธเชฟเช•เซเช•เซ‹ เช‰เช›เชพเชณเชคเชพเช‚ Head (H) เช†เชตเซ‡ เช•เซ‡ Tail (T) เช†เชตเซ‡; เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ 1เชฅเซ€ 6 เชธเซเชงเซ€เชจเซ€ เช•เซ‹เชˆ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฎเชณเซ‡ เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡.

(เช‡) เชชเชฐเชธเซเชชเชฐเชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (mutually exclusive outcomes) : เชเชตเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช•เซ‡ เชœเซ‹ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชจเซเช‚ เชเช• เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชฎเชณเชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เชจเชพเชฅเซ€ เช…เชจเซเชฏ เช•เซ‹เชˆ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชจ เชœ เชฎเชณเซ‡; เชฆเชพ.เชค., เชชเชคเซเชคเชพเช‚เชจเซ€ เชœเซ‹เชกเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเชพเชฒเชจเซ‹ เชเช•เซเช•เซ‹ เช–เซ‡เช‚เชšเซ‡เชฒเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชœ เชตเช–เชคเซ‡ เช…เชจเซเชฏ เช•เซ‹เชˆ เชชเชคเซเชคเซเช‚ เชจ เช†เชตเซ‡; เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ เชœเซ‹ เชฌเซ‡เช•เซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เช†เชตเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชœ เชธเชฎเชฏเซ‡ เชเช•เซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชจ เช†เชตเซ‡; เชธเชฟเช•เซเช•เซ‹ เช‰เช›เชพเชณเซ‹ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ H เช†เชตเซ‡ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชœ เชตเช–เชคเซ‡ T เชจ เชฎเชณเซ‡.

(เชˆ) เชธเชฎเชธเช‚เชญเชพเชตเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (equally likely outcomes) : เชฌเชงเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เช†เชตเซ€ เชถเช•เซ‡; เชฆเชพ.เชค., เชธเชฟเช•เซเช•เซ‹ เช‰เช›เชพเชณเชคเชพเช‚ H เช…เชฅเชตเชพ T เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เช†เชตเซ€ เชถเช•เซ‡; เชชเชคเซเชคเซเช‚ เช–เซ‡เช‚เชšเชคเชพเช‚ เชฒเชพเชฒ เช•เซ‡ เช•เชพเชณเชพ เชฐเช‚เช—เชจเซเช‚ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชชเชคเซเชคเซเช‚ เช†เชตเซ€ เชถเช•เซ‡. (เช…เชนเซ€เช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ€ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเช•เซเชทเชชเชพเชคเซ€ เชฌเชจเชตเชพเชจเซเช‚ เชนเซ‹เชคเซเช‚ เชจเชฅเซ€.)

(เช‰) เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (exhaustive outcomes) : เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เชฎเชพเช‚ เชฎเชณเชคเชพเช‚ เชคเชฎเชพเชฎ เชถเช•เซเชฏ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡; เชฆเชพ.เชค., 52 เชชเชคเซเชคเชพเช‚เชจเซ€ เชœเซ‹เชกเชจเชพเช‚ 52 เชชเชคเซเชคเชพเช‚ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช›เซ‡; เชธเชฟเช•เซเช•เชพเชจเซ€ เชฌเซ‡ เชฌเชพเชœเซเช เชฎเชณเชคเชพ H เช…เชจเซ‡ T เชคเซ‡เชฎเชœ เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ เชฎเชณเชคเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ 1เชฅเซ€ 6 เช เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช›เซ‡.

(เชŠ) เชธเชพเชจเซเช•เซ‚เชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (favourable outcomes) : เชเชตเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช•เซ‡ เชœเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเซ‡ (เช•เซ‡ เชจ เชฌเชจเซ‡) เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช…เชจเซเช•เซ‚เชณเชคเชพ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชคเชพ เชนเซ‹เชฏ; เชฆเชพ.เชค., เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ เชเช•เซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฎเชณเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เชคเซเชฐเชฃ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (1, 3, 5); เชชเชคเซเชคเซเช‚ เช–เซ‡เช‚เชšเชคเชพเช‚ เชฒเชพเชฒเชจเซเช‚ เชชเชคเซเชคเซเช‚ เชœ เชฎเชณเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ 13 เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ (เชฒเชพเชฒเชจเชพ เชเช•เชพเชฅเซ€ เชฆเชธเซเชธเชพ เชธเซเชงเซ€เชจเชพเช‚ เชชเชพเชจเชพเช‚).

เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชธเชฎเชœเซ‚เชคเซ€เชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชนเชตเซ‡ เชœเซ‹ เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เช•เซเชฒ เชถเช•เซเชฏ n เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชจเชพเช‚ m เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เชธเชพเชจเซเช•เซ‚เชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‡ P(A) เชธเช‚เช•เซ‡เชค เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชคเชพเช‚ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซเช‚ เชธเซ‚เชคเซเชฐ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡ :

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ : (1) เช› เชฌเชพเชœเซเชตเชพเชณเซ‹ เชชเชพเชธเซ‹ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ เชชเชพเชธเชพ เช‰เชชเชฐ เชฌเซ‡เช•เซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฎเชณเซ‡ เชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ = 3/6 = 1/2.

(2) 52 เชชเชคเซเชคเชพเช‚เชจเซ€ เชœเซ‹เชกเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เชชเชคเซเชคเซเช‚ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เช–เซ‡เช‚เชšเชคเชพเช‚ เชซเซเชฒเซเชฒเซ€เชจเซ€ เชฐเชพเชฃเซ€เชจเซเช‚ เชชเชคเซเชคเซเช‚ เชฎเชณเซ‡ เชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ = .

(3) เชเช• เชชเซ‡เชŸเซ€เชฎเชพเช‚ 5 เชฒเชพเชฒ เช…เชจเซ‡ 7 เชฒเซ€เชฒเชพ เชฐเช‚เช—เชจเชพ เชฆเชกเชพเช“ เช›เซ‡. เช•เซ‹เชˆ เชชเชฃ เชเช• เชฆเชกเซ‹ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชคเซ‡ เชฆเชกเซ‹ เชฒเซ€เชฒเชพ เชฐเช‚เช—เชจเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ =ย  (เช†เชจเซเช‚ เช…เชฐเซเชฅเช˜เชŸเชจ เชเชฎ เชชเชฃ เชฅเชพเชฏ เช•เซ‡ 5 เชฒเชพเชฒ เช…เชจเซ‡ 7 เชฒเซ€เชฒเชพ เชฐเช‚เช—เชจเชพ เชฆเชกเชพเช“เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชเช• เชฆเชกเซ‹ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชฒเซ€เชฒเซ‹ เชฆเชกเซ‹ เชฎเชณเชตเชพเชจเซ€ 58 % (0.58) เชถเช•เซเชฏเชคเชพ เช›เซ‡.)

เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ เชคเซเชฐเชค เชœเซ‹เชˆ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡ :

(i) เชœเซ‹ m = n เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ P(A) = 1.

ย ย ย ย ย ย ย  เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ A เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เชœ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1 เชฅเชถเซ‡.

(ii) เชœเซ‹ m = 0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ P(A) = 0 เช›เซ‡.

ย ย ย ย ย ย ย  เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ เช…เชถเช•เซเชฏ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡.

(iii) เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ m < n เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ P(A) < 1 เชฅเชถเซ‡.

เช†เชฎ, 0 เชœเซเชฐ P(A) เชœเซเชฐ 1 เชฅเชถเซ‡ เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชนเช‚เชฎเซ‡เชถเชพเช‚ 0 เช…เชจเซ‡ 1เชจเซ€ เชตเชšเซเชšเซ‡ เชœ เช†เชตเซ€ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡.

(iv) เชœเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ P(A) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชจ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1ย  P(A) เชฅเชถเซ‡. (เชฆเชพ.เชค., เช…เช—เชพเช‰ เช†เชชเซ‡เชฒเชพ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเชฎเชพเช‚ เชฒเซ€เชฒเซ‹ เชฆเชกเซ‹ เชจ เชฎเชณเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพย  เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ 0.42 เชฅเชถเซ‡.)

เช†เชชเซ‡เชฒเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฎเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชพเช“ เชœเซ‹เชตเชพ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชพเช“ : (1) เชœเซ‹ เช•เซเชฒ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค (เช…เชจเช‚เชค) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช† เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเชณเซ€ เชถเช•เชคเซ€ เชจเชฅเซ€.

(2) เช˜เชฃเซ€ เชตเชพเชฐ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชธเช‚เชญเชพเชตเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ€ เช…เชญเชฟเชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเซ‡ เชฅเชˆ เชถเช•เชคเซ€ เชจเชฅเซ€.

(3) เชนเช‚เชฎเซ‡เชถเชพเช‚ เชธเชพเชจเซเช•เซ‚เชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชจเซ€ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชจเชฅเซ€ เชนเซ‹เชคเซ€.

(4) เช† เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฎเชพเช‚ เชฎเชพเชคเซเชฐ เชธเซˆเชฆเซเชงเชพเชจเซเชคเชฟเช• เช–เซเชฏเชพเชฒ เชฐเช–เชพเชฏเซ‹ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชคเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซเช‚ เชธเชพเชšเซเช‚ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชธเชฎเชœเชพเชตเซ€ เชถเช•เชคเซ€ เชจเชฅเซ€.

เช† เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชพเช“เชจเซ‡ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เชนเชตเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชฌเซ€เชœเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชœเซ‡ เชธเชพเช‚เช–เซเชฏเชฟเช•เซ€เชฏ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชค เช›เซ‡.

(2.2) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชธเชพเช‚เช–เซเชฏเชฟเช•เซ€เชฏ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (statistical definition of probability) : เชœเซ‹ เชธเชฎเชพเชจ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช— เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เชชเซเชจเชฐเชพเชตเชฐเซเชคเชจเซ‹ เชถเช•เซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเชพเช‚ เชฌเชงเชพเช‚ เชœ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เช†เชตเชพเช‚ เช•เซเชฒ n เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ m เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพย  เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เช†เชชเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซ‡ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เช†เชตเซƒเชคเซเชคเชฟ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ nเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช˜เชฃเซ€ เชฎเซ‹เชŸเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช† เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชเช• เชธเซเชฅเชฟเชฐ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เชชเซ‡ เช›เซ‡.

เช†เชฎ, เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ = P(A) = ย  เช›เซ‡.

(เชจเซ‹เช‚เชง : เช…เชนเซ€เช‚ n เชœเซ‡เชฎ เชฎเซ‹เชŸเซ‹ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡เชฎ m เชชเชฃ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฎเชพเช‚ เชตเชงเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐย  เชธเชพเชจเซเชค เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡.)

เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช† เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซ‡ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเซ เช•เซ‡ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เช†เชตเซƒเชคเซเชคเชฟ(Relative Frequency)เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช“เชณเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

(2.3) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช…เชฐเซเชฅเชชเซ‚เชฐเช• เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (subjective definition of probability) : เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‡ เชฎเชพเชคเซเชฐ เช…เชฐเซเชฅเชชเซ‚เชฐเช• เชงเชพเชฐเชฃเชพเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ 0 เช…เชจเซ‡ 1เชจเซ€ เชตเชšเซเชšเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช…เชฐเซเชฅเชชเซ‚เชฐเช• เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช† เชธเชฎเชœเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เชตเชฟเชงเชพเชจเซ‹เชจเซ€ เชคเชชเชพเชธ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช›เซ‡ :

(เช•) เช† เชตเชฐเซเชทเซ‡ เชธเชพเชฐเซ‹ เชตเชฐเชธเชพเชฆ เชฅเชฏเซ‹ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซเชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ 12 เช†เชจเซ€ เชชเชพเช• เชฅเชพเชฏ. (เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ =ย  = 0.75)

(เช–) เชซเซ‡เชฌเซเชฐเซเช†เชฐเซ€ เชฎเชพเชธเชฎเชพเช‚ เช…เชฎเชฆเชพเชตเชพเชฆ เชถเชนเซ‡เชฐเชฎเชพเช‚ เชคเชพเชชเชฎเชพเชจ 8 เชกเชฟเช—เซเชฐเซ€เชฅเซ€ เชจเซ€เชšเซ‡ เชœเชพเชฏ เชคเซ‡เชตเซ€ 33 % เชถเช•เซเชฏเชคเชพ เช›เซ‡. (เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ =ย  = 0.33)

(เช—) 2007เชจเชพ เชตเชฐเซเชทเชฎเชพเช‚ เช†เชตเชคเชพ เชฌเชœเซ‡เชŸ-เชธเชคเซเชฐ เช…เช—เชพเช‰ เชถเซ…เชฐเชฌเชœเชพเชฐเชจเซ‹ BSE เช†เช‚เช• 15,000 เชธเซเชงเซ€ เชชเชนเซ‹เช‚เชšเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ 65 % เชถเช•เซเชฏเชคเชพ เช›เซ‡. (เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ =ย  = )

(เช˜) เช…เชฎเชฆเชพเชตเชพเชฆ เชถเชนเซ‡เชฐเชจเชพ เชฎเซ‹เชŸเชพ เชฎเซ‹เชฒเชฎเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชตเชค: 60 % เชฒเซ‹เช•เซ‹ เชฎเชพเชคเซเชฐ Window shopping เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡; เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡, เชœเซ‡เชฎเชจเชพ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช…เชฐเซเชฅเชชเซ‚เชฐเช• เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซ‹ เช–เซเชฏเชพเชฒ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชคเซเชฐเชฃเซ‡เชฏ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเชพเช‚ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเซ‹ เชธเชฎเชœเชตเชพเชฎเชพเช‚ เชธเชฐเชณ เชนเซ‹เชตเชพ เช›เชคเชพเช‚ เชคเซ‡เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชตเชฟเชถเซ‡เชท เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซเช‚ เชฎเซเชถเซเช•เซ‡เชฒ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡. เช˜เชŸเชจเชพเชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชงเชคเชพเชจเซ‡ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เช เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เชงเซ‹เชฐเชฃเซ‹ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชฎเชœเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชฎเชพเชŸเซ‡ เชนเชตเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช—เชฃเชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเซ€เชฏ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชœเซ‹เชตเซ€ เชœเซ‹เชˆเช, เชœเซ‡ เชฎเซ‚เชณเชญเซ‚เชค เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค เช‰เชชเชฐ เชตเชงเซ เชชเซเชฐเช•เชพเชถ เชชเชพเชกเซ‡ เช›เซ‡.

(2.4) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช—เชฃเชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเซ€เชฏ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (set theoretic definition of probability) : เช•เซ‹เชˆ เช˜เชŸเชจเชพ Aเชจเซ‡ เช—เชฃ A เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€เช เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเชจเซ‡ เชคเซ‡ เช—เชฃเชจเชพ เช˜เชŸเช• เช•เซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฌเชฟเช‚เชฆเซ x เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€เช (x เซ€เช‚ A) เชคเซ‹ เช†เชตเชพเช‚ เชคเชฎเชพเชฎ เชธเชฎเชธเช‚เชญเชพเชตเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ (sample space) S เชฅเชถเซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ =

เช…เชนเซ€เช‚ Aเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเชพ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฌเชฟเช‚เชฆเซเช“เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ n(A)

เช…เชจเซ‡ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเชพ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฌเชฟเช‚เชฆเซเช“เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ n(S) เช›เซ‡.

เช† เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซ‡เชจ-เช†เช•เซƒเชคเชฟ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชคเซ‡เชจเซ€ เช…เชญเชฟเชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟ เชชเชฃ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡ เช›เซ‡ :

A เซˆเช‚ S เช›เซ‡.

เชจเซ‹เช‚เชง : เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชตเซ‡เชจ-เช†เช•เซƒเชคเชฟ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ เชนเชตเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡ :

(i) 0 เชœเซเชฐ P(A) เชœเซเชฐ 1

(ii) เช˜เชŸเชจเชพ A เชจเชนเชฟ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

ย ย ย ย ย ย ย  = เชชเซ‚เชฐเช• เช˜เชŸเชจเชพ A^ เชฌเชจเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ.

ย ย ย ย ย ย ย  A เชซเซ A^ = S

ย ย ย ย ย ย ย  P(S) = 1 เชฟ P(A เชซเซ A^) = 1

(iii) P(A^) =ย  = 1ย  P(A)

(iv) A เซ‡เช‚ S = f เชฟ P (f) = 0.

เช†เชฎ, เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1 เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช…เชถเช•เซเชฏ เช˜เชŸเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เช›เซ‡.

(เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเซ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ : (i) เชธเซ‚เชฐเซเชฏ เชชเชถเซเชšเชฟเชฎเชฎเชพเช‚ เชŠเช—เซ‡ เชคเซ‡ เช…เชถเช•เซเชฏ เช˜เชŸเชจเชพ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฅเชถเซ‡.

(ii) เช› เชฌเชพเชœเซเชตเชพเชณเชพ เชฌเซ‡ เชธเชฎเชคเซ‹เชฒ เชชเชพเชธเชพเชจเซ‡ เชเช•เชธเชพเชฅเซ‡ เชซเซ‡เช‚เช•เชคเชพเช‚ เชคเซ‡ เชชเชพเชธเชพเช“ เช‰เชชเชฐ เชฎเชณเชคเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชจเซ‹ เช•เซเชฒ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ‹ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 เช…เชฅเชตเชพ 12 เช†เชตเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1 เชฅเชถเซ‡.)

เช† เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชนเชตเซ‡ เชฌเซ‡ เช•เซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชตเชงเซ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเซ‹ เชœเซ‹เชตเชพเช‚ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ (1) : เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช•เซ‹เชˆ เชฌเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A เช…เชจเซ‡ B เชฎเชพเชŸเซ‡

P(A เชซเซ B) = P(A) + P(B)ย  P(A เซ‡เช‚ B)

เช…เชนเซ€เช‚ P(A เชซเซ B) = A เช…เชจเซ‡ B เชฌเซ‡เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช›เซ‡ :

P = เชฌเช‚เชจเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A เช…เชจเซ‡ B เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ P(A เซ‡เช‚ B) เช›เซ‡.

P(A) = เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

P(B) = เช˜เชŸเชจเชพ B เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

เชถเชฐเชคเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ : เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A เช…เชจเซ‡ B เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชชเซเชฐเชญเชพเชตเช• เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Bเชจเชพ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชงเซ€ เชœเชพเชฏ เช•เซ‡ เช˜เชŸเซ€ เชœเชพเชฏ เชคเซ‡เชตเซเช‚ เชฌเชจเซ‡. เช•เซเชฐเชฟเช•เซ‡เชŸเชฎเชพเช‚ เช•เซ‹เชˆ เชฌเซ…เชŸเซเชธเชฎเซ…เชจเซ‡ 10 เชฐเชจ เช•เชฐเซเชฏเชพ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชคเซ‡ เชธเชฆเซ€ เช•เชฐเชถเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช“เช›เซ€ เช—เชฃเชพเชฏ เชชเชฃ เชคเซ‡เชฃเซ‡ 90 เชฐเชจ เช•เชฐเซเชฏเชพ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชคเซ‡ เชธเชฆเซ€ เช•เชฐเชถเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช˜เชฃเซ€ เชตเชงเซ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเซ€ เชšเซ‚เช•เซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช˜เชŸเชจเชพ B เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‡ P(B/A) เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡. เช เชœ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ P(A/B) เชชเชฃ เชธเชฎเชœเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. A เช…เชจเซ‡ B เชฌเช‚เชจเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ P(A เซ‡เช‚ B)เชจเซ‡ เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชฌเซ‡ เชถเชฐเชคเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชพเชฅเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซ‹ เชธเช‚เชฌเช‚เชง เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 2 : P(A เซ‡เช‚ B) = P(A) P(B/A) = P(B). P(A/B).

เช†เชฎ P(B/A) = .

เช˜เชŸเชจเชพเช“ A เช…เชจเซ‡ B เชฌเช‚เชจเซ‡ เชฌเชจเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชถเชฐเชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ Cเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‡ P(C/A, B)เชฅเซ€ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชพเชฏ เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 2เชจเชพ เชœเซ‡เชตเซเช‚ เชคเซเชฐเชฃ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ

P(A เซ‡เช‚ B เซ‡เช‚ C) = P(A). P(B/A). P(C/A, B) เช›เซ‡.

เชœเซ‹ เช…เชฎเซเช• เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชชเซเชฐเชญเชพเชตเช• เชจ เชนเซ‹เชฏ เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชจเซ€ เชเช•เชจเชพ เชฌเชจเชตเชพ เช•เซ‡ เชจ เชฌเชจเชตเชพเชฅเซ€ เชฌเซ€เชœเซ€เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชชเชฐ เชชเซเชฐเชญเชพเชต เชจ เชชเชกเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เชตเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท (independent) เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡. เช˜เชŸเชจเชพเช“ A เช…เชจเซ‡ B เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ P(A/B) = P(A) เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช‰เชชเชฐเชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชฌเชคเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ A, B, C เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡

P(A เซ‡เช‚ B) = P(A) P(B),

เชคเชฅเชพ P(A เซ‡เช‚ B เซ‡เช‚ C) = P(A) P(B) P(C).

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 1 เชœเซ‡เชตเซเช‚ เชคเซเชฐเชฃ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เช›เซ‡ :

P(A เชซเซ B เชซเซ C) = P(A) + P(B) + P(C)

ย ย ย ย ย ย ย  ย P(A เซ‡เช‚ B)ย  P(B เซ‡เช‚ C)ย  P(C เซ‡เช‚ A)

ย ย ย ย ย ย ย  + P(A เซ‡เช‚ B เซ‡เช‚ C).

เช…เชนเซ€เช‚ P(A เชซเซ B เชซเซ C) เชคเซ‡ A, B, Cเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช“เช›เชพเชฎเชพเช‚ เช“เช›เซ€ เชเช• เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เช…เชจเซ‡ P(A เซ‡เช‚ B เซ‡เช‚ C) เช เชคเซเชฐเชฃเซ‡เชฏ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ เชฌเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช เชฌเช‚เชจเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฌเชจเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช†เชฎ, A, B, C เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ P(A เซ‡เช‚ B) = 0, P(B เซ‡เช‚ C) = 0, P(C เซ‡เช‚ A) = 0, P(A เซ‡เช‚ B เซ‡เช‚ C) = 0.

เชคเซ‡เชฅเซ€ เช† เชธเช‚เชœเซ‹เช—เซ‹เชฎเชพเช‚ P(A เชซเซ B) = P(A) + P(B)

เช…เชจเซ‡ P(A เชซเซ B เชซเซ C) = P(A) + P(B) + P(C).

เช‰เชชเชฐเชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชธเชฎเชœเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹ เชœเซ‹เชˆเช :

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 1 : เช…เชฎเชฆเชพเชตเชพเชฆ เชธเซเชŸเซ‡เชถเชจ เช…เชจเซ‡ เชฎเซเช‚เชฌเชˆ เชธเซเชŸเซ‡เชถเชจ เชเชฎ เชฌเซ‡ เชธเซเชฅเชณเซ‡เชฅเซ€ เชŠเชชเชกเชคเซ€ เชŸเซเชฐเซ‡เชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เชฌเซ‡ เชธเซ‡เชฒเซเชธเชฎเซ…เชจ เช•เช‚เชชเชจเซ€เชจเซ€ เชฎเชฟเชŸเชฟเช‚เช—เชฎเชพเช‚ เชนเชพเชœเชฐเซ€ เช†เชชเชตเชพ เชฆเชฟเชฒเซเชนเซ€ เชœเชตเชพ เชจเซ€เช•เชณเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช…เชฎเชฆเชพเชตเชพเชฆเชฅเซ€ เชฆเชฟเชฒเซเชนเซ€ เชœเชคเซ€ เชŸเซเชฐเซ‡เชจ เชธเชฎเชฏเชธเชฐ เชชเชนเซ‹เช‚เชšเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ‡ A เช•เชนเซ€เช เช…เชจเซ‡ เชฎเซเช‚เชฌเชˆเชฅเซ€ เชฆเชฟเชฒเซเชนเซ€ เชœเชคเซ€ เชŸเซเชฐเซ‡เชจ เชธเชฎเชฏเชธเชฐ เชชเชนเซ‹เช‚เชšเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ‡ B เช•เชนเซ€เช เชคเซ‹ เช…เช—เชพเช‰เชจเชพ เช…เชจเซเชญเชตเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ P(A) = 0.93, P(B) = 0.89 เช…เชจเซ‡ P(A เซ‡เช‚ B) = 0.87 เช›เซ‡ เชเชฎ เชœเชพเชฃเซ€เชคเซเช‚ เช›เซ‡. เช†เชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชฌเซ‡เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชเช• เชŸเซเชฐเซ‡เชจ เชธเชฎเชฏเชธเชฐ เชชเชนเซ‹เช‚เชšเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ เชฅเชถเซ‡ ?

เช‰เช•เซ‡เชฒ : P(A เชซเซ B) = P(A) + P(B)ย  P(A เซ‡เช‚ B) เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเชณเชคเซ€ เชฎเชพเช‚เช—เซ‡เชฒเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพย ย ย ย ย ย ย  = 0.93 + 0.89ย  0.87

ย ย ย ย ย ย ย  = 0.95

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 2 : เชเช• เชธเซเชชเชฐเซเชงเชพเชคเซเชฎเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชพเชฎเชพเช‚ 30 เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เช“เชจเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชตเชพเชจเชพ เช›เซ‡. เช•เซเชฒ 600 เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เช“ เชฒเซ‡เช–เชฟเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชพเชฎเชพเช‚ เชฌเซ‡เช เชพ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ 100 เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เช“เชจเซ‡ เช‡เชจเซเชŸเชฐเชตเซเชฏเซ‚ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‹เชฒเชพเชตเชตเชพเชจเชพ เช›เซ‡. เช† เช‰เชชเชฐเชฅเซ€ เชœเซ‹ เช•เซ‹เชˆ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ‡ เช‡เชจเซเชŸเชฐเชตเซเชฏเซ‚ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‹เชฒเชพเชตเซ‡เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เชจเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เชฅเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ ?

เช‰เช•เซ‡เชฒ : เช˜เชŸเชจเชพ A เชกเซเชก เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ‡ เช‡เชจเซเชŸเชฐเชตเซเชฏเซ‚ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‹เชฒเชพเชตเชตเซ‹ เชคเซ‡

ย ย ย ย ย ย ย  เช˜เชŸเชจเชพ B เชกเซเชก เชคเซ‡ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เชฅเชตเซ€

P(A) =ย  =

P(B/A) = เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ‡ เช‡เชจเซเชŸเชฐเชตเซเชฏเซ‚ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‹เชฒเชพเชตเซเชฏเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชถเชฐเชคเซ‡ เชคเซ‡ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เชฅเชถเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

\ P(B/A) =ย  =

เชคเซ‡เชฅเซ€ เช‡เชจเซเชŸเชฐเชตเซเชฏเซ‚ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‹เชฒเชพเชตเซ‡เชฒ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซ€เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ, P(A เซ‡เช‚ B) = P(A) เซเชฐ P(B/A)

ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  =ย  เชคเซย  = .

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 3 : เชเช• เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€เชจเชพ 50 เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€เช“เชจเซ€ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

เชชเซเชฐเช•เชพเชฐย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  เชœเชพเชคเชฟ

ย ย ย ย ย ย ย  เชชเซเชฐเซเชทย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  เชธเซเชคเซเชฐเซ€

เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒย ย ย ย ย ย ย  7ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  3

เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒย  23ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  17

เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชเช• เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เชคเซ‹ (i) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎ เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเซเชท เชนเซ‹เชฏ (ii) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎ เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเซเชท เชนเซ‹เชฏ (iii) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชชเซเชฐเซเชท เช›เซ‡ เชเชฎ เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ (iv) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชธเซเชคเซเชฐเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎ เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‹เชงเซ‹.

เช‰เช•เซ‡เชฒ : เช˜เชŸเชจเชพ A เชกเซเชก เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชชเซเชฐเซเชท เช›เซ‡

ย ย ย ย ย ย ย  เช˜เชŸเชจเชพ A^ เชกเซเชก เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชธเซเชคเซเชฐเซ€ เช›เซ‡

ย ย ย ย ย ย ย  เช˜เชŸเชจเชพ B เชกเซเชก เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เช›เซ‡

ย ย ย ย ย ย ย  เช˜เชŸเชจเชพ B^ เชกเซเชก เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเช•เชพเชฐ ย ย ย ย  เชœเชพเชคเชฟ
เชชเซเชฐเซเชท เชธเซเชคเซเชฐเซ€ เช•เซเชฒ เช˜เชŸเชจเชพ
เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ 7 3 10 B
เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ 23 17 40 Bโ€™
เช•เซเชฒ 30 20 50
เช˜เชŸเชจเชพ A Aโ€™

(i) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเซเชท เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ = P (A / B).

P(A / B) =

P(A เซ‡เช‚ B) = , P(B) =

\ P(A / B) = .

(ii) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎ เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเซเชท เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

= P(A / B^) =ย  =ย  = .

(iii) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชชเซเชฐเซเชท เชนเซ‹เชฏ เชเชฎ เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

= P (B / A) =ย  =ย  = .

(iv) เช•เชฐเซเชฎเชšเชพเชฐเซ€ เชธเซเชคเซเชฐเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎ เชœเซเชžเชพเชค เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ‰เชจ-เชŸเซ…เช•เซเชจเชฟเช•เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

= P (B^ / A^) =ย  =ย  = .

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 3 : เชฌเซ‡เช‡เชเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ (Bayeโ€™s Theorem)

(I) เชฌเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡

เชœเซ‹ B1 เช…เชจเซ‡ B2 เชฌเซ‡ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เช…เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เชคเชฅเชพ P(B1), P(B2), P(A / B1) เช…เชจเซ‡ P(A / B2) เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเชฅเชพ P(A) เชฆ 0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹

P(B1 / A) =

เช…เชจเซ‡ P(B2 / A) =

เชจเซ‹เช‚เชง : (1) เช‰เชชเชฐเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชถเชฐเชคเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซเช‚ เชตเซเชฏเชพเชชเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เช›เซ‡.

(2) เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹เชจเซ‡ เช† เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชชเชฃ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

ย ย ย  P(B1 / A) =

เช…เชจเซ‡ P(B2 / A) =

เชœเซเชฏเชพเช‚ P(A เซ‡เช‚ B1) = P(B1) เซเชฐ P(A / B1)

ย ย ย  P(A เซ‡เช‚ B2) = P(B2) เซเชฐ P(A / B2)

เช…เชจเซ‡ P(A) = P(A เซ‡เช‚ B1) + P(A เซ‡เช‚ B2)

ย ย ย ย ย ย ย ย  = P(B1) เซเชฐ P(A / B1) + P(B2) เซเชฐ P(A / B2)

(3) เช† เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช†เชชเซ‡เชฒเซ€ เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชฟเชค เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเช“เชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชฅเชฎเชฟเช• เช…เช‚เชฆเชพเชœเซ‹ (prior estimates) เชชเชฐเชฅเซ€ เชจเชตเซ€ เชถเชฐเชคเซ€เชฏ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเช“เชจเชพ เชชเชถเซเชฐเซเชšเชพเชฆเซ เช…เช‚เชฆเชพเชœเซ‹ (posterior estimates) เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชฎเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เช…เชญเซเชฏเชพเชธเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชฌเซ‡เช‡เชเชจเซเช‚ เช† เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชเช• เชถเช•เซเชคเชฟเชถเชพเชณเซ€ เชธเชพเชงเชจ เชฌเชจเซ€ เชฐเชนเซ‡ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพ เช†เชงเซเชจเชฟเช• เช…เชญเชฟเช—เชฎเซ‹เชฎเชพเช‚ เชคเซ‡เชฅเซ€ เช† เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชจเซเช‚ เชฎเชนเชคเซเชคเซเชต เชตเชงเซ€ เชœเชพเชฏ เช›เซ‡. เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏ เชฒเซ‡เชตเชพเชจเซ€ เช†เชงเซเชจเชฟเช• เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชนเชตเซ‡ เชฌเซ‡เช‡เชเชจเชพ เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏ-เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชจเซเชค (Bayesian Decision Theory) เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช“เชณเช–เชพเชฏ เช›เซ‡. เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เชจเชฟเชฐเซเชฃเชพเชฏเช•เชคเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค(Statistical Decision Theory)เชจเชพ เชนเชพเชฐเซเชฆเชฎเชพเช‚ เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชฎเชนเชคเซเชคเซเชตเชจเซ‹ เชญเชพเช— เชญเชœเชตเซ‡ เช›เซ‡.

(II) เชคเซเชฐเชฃ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‡เช‡เชเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ

เชœเซ‹ B1, B2 เช…เชจเซ‡ B3 เชคเซเชฐเชฃ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เช…เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เชคเชฅเชพ i = 1, 2, 3 เชฎเชพเชŸเซ‡ P(Bi), P(A / Bi) เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ P(A) เชฆ 0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹

P(Bi / A) =ย  (i = 1, 2, 3)

เชœเซ‡เชจเซ‡ P(Bi / A) =ย  (i = 1, 2, 3)

เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช•เซ‡ เชœเซเชฏเชพเช‚

P(A เซ‡เช‚ Bi) = P(Bi)เซเชฐP(A / Bi) (i = 1, 2, 3)

เช…เชจเซ‡ P(A) =ย  P(Bi)เซเชฐP(A / Bi)

(III) n เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเซ‡เช‡เชเชจเชพ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชจเซเช‚ เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชคเซ€เช•เชฐเชฃ

เชœเซ‹ B1, B2, …… Bn เช เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เช…เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ n เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เชคเชฅเชพ i = 1, 2, …… n เชฎเชพเชŸเซ‡ P(Bi) เช…เชจเซ‡ P(A / Bi) เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ P(A) เชฆ 0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹

P(Bi / A) =ย  (i = 1, 2, …… n)

เชœเซ‡เชจเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

P(Bi / A) =ย  (i = 1, 2, …… n)

เชœเซเชฏเชพเช‚ P(A เซ‡เช‚ Bi) = P(Bi) เซเชฐ P(A / Bi) (i = 1, 2, …… n)

เช…เชจเซ‡ P(A) =ย  P(Bi) เซเชฐ P(A / Bi)

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 4 : เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เชฌเชจเชพเชตเชคเซ€ เชคเซเชฐเชฃ เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€เช“ เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช—เชจเชพ เช•เซเชฒ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจเชจเชพ 25 %, 35 % เช…เชจเซ‡ 40 % เชœเซ‡เชŸเชฒเซเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เช† เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจเซ‹เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชœเซ‡ เชคเซ‡ เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ 5 %, 4 % เช…เชจเซ‡ 2 % เชœเซ‡เชŸเชฒเซเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจ เช–เชพเชฎเซ€เชญเชฐเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชœเชฅเซเชฅเชพเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เชเช• เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช—เชจเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เชœเชฃเชพเชฏ เช›เซ‡. เช† เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจ เชฌเซ€เชœเซ€ เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ Bเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฅเชฏเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ ?

เช‰เช•เซ‡เชฒ : เชคเซเชฐเชฃ เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€เช“เชจเซ‡ I, II เช…เชจเซ‡ III เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช…เชนเซ€เช‚ เช“เชณเช–เชพเชตเซ€.

เช˜เชŸเชจเชพ B1 เชกเซเชก เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ Iเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚.

เช˜เชŸเชจเชพ B2 เชกเซเชก เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เชซเซ‡เช•เซเชŸเชฐเซ€ IIเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚.

เช˜เชŸเชจเชพ B3 เชกเซเชก เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เชซเซ‡เช•เซเชŸเชฐเซ€ IIIเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚.

เชคเซ‡เชฅเซ€ P(B1) = 0.25, P(B2) = 0.35, P(B3) = 0.40. เช† เชคเซเชฐเชฃเซ‡เชฏ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เช…เชจเซ‡ เชธเชฎเช—เซเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ A เชกเซเชก เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เช›เซ‡.

เชคเซ‡เชฅเซ€ P(A / B1) = เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ Iเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฅเชฏเซ‡เชฒเซเช‚ เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เชนเซ‹เชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

P(A / B2) = เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ IIเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เชนเซ‹เชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

P(A / B3) = เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ IIIเชฎเชพเช‚ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เชนเซ‹เชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

เช†เชชเซ‡เชฒเซ€ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ เชชเชฐเชฅเซ€ย  P(A / B1) = 0.05

ย ย ย ย ย ย ย  P(A / B2) = 0.04

ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย  เช…เชจเซ‡ย ย ย ย ย ย  P(A / B3) = 0.02

เชนเชตเซ‡ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชœเชฅเซเชฅเชพเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชเช• เชฌเซ‰เชฒเชฌเซ‡เชฐเชฟเช‚เช— เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชคเซ‡ เช–เชพเชฎเซ€เชตเชพเชณเซเช‚ เชœเชฃเชพเชฏ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชซเซ…เช•เซเชŸเชฐเซ€ B เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‹เชงเชตเซ€ เช›เซ‡. เช† เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ = P(B2 / A)

เชฌเซ‡เช‡เชเชจเชพเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡

P(B2 / A) =

=

\ P(B2 / A) =ย  =

3. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชธเซเชตเชฏเช‚เชธเชคเซเชฏเชคเชพเชชเซ‚เชฐเซเชฃ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (axiomatic definition of probability) : เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเชพ เช†เชงเซเชจเชฟเช• เช–เซเชฏเชพเชฒ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชธเซเชตเชฏเช‚เชธเชคเซเชฏเชคเชพเชชเซ‚เชฐเซเชฃ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช†เชชเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡ :

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช เชเช• เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เช—เชฃ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ (set function) P เช›เซ‡. เชœเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• เช˜เชŸเชจเชพ A เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ P(A) เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพ A เชฌเชจเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

เช† เชฎเชพเชŸเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡เชจเซ€ เชถเชฐเชคเซ‹ เชธเช‚เชคเซ‹เชทเชพเชตเซ€ เชœเซ‹เชˆเช :

(1) P(A) เชฅเซ 0

(2) P(S) = 1

(3) เชœเซ‹ A1, A2, A3, ……… เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ Ai เซ‡เช‚ Aj = f (เชœเซเชฏเชพเช‚ i เชฆ j) เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• เช˜เชจเชชเซ‚เชฐเซเชฃเชพเช‚เช• K เชฎเชพเชŸเซ‡ P(A1 เชซเซ A2 เชซเซ …….. เชซเซ AK) = P(A1) + P(A2) + ………. + P(Ak) เช…เชจเซ‡ เช…เชจเช‚เชค เช›เชคเชพเช‚ เช—เชฃเซเชฏ เช˜เชŸเชจเชพเช“เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ P(A1 เชซเซ A2 เชซเซ A3 เชซเซ ……….) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ……….

เชจเซ‹เช‚เชง : เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เช–เซเชฏเชพเชฒเชจเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชชเชฃ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชธเช‚เชฆเชฟเช—เซเชงเชคเชพ เชตเช—เชฐ เชธเซเชชเชทเซเชŸเชชเชฃเซ‡ เชฐเชœเซ‚ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช…เช‚เช—เซ‡เชจเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช…เช—เชคเซเชฏเชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชค เช›เซ‡ :

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ (4) : เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ n เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2, ….. An เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชจเชฅเซ€ เชเชตเชพ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ€ เช›เซ‡. เช†เชฎเชพเช‚เชจเซ€ เช“เช›เชพเชฎเชพเช‚ เช“เช›เซ€ เชเช• เช˜เชŸเชจเชพ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

P Ai = S1ย  S2 + S3ย  ………. + (1)n1 Sn

เชœเซเชฏเชพเช‚ S1 =ย  P(Ai), S2 =ย  P(AiAj), S3 =ย  P(AiAjAk)

ย ย ย ย ย ย ย  ……………….

Sn = P(A1A2 …….. An).

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 5 : เชฌเซเชฒเชจเซ€ เช…เชธเชฎเชคเชพ (Booleโ€™s Inequality) เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2, …… An (n > 1) เชฎเชพเชŸเซ‡

Pย  เชœเซเชฐย  P(Ai)

[เชจเซ‹เช‚เชง : เชฌเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2 เชฎเชพเชŸเซ‡ เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เช…เชธเชฎเชคเชพเชจเซ‡ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ P(A1 เชซเซ A2) เชœเซเชฐ P(A1) + P(A2) เชฅเชถเซ‡.]

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 6 : เชฌเซ‹เชจเชซเซ‡เชฐเซ‹เชจเซ€เชจเซ€ เช…เชธเชฎเชคเชพ (Bonferroniโ€™s Inequality) เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2, ….. An (n > 1) เชฎเชพเชŸเซ‡

ย P(Ai)ย ย  P (AiAj)

เชœเซเชฐ Pย  เชœเซเชฐ

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 7 : เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2, ….. An เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฌเชฐเซ‹เชฌเชฐ r เช˜เชŸเชจเชพเช“ (1 เชœเซเชฐ r เชœเซเชฐ n) เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

P[r] = Srย ย  Sr+1 +ย  Sr+2ย  ……… เชฃเซย  Sn

เชœเซเชฏเชพเช‚ Sr+1, Sr+2, ….. Sn เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡เชจเซ‹ เช…เชฐเซเชฅ เช…เช—เชพเช‰เชจเชพ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฎเชพเช‚ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซเชฏเชพ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ เช›เซ‡.

เช‰เชชเชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ : เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ n เช˜เชŸเชจเชพเช“ A1, A2, ….. Anเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เช“เช›เชพเชฎเชพเช‚ เช“เช›เซ€ r เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ

P[r] + P[r+1] + ……. + P[n]

เชœเซเชฏเชพเช‚ P[r] = r เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช›เซ‡, เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡……

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ 8 : เชธเชพเชคเชคเซเชฏเชคเชพเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ

เชœเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ Sเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒเซ€ เช˜เชŸเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ {An} เช เชเช•เชฒเช•เซเชทเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเชฟ (monotone sequence) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹

P An =ย  {P(An)}.

4. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชค เช…เชญเซเชฏเชพเชธ : เชธเซˆเชฆเซเชงเชพเชจเซเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชจเชพ เชตเซˆเชตเชฟเชงเซเชฏ เชคเซ‡เชฎเชœ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเซ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชจเซ€ เชตเชฟเชถเชพเชณเชคเชพเชจเซ‡ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชค เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เช˜เชฃเซ‹ เชœ เชฐเชธเชชเซเชฐเชฆ เช›เซ‡. เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชฐเชœเซ‚เช†เชคเซ‹เชฎเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเชพเชคเซเชฎเช• เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชจเซเชคเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ(Definition of Probability in terms of Measure Theory)เชจเซ€ เชšเชฐเซเชšเชพ เชธเซเชฅเชณเชธเช‚เช•เซ‹เชšเชจเซ‡ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เช•เชฐเซ€ เชจเชฅเซ€. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชฟเชคเชพ เช…เชจเซ‡เช• เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹เชฎเชพเช‚ เช†เชตเชคเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชง เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชธเชฎเชธเซเชฏเชพเช“เชฎเชพเช‚ เชœเซ‹เชตเชพ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชจเซ€เชšเซ‡ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹ เช†เชชเซ‡เชฒเชพเช‚ เช›เซ‡, เชœเซ‡เชจเชพ เชชเชฐเชฅเซ€ เช†เชจเซเช‚ เชฎเชนเชคเซเชคเซเชต เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ :

(1) เชธเชพเชฐเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชšเซ€เชชเซ‡เชฒเชพเช‚ เชธเชฎเชพเชจ เชชเชคเซเชคเชพเช‚เช“เชตเชพเชณเชพ เชฌเซ‡ เช—เช‚เชœเซ€เชซเชพเชจเซ‡ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เช—เซ‹เช เชตเซ€เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฎเชพเช‚เชจเซ€ เชœเซ‹เชกเซ€เช“เชจเซ‡ เชธเชฐเช–เชพเชตเชตเชพเชจเซ€ เช›เซ‡. เช“เช›เชพเชฎเชพเช‚ เช“เช›เซ€ เชเช• เชœเซ‹เชกเซ€ เชฎเชณเซ€ เชฐเชนเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ ? เช† เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชธเชฎเชธเซเชฏเชพ เชœเซ‹เชกเซ€เชจเซ€ เชธเชฎเชธเซเชฏเชพ (matching problem) เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช“เชณเช–เชพเชฏ เช›เซ‡.

(2) เช†เชชเซ‡เชฒเซ€ r เชชเซ‡เชŸเซ€เช“เชฎเชพเช‚ n เชฆเชกเชพเช“เชจเซ‡ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เชตเชนเซ‡เช‚เชšเซ€ เชฆเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช•เซ‹เชˆ เชชเชฃ เชชเซ‡เชŸเซ€เชฎเชพเช‚ เชเช•เชฅเซ€ เชตเชงเซ เชฆเชกเซ‹ เชจ เช†เชตเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ ? เช† เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชธเซเชฅเชพเชจเชชเซ‚เชฐเช•เชคเชพเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (occupancy problem) เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡.

(3) n เชฆเชกเชพเช“เชจเซ‡ r เชชเซ‡เชŸเซ€เช“เชฎเชพเช‚ เชฏเชฆเซƒเชšเซเช› เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฎเซ‚เช•เชตเชพเชจเชพ เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชฌเชฐเซ‹เชฌเชฐ K เชชเซ‡เชŸเซ€เช“ เช–เชพเชฒเซ€ เชฐเชนเซ‡ เชคเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€ ? เช† เชธเชฎเชธเซเชฏเชพ เช–เชพเชฒเซ€ เชชเซ‡เชŸเซ€เช“เชจเซ€ เชธเชฎเชธเซเชฏเชพ (number of empty boxes) เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช“เชณเช–เชพเชฏ เช›เซ‡.

เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชคเซ€เช•เชฐเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เช†เชตเชพเช‚ เช…เชจเซ‡เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชตเชฟเชคเชฐเชฃ, เชตเชฟเชคเชฐเชฃ-เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ, เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชธเชฐเซเชœเช•-เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชคเซ‡เชจเชพ เชฎเซ‚เชณเชฎเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เช–เซเชฏเชพเชฒ เชฐเชนเซ‡เชฒเซ‹ เช›เซ‡. เช•เซ‹เชˆ เชชเชฃ เช†เช‚เช•เชกเชพเช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชงเชพเชจ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญ เชตเช—เชฐ เช…เชงเซ‚เชฐเซเช‚ เช›เซ‡. เช†เช‚เช•เชกเชพเช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเซ‹เชจเซ‹ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ, เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ-เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ, เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจ-เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเซ‚เชณเชญเซ‚เชค เชชเชพเชฏเซ‹ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชตเชฟเชค เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ (stochastic processes) เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชฟเชคเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชฌเชจเซ€ เชฐเชนเซ‡ เช›เซ‡. เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชฟเชคเชพเชจเซ€ เชตเชฟเชถเชฆ เชšเชฐเซเชšเชพ เช…เชนเซ€เช‚ เช•เชฐเชตเชพเชจเซเช‚ เชฎเซเชถเซเช•เซ‡เชฒ เช›เซ‡; เช•เซ‡เชฎ เช•เซ‡ เชเชŸเชฒเซ‹ เชฎเซ‹เชŸเซ‹ เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชค เชซเชฒเช• เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡ เชตเชฟเชถเซ‡ เชฒเช–เชคเชพเช‚-เชตเชฟเชšเชพเชฐเชคเชพเช‚ เช…เช‚เชค เชจ เช†เชตเซ‡. เช† เชฒเซ‡เช–เชฎเชพเช‚ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชฎเชพเชคเซเชฐ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช• เชชเชพเชฏเชพเชจเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเซ‹, เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเช“, เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เช…เชจเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹เชจเซ‹ เชœ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เช•เชฐเชพเชตเชพเชฏเซ‹ เช›เซ‡. เชตเชฟเชธเซเชคเซƒเชค เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชœเซ‡ เชคเซ‡ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเช—เซเชฐเช‚เชฅเซ‹เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเซ‹ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡.

เชญเชฐเชค เชญเซ€. เชœเชพเชจเซ€

เชฐเชพเชœเชถเซเชฐเซ€ เช—เซ‹เชชเชพเชฒ เชญเชŸเซเชŸ