સુરેખ આયોજન (linear programming)

સુરેખ આયોજન (linear programming) : વાણિજ્યપ્રવૃત્તિ અથવા ઉત્પાદનકાર્ય કરવા અંગે વિવિધ પ્રકારનાં દબાણો અને મૂંઝવણ ભરેલી સમસ્યાઓ ઊભી થઈ હોય ત્યારે તેમનો ઉકેલ લાવવા માટે કેવા મહત્તમ અથવા લઘુતમ સ્તરે કાર્ય કરવા અંગે નિર્ણય લેવા માટે વિકસાવેલી ગાણિતિક પ્રવિધિ. ધંધાનો મુખ્ય હેતુ મહત્તમ નફાનો હોય છે અને તે માટે ન્યૂનતમ ખર્ચ કરવાનું આયોજન જરૂરી છે. આ પ્રકારનો અથવા તેવા કોઈ અન્ય પ્રકારનો હેતુ મહત્તમ સ્તરે સિદ્ધ કરવા માટે પરસ્પર સતત સંબંધિત અને રૈખિક રીતે માપી શકાય તેવાં ચલો (variables) અને મર્યાદિત સાધનોના સંદર્ભમાં ઉપયોગમાં લઈ શકાય તથા માર્ગદર્શન મેળવી શકાય તેવી તકનીકી/પ્રવિધિને સુરેખ આયોજન કહેવાય છે. આંતરરાષ્ટ્રીય વ્યાપારી પ્રવૃત્તિમાં જો આયાત અને નિકાસના માલના જથ્થાના કદ અંગે કોઈ સમસ્યા ઊભી થાય તો તેનો ઉકેલ લાવવા માટે જે પ્રવિધિ અપનાવવામાં આવે તે સુરેખ આયોજનનું સાદું ઉદાહરણ છે. જ્યારે ચોક્કસ પ્રકારના માલના ચોક્કસ જથ્થાની આયાત-માગ જુદાં જુદાં બંદરોમાં ઊભી થાય ત્યારે આ માગને નિકાસ દ્વારા સંતોષવા માટે આયાતની માગવાળાં બંદરો સિવાયનાં અન્ય જુદાં જુદાં બંદરોમાં નિકાસ માટે જે માલનો જથ્થો હોય તેમાંથી કયા બંદરેથી માલ રવાના કરવો તે અંગે (ક) જુદાં જુદાં બંદરોથી માલ મોકલવાનું જહાજી નૂર, (ખ) માલ પહોંચાડવાની સમયમર્યાદા અને (ગ) નિકાસ કરવાવાળાં બંદરે માલનો પર્યાપ્ત જથ્થો – તેવા વિવિધ પ્રશ્નો ઊભા થાય છે. તેમનો ગાણિતિક પ્રવિધિ દ્વારા ઉત્તર મેળવીને સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે. આમ, સુરેખ આયોજન તેના નામ પ્રમાણે સમસ્યા અંગેના પ્રશ્નોમાં રૈખિક સંબંધ હોય ત્યારે ઉપયોગી થાય છે.

સુરેખ આયોજનનું જટિલ ઉદાહરણ, ઉત્પાદન કંપનીનાં જુદાં જુદાં ઉત્પાદનોનાં જથ્થાનું કદ નક્કી કરવા માટે જે સમસ્યાઓ ઉદભવે તેમના ઉકેલ અંગેનું છે. કમ્પ્યૂટર કંપની તેના લૅપટૉપનાં નવાં બે મૉડલ દાખલ કરવા માગતી હોય ત્યારે પ્રત્યેક મૉડલનો કેટલો જથ્થો પેદા કરવાથી તેને મહત્તમ નફો મળી શકે તે નક્કી કરવા માટે સુરેખ આયોજનની મદદ લે છે. કંપનીની આંકડાકીય માહિતી નીચે પ્રમાણે છે :

આંકડાકીય માહિતી–કોષ્ટક નંબર 1 : પ્રત્યેક એકમના ઉત્પાદનમાંથી મળતો નફો અને પ્રત્યેક એકમના ઉત્પાદન માટે જરૂરી સમય

	એકમદીઠ નફો અને એકમ પ્રક્રિયાનું વર્ણન	લૅપટૉપ મૉડલ-1	લૅપટૉપ મૉડલ-2
(ક)	એકમદીઠ નફો	રૂ. 8,000	રૂ. 6,000
(ખ)	દરેક એકમના સ્પેર-પાર્ટ ભેગા કરવામાં જતો સમય	4 કલાક	6 કલાક
(ગ)	દરેક એકમની ચકાસણી કરવામાં જતો સમય	2 કલાક	1 કલાક
(ઘ)	દરેક એકમનું પૅકિંગ કરવામાં જતો સમય	3 કલાક	2 કલાક

(ક)	સ્પેર–પાર્ટ ભેગા કરવા માટે કંપની પાસે કુલ ઉપલબ્ધ સમય	300 કલાક
(ખ)	ચકાસણી કરવા માટે કંપની પાસે કુલ ઉપલબ્ધ સમય	120 કલાક
(ગ)	પૅકિંગ કરવા માટે કંપની પાસે કુલ ઉપલબ્ધ સમય	180 કલાક
નોંધ : પ્રત્યેક મૉડલના કેટલા એકમોનું ઉત્પાદન કરવું તે નક્કી કરવા માટે સુરેખ – આયોજન હેઠળ કેટલીક ધારણાઓ કરવામાં આવે છે : (1) જે એકમોનું ઉત્પાદન કરીને હેતુ સિદ્ધ કરવાનો છે તે એકમો અ–ઋણ (non-negative) હોવાં જોઈએ; (2) ફક્ત એક જ ઉદ્દેશની મહત્તમ સિદ્ધિ માટેની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને (3) પ્રત્યેક ચલનું પ્રદાન સમાન એવા ગાણિતિક જથ્થામાં કરવામાં આવે છે; જેમ કે, 100 એકમોનો ઉત્પાદનખર્ચ રૂ. 100 થાય તો 200 એકમોનો ઉત્પાદનખર્ચ રૂ. 200 થાય છે.

ઉપર્યુક્ત માહિતી અને ધારણાઓ હેઠળ સુરેખ આયોજનની ગણતરી વડે મહત્તમ નફાની રકમ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે :આંકડાકીય માહિતી–કોષ્ટક નંબર 2 : ઉત્પાદનના પ્રત્યેક તબક્કા માટે કંપની પાસે ઉપલબ્ધ કુલ સમય/કંપનીને અવરોધ કરતી સમયમર્યાદા

મૉડલ-1ના a એકમો અને મૉડલ-2ના b એકમો બનાવવામાં આવે તો મહત્તમ નફો રૂ. 8,000 a + રૂ. 6,000 b થાય અને તે પ્રમાણે એકમોનું ઉત્પાદન કરવા માટે કંપનીને પોતાની પાસે જે ઉપલબ્ધ સમય છે તેની મર્યાદાઓ હેઠળ કાર્ય કરીને જુદાં જુદાં પરિણામોની ગણતરી કરવાની હોય છે.

પરિણામ (1) : આંકડાકીય માહિતી-કોષ્ટક નંબર 1 (ખ) અને 2 (ક) અનુસાર સ્પેરપાર્ટ ભેગા કરવાની સમયમર્યાદા હેઠળ 4a + 6b  300 કલાક જેટલો સમય વપરાય.

પરિણામ (2) : આંકડાકીય માહિતી-કોષ્ટક નંબર 1 (ગ) અને 2 (ખ) અનુસાર ચકાસણી કરવાની સમયમર્યાદા હેઠળ 2a + b 120 કલાક જેટલો સમય વપરાય.

પરિણામ (3) : આંકડાકીય માહિતી-કોષ્ટક નંબર 1 (ઘ) અને 2 (ગ) અનુસાર પૅકિંગ કરવાની સમયમર્યાદા હેઠળ 3a + 2b  180 કલાક જેટલો સમય વપરાય.

ઉત્પાદનના જથ્થાનું કદ નક્કી કરવા માટે પહેલો ઉકેલ

પરિણામ (1) અનુસાર  4a + 6b  300

                    ∴  2a + 3b   150

તેમાંથી પરિણામ (2) બાદ કરતાં

                    ∴  b = 15

તથા    2a + b  1206

∴ (2a +  15) 120

∴ 2a  (120 – 15)

∴ 2a 115

∴  a 52.5

પરંતુ ઉત્પાદનનો એકમ અપૂર્ણાંક હોઈ ન શકે.

∴  a = 52

∴  52a અને 15b એકમ ઉત્પાદન કરવામાં આવે તો નફો    52 × 8,000 + 15  × 6,000

= 4,16,000 + 90,000

= રૂ. 5,06,000 થાય.

ઉત્પાદનના જથ્થાનું કદ નક્કી કરવા માટે બીજો ઉકેલ પરિણામ

(2) અનુસાર  2a + b  120

                    ∴  Aa + 2b  240

તેમાંથી પરિણામ (3) બાદ કરતાં

વળી પરિણામ (2) અનુસાર 2a + b 120

∴ b  ( 120 – 2a)

∴ b  ( 120 – 120)

∴ b = 0

∴ 60a અને 0b એકમ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે તો નફો    60 × 8,000 + 0 × 6,000

= 4,80,000 + 0

= રૂ. 4,80,000 થાય.

ઉત્પાદનના જથ્થાનું કદ નક્કી કરવા માટે ત્રીજો ઉકેલ પરિણામ  (3) અનુસાર

3a + 2b  180

∴ 9a + 6b  540

પરિણામ (2) અનુસાર

               

 પરિણામ (3) અનુસાર 3a + 2b  180

                         ∴    2b  180 – 3a

                         ∴   2b  180 – 3 ×  48

                         ∴    2b  180 – 144

                         ∴    2b  36

                         ∴    b = 18

∴  48a અને 18b એકમ ઉત્પાદન કરવામાં આવે તો નફો

48 × 8,000 + 18 × 6,000

=  3,84,000 + 1,08,000

=  રૂ. 4,92,000 થાય.

આમ – સુરેખ આયોજન મૉડલ-આધારિત, એક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે. આ મૉડલને આલેખના સ્વરૂપમાં પણ મૂળ હેતુ પ્રાપ્ય સાધનોમાંથી મહત્તમ લાભ મેળવવાનો છે. જે આયોજન સંચાલનમાં ઉદભવતી મર્યાદાઓ સ્વીકારીને તથા તેમની વચ્ચે રહીને મહત્તમ લાભ મેળવી શકે તે આયોજન અસરકારક કહી શકાય. ઉપરનું ઉદાહરણ જટિલ છે. તેમાં લૅપટૉપ મૉડલ 1 અને 2ના જથ્થાના ત્રણ ઉકેલ મેળવ્યા છે, તેમાંથી મહત્તમ નફો આપતા પહેલા ઉકેલને પસંદ કરીએ તો તે મર્યાદિત સાધનોની શરતો વચ્ચે એકમાત્ર સ્વીકાર્ય ઉકેલ છે.

વાસ્તવમાં સુરેખ આયોજનની ધારણાઓ તેની મર્યાદાઓ બની જાય છે, કારણ કે કેટલીક ધારણાઓ વાસ્તવિક જગત સાથે મેળ ખાતી નથી. જથ્થાના ઉત્પાદનમાં વધઘટ થાય તો બધા જ ચલ એકસરખું સપ્રમાણ (proportionate) પરિણામ લાવે તેવું બનતું નથી, કારણ કે સામાન્ય ખરીદ-વેચાણ-વ્યવહારમાં મોટો જથ્થો ખરીદનાર વટાવ માગે છે અને વેચનાર તે આપે પણ છે તેથી મોટા જથ્થાના ઉત્પાદન માટે ખરીદ કરવા પડતા મોટા જથ્થાના કાચા માલમાં વટાવ મેળવી શકાય છે, પડતર ઘટતાં વેચાણમાં નફો વધે છે અને નફો સપ્રમાણ રહેતો નથી. આમ, સુરેખ આયોજનની ધારણાઓને યોગ્ય રીતે સમજીને ધંધાદારીઓ તેનો ઉપયોગ કરતા હોય છે; પરંતુ હવે કમ્પ્યૂટર ઉપર ગણિતના સિદ્ધાંતોને અનુરૂપ, જથ્થાકીય અભિગમને અનુરૂપ ગણતરીઓ કરી શકાય છે; તેથી સુરેખ આયોજનનો ઉપયોગ બહુ થતો નથી.

અશ્ર્વિની મ. કાપડિયા