શૂન્ય (zero) : ભારતીય બહુપાર્શ્ર્વી (multifacet) ગાણિતિક વિભાવના. તે એકસાથે સંજ્ઞા, પરિમાણ, દિશાનિર્દેશક અને સ્થાનધારક હોવાનું કામ કરે છે.
ચાર હજાર વર્ષ અગાઉ ઇજિપ્તમાં શૂન્યનો સંકેત માત્ર પરિમાણ કે ઊંચી-નીચી સપાટીને છૂટી પાડતી સીમાનો નિર્દેશ કરવા પૂરતો થતો. બૅબિલોનની સંખ્યાલેખન-પદ્ધતિમાં અંકનો અભાવ દર્શાવતા સ્થાનસંકેત તરીકે તેનો ઉપયોગ થતો. દક્ષિણ અમેરિકામાં મય-સંસ્કૃતિમાં એક શૂન્ય ‘મય-શૂન્ય’ તરીકે જાણીતું હતું.
ગણિતશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં સંખ્યાલેખનના અનિવાર્ય અંગ તરીકે ભારતીય શૂન્યની શોધ એક નોંધપાત્ર ઘટના છે; પરંતુ શૂન્ય અને શૂન્ય સાથે સંકળાયેલી ગાણિતિક પ્રવિધિઓની સ્પષ્ટ સમજ અનેકવિધ સાંસ્કૃતિક ગાળણ અને પરામર્શન પછી આવી. શૂન્યનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં વિવિધ મુશ્કેલીઓ પડતી હોવાથી શૂન્યના ગણિત અંગે લાંબા સમય સુધી ઉદાસીનતા સેવવામાં આવી; પરંતુ બ્રહ્મગુપ્તના સમયથી ગણિતના પ્રત્યેક ગ્રંથમાં તેના પર ભાર મૂકવામાં આવતો. ગણિતશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં શૂન્ય ધન સંખ્યા છે કે ઋણ ? શૂન્ય યુગ્મ (even) સંખ્યા છે કે અયુગ્મ (odd) ? કોઈ નિશ્ચિત સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગતાં શું મળે ? જેવા પ્રશ્ર્નોના જવાબ અંગે અવઢવ જોવા મળે છે. ઐતિહાસિક અભિગમથી આ અંગેની રજૂઆત વિશેષ રસિક બની શકે છે.
શૂન્યનો ઇતિહાસ : અરબી ‘અલ-સિફર’માંથી ‘ઝીરો’ ઊતરી આવ્યો હોય એમ લાગે છે. સંસ્કૃત ભાષાના ‘શૂન્ય’ના લિપ્યંતર(transliteration)માંથી ‘સિફર’ થયો જેનો અર્થ ‘વ્યર્થ’ (void) કે ખાલી-રિક્ત (empty) થાય છે. યુરોપના પુનર્જાગરણ કાળમાં બારમી સદીમાં લિયૉનાર્દો ફીબોનાકી અને નેમોરેરિયસ જેવા પ્રખ્યાત ગણિતીઓએ તેને ‘સીફ્રા’ તરીકે રજૂ કર્યો, જેમાંથી ‘સાઇફર’ પ્રચલિત થયો. પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓએ ક્યારેય સંખ્યાલેખનમાં ‘શૂન્ય’નો ઉપયોગ કરેલો નથી. હિસાબ સરભર થયેલો બતાવવા માટે કે શૂન્ય સપાટી બતાવવા માટે ‘nfr’ સંકેત લખવામાં આવતો. ઇજિપ્તનાં પિરામિડો અને કબરોના ભવ્ય અને વિશાળ બાંધકામમાં પાયાની સમક્ષિતિજ સપાટી માટે ‘nfr’ સંકેત લખાતો. પાયાથી ઉપરની સપાટીની ઊંચાઈએ એકમ તરીકે ‘ક્યૂબિટ’ એકમ વપરાતો. ઇજિપ્તની સમકાલીન મેસોપોટેમિયન પદ્ધતિમાં આધાર તરીકે ‘60’ની સંખ્યા વપરાતી. ગ્રીકો અને ઇજિપ્તવાસીઓને ભૂમિતિમાં રસ હતો; ગણિત અને સંખ્યાલેખનમાં ઓછો રસ હતો.
શૂન્યની વિભાવના હજારો વર્ષોથી ભારતમાં પ્રચલિત હતી. સંસ્કૃત શબ્દ ‘શૂન્ય’ ‘વ્યર્થ કે ખાલી’ના અર્થમાં વપરાતો. શૂન્ય શબ્દ ‘શ્વિ’ (ઊગવું) ધાતુના ભૂતકૃદંત ‘शून’માંથી આવ્યો છે. ઋગ્વેદમાં તેનો અર્થ ‘અભાવ’ કે ‘ઊણપ’ લેવામાં આવે છે. આ શબ્દ ‘ખાલીપણું’ અને ‘ક્ષમતાનો અભાવ’ બે વિવિધ અર્થવાળા શબ્દોનું સંધાન કરી બનાવેલો છે. તે પછી બૌદ્ધોનો ‘શૂન્યતા’નો સિદ્ધાંત મળ્યો, જેમાં મનને બધી અસરોથી મુક્ત કરવાની બાબત આવે છે. તેમાં શૂન્યતાનો મહાવરો કવિતા કરવામાં, સંગીતમાં બંદિશની રચનામાં, ચિત્રકામ કે શિલ્પકામ જેવી સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિમાં કેળવવાનો સૂચવ્યો છે.
શૂન્યના ગણિત સાથે ત્રણ મુદ્દા સંકળાયેલા છે : (1) સ્થાનમૂલ્ય (place value) સાથે સંકળાયેલી શૂન્યની વિભાવના; (2) સંકેત તરીકે શૂન્યનો ઉપયોગ; (3) શૂન્ય સાથેની ગાણિતિક પ્રવિધિઓ.
ભારતીય સંખ્યાલેખન-પદ્ધતિમાં 1થી 9 સુધીના અંકો અને શૂન્યનો ઉપયોગ કરી ગમે તેટલી મોટી સંખ્યા લખી શકાય છે. એકથી નવ સુધીના અંકની પાછળ એક શૂન્ય મૂકતાં દસ, વીસ, ત્રીસ, ……., નેવું વગેરે સંખ્યા મળે છે. કોઈ રકમમાં કોઈ સ્થાને શૂન્યની હાજરી એ તે સ્થાનમાં અન્ય અંકની ગેરહાજરી સૂચવે છે; જેમ કે, 10માં એકમની ગેરહાજરી, 103માં દશકની ગેરહાજરી, 1025માં શતકના અંકની ગેરહાજરી શૂન્યના સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. આ ભારતીય સંખ્યાલેખન-પદ્ધતિની અનન્ય સિદ્ધિ છે.
સાતમી સદીના પતંજલિના ‘યોગસૂત્ર’ના ભાષ્યમાં કહ્યું છે કે જેમ એક જ સ્ત્રીને જુદા જુદા સંદર્ભમાં માતા, બહેન કે પુત્રી તરીકે જોવામાં આવે છે તેવી જ રીતે એકના એક અંકને એકમના સ્થાનમાં હોય ત્યારે એક, દશકના સ્થાનમાં દસ, શતકના સ્થાનમાં સો અને સહસ્રના સ્થાનમાં હજાર તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઈ. પૂ. ત્રીજી સદીમાં રચાયેલા પિંગળના ‘છંદ:સૂત્ર’માં શૂન્યના સંકેતનો ઉલ્લેખ જોવા મળે છે; જેમાં માત્રામેળ છંદમાં આવતી શ્રુતિની સંખ્યા અનુસાર છંદમાં લઘુ-ગુરુની ગોઠવણી કરવા અંગેની રીતોની ચર્ચા કરી છે. લગભગ સાતમી અને આઠમી સદીમાં ભારત, કંબોડિયા અને સુમાત્રાના શિલાલેખોમાં શૂન્યને બિંદુ તરીકે દર્શાવવાની શરૂઆત થયેલી ત્યારપછી તેને છિદ્ર, રંધ્ર કે નાના વર્તુળથી દર્શાવવામાં આવતી.
બ્રહ્મગુપ્તના કાળના ગણિત અને ખગોળના ગ્રંથોમાં ‘શૂન્ય-ગણિત’ મથાળા નીચે શૂન્ય સાથે સંકળાયેલી ગણતરીઓનો વિભાગ જોવા મળે છે. તે વખતના પાટીગણિતમાં શૂન્ય સાથે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકારની પ્રવિધિઓ (operations) જોવા મળે છે.
બ્રહ્મગુપ્તે સાતમી સદીમાં રચેલા ‘બ્રહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત’ ગ્રંથમાં ધન અને ઋણ સંખ્યાઓથી શૂન્યને તદ્દન ભિન્ન ગણી છે. આમ શૂન્ય ધન નથી કે ઋણ પણ નથી, પરંતુ બંનેને જુદાં પાડતી સીમા છે. વળી બે સરખી પણ અસમાન ચિહ્નવાળી રાશિઓનો સરવાળો શૂન્ય છે એમ તેમાં છે. કોઈ પણ સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરવામાં આવે કે બાદ કરવામાં આવે તો સંખ્યા એની એ જ રહે છે. કોઈ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ગુણવામાં આવે તો ગુણાકાર શૂન્ય મળે છે, પરંતુ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગવામાં આવે તો અવ્યાખ્યાયિત રાશિ મળે એમ કહ્યું છે.
ભારતીય અંકો અને સંખ્યાલેખનને પશ્ચિમમાં લઈ જવાનું કામ આરબોએ કર્યું. ભારતીય અંકો સિંધમાંથી આરબ રાજદ્વારી પ્રતિનિધિઓ દ્વારા ઈ. સ. 733ના અરસામાં બગદાદના ખલીફ અલ-મનસૂરના રાજદરબારમાં પહોંચ્યા એમ માનવામાં આવે છે. ઈ. સ. 820માં પ્રખ્યાત આરબ ગણિતી અલ-ખ્વારિઝ્મીએ અંકગણિતનો સુપ્રસિદ્ધ ગ્રંથ રચ્યો; જેમાં સંખ્યાઓ અને સંખ્યા પરની પ્રવિધિઓ ભારતીય પદ્ધતિથી દર્શાવી છે. મોટી મોટી સંખ્યાઓ લખવામાં વપરાતી અને શૂન્યને સમાવતી સ્થાનકિંમત-પદ્ધતિને ખૂબ માવજતથી અલ-ખ્વારિઝ્મીએ રજૂ કરી; જે અગિયારમી સદીમાં મધ્ય એશિયા, ઉત્તર આફ્રિકા અને ઇજિપ્ત પહોંચી તેમજ ઇસ્લામિક આધિપત્ય નીચેના સ્પેન અને સિસિલી દ્વારા યુરોપમાં પ્રસરી. ફીબોનાકીએ રચેલા ‘લીબર-અબાકી’ ગ્રંથનો મધ્યયુગમાં ભારે પ્રભાવ હતો. ઉત્તર આફ્રિકા, ઇજિપ્ત, સીરિયા અને સિસિલીના પ્રવાસ દરમિયાન ફીબોનાકી ભારતીય અંક અને સંખ્યાલેખનના પરિચયમાં આવ્યા. તેમાંથી તેઓ ઘણું શીખ્યા હતા. ત્યારબાદ ધીમે ધીમે યુરોપમાં રોમન આંકડાનું સ્થાન ભારતીય અંકોએ લીધું. મણકાથી ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનું સમર્થન કરનાર (bacists) અને નવા અંકોના ઉપયોગથી સંખ્યાલેખન કરી ગણતરી કરનાર (Algorists) વચ્ચેના વિવાદમાં આલ્ગોરિસ્ટ વિજયી થયા અને તે પછી આ પદ્ધતિનો હિસાબ-કિતાબ બૅંકો, વ્યાપારી પેઢીઓ સુધી અને રોજબરોજના વ્યવહારમાં સ્વીકાર કર્યો.
આધુનિક અંકગણિતમાં શૂન્ય(0)નું મહત્વ તેના નીચેના લાક્ષણિક ગુણધર્મોમાં દેખાય છે :
(1) શૂન્ય સરવાળા માટેનો એકમ છે એટલે કે દરેક સંખ્યા a માટે a + 0 = a છે.
(2) કોઈ પણ સંખ્યાનો 0 વડે ગુણાકાર 0 જ છે. a x 0 = 0.
(3) જો બે સંખ્યાનો ગુણાકાર 0 હોય તો તેમાંની ઓછામાં ઓછી એક શૂન્ય હોય જ. જો ab = 0 તો a = 0 અને/અથવા b = 0.
(4) કોઈ પણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગી શકાય નહિ.
અરુણભાઈ વૈદ્ય
શિવપ્રસાદ મ. જાની