કાપરેકર દત્તાત્રય રામચંદ્ર

કાપરેકર દત્તાત્રય રામચંદ્ર (જ. 17 જાન્યુઆરી 1905, દહાણુ, મહારાષ્ટ્ર; અ. 4 જુલાઈ 1986, નાસિક) : ભારતના એક અકિંચન, અપરિગ્રહી અને અઠંગ સંખ્યાવ્યાસંગી ગણિતજ્ઞ. કાપરેકર એક અનોખા ગણિતજ્ઞ હતા. આમ તો તેઓ કેવળ સ્નાતક હતા, પણ સંખ્યાઓના જુદા જુદા ગુણધર્મો વિશે તેમણે ખૂબ વિચાર કર્યો હતો અને વ્યવસાયી ગણિતજ્ઞોને પણ આશ્ચર્ય પમાડે તેવા સંખ્યાના અદભુત ગુણધર્મો તેમણે શોધી કાઢ્યા હતા.

નાસિક પાસેના દેવલાલીમાં તેઓ એક શાળાના ગણિતશિક્ષક હતા. તેઓ સંખ્યાઓ વિશે વિચારવામાં જ મસ્ત રહેતા. તેઓ નિ:સંતાન હતા અને તેમનાં પત્નીનું નાની વયે અવસાન થઈ ગયું હતું. ત્યારપછી કાપરેકર લગભગ એકાકી જ રહ્યા હતા. નિવૃત્ત થયા પછી પોતાની શોધથી ગણિતજ્ઞોને અને વિદ્યાર્થીઓને પરિચિત કરવા માટે તેઓ સતત પ્રવાસ કરતા. તેમની આવક બહુ ઓછી હતી; પણ સદભાગ્યે, તેમની ભૌતિક જરૂરિયાતો નહિવત્ હતી. ફાટેલાં કપડાં પહેરવામાં તેઓ શરમ ન અનુભવતા અને વૃદ્ધત્વ કે અપંગતા છતાં એ રેલવેના બીજા વર્ગમાં જ મુસાફરી કરતા. બીજા વર્ગની બારી પાસે બેસી બાજુમાંથી પસાર થતી અન્ય ગાડીના ડબ્બાના નંબરો જોઈ એમના ગુણધર્મો વિચારવાની એમને ખાસ મજા આવતી. એમણે ડેમલો સંખ્યાઓની શોધ આ રીતે કરેલી.

તેમની મુખ્ય શોધોમાં ડેમલો સંખ્યાઓ, સ્વયંભૂ (self) સંખ્યાઓ, કાંગારુ સંખ્યાઓ, કાપરેકરની અચળ સંખ્યા 6174, આવર્તન શ્રેણીઓ વગેરેને ગણાવી શકાય. તેમની વિશેષતા એ હતી કે તેઓ કેવળ દશાંશ-પદ્ધતિને કારણે સંખ્યાઓમાં આવતા ગુણધર્મોનો જ અભ્યાસ કરતા.

કાપરેકર માત્ર શાળાના શિક્ષક હતા અને વળી સાવ સાદા હતા તેથી વર્ષો સુધી ગણિતજ્ઞોએ તેમના કામ પ્રત્યે ગંભીરતાથી ધ્યાન આપ્યું નહોતું; પણ આખરે પુણે યુનિવર્સિટીએ તેમને સંશોધન ગ્રાન્ટ આપી હતી.

કાપરેકરે પોતાની શોધો મુખ્યત્વે પુસ્તિકાઓ રૂપે સ્વખર્ચે પ્રકાશિત કરી હતી અને તેથી તેમની બિસ્માર આર્થિક સ્થિતિમાં વધુ ફટકો પડ્યો હતો. સદભાગ્યે, 1981ના અરસામાં અમેરિકાના લોકભોગ્ય, લોકપ્રિય અને વિશ્વવિખ્યાત વિજ્ઞાન-સામયિક ‘સાયન્ટિફિક અમેરિકન’ના લોકરંજક ગણિતવિભાગના સંપાદક માર્ટિન ગાર્ડનરનું કાપરેકરના કાર્ય પર ધ્યાન ગયું હતું. તેમણે કાપરેકરના કામ પર ‘સાયન્ટિફિક અમેરિકન’માં એક લેખ લખ્યો. તેની એટલી બધી અસર પડી કે વિશ્વભરમાંથી કાપરેકરને પ્રશંસાના પત્રો મળ્યા અને તેમની લખેલી પુસ્તિકાઓની બધી જ પ્રતો ચપોચપ વેચાઈ ગઈ.

આમ લગભગ સમગ્ર જીવન અકિંચન રહ્યા બાદ અને ગણિતજ્ઞોની ઉપેક્ષા પામ્યા બાદ છેલ્લે છેલ્લે પોતાના કામની કદર થઈ તે જોયા પછી તેમણે ચિરવિદાય લીધી.

કાપરેકર સંખ્યા : n આંકડાની સંખ્યા k લઈ તેનો વર્ગ કરી, તેની જમણી બાજુના n આંકડામાં ડાબી બાજુના n કે (n-1) આંકડા ઉમેરવાથી મળતો સરવાળો k એટલે કે મૂળ રકમ બરાબર થાય તો kને કાપરેકરની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે.

દા.ત., સંખ્યા 297 લઈએ. (297)² = 88,209 છે. અહીં જમણી તરફની સંખ્યા 209 ત્રણ આંકડાવાળી સંખ્યા છે, તેમાં ડાબી તરફની બે આંકડાની સંખ્યા 88 ઉમેરતાં 209 + 88 = 297 મળે છે, જે મૂળ સંખ્યા છે. આથી 297 કાપરેકરની સંખ્યા છે. આવી જ રીતે 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, ….. વગેરે કાપરેકરની સંખ્યાઓ છે તેમ જોઈ શકાય.

કાપરેકરનો ક્રમ : ચાર આંકડાની સંખ્યા માટે કાપરેકરે એક નિશ્ચિત ક્રમવિધિનું 1941માં સંશોધન કર્યું. આ ક્રમવિધિમાં પ્રથમ સંખ્યા nના અંકો(digits)ને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવી તેને n’ સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે, ત્યારબાદ સંખ્યાના અંકોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવી તેને n’’ સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. પછી k(n) = n’-n’’ સૂત્ર લગાડી તફાવત શોધવામાં આવે છે. ચાર આંકડા માટેની કાપરેકરની નિશ્ચિત સંખ્યા 6174 મળે ત્યાં સુધી આ વિધિનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. ક્રમવિધિ વારંવાર કરવામાં આવે ત્યારે વધુમાં વધુ આઠ પગલામાં 6174 મળે છે અને તે પછી ક્રમવિધિ ચાલુ રાખતાં એની એ જ સંખ્યા 6174 મળ્યાં કરે છે. 6174 એ કાપરેકરની અચળ સંખ્યા છે; દા.ત., સંખ્યા 1933 લઈએ તો n’ = 9331 અને n’’ = 1339 છે. છે.

છેલ્લે કાપરેકરની અચળ સંખ્યા 6174 મળે છે. ત્રણ આંકડાની સંખ્યા માટે કાપરેકરની ક્રમવિધિ લગાડતાં ક્રમવિધિનાં થોડાં પુનરાવર્તન પછી નિશ્ચિત સંખ્યા 495 મળે છે; જે ત્રણ આંકડાની સંખ્યા માટે કાપરેકરની ક્રમવિધિ લગાડ્યા પછી મળતી કાપરેકરની અચળ સંખ્યા છે; દા.ત., સંખ્યા 365 લઈએ અને કાપરેકરની

આંકડાની સંખ્યા માટે કાપરેકરની અચળ સંખ્યા છે. જુદા જુદા આંકડાની સંખ્યા માટે કાપરેકરની ક્રમવિધિ લગાડી પુનરાવર્તન કરતાં શૂન્ય, નિશ્ચિત સંખ્યા કે સંખ્યાચક્ર મળે છે; દા.ત., સંખ્યા n = 73 લઈએ તો

મળે છે, પણ ક્રમવિધિ પૂર્ણ થતી નથી. ક્રમવિધિ ચાલુ રાખીએ તો ફરીથી અમુક પગલાં પછી સંખ્યા 63 મળે છે. આમ સંખ્યાચક્ર ચાલુ રહે છે.

અરુણ વૈદ્ય

શિવપ્રસાદ મ. જાની