સમીકરણશાસ્ત્ર (theory of equations)

સમીકરણશાસ્ત્ર (theory of equations) : ગણિતશાસ્ત્રની બીજગણિત શાખામાં સમાવિષ્ટ શાસ્ત્ર. બીજગણિતમાં મુખ્યત્વે બે પ્રકારનાં સમીકરણોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે : (1) બહુપદી સમીકરણ (polynomial equations) અને (2) સુરેખ સમીકરણ સંહતિ (system of linear equations), જેનો પ્રાથમિક અભ્યાસ શાળા કક્ષાએ થાય છે.

(1) બહુપદી સમીકરણ : એક કે એકાધિક ચલના ઘાતને કોઈ ક્ષેત્રના સભ્યથી ગુણીને તેના સરવાળાથી બનતું વિધેય બહુપદી છે. ક્ષેત્ર F પર, એક ચલ xની વ્યાપક બહુપદીનું સ્વરૂપ

a0 + a1x + …….. + anxn ………… (I) છે.

અહીં a0, a1, ………, an ક્ષેત્ર Fના સભ્યો છે, જ્યારે બે ચલ x અને yવાળી બહુપદીનું વ્યાપક સ્વરૂપ

a0 + a1x + a2y + a11xy + a12xy2 + a21x2y + ……… + amnxmyn પ્રકારનું છે.

એક ચલની બહુપદી (I)ને xની n ઘાતવાળી કે n કક્ષાવાળી બહુપદી કહે છે. a0, a1, ……., anને સહગુણકો (coefficient) કહે છે. સામાન્યત: આ સહગુણકો સંમેય, વાસ્તવિક કે સંકર સંખ્યાક્ષેત્રમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમને અચળ સહગુણકો પણ કહે છે. બહુપદી (I)ને p(x) વડે દર્શાવીએ તો, n = 1, 2, 3, 4, 5 ……. માટે p(x)ને સુરેખ, દ્વિઘાત, ત્રિઘાત, ચતુર્ઘાત, પંચઘાત, …….. બહુપદી કહેવાય છે.

p(x) = a0 + a1x + …….. + anxn = 0 …….. (II)ને ‘બહુપદી સમીકરણ’ કહેવામાં આવે છે. xની જે કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરે, તેને સમીકરણનું ‘બીજ’ (root) કહે છે. અહીં અચળ સહગુણકોના જ સંદર્ભમાં વાત પ્રસ્તુત છે. એટલે જો કોઈ સંખ્યા a, માટે p(a) = 0 થાય તો a એ p(x) = 0નું ‘બીજ’ છે.

nની કિંમત 1, 2, 3, 4, 5 માટે સમીકરણ (II)ને અનુક્રમે સુરેખ (linear), દ્વિઘાત (quadratic), ત્રિઘાત (cubic), ચતુર્ઘાત કે દ્વિવર્ગ (quartic) અને પંચઘાત (quintic) સમીકરણ કહે છે. સુરેખ સમીકરણ a0 + a1x = 0 નો ઉકેલ x =   તરત જ મેળવી શકાય છે. દ્વિઘાત સમીકરણ a0 + a1x + a2 x2 = 0નાં બે બીજ

a1 =  અને a2 =  છે.

અહીં એ ઉલ્લેખનીય છે કે a0, a1, a2 સંમેય કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તોપણ a1, a2 તે જ પ્રકારની સંખ્યા ન પણ હોય.

જો a12  4a0a2 પૂર્ણ વર્ગસંખ્યા હોય તો a1, a2 સંમેય,

a12  4a0a2 ધન વાસ્તવિક, પૂર્ણ વર્ગ ન હોય તો a1, a2 વાસ્તવિક અને અસંમેય અને જો a12  4a0a2 ઋણ હોય તો a1, a2 સંકર સંખ્યાઓ મળે છે.

દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની સામાન્ય રીત, ઈસુ પહેલાં 2000 વર્ષ અગાઉ બૅબિલોનિયન લોકો વાપરતા. અલબત્ત, અમુક વિશિષ્ટ સમીકરણોના ઉકેલ માટે ઈસુની ત્રીજી સદીમાં થઈ ગયેલા ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયૉફેન્ટાઇનના ‘ઍરિથમેટિકા’ નામના ગ્રંથમાં દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલ વિશે માહિતી મળે છે. ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી બ્રહ્મગુપ્ત(સાતમી સદી)નાં લખાણોમાં પણ દ્વિઘાત સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ વિશેનો અભ્યાસ જોવા મળે છે. યૂક્લિડ અને અલ્-ખ્વારિઝ્મીના ગ્રંથોમાં પણ આવાં સમીકરણોના ઉકેલની ચર્ચા કરવામાં આવી છે; પરંતુ આ બધા જ ગ્રંથોમાં મુખ્યત્વે ભૌમિતિક સ્વરૂપમાં ઉકેલ અને વાસ્તવિક બીજવાળાં સમીકરણો વિશે અભ્યાસ થયેલો છે. ત્યારબાદ ઉપર્યુક્ત પદ્ધતિથી ત્રિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાનો પ્રયત્ન થયો. ઉપર્યુક્ત રીતમાં સમીકરણના સહગુણકો પર સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર જેવી પ્રક્રિયાઓ ઉપરાંત મૂળ(root)નો ઉપયોગ કરવામાં આવેલ છે. આ રીતને મૂળ દ્વારા ઉકેલ (solution by redicals) કહે છે. સોળમી સદીમાં ઇટાલીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ કાર્ડાં (Cardano) અને ટાર્ટાગ્લિયા(Tartaglia)એ સામાન્ય ત્રિઘાત સમીકરણના મૂળ દ્વારા ઉકેલની વ્યાપક રીત શોધી અને સોળમી સદીમાં જ કાર્ડાંના વિદ્યાર્થી ફેરારી(Ferari)એ સામાન્ય ચતુર્ઘાત સમીકરણને મૂળ દ્વારા ઉકેલવાની રીત આપી. આ બંને સદીઓ ગણિતના ઇતિહાસમાં ઘણી નોંધપાત્ર રહી. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રના સમયગાળા પછીનું વિકાસનું આ એક આગવું કદમ હતું. આ જ સમયગાળા દરમિયાન વિયેટા (Viete) નામના ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીએ બીજગણિત વિશે પુસ્તક લખ્યું, જેમાં પ્રથમ વાર સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ થયો. આમ, પ્રથમ વાર બીજગણિત, ભૂમિતિથી સ્વતંત્ર વિષય બન્યો.

ઉપર દર્શાવેલી દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલની રીતમાંથી સ્પષ્ટ છે કે a1 + a2 =   અને a1a2 = . સમીકરણનાં બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના વ્યાપક સંબંધનાં સૂત્રો પણ વિયેટાએ આપ્યાં, જે નીચે મુજબ છે : જો a1, a2, …….., an એ p(x) = a0 + a1x + ……. + anxn = 0ના બીજ હોય તો

S1 = a1 + a2 + ……. + an =

S2 = a1a2 + a2a3 + a1a3 + ……….. + a1aj + ……… + an1 an =

 = r બીજના ગુણાકારોનો સરવાળો = (1)r

 = a1a2 ……… an = (1)n

ફરી સમીકરણના ઉકેલ વિશે વિચારીએ તો સોળમી સદીમાં ચતુર્ઘાત સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ મળ્યો, તો પછી પંચઘાતનું શું થયું ? એવો પ્રશ્ન સ્વાભાવિક ઉદ્ભવે. આના જવાબ માટે લગભગ 300 વર્ષ રાહ જોવી પડી ! આબેલ નામના ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીએ ઈ. સ. 1824માં સાબિત કર્યું કે n થ્ 5 માટે પ્રત્યેક p(x) = 0નો મૂળ દ્વારા ઉકેલ મળી ન શકે. આની સાબિતી માટે તેણે સમૂહ (group), ક્ષેત્ર (field) જેવા આધુનિક બીજગણિતની સંકલ્પનાઓનો ઉપયોગ કર્યો; ખરેખર તો આ સંકલ્પનાઓ તેણે અને ગાલ્વા(Galois)એ જ વિકસાવી. ગાલ્વાએ ઈ. સ. 1830માં વધારે વ્યાપક પરિણામો મેળવ્યાં. તેણે આપેલા સમીકરણને મૂળ દ્વારા ઉકેલ હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત આપી. આમ પંચઘાત સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની મથામણે આધુનિક બીજગણિતને જન્મ આપ્યો.

હવે સમીકરણને ‘બીજ’ છે, તેમ ધારી કોઈ પણ બહુપદી સમીકરણ p(x) = 0 (જ્યાં સહગુણકો અચળ છેે.) અને ઓછામાં ઓછું એક બીજ હોય જ, તેમ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ગાઉસે (Gauss) ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં સાબિત કર્યું. આ પરિણામને ‘બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય’ કહે છે.

બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય : જો a0, a1, ……., an સંકર સંખ્યાઓ હોય તો સમીકરણ a0 + a1x + a2x2 + …….. + anxn = 0ને ઓછામાં ઓછું એક સંકર બીજ હોય. (એટલે કે સંકર સંખ્યા ક્ષેત્ર બૈજિક સંવૃત ક્ષેત્ર છે.)

આ પ્રમેય અને બિઝોટ(Bezaut)નું પરિણામ સાથે લેતાં એવું સાબિત કરી શકાય કે a0 + a1x + ….. anxn = 0ને બરાબર n બીજ હોય છે.

બિઝોટનું પ્રમેય : જો a, એ p(x) = a0 + a1x + ……… + anxn = 0નું એક બીજ હોય તો બહુપદી p(x)ને એકપદી (x  a) વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય છે.

સમીકરણના બીજ વિશેનાં કેટલાંક પરિણામો :

(1) p(x) = a0 + a1x + …….. anxn છે. જો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b માટે, p(a) અને p(b) વિરુદ્ધ ચિહ્નવાળી હોય તો p(x) = 0 નું એક બીજ a અને bની વચ્ચે મળે છે. (અહીં સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.)

(2) p(x) = a0 + a1x + ………. + an xn, જ્યાં સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

(i) જો n અયુગ્મ સંખ્યા હોય, તો p(x) = 0ને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ હોય છે. જો a0 ધન હોય તો આ બીજ ઋણ હોય છે અને જો a0 ઋણ હોય તો આ બીજ ધન હોય છે.

(ii) જો n યુગ્મ સંખ્યા હોય અને a0 ઋણ હોય, તો p(x) = 0ને ઓછામાં ઓછાં બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(3) જો સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને સંકર-સંખ્યા a + ib એ p(x) = 0નું એક બીજ હોય, તો a  ib પણ p(x) = 0નું બીજ થાય.

(4) જો સહગુણકો સંમેય સંખ્યાઓ હોય અને અસંમેય સંખ્યા a + , p(x) = 0નું બીજ હોય તો a   પણ તેનું બીજ થાય.

(5) જો a1, a2, ………., an, p(x) = 0નાં બીજ હોય અને બધાં બીજ શૂન્યેતર હોય, તો p  = 0નાં બીજ , , ……..,  થાય.

(6) જો a1, a2, ………., an, p(x) = 0નાં બીજ હોય તો

p(y) = 0નાં બીજ a1, a2, ………., an અને k શૂન્યેતર અચળ માટે p = 0નાં બીજ ka1, ka2, ………., kan થાય.

(7) જો a1, a2, ………., an એ p(x) = 0નાં બીજ હોય તો

p(y + h) = 0નાં બીજ a1  h, a2  h, ………., an  h થાય.

(8) જો a1, a2, ………., an એ p(x) = 0નાં બીજ હોય તો

 ai  જ્ર 1 +

(9) ન્યૂટનનું પ્રમેય : જો a1, a2, ………., an એ p(x) =

a0 + a1x + …… + xn (an = 1)નાં બીજ હોય તો

(i) sr + an1 sr1 + an2 sr2 ……… + anr+1 sr + ranr = 0 (r < n).

(ii) sr + an1 sr1 + ……… + a0 srn = 0 (r થ્ n)

અહીં sr = a1r + a2r + ……. + anr (r થ્ 0)

(10) જો a એ સમીકરણ xn  1 = 0નું બીજ હોય તો am પણ તેનું બીજ થાય, જ્યાં m કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(નોંધ : અહીં બધા a, a2, …….., am1, am, …….. જુદા નથી. હકીકતમાં આ સમીકરણને વધારેમાં વધારે n જ અલગ બીજ હોઈ શકે. આ n બીજને પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1નાં n સંકર મૂળ કહેવાય છે.)

(11) દ’ કાર્ટેનો નિયમ : જો p(x)ના સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તો (i) સમીકરણ p(x) = 0નાં ધનબીજની સંખ્યા p(x)માં +થી  અને થી +ની નિશાનીમાં થતા કુલ ફેરફારની સંંખ્યાથી વધી ન શકે. (ii) સમીકરણ p(x) = 0નાં ઋણ બીજની સંખ્યા p(x)માં થતા ચિહ્નોના ફેરફારની સંખ્યાથી વધી ન શકે.

(નોંધ : દ’ કાર્ટેના નિયમની મદદથી સમીકરણને સંકર-બીજ છે તે નક્કી કરી શકાય છે.)

આ ઉપરાંત p(x) = 0ની બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b વચ્ચે આવેલા કુલ બીજની સંખ્યા શોધવા માટેનાં ફોરિયર અને સ્ટ્રમનાં પરિણામો પણ મળે છે.

બહુપદી સમીકરણ (એકાધિક ચલ) : બે કે બે કરતાં વધારે ચલવાળી બહુપદીનાં સમીકરણો ભૂમિતિમાં ઉપયોગી છે. બે ચલની સુરેખ બહુપદી સમીકરણ a1x + b1y + c1 = 0 સુરેખા દર્શાવે છે, તો વ્યાપક દ્વિઘાત દ્વિચલ સમીકરણ શાંક્વજ (conic sections) દર્શાવે છે.

સમીકરણના ઉકેલના અભ્યાસમાં ડાયૉફેન્ટાઇને દ્વિચલ સમીકરણોનો અભ્યાસ કરેલો, પરંતુ તેને મુખ્ય રસ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવામાં હતો. બ્રહ્મગુપ્તે દ્વિચલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2  by2 = 1 પ્રકારનાં સમીકરણના પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવાની રીત શોધેલી, જ્યાં b પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવો ધનપૂર્ણાંક છે. આ પ્રકારનાં સમીકરણો ‘પેલનાં સમીકરણો’ તરીકે જાણીતાં છે. ‘ડાયૉફેન્ટાઇન સમીકરણો’ એ સ્વતંત્ર વિષયાંગ છે.

આધુનિક બીજગણિતનું ભૂમિતિમાં પ્રદાન : આબેલ અને ગાલ્વાએ ‘મૂળ દ્વારા ઉકેલ’ અશક્ય હોવાની સાબિતી માટે જે ગણિત વિકસાવ્યું, તેણે ભૂમિતિના ‘પુરાણ કાળના કોયડાઓ’ (Problems of antiquity) તરીકે પ્રખ્યાત ત્રણ કોયડાઓના ઉકેલ પણ આપી દીધા. આ કોયડાઓ નીચે મુજબ છે :

સીધી પટ્ટી અને પરિકરની મદદથી

(1) આપેલા ખૂણાનું ત્રિભાજન (trisect) કરવું.

(2) આપેલા સમઘનના કદથી બમણા કદના સમઘનની રચના કરવી.

(3) આપેલા વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલા ક્ષેત્રફળવાળા ચોરસની રચના કરવી.

આ બધી રચનાઓ કરવા અમુક લંબાઈનો રેખાખંડ રચવો પડે; જે લંબાઈનો રેખાખંડ રચી શકાય તેને રચનીય સંખ્યા (constructible number) કહે છે. આધુનિક બીજગણિતની મદદથી કઈ સંખ્યાઓ રચનીય છે તે નક્કી કરવા માટે તે અમુક પ્રકારના સમીકરણનાં બીજ હોય તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે તેવું સાબિત કર્યું. તેના આધારે ઉપર્યુક્ત ત્રણે રચનાઓ અશક્ય છે તે પુરવાર થયું.

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ (system of linear equations)

પ્રત્યેક ચલ માટે એકઘાતી બૈજિક સમીકરણને સુરેખ સમીકરણ કહે છે. તેનું વ્યાપક સ્વરૂપ

a1x1 + a2x2 + ……… anxn = b છે.

અહીં પણ a1, a2, …….., an અને b કોઈ ક્ષેત્રના સભ્યો છે. આ ક્ષેત્ર તરીકે મુખ્યત્વે વાસ્તવિક કે સંકર-સંખ્યાક્ષેત્ર લેવામાં આવે છે. જેમાં n ચલ હોય તેવા m સુરેખ સમીકરણની સંહતિને

જ્યાં m અને n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. aij (1 જ્ર i જ્ર m, 1 જ્ર j જ્ર n)ને સહગુણકો કહે છે અને bi (1 જ્ર i જ્ર m)ને સ્વતંત્ર પદ (free term) કહે છે. x1, x2, ………, xn અજ્ઞાત ચલ છે, જેની કિંમત મેળવવાની હોય છે.

સમીકરણ સંહતિ (I)ને શ્રેણિકનો ઉપયોગ કરી ટૂંકમાં, નીચે મુજબ લખી શકાય છે :

AX = B ……… (I)

જ્યાં A = [aij]m ત્ n, X = , B =  છે.

x₁, …….., x_nની જે કિંમતો (1)નું સમાધાન કરે તેને સમીકરણનો ઉકેલ કહે છે.

જો સમીકરણ સંહતિ (I)ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય તો તેને ‘સુસંગત સંહતિ’ કહે છે અને જો ઉકેલ ન હોય તો તેને ‘વિસંગત સંહતિ’ કહે છે. વળી જો (I)નો ઉકેલ અનન્ય હોય તો તેને ‘નિશ્ચિત સંહતિ’ કહે છે અને જો એક કરતાં વધારે ઉકેલ હોય તો તેને ‘અનિશ્ચિત સંહતિ’ કહે છે. જો સહગુણકો સંખ્યાક્ષેત્રમાંથી લેવામાં આવે તો દરેક અનિશ્ચિત સંહતિને અનંત ઉકેલ મળે છે. બહુપદી સમીકરણમાં, જો સહગુણકોનાં ક્ષેત્રનું સંવર્ધન (extension) કરવામાં આવે તો ઉકેલની પરિસ્થિતિમાં ફરક પડી શકે છે; ઉદા., 1 + x₂ = 0ને વાસ્તવિક સંખ્યાક્ષેત્રમાં ઉકેલ નથી, પરંતુ સંકર સંખ્યાક્ષેત્રમાં છે. સુરેખ સમીકરણ સંહતિમાં ક્ષેત્રનું સંવર્ધન કરવાથી વિસંગત સંહતિ સુસંગત બનતી નથી. માત્ર અનિશ્ચિત સંહતિમાં ઉકેલની સંખ્યા વધી શકે.

સુરેખ સમીકરણ સંહતિના ઉકેલનો અભ્યાસ ચીની ગણિતશાસ્ત્રમાં જોવા મળે છે. ઈ. પૂ. 200થી ઈ. સ. 220ના સમયગાળા દરમિયાન ચીનના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સુરેખ સમીકરણ સંહતિના ઉકેલ માટે કેટલીક રીતો શોધેલી, જે પૈકી એક આધુનિક સમયમાં વપરાતી ‘ગૉસની લોપની રીત’ની સાથે સામ્ય ધરાવે છે. ચીની ભાષામાં લખાયેલા, ત્રીજી સદીનાં પુસ્તક Jiuzhang Suanshuમાં આ અભ્યાસની વિગતો મળે છે; એટલું જ નહિ, 12મી સદીના ચીની ભાષાના ગ્રંથોમાં આ જ પદ્ધતિએ ‘બહુપદીય સમીકરણ સંહતિ’ના ઉકેલ વિશે વિગતો મળે છે.

આધુનિક સમયમાં ગણિતશાસ્ત્રના ઇતિહાસના ક્રેમર, ગૉસ, ફ્રોબિનિયસ, જૉર્ડન જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અઢારમી અને ઓગણીસમી સદીમાં સુરેખ સમીકરણ સંહતિના ઉકેલની પદ્ધતિ વિકસાવી. આસન્ન ઉકેલ પદ્ધતિ અને તેનું વિશ્લેષણ એ વીસમી સદીના અભ્યાસના વિષયો રહ્યા છે.

સમીકરણ સંહતિ (I)માં n = m હોય, તો તેના અનન્ય ઉકેલ માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત ચોરસ શ્રેણિક Aનો નિશ્ચાયક A  દ 0 છે. જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય તો Aનો વ્યસ્ત A^-1 મળે અને X = A^-1B એ અનન્ય ઉકેલ મળે. નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય ત્યારે ઉકેલ શોધવાની રીત ક્રેમરે (1750) શોધેલી.

ક્રેમરની રીત : જો B શૂન્યેતર શ્રેણિક હોય અને  A  દ 0, તો ઉકેલ xk =  (1 જ્ર k જ્ર n), છે.

અહીં અંશના નિશ્ચાયકમાં Aના kમા સ્તંભને સ્થાને B મૂકેલ છે.

ગૉસની લોપની પદ્ધતિ (1849) : આપેલ સમીકરણ સંહતિ AX = Bને યોગ્ય પ્રક્રિયાઓથી એવી સમકક્ષ સંહતિમાં બદલવી કે જેનો ઉકેલ સરળતાથી મળે અને તે પછી તેની મદદથી મૂળ સંહતિનો ઉકેલ મળે તે આ પદ્ધતિનો મૂળભૂત ખ્યાલ છે.

અહીં શ્રેણિક Aનો કોટ્યાંક (rank) r છે. હવે ચલના અને સમીકરણના ક્રમને જરૂર પડે તો બદલીને સમીકરણ સંહતિ (I)ને A1X1 = B1 ……(II) સ્વરૂપમાં લખાય તો શ્રેણિક A1 માટે આગળ દર્શાવેલા ડાબી તરફના k કક્ષાના ઉપનિશ્ચાયકો શૂન્યેતર થાય અને k = 1 માટે તેની કિંમત 1 થાય.

આ રીતે મળેલ સંહતિનાં સમીકરણોને યોગ્ય સંખ્યાથી ગુણીને બાદબાકી કરી સમકક્ષ સંહતિ C1X1 = D1 …….(III) મેળવતાં

cii      દ 0            1 જ્ર i જ્ર m

cij      = 0            j < i જ્ર r

        = 0            i > r

હવે જો i થ્ r + 1 માટે di (ith element of D1) શૂન્ય હોય તો (III) અને તેથી (I) સુસંગત છે. સ્પષ્ટ છે કે r = n માટે ઉકેલ અનન્ય છે.

હવે (III)ની મદદથી x1, x2, ……., xrને xr+1, xr+2, …….., xnના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય અને તેની અનુકૂળ કિંમતો પસંદ કરી ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

ગૉસની રીત અથવા જેમાં ત્યારબાદ ફ્રોબિનિયસે (1877) થોડા ફેરફારો કર્યા તે રીત અત્યારે સુરેખ સમીકરણ સંહતિના ઉકેલ માટે પ્રચલિત છે. વળી તે રીત કમ્પ્યૂટર પર વાપરતાં, ઓછો સમય લે છે.

સમીકરણ સંહતિ AX = Bની સુસંગતતા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત કોટ્યાંક A = કોટ્યાંક [A; B] છે, જ્યાં [A; B] એ Aનો વર્ધિત (augmented) શ્રેણિક છે. આ પરિણામ ‘ક્રોનેકરકૅપેલી પ્રમેય’ તરીકે ઓળખાય છે. જો કોટ્યાંક A = કોટ્યાંક [A; B] = n હોય તો સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે.

સમીકરણ સંહતિ AX = 0 ……..(IV)ને સંહતિ AX = Bને અનુરૂપ સમઘાત (homogeneous) સંહતિ કહે છે. આ સંહતિ (IV) હંમેશાં સુસંગત છે, કારણ x₁ = x₂ = …….. = x_n = 0 તેનો એક ઉકેલ છે. આ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત કોટ્યાંક A < n છે. વળી m = n હોય તો (IV)ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત | A | = 0 છે.

જો (I) સુસંગત હોય તો સંહતિ (I)નો ઉકેલ અને સંહતિ (IV)ના ઉકેલનો સરવાળો પણ (I)નો ઉકેલ થાય છે. સંહતિ (I)ના કોઈ પણ બે ઉકેલનો તફાવત. સંહતિ (IV)નો ઉકેલ બને છે. વ્યાપક રીતે સંહતિ (I)ના કોઈ એક વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સંહતિ (IV)ના ઉકેલ ઉમેરવાથી સંહતિ (I)ના ઉકેલ મળે છે.

ભૌમિતિક નિરૂપણ : જો સંહતિ (I)માં m = n = 2 લઈએ તો

(i) સંહતિ સુસંગત છે અને અનન્ય ઉકેલ છે, તેનો અર્થ સુરેખાઓ a11x1 + a12x2 = b1 અને a21x1 + a22x2 = b2 પરસ્પર છેદે છે.

(ii) સંહતિને ઉકેલ નથી તેનો અર્થ આ સુરેખાઓ સમાંતર છે.

(iii) સંહતિને અનંત ઉકેલ છે તેનો અર્થ સુરેખાઓ સંપાતી છે.

રેખા મહેતા