સાતત્ય (વિધેયનું) (continuity of a function) : ગણિતમાં કલનશાસ્ત્ર માટેનો પાયાનો એક ખ્યાલ. ધારો કે A અને B વાસ્તવિક સંખ્યાગણના ઉપગણો છે અને વિધેય f Aથી B પરનું વિધેય છે. a ∈ A માટે જ્યારે x aની નજીક હોય ત્યારે f(x) જો f(a)ની નજીક હોય તો f a આગળ સતત છે તેમ કહેવાય. શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા એવી છે કે કોઈ પણ આપેલ ε > 0 માટે કોઈ δ > 0 એવો મળે કે જ્યારે 0 < | x – a | < δ, (x ∈ A) ત્યારે ત્યારે | f(x) | – f(a) | < ε, તો f a આગળ સતત છે તેમ કહેવાય.
ભૌમિતિક દૃષ્ટિએ જોઈએ તો f a આગળ સતત હોવાનો અર્થ એ છે કે fનો આલેખ બિંદુ (a, f(a)) આગળ સળંગ છે, તૂટેલો નથી.
કલનશાસ્ત્રમાં વિકલન (differentiation) અને સંકલન (integration) – એ બે પાયાના ખ્યાલો છે. વિધેય સતત હોય તો જ તેનું વિકલન થઈ શકે અને તે સતત હોય તો તેનું સંકલન થઈ જ શકે. આમ વિધેયનું સાતત્ય કલનશાસ્ત્ર માટે અતિ મહત્ત્વની બાબત છે.
જો વિધેય કોઈ અંતરિત (interval) કે ગણના પ્રત્યેક બિંદુએ સતત હોય તો તે અંતરિત કે ગણ પર સતત છે તેમ કહેવાય.
જો વિધેયો f અને g a આગળ સતત હોય તો વિધેયો f + g, fg, -f પણ a આગળ સતત હોય. વળી જો g(a) ≠ 0 તો વિધેય 1/g પણ a આગળ સતત થાય. જો f a આગળ સતત હોય અને g f(a) આગળ સતત હોય તો સંયોજિત વિધેય (gof) a આગળ સતત થાય.
આપણે હમણાં જણાવી ગયા તેમ વિધેય સતત હોય તો જ વિકલનીય હોય. આમ છતાં બધાં સતત વિધેયો વિકલનીય હોય જ તેવું નથી. વિધેય f(x) = | x | x = 0 આગળ સતત છે પણ તે ત્યાં વિકલનીય નથી. વળી આ વિધેય અંતરિત [-1, 2]માં સતત છે માટે સંકલનીય પણ છે જ, તથા
એમ સાબિત કરી શકાય. કેટલાંક અસતત વિધેયો પણ સંકલનીય હોઈ શકે છે.
એ x = 1 આગળ સતત નથી છતાં 
નું અસ્તિત્વ છે તથા તેનું મૂલ્ય 9 છે.
બહુપદી વિધેયો હંમેશાં સતત હોય છે પણ બહુપદી ન હોય તેવાં પણ સતત વિધેયો (દા.ત., sin x, 
વિ.) છે. વાઇરસ્ટ્રાસનું એક જાણીતું વિધેય કહે છે કે દરેક સતત વિધેયની ‘ખૂબ જ નજીક’ કોકને કોક બહુપદી છે જ. ચોક્કસ રીતે વિધેય f(x) અંતરિત [a, b] પર સતત હોય અને ε > 0 આપેલ હોય, તો એવી બહુપદી p(x) મળે જ કે [a, b]માંના પ્રત્યેક x માટે | f(x) – p(x) | < ε થાય.
એકરૂપ સાતત્ય : ધારો કે કોઈ અંતરિત [a, b] પર વ્યાખ્યાયિત વિધેયોની કોઈ અનંત શ્રેણી f1, f2, f3, …….. આપેલી છે અને આ શ્રેણીનું લક્ષ વિધેય f છે. એટલે કે દરેક x ∈ [a, b] માટે છે.
હવે જો પ્રત્યેક fn c ∈ [a, b] આગળ સતત હોય તો શું f પણ c આગળ સતત થશે ? આવું હમેશ બનતું નથી. fn c આગળ સતત હોય તે પૂરતું નથી. તે [a, b] પર એકરૂપ સતત હોવું જોઈએ. વિધેય fની અંતરિત [a, b] પરની એકરૂપ સાતત્યની વ્યાખ્યા આવી છે : આપેલ d > 0 માટે e > 0 એવો મળવો જોઈએ કે પ્રત્યેક x ∈ [a, b] માટે | x – c | < δ થાય તો | f(x) – f(c) | < ε. અહીં નોંધવાનું એ છે કે આપેલ d > 0 માટે [a, b]માંના જુદા જુદા c માટે એક જ d એવો મળવો જોઈએ કે | x – c | < d માટે | f(x) – f(c) | < ε થાય.
જો વિધેય f બંધ અંતરિતમાં સતત હોય તો તે તેમાં એકરૂપ સતત પણ હોય જ. f(x) = 
અંતરિત (0, 1)માં સતત છે, પણ એકરૂપ સતત નથી.
વ્યાપક પરિપ્રેક્ષ્યમાં સાતત્ય : સાતત્યની વ્યાખ્યામાં આપણે વાસ્તવિક સંખ્યા વચ્ચેના અંતરના ખ્યાલનો ઉપયોગ | x – a | કે | f(x) – f(a) | ના સ્વરૂપમાં કરેલો છે. તેથી જે જે ગણમાં અંતરનો ખ્યાલ હોય તે તે ગણ પરનાં વિધેયો માટે સાતત્યનો ખ્યાલ દાખલ કરી શકાય.
આમ કોઈ પણ બે માનાવકાશો (X, d) અને (Y, d´) વચ્ચેનું વિધેય f a ∈ X માટે સતત ક્યારે કહેવાય તેની વ્યાખ્યા આવી આપી શકાય :
આપેલ δ > 0 માટે જો ε > 0 એવો મળે કે 0 < d (x, a) < δ તો | d´ f(x), f(a) | < ε તો f a આગળ સતત છે. અહીં નોંધીએ કે જો δ જેમનો તેમ રાખવામાં આવે અને aને બદલવામાં આવે તો કદાચ ε બદલાય. જો એક જ ε બધા a માટે ચાલી રહે તો f X પર એકરૂપ સતત કહેવાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાગણ R માટે R x R = R2 પણ માનાવકાશ છે તેથી R2થી R પરનાં વિધેયોનાં સાતત્યની વ્યાખ્યા પણ આપી શકાય. આ વિધેયો દ્વિચલ વાસ્તવિક વિધેયો f(x, y) છે. f(x, y) કોઈ બિંદુ (a, b) આગળ સતત હોવા માટેની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે છે :
આપેલ δ > 0 માટે ε > 0 એવો મળવો જોઈએ કે 
જો (X, T) સ્થાનાવકાશ હોય તો તેમાં દરેક બિંદુને સામીપ્યો (neighbourhoods) હોય છે. આ સામીપ્યોના ઉપયોગથી સાતત્યની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે. ધારો કે f : (X, T) →
(Y, T´), તથા a ∈ X. જો (Y, T´)માં f(a)નું કોઈ પણ સામીપ્ય N´ આપેલું હોય ત્યારે (X, T)માં aનું સામીપ્ય N એવું મળે કે x ∈ N´ તો f(x) ∈ N´ તો f a આગળ સતત છે તેમ કહેવાય.
અરુણ મ. વૈદ્ય
શિવપ્રસાદ મ. જાની